கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிக்கவும். கணிதத் தூண்டலின் முறை மற்றும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அதன் பயன்பாடு

அறிமுகம்

முக்கிய பாகம்

1. முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற தூண்டல்

2. கணிதத் தூண்டலின் கோட்பாடு

3. கணித தூண்டல் முறை

4. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

5. சமத்துவங்கள்

6. எண்களை வகுத்தல்

7. ஏற்றத்தாழ்வுகள்

முடிவுரை

பயன்படுத்திய இலக்கியங்களின் பட்டியல்

அறிமுகம்

எந்தவொரு கணித ஆராய்ச்சியின் அடிப்படையும் துப்பறியும் மற்றும் தூண்டல் முறைகள் ஆகும். பகுத்தறிவின் துப்பறியும் முறையானது பொதுவானது முதல் குறிப்பிட்டது வரை பகுத்தறிதல் ஆகும், அதாவது. பகுத்தறிவு, இதன் தொடக்கப் புள்ளி பொது முடிவு, இறுதிப் புள்ளி குறிப்பிட்ட முடிவு. குறிப்பிட்ட முடிவுகளிலிருந்து பொதுவானவைகளுக்கு நகரும் போது தூண்டல் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. கழித்தல் முறைக்கு எதிரானது.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான நோக்கம் வளர்ந்திருந்தாலும், பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் சிறிது நேரம் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. சரி, அந்த இரண்டு அல்லது மூன்று பாடங்கள் ஒரு நபருக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று சொல்லுங்கள், அதன் போது அவர் ஐந்து கோட்பாட்டின் வார்த்தைகளைக் கேட்பார், ஐந்து பழமையான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பார், இதன் விளைவாக, அவருக்கு எதுவும் தெரியாது என்பதற்கு ஒரு A பெறுவார்.

ஆனால் தூண்டுதலாக சிந்திக்க முடிவது மிகவும் முக்கியம்.

முக்கிய பாகம்

அதன் அசல் அர்த்தத்தில், "தூண்டல்" என்ற சொல் பகுத்தறிவுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதன் மூலம் பல குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளின் அடிப்படையில் பொதுவான முடிவுகள் பெறப்படுகின்றன. இந்த வகையான பகுத்தறிவின் எளிய முறை முழுமையான தூண்டல் ஆகும். அத்தகைய பகுத்தறிவுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே.

4 க்குள் ஒவ்வொரு இரட்டை இயல் எண் n என்பதை நிறுவுவது அவசியமாக இருக்கட்டும்< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

இந்த ஒன்பது சமத்துவங்கள் நாம் ஆர்வமுள்ள ஒவ்வொரு எண்களும் உண்மையில் இரண்டு எளிய சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன.

எனவே, முழுமையான தூண்டல் என்பது சாத்தியமான ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலும் பொது அறிக்கையை தனித்தனியாக நிரூபிப்பதாகும்.

சில நேரங்களில் பொதுவான முடிவு அனைத்தையும் கருத்தில் கொள்ளாமல் கணிக்க முடியும், ஆனால் போதுமான எண்ணிக்கையிலான குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகள் (முழுமையற்ற தூண்டல் என்று அழைக்கப்படுவது).

முழுமையற்ற தூண்டல் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவு, எல்லா சிறப்பு நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கிய, துல்லியமான கணிதக் காரணத்தால் நிரூபிக்கப்படும் வரை ஒரு கருதுகோள் மட்டுமே. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கணிதத்தில் முழுமையற்ற தூண்டல் கடுமையான ஆதாரத்தின் முறையான முறையாகக் கருதப்படுவதில்லை, ஆனால் புதிய உண்மைகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த முறையாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, முதல் n தொடர் ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டும். சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1+3+5+7+9=25=5 2

இந்த சில சிறப்பு நிகழ்வுகளை பரிசீலித்த பிறகு, பின்வரும் பொதுவான முடிவு தன்னை பரிந்துரைக்கிறது:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

அந்த. முதல் n தொடர் ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை n 2 ஆகும்

நிச்சயமாக, கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மைக்கான சான்றாக, செய்யப்பட்ட அவதானிப்பு இன்னும் இருக்க முடியாது.

முழுமையான தூண்டல் கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட பயன்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. பல சுவாரஸ்யமான கணித அறிக்கைகள் எண்ணற்ற சிறப்பு நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கியது, ஆனால் அவற்றை எண்ணற்ற நிகழ்வுகளுக்கு எங்களால் சோதிக்க முடியவில்லை. முழுமையற்ற தூண்டல் பெரும்பாலும் தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது.

பல சந்தர்ப்பங்களில், இந்த வகையான சிரமத்திலிருந்து வெளியேறுவதற்கான வழி, கணித தூண்டல் முறை எனப்படும் ஒரு சிறப்பு பகுத்தறிவு முறையை நாடுவதாகும். இது பின்வருமாறு.

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணான nக்கான ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் செல்லுபடியை நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (எடுத்துக்காட்டாக, முதல் n ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை n 2 க்கு சமம் என்பதை நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும்). n இன் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் இந்த அறிக்கையின் நேரடி சரிபார்ப்பு சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு எல்லையற்றது. இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்க, முதலில் n=1 க்கு அதன் செல்லுபடியை சரிபார்க்கவும். k இன் எந்தவொரு இயற்கை மதிப்பிற்கும், n=k க்கு பரிசீலனையில் உள்ள அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் n=k+1 க்கு அதன் செல்லுபடியாகும் என்பதை அவர்கள் நிரூபிக்கிறார்கள்.

பின்னர் அறிக்கை அனைத்து n நிரூபிக்கப்பட்ட கருதப்படுகிறது. உண்மையில், அறிக்கை n=1 க்கு உண்மை. ஆனால் அது அடுத்த எண்ணான n=1+1=2 க்கும் உண்மையாகும். n=2 க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் தன்மை n=2+ க்கு அதன் செல்லுபடியாகும்

1=3. இது n=4 போன்றவற்றுக்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும். முடிவில், நாம் எந்த இயற்கை எண்ணையும் அடைவோம் என்பது தெளிவாகிறது n. இந்த அறிக்கை எந்த n க்கும் உண்மை என்று அர்த்தம்.

சொல்லப்பட்டதைச் சுருக்கமாக, பின்வரும் பொதுவான கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

கணித தூண்டலின் கொள்கை.

முன்மொழிவு A(n), இயற்கை எண்ணைப் பொறுத்துn, உண்மைn=1 மற்றும் அது உண்மை என்பதிலிருந்துn=k(எங்கேகே-எந்த இயற்கை எண்ணும்), அடுத்த எண்ணுக்கு அது உண்மை என்பதை இது பின்பற்றுகிறதுn=k+1, பின்னர் அனுமானம் A(n) எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் உண்மைn.

பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் செல்லுபடியை அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் அல்ல, ஆனால் n>pக்கு மட்டுமே நிரூபிக்க வேண்டியிருக்கலாம், இங்கு p என்பது நிலையான இயற்கை எண்ணாகும். இந்த வழக்கில், கணித தூண்டல் கொள்கை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. முன்மொழிவு A(n) உண்மைn=pமற்றும் என்றால் A(கே) Þ A(k+1)யாருக்கும்k>p,பின்னர் வாக்கியம் A(n)யாருக்கும் உண்மைn>p.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. முதலில், நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய அறிக்கை n=1 க்கு சரிபார்க்கப்பட்டது, அதாவது. அறிக்கை A(1) இன் உண்மை நிறுவப்பட்டது. ஆதாரத்தின் இந்த பகுதி தூண்டல் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் ஆதாரத்தின் பகுதி தூண்டல் படி என்று வருகிறது. இந்தப் பகுதியில், n=k (இண்டக்ஷன் அனுமானம்) க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் அனுமானத்தின் கீழ் n=k+1 க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியை அவர்கள் நிரூபிக்கிறார்கள், அதாவது. A(k)ÞA(k+1) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) எங்களிடம் n=1=1 2 உள்ளது. எனவே,

அறிக்கை n=1 க்கு உண்மை, அதாவது. A(1) உண்மை.

2) A(k)ÞA(k+1) என்பதை நிரூபிப்போம்.

k என்பது எந்த இயல் எண்ணாகவும் இருக்கட்டும் மற்றும் அந்த அறிக்கை n=k க்கு உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

அடுத்த இயல் எண்ணான n=k+1க்கும் அந்த அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது. என்ன

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

உண்மையில்,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

எனவே, A(k)ÞA(k+1). கணித தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த nÎNக்கும் அனுமானம் A(n) உண்மை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

என்பதை நிரூபியுங்கள்

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), இங்கு x¹1

தீர்வு: 1) n=1க்கு நாம் பெறுவோம்

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

எனவே, n=1க்கான சூத்திரம் சரியானது; A(1) உண்மை.

2) k என்பது இயற்கை எண்ணாக இருக்கட்டும் மற்றும் n=k க்கு சூத்திரம் உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

அப்போதுதான் சமத்துவம் என்பதை நிரூபிப்போம்

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

உண்மையில்

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

எனவே, A(k)ÞA(k+1). கணித தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n சூத்திரம் உண்மை என்று முடிவு செய்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

குவிந்த n-gon இன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை n(n-3)/2 க்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=3 க்கு அறிக்கை உண்மை

மற்றும் 3 அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஏனெனில் ஒரு முக்கோணத்தில்

 A 3 =3(3-3)/2=0 மூலைவிட்டங்கள்;

A 2 A(3) உண்மை.

2) ஒவ்வொன்றிலும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்

ஒரு குவிந்த k-gon உள்ளது-

A 1 x A k =k(k-3)/2 மூலைவிட்டங்கள்.

மற்றும் k அதை ஒரு குவிந்த நிலையில் நிரூபிப்போம்

(k+1)-gon எண்

மூலைவிட்டங்கள் A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ஒரு குவிந்த (k+1)-gon ஆக இருக்கட்டும். அதில் ஒரு மூலைவிட்ட A 1 A k ஐ வரைவோம். இந்த (k+1)-gonன் மூலைவிட்டங்களின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட, k-gon A 1 A 2 ...A k இல் உள்ள மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் எண்ண வேண்டும், இதன் விளைவாக வரும் எண்ணுடன் k-2 ஐச் சேர்க்கவும், அதாவது. A k+1 என்ற உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் (k+1)-gon இன் மூலைவிட்டங்களின் எண்ணிக்கை, மேலும், மூலைவிட்டமான A 1 A k கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்.

இதனால்,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

எனவே, A(k)ÞA(k+1). கணித தூண்டல் கொள்கையின் காரணமாக, எந்த குவிவு n-gon க்கும் அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4

எந்த ஒரு n பின்வரும் கூற்று உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை.

2) n=k என்று வைத்துக் கொள்வோம்

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையைக் கவனியுங்கள்

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

n=k+1 க்கு சமத்துவம் உண்மை என்பதை நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5

எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமத்துவம் உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும்.

பின்னர் X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1க்கான கூற்று உண்மையாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

2) சமத்துவம் n=k க்கு உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்

கணித தூண்டல் முறை

அறிமுகம்

முக்கிய பாகம்

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற தூண்டல்
கணித தூண்டலின் கோட்பாடு
கணித தூண்டல் முறை
தீர்க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள்
சமத்துவங்கள்
எண்களைப் பிரித்தல்
ஏற்றத்தாழ்வுகள்

முடிவுரை

பயன்படுத்திய இலக்கியங்களின் பட்டியல்

அறிமுகம்

ஆனால் தூண்டுதலாக சிந்திக்க முடிவது மிகவும் முக்கியம்.

முக்கிய பாகம்

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

1+3+5+7+9=25=5 2

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

அந்த. முதல் n தொடர் ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை n 2 ஆகும்

கணித தூண்டலின் கொள்கை.

ஒரு வாக்கியம் A(n), n என்ற இயல் எண்ணைப் பொறுத்து, n=1 க்கு உண்மையாக இருந்தால், அது n=k (k என்பது ஏதேனும் இயற்கை எண்) க்கு உண்மையாக இருந்தால், அதுவும் உண்மையாக இருக்கும். அடுத்த எண் n=k +1, பிறகு அனுமானம் A(n) எந்த இயல் எண்ணுக்கும் சரி.

முன்மொழிவு A(n) n=p க்கும், A(k)ÞA(k+1) என்றால் எந்த k>p க்கும் சரி எனில், A(n) எந்த n>pக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) எங்களிடம் n=1=1 2 உள்ளது. எனவே,

அறிக்கை n=1 க்கு உண்மை, அதாவது. A(1) உண்மை.

2) A(k)ÞA(k+1) என்பதை நிரூபிப்போம்.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

உண்மையில்,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

என்பதை நிரூபியுங்கள்

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), இங்கு x¹1

தீர்வு: 1) n=1க்கு நாம் பெறுவோம்

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

எனவே, n=1க்கான சூத்திரம் சரியானது; A(1) உண்மை.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

அப்போதுதான் சமத்துவம் என்பதை நிரூபிப்போம்

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

உண்மையில்

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

தீர்வு: 1) n=3 க்கு அறிக்கை உண்மை

மற்றும் 3 அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஏனெனில் ஒரு முக்கோணத்தில்

 A 3 =3(3-3)/2=0 மூலைவிட்டங்கள்;

A 2 A(3) உண்மை.

2) ஒவ்வொன்றிலும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்

ஒரு குவிந்த k-gon உள்ளது-

A 1 x A k =k(k-3)/2 மூலைவிட்டங்கள்.

மற்றும் k அதை ஒரு குவிந்த நிலையில் நிரூபிப்போம்

(k+1)-gon எண்

மூலைவிட்டங்கள் A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

இதனால்,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

எந்த ஒரு n பின்வரும் கூற்று உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை.

2) n=k என்று வைத்துக் கொள்வோம்

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையைக் கவனியுங்கள்

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமத்துவம் உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும்.

பின்னர் X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1க்கான கூற்று உண்மையாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

2) சமத்துவம் n=k க்கு உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்

X k =k 2 (k+1) 2/4.

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிப்போம், அதாவது.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

மேற்கூறிய சான்றுகளிலிருந்து n=k+1 க்கு இந்த அறிக்கை உண்மை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே, எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.

என்பதை நிரூபியுங்கள்

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), இங்கு n>2.

தீர்வு: 1) n=2க்கான அடையாளம் இப்படித் தெரிகிறது: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

அந்த. அது உண்மை.

2) n=k க்கு வெளிப்பாடு உண்மை என்று வைத்துக் கொள்வோம்

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1க்கான வெளிப்பாட்டின் சரியான தன்மையை நிரூபிப்போம்.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´...´((k 3 +1)/(k 3 -1)))'(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

n=k+1 க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த n>2 க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

என்பதை நிரூபியுங்கள்

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

எந்த இயற்கை n.

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) n=k என்று வைத்துக்கொள்வோம்

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) n=k+1 க்கான இந்த அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிப்போம்

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 க்கான சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மையும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

அடையாளம் சரியானது என்பதை நிரூபிக்கவும்

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

எந்த இயற்கை n.

1) n=1க்கு அடையாளம் உண்மை 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1க்கான அடையாளம் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

மேற்கூறிய சான்றிலிருந்து, எந்த இயல் எண்ணான nக்கும் அந்த அறிக்கை உண்மை என்பது தெளிவாகிறது.

(11 n+2 +12 2n+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.

ஆனால் (23´133) என்பது மீதி இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும், அதாவது n=1 க்கு அறிக்கை உண்மை; A(1) உண்மை.

2) (11 k+2 +12 2k+1) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

3) இந்த விஷயத்தில் அதை நிரூபிப்போம்

(11 k+3 +12 2k+3) மீதம் இல்லாமல் 133 ஆல் வகுபடும். உண்மையில், 11 k+3 +12 2l+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

இதன் விளைவாக வரும் தொகையானது மீதியின்றி 133 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் முதல் சொல் 133 ஆல் வகுக்கப்படுவதால், அனுமானத்தின் மூலம் மீதம் இல்லாமல், இரண்டாவது காரணிகளில் 133 ஆகும். எனவே, A(k)ÞA(k+1). கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எந்த n 7 n -1 க்கும் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும், பின்னர் X 1 =7 1 -1=6 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் n=1 ஆக இருக்கும் போது அந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

7 k -1 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்.

3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

முதல் சொல் 6 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் 7 k -1 என்பது அனுமானத்தால் 6 ஆல் வகுபடும், மற்றும் இரண்டாவது சொல் 6 ஆகும். இதன் பொருள் 7 n -1 என்பது எந்த இயற்கை n க்கும் 6 இன் பெருக்கல் ஆகும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான இயற்கை nக்கான 3 3n-1 +2 4n-3 11 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு: 1) n=1, பிறகு

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் n=1க்கான கூற்று உண்மை.

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

X k =3 3k-1 +2 4k-3 என்பது மீதி இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும்.

3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

முதல் சொல் மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் 3 3k-1 +2 4k-3 என்பது அனுமானத்தின் மூலம் 11 ஆல் வகுபடும், இரண்டாவது 11 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் அதன் காரணிகளில் ஒன்று எண் 11 ஆகும். இதன் பொருள் தொகை எந்த இயல் எண் n க்கும் மீதம் இல்லாமல் 11 ஆல் வகுபடும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான இயற்கையான nக்கான 11 2n -1 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: 1) n=1 ஆகவும், பிறகு 11 2 -1=120 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் n=1 ஆக இருக்கும் போது அந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

11 2k -1 மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

இரண்டு சொற்களும் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்: முதலாவது 6 இன் பெருக்கல், எண் 120, மற்றும் இரண்டாவது அனுமானத்தின் மூலம் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் தொகை மீதம் இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான nக்கான 3 3n+3 -26n-27 மீதம் இல்லாமல் 26 2 (676) ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு: முதலில் 3 3n+3 -1 மீதம் இல்லாமல் 26 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கிறோம்.

எப்போது n=0

3 3 -1=26 26 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது

n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

3 3k+3 -1 என்பது 26 ஆல் வகுபடும்

அறிக்கை என்பதை நிரூபிப்போம்

n=k+1க்கு உண்மை.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – 26 ஆல் வகுக்க

இப்போது பிரச்சனை அறிக்கையில் வடிவமைக்கப்பட்ட அறிக்கையின் ஆதாரத்தை செயல்படுத்துவோம்.

1) வெளிப்படையாக, n=1 ஆக இருக்கும் போது அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்

3 3+3 -26-27=676

2) n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

3 3k+3 -26k-27 என்ற வெளிப்பாடு மீதி இல்லாமல் 26 2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது.

3) n=k+1 க்கு அறிக்கை உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

இரண்டு சொற்களும் 26 2 ஆல் வகுபடும்; முதலாவது 26 2 ஆல் வகுபடும், ஏனெனில் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு 26 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபித்துள்ளோம், மேலும் இரண்டாவது தூண்டல் கருதுகோளால் வகுபடும். கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

n>2 மற்றும் x>0 எனில் சமத்துவமின்மை உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

(1+x) n >1+n´x.

தீர்வு: 1) n=2 க்கு ஏற்றத்தாழ்வு செல்லுபடியாகும்

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

எனவே A(2) உண்மை.

2) A(k)ÞA(k+1), k> என்றால் 2. A(k) உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது சமத்துவமின்மை

(1+x) k >1+k´x. (3)

A(k+1) என்பதும் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது சமத்துவமின்மை

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

உண்மையில், சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் (3) நேர்மறை எண்ணான 1+x ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

கடைசி சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்

stva; எங்களிடம் உள்ளது

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

இதன் விளைவாக, நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

எனவே, A(k)ÞA(k+1). கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், பெர்னௌலியின் சமத்துவமின்மை எவருக்கும் உண்மை என்று வாதிடலாம்.

சமத்துவமின்மை உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

தீர்வு: 1) எப்போது m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 இரு பக்கங்களும் சமம்.

2) m=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) m=k+1க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம்

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

m=k+1 க்கான சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம், எனவே, கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், எந்த இயற்கை m க்கும் ஏற்றத்தாழ்வு செல்லுபடியாகும்.

n>6க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

3 n >n´2 n+1 .

தீர்வு: படிவத்தில் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்

n=7க்கு எங்களிடம் உள்ளது

3 7/2 7 =2187/128>14=2´7

சமத்துவமின்மை உண்மை.

n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

3) n=k+1க்கான சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 முதல், கடைசி சமத்துவமின்மை தெளிவாக உள்ளது.

கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை எந்த இயற்கை எண்ணான n க்கும் செல்லுபடியாகும்.

n>2க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை என்பதை நிரூபிக்கவும்

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

தீர்வு: 1) n=3க்கு ஏற்றத்தாழ்வு உண்மை

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

n=k க்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம்

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) அல்லாதவற்றின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம்

n=k+1க்கான சமத்துவம்

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) என்பதை நிரூபிப்போம்<1,7-(1/k+1)Û

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

பிந்தையது வெளிப்படையானது, எனவே

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

கணித தூண்டல் முறையின் மூலம், சமத்துவமின்மை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவுரை

குறிப்பாக, கணிதத் தூண்டல் முறையைப் படிப்பதன் மூலம், இந்த கணிதத் துறையில் எனது அறிவை அதிகரித்தேன், மேலும் எனது சக்திக்கு அப்பாற்பட்ட சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொண்டேன்.

இவை முக்கியமாக தர்க்கரீதியான மற்றும் பொழுதுபோக்கு பணிகள், அதாவது. ஒரு அறிவியலாக கணிதத்தில் ஆர்வத்தை அதிகரிக்கும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது ஒரு பொழுதுபோக்கு நடவடிக்கையாக மாறும், மேலும் மேலும் மேலும் ஆர்வமுள்ளவர்களை கணித தளங்களுக்குள் ஈர்க்க முடியும். என் கருத்துப்படி, இது எந்த அறிவியலுக்கும் அடிப்படை.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் படிப்பதைத் தொடர்ந்து, கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் வாழ்க்கையின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதிலும் அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய முயற்சிப்பேன்.

கணிதம்:

விரிவுரைகள், பிரச்சனைகள், தீர்வுகள்

பாடநூல் / V.G. Boltyansky, Yu.V. Shabunin. பொட்பூரி எல்எல்சி 1996.

அல்ஜீப்ரா மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்

பாடநூல் / I.T. Demidov, A.N. S.I. Shvartsburg, O.S. "அறிவொளி" 1975.

கணித ஆதாரத்தின் மிக முக்கியமான முறைகளில் ஒன்று சரியானது கணித தூண்டல் முறை. அனைத்து இயற்கை எண்கள் n தொடர்பான பெரும்பாலான சூத்திரங்கள் கணித தூண்டல் முறை மூலம் நிரூபிக்கப்படலாம் (உதாரணமாக, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம், நியூட்டனின் இருசொற் சூத்திரம் போன்றவை).

இந்த கட்டுரையில், நாம் முதலில் அடிப்படைக் கருத்துகளில் வாழ்வோம், பின்னர் கணிதத் தூண்டலின் முறையைக் கருத்தில் கொண்டு, சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிரூபிப்பதில் அதன் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

தூண்டல் மற்றும் கழித்தல்.

தூண்டல் மூலம்குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளிலிருந்து பொதுவானவைகளுக்கு மாறுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறாக, பொதுவான அறிக்கைகளிலிருந்து குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளுக்கு மாறுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது கழித்தல்.

ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையின் எடுத்துக்காட்டு: 254 என்பது மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும்.

இந்தக் குறிப்பிட்ட கூற்றிலிருந்து ஒருவர் உண்மை மற்றும் பொய் ஆகிய இரண்டும் பொதுவான பல அறிக்கைகளை உருவாக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, நான்கில் முடிவடையும் அனைத்து முழு எண்களும் மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும் என்ற பொதுவான கூற்று உண்மை, ஆனால் மூன்று இலக்க எண்கள் அனைத்தும் மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுபடும் என்ற கூற்று தவறானது.

எனவே, அறியப்பட்ட அல்லது வெளிப்படையான உண்மைகளின் அடிப்படையில் பல பொதுவான அறிக்கைகளைப் பெற தூண்டல் நம்மை அனுமதிக்கிறது. பெறப்பட்ட அறிக்கைகளின் செல்லுபடியை தீர்மானிக்க கணித தூண்டல் முறை வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணமாக, எண் வரிசையைக் கவனியுங்கள்: , n என்பது தன்னிச்சையான இயற்கை எண். இந்த வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் தொகைகளின் வரிசை பின்வருமாறு இருக்கும்

இந்த உண்மையின் அடிப்படையில், தூண்டல் மூலம் வாதிடலாம்.

இந்த சூத்திரத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

கணித தூண்டல் முறை.

கணித தூண்டல் முறை அடிப்படையாக கொண்டது கணித தூண்டலின் கொள்கை.

இது பின்வருமாறு: ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட கூற்று உண்மையாக இருக்கும் n if

இது n = 1 மற்றும் க்கு செல்லுபடியாகும்
எந்தவொரு தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணான n = kக்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் தன்மையிலிருந்து, அது n = k+1 க்கு செல்லுபடியாகும்.

அதாவது, கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் மூன்று நிலைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

முதலாவதாக, அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சரிபார்க்கப்படும் (பொதுவாக n = 1 க்கு சரிபார்ப்பு செய்யப்படுகிறது);
இரண்டாவதாக, அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n=k கருதப்படுகிறது;
மூன்றாவதாக, n=k+1 என்ற எண்ணுக்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும், இரண்டாவது புள்ளியின் அனுமானத்திலிருந்து தொடங்கி நிரூபிக்கப்படுகிறது.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சான்றுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

முந்தைய உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, சூத்திரத்தை நிரூபிப்போம் .

ஆதாரம்.

கணிதத் தூண்டல் முறை மூன்று-புள்ளி ஆதாரத்தை உள்ளடக்கியது.

இவ்வாறு, கணிதத் தூண்டல் முறையின் மூன்று படிகளும் முடிக்கப்பட்டு, சூத்திரத்தைப் பற்றிய நமது அனுமானம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

முக்கோணவியல் சிக்கலைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும் .

தீர்வு.

முதலில், n = 1க்கான சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, எங்களுக்கு அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் தேவைப்படும்.

அதாவது n = 1க்கு சமத்துவம் உண்மை.

இரண்டாவதாக, n = k க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது அடையாளம் உண்மை

மூன்றாவதாக, சமத்துவத்தை நிரூபிக்க நாம் செல்கிறோம் n = k+1 க்கு, இரண்டாவது புள்ளியின் அடிப்படையில்.

முக்கோணவியலில் இருந்து சூத்திரத்தின் படி

அந்த

மூன்றாவது புள்ளியில் இருந்து சமத்துவத்திற்கான ஆதாரம் முடிந்தது, எனவே, அசல் அடையாளம் கணித தூண்டல் முறை மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும்.

கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்பதற்கான உதாரணம் தோராய குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறும்போது குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை என்ற பிரிவில் காணலாம்.

நூல் பட்டியல்.

சோமின்ஸ்கி ஐ.எஸ்., கோலோவினா எல்.ஐ., யக்லோம் ஐ.எம். கணித தூண்டல் பற்றி.

சரடோவ் பிராந்தியத்தின் கல்வி அமைச்சகம்

சரடோவ் மாநில சமூக-பொருளாதார பல்கலைக்கழகம்

பள்ளி மாணவர்களின் கணித மற்றும் கணினி வேலைகளின் பிராந்திய போட்டி

"எதிர்காலத்தின் திசையன் - 2007"

"கணித தூண்டல் முறை.

இயற்கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அதன் பயன்பாடு"

(பிரிவு "கணிதம்")

ஆக்கப்பூர்வமான வேலை

10 ஏ வகுப்பு மாணவர்கள்

முனிசிபல் கல்வி நிறுவனம் "ஜிம்னாசியம் எண். 1"

சரடோவின் Oktyabrsky மாவட்டம்

ஹருத்யுன்யான் கயனே.

பணித் தலைவர்:

கணித ஆசிரியர்

க்ரிஷினா இரினா விளாடிமிரோவ்னா.

சரடோவ்

2007

அறிமுகம் …………………………………………………………………………………… 3

கணித தூண்டலின் கொள்கை மற்றும் அதன்

ஆதாரம் ………………………………………………………………………………………………………….4

சிக்கல் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் ………………………………………………………………… .9

முடிவு ……………………………………………………………………………………………………………….16

இலக்கியம் ……………………………………………………………………… 17

அறிமுகம்.

கணிதத் தூண்டலின் முறையை முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடலாம். நாம் தாழ்ந்த நிலையில் இருந்து தொடங்குகிறோம், தர்க்கரீதியான சிந்தனையின் விளைவாக நாம் உயர்ந்த நிலைக்கு வருகிறோம். மனிதன் எப்பொழுதும் முன்னேற்றத்திற்காக பாடுபடுகிறான், தர்க்கரீதியாக தனது எண்ணங்களை வளர்க்கும் திறனுக்காக, அதாவது இயற்கையே அவனை தூண்டி சிந்திக்கவும், தர்க்கத்தின் அனைத்து விதிகளின்படி மேற்கொள்ளப்பட்ட ஆதாரங்களுடன் அவனது எண்ணங்களை ஆதரிக்கவும் விதித்தது.
தற்போது, கணிதத் தூண்டல் முறையின் பயன்பாட்டின் நோக்கம் வளர்ந்துள்ளது, ஆனால், துரதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் அதற்கு சிறிது நேரம் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் தூண்டுதலாக சிந்திக்க முடிவது மிகவும் முக்கியம்.

கணித தூண்டலின் கொள்கை மற்றும் அதன் ஆதாரம்

கணிதத் தூண்டலின் முறையின் சாராம்சத்திற்கு நாம் திரும்புவோம். பல்வேறு அறிக்கைகளைப் பார்ப்போம். அவை பொதுவானவை மற்றும் குறிப்பிட்டவை எனப் பிரிக்கலாம்.

அனைத்து ரஷ்ய குடிமக்களுக்கும் கல்வி உரிமை உண்டு.

எந்த இணையான வரைபடத்திலும், வெட்டும் புள்ளியில் உள்ள மூலைவிட்டங்கள் இரண்டாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன.

பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடையும் அனைத்து எண்களும் 5 ஆல் வகுபடும்.

குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளின் தொடர்புடைய எடுத்துக்காட்டுகள்:

பெட்ரோவுக்கு கல்வி உரிமை உண்டு.

ஒரு இணையான ஏபிசிடியில், குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியில் மூலைவிட்டங்கள் இரண்டாகப் பிரிகின்றன.

140 என்பது 5 ஆல் வகுபடும்.

பொதுவான அறிக்கைகளிலிருந்து குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளுக்கு மாறுவது கழித்தல் (லத்தீன் மொழியிலிருந்து கழித்தல் - தர்க்க விதிகளின்படி முடிவு).

துப்பறியும் அனுமானத்தின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

அனைத்து ரஷ்ய குடிமக்களுக்கும் கல்வி உரிமை உண்டு. (1)

பெட்ரோவ் ஒரு ரஷ்ய குடிமகன். (2)

பெட்ரோவுக்கு கல்வி உரிமை உண்டு. (3)

பொது அறிக்கையிலிருந்து (1) (2) உதவியுடன் ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கை (3) பெறப்படுகிறது.

குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளிலிருந்து பொதுவானவைகளுக்கு தலைகீழ் மாற்றம் தூண்டல் என்று அழைக்கப்படுகிறது (லத்தீன் மொழியிலிருந்து தூண்டல் - வழிகாட்டல்).

தூண்டல் சரியான மற்றும் தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும்.

இதை இரண்டு உதாரணங்களுடன் விளக்குவோம்.

140 என்பது 5 ஆல் வகுபடும். (1)

பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடையும் அனைத்து எண்களும் 5 ஆல் வகுபடும். (2)

140 என்பது 5 ஆல் வகுபடும். (1)

அனைத்து மூன்று இலக்க எண்களும் 5 ஆல் வகுபடும். (2)

குறிப்பிட்ட அறிக்கையிலிருந்து (1) பொது அறிக்கை (2) பெறப்படுகிறது. அறிக்கை (2) சரியானது.

இரண்டாவது உதாரணம், ஒரு குறிப்பிட்ட கூற்றிலிருந்து (1) ஒரு பொதுவான கூற்று (3) எவ்வாறு பெறப்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது, இருப்பினும் அறிக்கை (3) உண்மையல்ல.

சரியான முடிவுகளை மட்டும் பெற, கணிதத்தில் தூண்டலை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்ளலாம். கணிதத்தில் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாத தூண்டுதலின் பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

லியோனார்ட் யூலரால் கவனிக்கப்பட்ட பின்வரும் வடிவமான P(x) = x 2 + x + 41 இன் இருபடி முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, பி(8) = 113, பி(9) = 131, பி(10) = 151.

ஒவ்வொரு முறையும் முக்கோணத்தின் மதிப்பு ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். பெறப்பட்ட முடிவுகளின் அடிப்படையில், பரிசீலனையில் உள்ள முக்கோணத்தில் x ஐ மாற்றும் போது, எந்த எதிர்மில்லாத முழு எண் எப்போதும் ஒரு பகா எண்ணில் விளைகிறது.

இருப்பினும், எடுக்கப்பட்ட முடிவை நம்பகமானதாக கருத முடியாது. என்ன விஷயம்? விஷயம் என்னவென்றால், x இன் சில மதிப்புகளுக்கு இந்த அறிக்கை உண்மையாக மாறியதன் அடிப்படையில் மட்டுமே பகுத்தறிவு எந்த x தொடர்பான பொதுவான அறிக்கைகளை செய்கிறது.

உண்மையில், டிரினோமியல் P(x) ஐ நெருக்கமாக ஆராய்ந்தால், P(0), P(1), ..., P(39) எண்கள் பகா எண்கள், ஆனால் P(40) = 41 2 என்பது ஒரு கூட்டு எண். . மற்றும் மிகவும் தெளிவாக: P(41) = 41 2 +41+41 என்பது 41 இன் பெருக்கல் ஆகும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், 40 சிறப்பு நிகழ்வுகளில் உண்மையாக இருந்த ஒரு அறிக்கையை நாங்கள் எதிர்கொண்டோம், ஆனால் பொதுவாக நியாயமற்றதாக மாறியது.

இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

17 ஆம் நூற்றாண்டில் வி.ஜி. n 3 - n வடிவத்தின் ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் n எண்கள் 3 இன் பெருக்கல்கள், n 5 - n என்பது 5 இன் பெருக்கல்கள், n 7 - n என்பது 7 இன் பெருக்கல்கள் என்று லீப்னிஸ் நிரூபித்தார். இதன் அடிப்படையில், ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை k க்கும் அவர் முன்மொழிந்தார். மற்றும் இயல் எண் n என்பது n k - n என்பது k இன் பெருக்கல் ஆகும், ஆனால் 2 9 –2 = 510 என்பதை அவர் விரைவில் கவனித்தார், இது வெளிப்படையாக 9 ஆல் வகுபடாது.

பரிசீலிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு முக்கியமான முடிவை எடுக்க அனுமதிக்கின்றன: ஒரு அறிக்கை பல சிறப்பு நிகழ்வுகளில் நியாயமாகவும் அதே நேரத்தில் பொதுவாக நியாயமற்றதாகவும் இருக்கும்.

கேள்வி இயற்கையாகவே எழுகிறது: பல சிறப்பு நிகழ்வுகளில் செல்லுபடியாகும் ஒரு அறிக்கை உள்ளது; அனைத்து சிறப்பு நிகழ்வுகளையும் கருத்தில் கொள்ள இயலாது; இந்தக் கூற்று உண்மையா என்பதை எப்படி அறிவது?

இந்த கேள்வி சில நேரங்களில் கணித தூண்டல் முறை எனப்படும் ஒரு சிறப்பு பகுத்தறிவு முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படும். இந்த முறை அடிப்படையாக கொண்டது கணித தூண்டலின் கொள்கை, பின்வருவனவற்றில் முடிக்கப்பட்டது: எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருந்தால் n:

இது n = 1 க்கு செல்லுபடியாகும்;

சில தன்னிச்சையான இயற்கை எண் n =k க்கான அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் தன்மையிலிருந்து, அது n = k +1 க்கு செல்லுபடியாகும்.

ஆதாரம்.

இதற்கு நேர்மாறானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது ஒவ்வொரு இயல் எண்ணான n க்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்காது. அப்படியானால் மீ என்ற இயல் எண் உள்ளது

n =m க்கான கூற்று உண்மையல்ல,

அனைவருக்கும் n

n = 1க்கான கூற்று உண்மையாக இருப்பதால், m >1 என்பது தெளிவாகிறது (நிபந்தனை 1). எனவே, m -1 என்பது ஒரு இயற்கை எண். இயல் எண்ணான m -1க்கு அறிக்கை உண்மை, ஆனால் அடுத்த இயல் எண்ணான m க்கு இது தவறானது. இது நிபந்தனைக்கு முரணானது 2. இதன் விளைவாக வரும் முரண்பாடு அனுமானம் தவறானது என்பதைக் காட்டுகிறது. இதன் விளைவாக, எந்த இயல் எண் n போன்றவற்றுக்கும் இந்த அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும்.

கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையிலான ஒரு சான்று, கணிதத் தூண்டல் மூலம் ஆதாரம் எனப்படும். அத்தகைய சான்று இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இரண்டு சுயாதீனமான கோட்பாடுகளின் ஆதாரம்.

தேற்றம் 1. அறிக்கை n =1 க்கு செல்லுபடியாகும்.

தேற்றம் 2. கூற்று n =k +1 க்கு செல்லுபடியாகும், அது n=k க்கு செல்லுபடியாகும், இதில் k என்பது தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணாகும்.

இந்த இரண்டு தேற்றங்களும் நிரூபிக்கப்பட்டால், கணிதத் தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில், எந்த ஒரு அறிக்கையும் உண்மையாக இருக்கும்.
இயற்கை n.

கணிதத் தூண்டுதலின் மூலம் நிரூபணம் நிச்சயமாக 1 மற்றும் 2 ஆகிய இரண்டுக்கும் ஆதாரம் தேவை என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும். தேற்றம் 2 இன் புறக்கணிப்பு தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது (எடுத்துக்காட்டுகள் 1-2). தேற்றம் 1 இன் ஆதாரம் எவ்வளவு அவசியம் என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. "தேற்றம்": ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் அடுத்த இயற்கை எண்ணுக்கு சமம்.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் ஆதாரத்தை மேற்கொள்வோம்.

k =k +1 (1) என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

k +1=k +2 (2) என்பதை நிரூபிப்போம். இதைச் செய்ய, "சமத்துவம்" (1) இன் ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் 1 ஐச் சேர்க்கவும் (2). n =k க்கு அறிக்கை உண்மையாக இருந்தால், அது n =k +1., முதலியவற்றிற்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

"தேற்றத்தின்" வெளிப்படையான "தொடர்பு": அனைத்து இயற்கை எண்களும் சமம்.

தவறு என்னவென்றால், கணிதத் தூண்டல் கொள்கையைப் பயன்படுத்துவதற்குத் தேவையான தேற்றம் 1, நிரூபிக்கப்படவில்லை மற்றும் உண்மை இல்லை, மேலும் இரண்டாவது தேற்றம் மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கோட்பாடுகள் 1 மற்றும் 2 சிறப்பு முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை.

தேற்றம் 1 தூண்டலுக்கான அடிப்படையை வழங்குகிறது. தேற்றம் 2 இந்த தளத்தின் வரம்பற்ற தானியங்கி விரிவாக்கத்திற்கான உரிமையை வழங்குகிறது, இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில் இருந்து அடுத்ததாக, n இலிருந்து n +1 க்கு நகரும் உரிமை.

தேற்றம் 1 நிரூபிக்கப்படவில்லை, ஆனால் தேற்றம் 2 நிரூபிக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக, தூண்டலைச் செயல்படுத்துவதற்கான அடிப்படை உருவாக்கப்படவில்லை, பின்னர் தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்துவதில் அர்த்தமில்லை, ஏனெனில், உண்மையில், எதுவும் இல்லை. விரிவடையும்.

தேற்றம் 2 நிரூபிக்கப்படவில்லை, ஆனால் தேற்றம் 1 மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டால், தூண்டலைச் செயல்படுத்துவதற்கான அடிப்படை உருவாக்கப்பட்டிருந்தாலும், இந்த அடிப்படையை விரிவுபடுத்த உரிமை இல்லை.

குறிப்புகள்.

சில நேரங்களில் ஆதாரத்தின் இரண்டாம் பகுதியானது n =k க்கு மட்டுமல்ல, n =k -1 க்கும் அறிக்கையின் செல்லுபடியை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வழக்கில், முதல் பகுதியில் உள்ள அறிக்கை n இன் இரண்டு அடுத்தடுத்த மதிப்புகளுக்கு சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

சில நேரங்களில் ஒரு அறிக்கையானது ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணான n க்கும் அல்ல, ஆனால் n > m க்கு நிரூபிக்கப்படுகிறது, இதில் m என்பது சில முழு எண் ஆகும். இந்த வழக்கில், ஆதாரத்தின் முதல் பகுதியில் அறிக்கை n =m +1 க்கு சரிபார்க்கப்படுகிறது, மேலும் தேவைப்பட்டால், n இன் பல அடுத்தடுத்த மதிப்புகளுக்கு.

சொல்லப்பட்டதைச் சுருக்கமாகச் சொல்வதானால், எங்களிடம் உள்ளது: கணிதத் தூண்டல் முறையானது, ஒரு பொதுச் சட்டத்தைத் தேடும் போது, எழும் கருதுகோள்களைச் சோதிக்கவும், தவறானவற்றை நிராகரிக்கவும், உண்மைகளை உறுதிப்படுத்தவும் அனுமதிக்கிறது.

அனுபவ, சோதனை அறிவியலுக்கான தனிப்பட்ட அவதானிப்புகள் மற்றும் சோதனைகளின் (அதாவது தூண்டல்) முடிவுகளை பொதுமைப்படுத்தும் செயல்முறைகளின் பங்கு அனைவருக்கும் தெரியும். கணிதம் நீண்ட காலமாக முற்றிலும் விலக்கு முறைகளை செயல்படுத்துவதற்கான ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு என்று கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் எல்லா கணித முன்மொழிவுகளும் (ஆரம்பமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டவை - கோட்பாடுகள் தவிர) எப்போதும் மறைமுகமாகவோ அல்லது வெளிப்படையாகவோ கருதப்படுகின்றன, மேலும் இந்த முன்மொழிவுகளின் குறிப்பிட்ட பயன்பாடுகள் பெறப்பட்டவை. பொதுவான வழக்குகளுக்கு ஏற்ற சான்றுகள் (கழித்தல்).

கணிதத்தில் தூண்டல் என்றால் என்ன? இது முற்றிலும் நம்பகத்தன்மையற்ற முறையாகப் புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டுமா, அத்தகைய தூண்டல் முறைகளின் நம்பகத்தன்மைக்கான அளவுகோலை நாம் எவ்வாறு தேட வேண்டும்? அல்லது எந்த ஒரு நிரூபிக்கப்பட்ட உண்மையையும் "சரிபார்ப்பது" நன்றாக இருக்கும் வகையில், சோதனை அறிவியலின் சோதனை பொதுமைப்படுத்தல்களைப் போலவே கணித முடிவுகளின் நம்பகத்தன்மையும் உள்ளதா? உண்மையில் இது அப்படி இல்லை.

ஒரு கருதுகோளுக்கான தூண்டல் (வழிகாட்டுதல்) கணிதத்தில் மிக முக்கியமான, ஆனால் முற்றிலும் ஹூரிஸ்டிக் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது: தீர்வு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை யூகிக்க இது அனுமதிக்கிறது. ஆனால் கணித முன்மொழிவுகள் துப்பறியும் வகையில் மட்டுமே நிறுவப்பட்டுள்ளன. மேலும் கணிதத் தூண்டல் முறையானது முற்றிலும் துப்பறியும் முறையான ஆதாரமாகும். உண்மையில், இந்த முறையால் மேற்கொள்ளப்பட்ட ஆதாரம் இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

"அடிப்படை" என்று அழைக்கப்படுவது ஒன்று (அல்லது பல) இயற்கை எண்களுக்கு தேவையான முன்மொழிவின் விலக்கு ஆதாரமாகும்;

ஒரு பொது அறிக்கையின் துப்பறியும் ஆதாரம் கொண்ட ஒரு தூண்டல் படி. தேற்றம் அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் துல்லியமாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. நிரூபிக்கப்பட்ட அடிப்படையில், எடுத்துக்காட்டாக, எண் 0 க்கு, ஒரு தூண்டல் படி மூலம், எண் 1 க்கு ஒரு ஆதாரத்தைப் பெறுகிறோம், பின்னர் 2 க்கு அதே வழியில், 3 க்கு ... - எனவே அறிக்கையை உறுதிப்படுத்த முடியும். எந்த இயற்கை எண்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "கணித தூண்டல்" என்ற பெயர் பாரம்பரிய தூண்டல் பகுத்தறிவுடன் நம் மனதில் எளிமையாக தொடர்புடையது என்பதன் காரணமாகும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிப்படை உண்மையில் ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது); தூண்டல் படி, இயற்கை மற்றும் சமூக அறிவியலில் தூண்டல் அனுமானங்களின் நம்பகத்தன்மைக்கான அனுபவ அடிப்படையிலான அளவுகோல்களுக்கு மாறாக, எந்தவொரு குறிப்பிட்ட வளாகமும் தேவையில்லை மற்றும் துப்பறியும் பகுத்தறிவின் கடுமையான நியதிகளின்படி நிரூபிக்கப்பட்ட ஒரு பொதுவான அறிக்கையாகும். எனவே, கணிதத் தூண்டல் "முழுமையானது" அல்லது "சரியானது" என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது ஒரு துப்பறியும், முற்றிலும் நம்பகமான ஆதாரமாகும்.

சிக்கல் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இயற்கணிதத்தில் தூண்டல்

இயற்கணித சிக்கல்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகளையும், கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய பல்வேறு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் ஆதாரத்தையும் பார்க்கலாம்.

பிரச்சனை 1. தொகைக்கான சூத்திரத்தை யூகித்து அதை நிரூபிக்கவும்.

A( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + .....+(n +1) n 2 .

தீர்வு.

1. கூட்டுத்தொகை A(n)க்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றவும்:

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 +…. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = B(n) + C(n), இங்கு B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3, C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2.

2. C (n) மற்றும் B (n) தொகைகளைக் கவனியுங்கள்.

அ) சி( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் சிக்கல்களில் ஒன்று, எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் n, சமத்துவம் உள்ளது என்பதை நிரூபிப்பது.

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

அனைத்து n க்கும் (1) உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம்  என்.

பி ) B(n) = 1 3 + 2 3 + .....+ n 3 . n ஐப் பொறுத்து B(n) இன் மதிப்புகள் எவ்வாறு மாறுகின்றன என்பதைக் கவனிப்போம்.

பி(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

எனவே, என்று கருதலாம்
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) இதன் விளைவாக, நாம் பெறும் A(n) தொகைக்கு

A( n) = =

= (*)

3. கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி விளைந்த சூத்திரத்தை (*) நிரூபிப்போம்.

a) n = 1க்கான சமத்துவத்தின் (*) செல்லுபடியை சரிபார்க்கவும்.

A(1) = 2  =2,

வெளிப்படையாக, n = 1க்கான சூத்திரம் (*) சரியானது.

b) n=k க்கு சூத்திரம் (*) சரியானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு k N, அதாவது சமத்துவம் திருப்தி அடையும்

A(k)=

அனுமானத்தின் அடிப்படையில், n =k +1க்கான சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம். உண்மையில்,

A(k+1)=

சூத்திரம் (*) n =1 க்கு உண்மையாக இருப்பதாலும், சில இயற்கையான k க்கு இது உண்மை என்ற அனுமானத்திலிருந்தும், அது n =k +1 க்கு செல்லுபடியாகும், கணித தூண்டல் கொள்கையின் அடிப்படையில் நாம் சமத்துவம் என்று முடிவு செய்கிறோம்

எந்த இயல் எண் n க்கும் உள்ளது.

பணி 2.

கூட்டுத்தொகை 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n ஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

n இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கான தொகைகளின் மதிப்புகளை வரிசையாக எழுதுவோம்.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A (5)=1-2+3-4+5=3, A (6)=1-2+3-4+5-6= -3.

வடிவத்தைக் கவனித்தால், A (n)= - n மற்றும் A (n)= என்று கூடக் கொள்ளலாம்.
ஒற்றைப்படை nக்கு. இரண்டு முடிவுகளையும் ஒரே சூத்திரத்தில் இணைப்போம்:

A(n) =
, n ஐ 2 ஆல் வகுத்தால் r என்பது மீதியாகும்.

மற்றும் ஆர் , பின்வரும் விதியால் தெளிவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது

0 என்றால் n - கூட,

ஆர் =

1 என்றால் n - ஒற்றைப்படை.

பிறகு ஆர்(நீங்கள் யூகிக்க முடியும்) இவ்வாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

இறுதியாக, A(n)க்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

A(n)=

(*)

சமத்துவம் (*) அனைவருக்கும் உள்ளது என்பதை நிரூபிப்போம்  என் கணித தூண்டல் முறை மூலம்.

2. அ) n =1க்கு சமத்துவத்தை (*) சரிபார்ப்போம். A(1) = 1=

சமத்துவம் நியாயமானது

b) சமத்துவம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

உண்மை எப்போது n =k. இது n =k +1 க்கும் உண்மை என்பதை நிரூபிப்போம், அதாவது

A (k +1)=

உண்மையில்,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

கே.இ.டி.

கணித தூண்டல் முறையானது வகுக்கும் தன்மை பிரச்சனைகளை தீர்க்கவும் பயன்படுகிறது.

பணி 3.

N (n)=n 3 + 5n என்ற எண் எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும் 6 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

ஆதாரம்.

மணிக்கு n =1 எண் N (1)=6 எனவே அறிக்கை உண்மை.

சில இயற்கையான kக்கு, எண் N (k )=k 3 +5k 6 ஆல் வகுபடலாம். N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபிப்போம். 6. உண்மையில், எங்களிடம் உள்ளது
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

ஏனெனில் k மற்றும் k +1 ஆகியவை அடுத்தடுத்த இயற்கை எண்கள், பின்னர் அவற்றில் ஒன்று சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே வெளிப்பாடு 3k (k +1) 6 ஆல் வகுபடும். இதனால், N (k +1) 6 ஆல் வகுபடும். முடிவு எண் N (n )=n 3 + 5n எந்த இயற்கை எண்ணிற்கும் 6 ஆல் வகுபடும்.

முழுமையான கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பல முறை பயன்படுத்த வேண்டியிருக்கும் போது, மிகவும் சிக்கலான வகுத்தல் சிக்கலைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பணி 4.

எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் n எண்ணுக்கு என்பதை நிரூபிக்கவும்
2 n +3 என்ற எண்ணால் வகுக்க முடியாது.

ஆதாரம்.

கற்பனை செய்வோம்
ஒரு வேலை வடிவத்தில்
=

= (*)

அனுமானத்தின்படி, (*) இல் உள்ள முதல் காரணி 2 k +3 என்ற எண்ணால் வகுபடாது, அதாவது ஒரு கூட்டு எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தில்
பகா எண்களின் பெருக்கமாக, எண் 2 (k +2) முறைக்கு மேல் திரும்பத் திரும்ப வராது. இவ்வாறு, எண் என்று நிரூபிக்க
2 k +4 ஆல் வகுக்க முடியாது, அதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்
4 ஆல் வகுபடாது.

இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்க, நாங்கள் ஒரு துணை அறிக்கையை நிரூபிக்கிறோம்: எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் 3 2 n +1 என்ற எண் 4 ஆல் வகுபடாது. n = 1 க்கு, 10 ஆனது 4 ஆல் வகுபடாது என்பதால், மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுக்க முடியாது. . 3 2 k +1 என்பது 4 ஆல் வகுபடாது என்ற அனுமானத்தின் கீழ், 3 2(k +1) +1 என்பதும் வகுபடாது என்பதை நிரூபிக்கிறோம்.
மூலம் 4. கடைசி வெளிப்பாட்டை ஒரு தொகையாக முன்வைப்போம்:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . கூட்டுத்தொகையின் இரண்டாவது சொல் 4 ஆல் வகுபடும், ஆனால் முதலாவது வகுபடாது. எனவே, முழுத் தொகையும் மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபடாது. துணை அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது அது தெளிவாகிறது
2 k என்பது இரட்டை எண் என்பதால் 4 ஆல் வகுபடாது.

இறுதியாக அந்த எண்ணைக் கண்டுபிடித்தோம்
எந்த இயற்கை எண்ணான nக்கும் 2 n +3 என்ற எண்ணால் வகுபடாது.

சமத்துவமின்மைக்கான ஆதாரத்திற்கு தூண்டலைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு உதாரணத்தை இப்போது பார்ப்போம்.

பணி 5.

சமத்துவமின்மை 2 n > 2n + 1 எந்த இயற்கை n க்கு உள்ளது?

தீர்வு.

1. எப்போது n =1 2 1< 2*1+1,

மணிக்கு n =2 2 2< 2*2+1,

மணிக்கு n =3 2 3 > 2*3+1,

மணிக்கு n =4 2 4 > 2*4+1.

வெளிப்படையாக, சமத்துவமின்மை எந்த இயற்கை எண் n க்கும் செல்லுபடியாகும்  3. இந்த அறிக்கையை நிரூபிப்போம்.

2. எப்போது n =3 சமத்துவமின்மையின் செல்லுபடியாகும் தன்மை ஏற்கனவே காட்டப்பட்டுள்ளது. இப்போது சமத்துவமின்மை n =k க்கு உண்மையாக இருக்கட்டும், இங்கு k என்பது 3க்குக் குறையாத சில இயற்கை எண்ணாகும், அதாவது.

2 k > 2k +1 (*)

சமத்துவமின்மை n =k +1, அதாவது 2 k +1 >2(k +1)+1 க்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நிரூபிப்போம். (*) ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், 2 k +1 >4k +2 கிடைக்கும். 2(k +1)+1 மற்றும் 4k +2 ஆகிய வெளிப்பாடுகளை ஒப்பிடுவோம்.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. எந்தவொரு இயற்கையான k க்கும் 2k -1>0 என்பது வெளிப்படையானது. பின்னர் 4k +2>2(k +1)+1, அதாவது. 2 k +1 >2(k +1)+1. அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பணி 6.

n எதிர்மறை எண்களின் எண்கணித சராசரி மற்றும் வடிவியல் சராசரிக்கான சமத்துவமின்மை (Cauchy's inequality)., நாம் பெறுகிறோம் =

எண்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இருந்தால்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், சமத்துவமின்மை (**) என்பதும் உண்மை.

முடிவுரை.

வேலை செய்யும் போது, நான் கணித தூண்டல் முறையின் சாராம்சத்தையும் அதன் ஆதாரத்தையும் படித்தேன். வேலை முழுமையற்ற தூண்டல் ஒரு முக்கிய பங்கைக் கொண்டிருந்த சிக்கல்களை முன்வைக்கிறது, இது சரியான தீர்வுக்கு வழிவகுத்தது, பின்னர் கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட ஆதாரம் வழங்கப்படுகிறது.

இலக்கியம்.

போல்டியன்ஸ்கி வி.ஜி., சிடோரோவ் யு.வி., ஷபுரின் எம்.ஐ. தொடக்கக் கணிதத்தில் விரிவுரைகள் மற்றும் சிக்கல்கள்; அறிவியல், 1974.

விலென்கின் என்.யா. , ஷ்வார்ட்ஸ்பர்ட் எஸ்.ஐ. கணித பகுப்பாய்வு.-
எம்.: கல்வி, 1973.

கலிட்ஸ்கி எம்.எல்., மோஷ்கோவிச் எம்.எம்., ஷ்வார்ட்ஸ்பர்ட் எஸ்.ஐ. இயற்கணிதம் மற்றும் கணிதப் பகுப்பாய்வின் ஆழமான ஆய்வு - எம்.: கல்வி, 1990.

பொட்டாபோவ் எம்.கே., அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் வி.வி., பாசிசென்கோ பி.ஐ. இயற்கணிதம் மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு - எம்.: நௌகா, 1980.

சோமின்ஸ்கி ஐ.எஸ்., கோலோவினா எம்.எல்., யக்லோம் ஐ.எம். கணிதத் தூண்டலில் - எம்.: நௌகா, 1967.

கணிதத்தின் பல கிளைகளில், ஒரு அறிக்கையின் உண்மையை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம், அதாவது. அறிக்கையின் உண்மை p(n)" nஆன் (எதற்கும் nஆன் p(n)வலது).

இதை அடிக்கடி நிரூபிக்க முடியும் கணித தூண்டல் முறை மூலம்.

இந்த முறை கணித தூண்டல் கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது வழக்கமாக எண்கணிதத்தின் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, எனவே ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. கணித தூண்டலின் கொள்கையின்படி, வாக்கியம் p(n)இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மாறியின் அனைத்து இயற்கை மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகக் கருதப்படுகிறது:

1. சலுகை p(n)உண்மை n= 1.

2. என்ற வாக்கியத்திலிருந்து p(n)உண்மை n =கே (கே -தன்னிச்சையான இயற்கை எண்) இது உண்மை என்று பின்தொடர்கிறது n =கே+ 1.

கணிதத் தூண்டல் முறை என்பது பின்வரும் சான்று முறைகளைக் குறிக்கிறது

1. அறிக்கையின் உண்மையைச் சரிபார்க்கவும் n= 1 - தூண்டலின் அடிப்படை.

2. அறிக்கை உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம் n = k -தூண்டல் கருதுகோள்.

3. அதுவும் உண்மை என்று நிரூபிக்கிறார்கள் n =கே+ 1 தூண்டல் சந்திப்பு.

சில நேரங்களில் ஒரு பரிந்துரை p(n)எல்லா இயற்கைக்கும் உண்மையாக இருக்காது n, மற்றும் சிலவற்றிலிருந்து தொடங்குகிறது n = n 0. இந்த வழக்கில், உண்மை p(n)மணிக்கு n = n 0.

எடுத்துக்காட்டு 1.விடுங்கள் . என்பதை நிரூபியுங்கள்

1. தூண்டல் அடிப்படை: மணிக்கு n= 1 வரையறையின்படி எஸ் 1 = 1 மற்றும் சூத்திரத்தின் படி நாம் ஒரு முடிவைப் பெறுகிறோம். கூற்று உண்மைதான்.

n = kமற்றும் .

n = k+ 1. அதை நிரூபிப்போம்.

உண்மையில், தூண்டல் அனுமானத்தின் மூலம்

இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்

தூண்டல் மாற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கருத்து.என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (இண்டக்டிவ் கருதுகோள்) மற்றும் நிரூபிக்க வேண்டியதை எழுதுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும்!

எடுத்துக்காட்டு 2.நிரூபிக்க

1. தூண்டலின் அடிப்படை. மணிக்கு n= 1, கூற்று வெளிப்படையாக உண்மை.

2. தூண்டல் கருதுகோள். விடுங்கள் n = kமற்றும்

3. தூண்டல் மாற்றம். விடுங்கள் n = k+ 1. நிரூபிப்போம்:

உண்மையில், இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக வலது பக்கத்தை வகுப்போம்:

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான தூண்டல் அனுமானம் மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி: , நாங்கள் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்கவும்

1. இந்த வழக்கில் தூண்டுதலின் அடிப்படையானது அறிக்கையின் உண்மையைச் சரிபார்க்கிறது, அதாவது. சமத்துவமின்மையை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையை சதுரப்படுத்தினால் போதும்: அல்லது 63< 64 – неравенство верно.

2. சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கட்டும், அதாவது.

3. நிரூபிப்போம்:

தூண்டல் அனுமானத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

நிரூபிக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கம் எப்படி இருக்க வேண்டும் என்பதை அறிந்து, இந்த பகுதியை முன்னிலைப்படுத்துவோம்

கூடுதல் காரணி ஒன்றுக்கு மேல் இல்லை என்பதை நிறுவ உள்ளது. உண்மையில்,

எடுத்துக்காட்டு 4.எந்தவொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் எண் இலக்கத்தில் முடிவடைகிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

1. அறிக்கை உண்மையாக இருக்கும் மிகச்சிறிய இயல் எண் க்கு சமம். .

2. எண்ணில் முடியட்டும். இதன் பொருள் இந்த எண்ணை வடிவத்தில் எழுதலாம் , சில இயற்கை எண் இருக்கும். பிறகு .

3. விடுங்கள். இல் முடிகிறது என்பதை நிரூபிப்போம். பெறப்பட்ட பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

கடைசி எண்ணில் சரியாக எண்கள் உள்ளன.

விண்ணப்பம்

1.4 கணித தூண்டல் முறை

உங்களுக்குத் தெரியும், கணித அறிக்கைகள் (தேற்றங்கள்) உறுதிப்படுத்தப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். நாம் இப்போது நிரூபணமான முறைகளில் ஒன்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம் - கணிதத் தூண்டல் முறை.

ஒரு பரந்த பொருளில், தூண்டல் என்பது பகுத்தறிவின் ஒரு முறையாகும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளிலிருந்து பொதுவானவைகளுக்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது. பொது அறிக்கைகளிலிருந்து குறிப்பிட்ட அறிக்கைகளுக்கு தலைகீழ் மாற்றம் கழித்தல் எனப்படும்.

கழித்தல் எப்போதும் சரியான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான முடிவை நாங்கள் அறிவோம்: பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடையும் அனைத்து முழு எண்களும் 5 ஆல் வகுபடும். இதிலிருந்து, நிச்சயமாக, 0 இல் முடிவடையும் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட எண்ணையும், எடுத்துக்காட்டாக 180, 5 ஆல் வகுபடும் என்று முடிவு செய்யலாம்.

அதே நேரத்தில், தூண்டல் தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 60 என்ற எண் 1, 2, 3, 4, 5, 6 ஆகிய எண்களால் வகுக்கப்படுவதைக் கவனிக்கும்போது, 60 எந்த எண்ணாலும் வகுபடும் என்று முடிவு செய்ய நமக்கு உரிமை இல்லை.

கணிதத் தூண்டல் முறையானது, பல சந்தர்ப்பங்களில், P(n) என்ற பொது அறிக்கையின் செல்லுபடியை கண்டிப்பாக நிரூபிக்க அனுமதிக்கிறது.

முறையின் பயன்பாடு 3 நிலைகளை உள்ளடக்கியது.

1) தூண்டுதலின் அடிப்படை: n = 1 க்கான P(n) அறிக்கையின் செல்லுபடியை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம் (அல்லது மற்றொன்றுக்கு, n இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பு, P(n) இன் செல்லுபடியாகும் எனக் கருதப்படுகிறது).

2) தூண்டல் அனுமானம்: n = k க்கு P(n) செல்லுபடியாகும் என்று கருதுகிறோம்.

3) தூண்டல் படி: அனுமானத்தைப் பயன்படுத்தி, n = k + 1 க்கு P(n) செல்லுபடியாகும் என்பதை நிரூபிக்கிறோம்.

இதன் விளைவாக, எந்த n ∈ N க்கும் P(n) செல்லுபடியாகும் என்று முடிவு செய்யலாம். உண்மையில், n = 1 க்கு அறிக்கை உண்மை (தூண்டலின் அடிப்படை). எனவே, இது n = 2 க்கும் பொருந்தும், ஏனெனில் n = 1 இலிருந்து n = 2 க்கு மாறுவது நியாயமானது (தூண்டல் படி). தூண்டல் படியை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம், n = 3, 4, 5, க்கு P(n) இன் செல்லுபடியை பெறுகிறோம். . ., அதாவது, அனைத்து nக்கும் P(n) இன் செல்லுபடியாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 14. முதல் n ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை n2: 1 + 3 + 5 + …

+ (2n - 1) = n2.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் ஆதாரத்தை மேற்கொள்வோம்.

1) அடிப்படை: n=1 உடன் இடதுபுறத்தில் ஒரே ஒரு சொல் உள்ளது, நமக்கு கிடைக்கும்: 1 = 1.

கூற்று உண்மைதான்.

2) அனுமானம்: சில k க்கு சமத்துவம் உண்மை என்று கருதுகிறோம்: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2.

ஷாட்களின் போது வெற்றிகளின் நிகழ்தகவு பற்றிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

சிக்கலின் பொதுவான உருவாக்கம் பின்வருமாறு:

ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு $p$ ஆகும். $n$ ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன. இலக்கை சரியாக $k$ முறை தாக்குவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் ($k$ வெற்றிகள் இருக்கும்).

நாங்கள் பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k).

இங்கே $C_n^k$ என்பது $n$ மற்றும் $k$ சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை.

பிரச்சனை பல அம்புகளை உள்ளடக்கியிருந்தால் வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகள்இலக்கைத் தாக்குவது, கோட்பாடு, எடுத்துக்காட்டு தீர்வுகள் மற்றும் கால்குலேட்டரை இங்கே காணலாம்.

வீடியோ டுடோரியல் மற்றும் எக்செல் டெம்ப்ளேட்

பெர்னோலி ஷாட் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது குறித்த எங்கள் வீடியோவைப் பார்த்து, பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்க்க எக்செல் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறியவும்.

வீடியோவிலிருந்து எக்செல் கணக்கீடு கோப்பை இலவசமாக பதிவிறக்கம் செய்து உங்கள் பிரச்சனைகளை தீர்க்க பயன்படுத்தலாம்.

தொடர்ச்சியான ஷாட்களில் இலக்கைத் தாக்குவது தொடர்பான சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

சில பொதுவான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 7 முறை துப்பாக்கிச் சூடு நடத்தினார். ஒரு ஷாட் அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.705 ஆகும். சரியாக 5 வெற்றிகள் இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

சிக்கலில் மீண்டும் மீண்டும் சுயாதீன சோதனைகள் (ஒரு இலக்கை நோக்கி ஷாட்கள்), மொத்தம் $n=7$ ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன, ஒவ்வொரு $p=0.705$க்கும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு, $q=1 தவறியதற்கான நிகழ்தகவு -p=1-0.705=0.295 $.

சரியாக $k=5$ ஹிட்ஸ் இருக்கும் என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாங்கள் எல்லாவற்றையும் சூத்திரத்தில் (1) மாற்றி, பெறுகிறோம்: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$

எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.4 ஆகும்.

இலக்கை நோக்கி நான்கு சுதந்திரமான ஷாட்கள் சுடப்படுகின்றன. இலக்கில் குறைந்தபட்சம் ஒரு வெற்றி இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நாங்கள் சிக்கலைப் படித்து அளவுருக்களை எழுதுகிறோம்: $n=4$ (ஷாட்), $p=0.4$ (ஒரு வெற்றியின் நிகழ்தகவு), $k \ge 1$ (குறைந்தது ஒரு வெற்றி இருக்கும்).

எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (ஒரு வெற்றியும் இல்லை):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 .6 ^4 =1- 0.6^4=1- 0.13=0.87. $$

நான்கில் ஒரு முறையாவது அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.87 அல்லது 87% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும்.

6 ஷாட்கள் மூலம் இலக்கை மூன்று முதல் ஆறு முறை தாக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

முந்தைய சிக்கல்களைப் போலல்லாமல், வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (மற்றும் சில எண்ணிக்கைக்கு சரியாகச் சமமாக இல்லை) இருக்கும் நிகழ்தகவை இங்கே நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஆனால் அதே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இலக்கை மூன்று முதல் ஆறு முறை தாக்குவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது 3, அல்லது 4, அல்லது 5, அல்லது 6 வெற்றிகள் இருக்கும்.

இந்த நிகழ்தகவுகளை சூத்திரம் (1) பயன்படுத்தி கணக்கிடுகிறோம்:

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001.

நிகழ்வுகள் பொருந்தாததால், நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6 )=$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$

எடுத்துக்காட்டு 4.நான்கு ஷாட்கள் மூலம் இலக்கை குறைந்தபட்சம் ஒரு வெற்றியின் நிகழ்தகவு 0.9984 ஆகும். ஒரே ஷாட்டில் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

ஒரே ஷாட்டில் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவைக் குறிப்போம். ஒரு நிகழ்வை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
$A = $ (நான்கு ஷாட்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இலக்கைத் தாக்கும்),
அத்துடன் எதிர் நிகழ்வை இவ்வாறு எழுதலாம்:
$\overline(A) = $ (எல்லா 4 ஷாட்களும் இலக்கைத் தவறவிடும், ஒரு வெற்றி கூட இல்லை).

$A$ நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம்.

அறியப்பட்ட மதிப்புகளை எழுதுவோம்: $n=4$, $P(A)=0.9984$. சூத்திரத்தில் (1) மாற்றீடு செய்து பெறவும்:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-ப)^4=0.9984.

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

$$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$

எனவே, ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும்.

படித்து மற்றவர்களுடன் பகிர்ந்து கொண்டதற்கு நன்றி.

பயனுள்ள இணைப்புகள்

தீர்வியில் தயாராக உள்ள சிக்கல்களைக் கண்டறியவும்:

பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஆன்லைன் கணக்கீடுகள்

கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

கணிதத்தில் சமத்துவமின்மை என்பது அனைத்து சமன்பாடுகளையும் குறிக்கிறது, அங்கு "=" என்பது பின்வரும் குறியீடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றால் மாற்றப்படும்: \[>\]\[\geq\]\[

* நேரியல்;

* சதுரம்;

* பகுதியளவு;

* அறிகுறி;

* முக்கோணவியல்;

* மடக்கை.

இதைப் பொறுத்து, ஏற்றத்தாழ்வுகள் நேரியல், பகுதி, முதலியன அழைக்கப்படுகின்றன.

இந்த அறிகுறிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும்:

* (>) ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ உள்ள சமத்துவமின்மைகள்

* \[\geq\] ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் சமத்துவமின்மைகள் [\leq\] ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

* ஐகான் ஒரே \[\ne\] இல்லை, ஆனால் இந்த ஐகானைக் கொண்டு எல்லா நேரங்களிலும் வழக்குகளைத் தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்.

இத்தகைய சமத்துவமின்மை அடையாள மாற்றங்களின் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

ஆன்லைன் சமன்பாட்டிற்கான முழுமையான தீர்வைத் தீர்ப்பதற்கான எங்கள் கட்டுரையையும் படிக்கவும்

பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

நாம் அதை ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைப் போலவே தீர்க்கிறோம், ஆனால் சமத்துவமின்மை அடையாளம் குறித்து கவனமாக இருக்க வேண்டும்.

முதலில் நாம் சொற்களை அறியாதவற்றிலிருந்து இடது பக்கம், தெரிந்ததிலிருந்து வலப்புறம், குறியீடுகளை மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு பக்கங்களையும் -4 ஆல் பிரித்து, சமத்துவமின்மை அடையாளத்தை மாற்றியமைக்கிறோம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கான பதில் இதுதான்.

இணையத்தில் சமத்துவமின்மையை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

எங்கள் வலைத்தளமான pocketteacher.ru இல் நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம்.

பெர்னோலி சமத்துவமின்மை கால்குலேட்டர்

சில நொடிகளில், இலவச ஆன்லைன் மீட்பு தீர்வு எந்த சிக்கலான ஆன்லைன் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் மீட்புப் பணியில் உங்கள் விவரங்களை உள்ளிடுவதுதான். நீங்கள் வீடியோ வழிமுறைகளைப் பார்க்கலாம் மற்றும் எங்கள் இணையதளத்தில் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறியலாம்.

உங்களிடம் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எங்கள் Vkontakte குழுவில் கேட்கலாம்: பாக்கெட்டீச்சர். எங்கள் குழுவில் சேரவும், உங்களுக்கு உதவ நாங்கள் மகிழ்ச்சியடைவோம்.

முழுமையான கணிதத் தூண்டலின் முறை

சமன்பாடுகள்/வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வேறுபாட்டை உள்ளிடவும்.
சமன்பாடு:

கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, பல்வேறு சிக்கலான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

கணித தூண்டல் மூலம் நிரூபிக்கவும். கணிதத் தூண்டலின் முறை மற்றும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான அதன் பயன்பாடு

தூண்டல் மற்றும் கழித்தல்.

கணித தூண்டல் முறை.

கணித தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சான்றுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

அறிமுகம்.

கணித தூண்டலின் கொள்கை மற்றும் அதன் ஆதாரம்

இயற்கணிதத்தில் தூண்டல்

பணி 6.

முடிவுரை.

இலக்கியம்.

ஷாட்களின் போது வெற்றிகளின் நிகழ்தகவு பற்றிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

வீடியோ டுடோரியல் மற்றும் எக்செல் டெம்ப்ளேட்

தொடர்ச்சியான ஷாட்களில் இலக்கைத் தாக்குவது தொடர்பான சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

பயனுள்ள இணைப்புகள்

கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

இணையத்தில் சமத்துவமின்மையை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

பெர்னோலி சமத்துவமின்மை கால்குலேட்டர்

முழுமையான கணிதத் தூண்டலின் முறை

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

வேறுபாட்டை உள்ளிடவும். சமன்பாடு:

தீர்க்கக்கூடிய வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

வேறுபாட்டை உள்ளிடவும்.
சமன்பாடு: