எதிர்மறை மதிப்புக்கான பாகுபாடு. உயர் பாரபட்சமான ஒழுங்கு

IN நவீன சமுதாயம்ஒரு மாறி ஸ்கொயர் கொண்ட சமன்பாடுகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறன் செயல்பாட்டின் பல பகுதிகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானங்கள் மற்றும் ஏவுகணைகளின் வடிவமைப்பில் இதற்கான சான்றுகள் உள்ளன. இத்தகைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, விண்வெளிப் பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு வகையான உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுகள் இருபடி சமன்பாடுகள்பொருளாதார முன்னறிவிப்பு, கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஹைகிங் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் வாங்கும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றில்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (ஒரு இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). வலதுபுறத்தில் உள்ள இவை அனைத்தும் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் கூறு 2 ஐத் தவிர்த்து, அதன் கூறுகளில் ஒன்று இல்லாதபோது, ​​அது முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும். இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிதில் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய மாறிகளின் மதிப்புகள் முதலில் கருதப்பட வேண்டும்.

வலதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டில் இரண்டு சொற்கள் இருக்கும் வகையில் வெளிப்பாடு இருந்தால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, x ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி, அடைப்புக்குறிக்குள் மாறியை வைப்பதாகும். இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). அடுத்து, x=0 அல்லது சிக்கல் பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறியைக் கண்டறிவதில் வரும் என்பது தெளிவாகிறது: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன் அவற்றில் ஒன்று இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

உதாரணமாக

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செல்வாக்கின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றமாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து நகரத் தொடங்கியது. இங்கே கணிதக் குறியீடு எடுக்கிறது பின்வரும் படிவம்: y = v 0 t + gt 2/2. தேவையான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்வதன் மூலம் மற்றும் தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலம், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கடந்து செல்லும் நேரத்தையும், பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை இன்னும் அதிகமாக தீர்க்க உதவுகிறது கடினமான வழக்குகள். இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

X 2 - 33x + 200 = 0

இது இருபடி முக்கோணம்முழுமையானது. முதலில், வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணியாக்குவோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x+1), (x-3) மற்றும் (x+ 3)

இதன் விளைவாக, அது தெளிவாகிறது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுமூன்று வேர்கள் உள்ளன: -3; -1; 3.

சதுர வேர்

மற்றொரு வழக்கு முழுமையற்ற சமன்பாடுஇரண்டாவது வரிசை என்பது எழுத்துகளின் மொழியில் குறிப்பிடப்படும் வெளிப்பாடாகும், இது வலது பக்கம் கோடாரி 2 மற்றும் c கூறுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்படுகிறது. இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் மாற்றப்படுகிறது வலது பக்கம், அதன் பிறகு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் நாம் பிரித்தெடுக்கிறோம் சதுர வேர். இந்த வழக்கில் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்கு என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக இருக்கும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலப்பரப்பின் கணக்கீடு

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியமாக தீர்மானிக்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் தீர்மானிக்கப்பட்டது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாக உள்ளது. தளத்தின் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தொடங்குவதற்கு, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பகுதியின் அகலத்தை x ஆல் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x+16) இருக்கும். எழுதப்பட்டவற்றிலிருந்து, பகுதி x(x+16) என்ற வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, 612 ஆகும். இதன் பொருள் x(x+16) = 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு சரியாக உள்ளது, அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே வெவ்வேறு முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம் தோற்றம்இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அங்கு a=1, b=16, c=-612.

ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே திட்டத்தின் படி தேவையான கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை அளவு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் தேவையான அளவுகளை கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், அளவை தீர்மானிக்கிறது சாத்தியமான விருப்பங்கள். D>0 எனில், அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது இதற்கு சமம்: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு பதில் உள்ளது என்று தெரிவிக்கிறது. உங்களுக்கு k தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் பரிமாணங்களை எதிர்மறையான அளவுகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ +16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18)=104(மீ2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்கள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் பலவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விரிவான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் நகர்த்துவோம் இடது பக்கம்சமத்துவம், நாம் ஒரு மாற்றத்தைச் செய்வோம், அதாவது சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பெறுவோம், இது பொதுவாக நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்து, நாம் பாகுபாட்டைத் தீர்மானிக்கிறோம்: D = 49 - 48 = 1. இதன் பொருள் நமது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுவோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 க்கும், இரண்டாவது 1 க்கும் சமமாக இருக்கும்.

2) இப்போது வேறு வகையான மர்மங்களைத் தீர்ப்போம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 வேர்கள் உள்ளதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? ஒரு விரிவான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய வழக்கமான வடிவத்திற்குக் குறைத்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இது சிக்கலின் சாராம்சம் அல்ல. இந்த வழக்கில், D = 16 - 20 = -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. அவர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்தவர் மற்றும் அவரது கணிதத் திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி தெரிவிக்கும் வகையில் ஒரு சிறந்த வாழ்க்கையை உருவாக்கினார். அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

பிரபல பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களின் அடிப்படையில் -p=b/a ஐக் கூட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a உடன் ஒத்துள்ளது என்பதை அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x 2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம், இது பின்வருவனவற்றைக் கொடுக்கும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7, அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, இந்த மாறி மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துமா என்பதை உறுதி செய்வோம்.

பரவளைய வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் செயல்பாடு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான உதாரணங்கள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு வரைபடமாக வரையப்பட்ட அத்தகைய உறவு, பரவளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளிப்படும் புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடி சமன்பாடுகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை வரைகலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b/2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது பரவளையத்தின் உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு, இது ஆர்டினேட் அச்சுக்கு சொந்தமானது.

abscissa அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைப் பார்ப்போம். 0 எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுத்தால் மட்டுமே a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து நீங்கள் வேர்களையும் தீர்மானிக்கலாம். இதற்கு நேர்மாறாகவும் உள்ளது. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்து, வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பழைய நாட்களில் அவை கணிதக் கணக்கீடுகளை மட்டும் செய்யவில்லை மற்றும் வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை தீர்மானித்தன. இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறைகளில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தத்திற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. எந்தவொரு நவீன பள்ளிக்குழந்தைக்கும் தெரிந்த மற்ற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த பௌதயாமா முனிவர் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கினார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தத்திற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

இருபடி சமன்பாடுகள் போன்ற பாகுபாடு 8 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் படிக்கத் தொடங்குகிறது. நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு பாகுபாடு மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம். இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் முறை மற்றும் பாகுபாடான சூத்திரங்கள், உண்மையான கல்வியில் பல விஷயங்களைப் போலவே பள்ளி மாணவர்களுக்கு தோல்வியுற்றது. எனவே, பள்ளி ஆண்டுகள் கடந்து செல்கின்றன, 9-11 ஆம் வகுப்புகளில் கல்வி "உயர் கல்வி" மூலம் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் எல்லோரும் மீண்டும் பார்க்கிறார்கள் - "ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?", "சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?", "பாகுபாடு காண்பதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?" மற்றும்...

பாகுபாடு சூத்திரம்

a*x^2+bx+c=0 இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D என்பது D=b^2–4*a*c க்கு சமம்.
இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (தீர்வுகள்) பாகுபாட்டின் (D) அடையாளத்தைப் பொறுத்தது:
D>0 - சமன்பாடு 2 வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது;
D=0 - சமன்பாட்டில் 1 ரூட் உள்ளது (2 பொருந்தும் வேர்கள்):
டி<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
பாகுபாடு காட்டுபவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது, எனவே பல இணையதளங்கள் ஆன்லைன் பாரபட்சமான கால்குலேட்டரை வழங்குகின்றன. இதுபோன்ற ஸ்கிரிப்ட்களை நாங்கள் இன்னும் கண்டுபிடிக்கவில்லை, எனவே இதை எப்படி செயல்படுத்துவது என்று யாருக்காவது தெரிந்தால், மின்னஞ்சல் மூலம் எங்களுக்கு எழுதவும் இந்த மின்னஞ்சல் முகவரி ஸ்பேம்போட்களிலிருந்து பாதுகாக்கப்படுகிறது. அதைப் பார்க்க நீங்கள் ஜாவாஸ்கிரிப்ட் இயக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும். .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான சூத்திரம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்
ஒரு சதுர மாறியின் குணகம் ஜோடியாக இருந்தால், பாகுபாடு அல்ல, அதன் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடுவது நல்லது.
இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன

வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான இரண்டாவது வழி வியட்டாவின் தேற்றம்.

தேற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமல்ல, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இதை நீங்கள் விக்கிபீடியா அல்லது பிற மின்னணு ஆதாரங்களில் படிக்கலாம். இருப்பினும், எளிமைப்படுத்த, மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிய பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது, வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் (a=1)
வியட்டாவின் சூத்திரங்களின் சாராம்சம் என்னவென்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மாறியின் குணகத்திற்கு சமம் எதிர் அடையாளம். சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். வியட்டாவின் தேற்றத்தை சூத்திரங்களில் எழுதலாம்.
வியட்டாவின் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையானது. எளிய காரணிகள் மூலம் இருபடிச் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தனித்துவமான அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் எளிமையானவை. வேர்களின் மாடுலஸில் உள்ள வேறுபாடு அல்லது வேர்களின் மாடுலியில் உள்ள வேறுபாடு 1, 2 ஆக இருக்கும் போது வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி பின்வரும் சமன்பாடுகள் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.




சமன்பாடு 4 வரை, பகுப்பாய்வு இப்படி இருக்க வேண்டும். சமன்பாட்டின் வேர்களின் பெருக்கல் 6 ஆகும், எனவே வேர்கள் மதிப்புகள் (1, 6) மற்றும் (2, 3) அல்லது எதிர் அறிகுறிகளுடன் ஜோடிகளாக இருக்கலாம். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7 (எதிர் குறியுடன் மாறியின் குணகம்). இங்கிருந்து இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் x=2; x=3.
இலவச காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிதானது, வியட்டா சூத்திரங்களை நிறைவேற்ற அவற்றின் அடையாளத்தை சரிசெய்கிறது. முதலில், இதைச் செய்வது கடினம் என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் பல இருபடி சமன்பாடுகளில் நடைமுறையில், இந்த நுட்பம் பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடுவதை விடவும், இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை கிளாசிக்கல் வழியில் கண்டுபிடிப்பதை விடவும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் பாகுபாடு மற்றும் முறைகளைப் படிக்கும் பள்ளிக் கோட்பாடு நடைமுறை அர்த்தம் இல்லாதது - "பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஏன் இருபடி சமன்பாடு தேவை?", "பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் உடல் அர்த்தம் என்ன?"

அதை கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம் பாகுபாடு காட்டுபவர் என்ன விவரிக்கிறார்?

அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் அவர்கள் செயல்பாடுகள், செயல்பாடுகளைப் படிப்பதற்கான திட்டங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்குதல் ஆகியவற்றைப் படிக்கிறார்கள். அனைத்து செயல்பாடுகளிலும், பரவளையம் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளது, அதன் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதலாம்.
எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் இயற்பியல் பொருள் பரவளையத்தின் பூஜ்ஜியங்கள் ஆகும், அதாவது, அப்சிஸ்ஸா அச்சு ஆக்ஸுடன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்.
கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள பரவளையங்களின் பண்புகளை நினைவில் கொள்ளுமாறு கேட்டுக்கொள்கிறேன். தேர்வுகள், சோதனைகள் அல்லது நுழைவுத் தேர்வுகளை எடுக்க வேண்டிய நேரம் வரும், மேலும் குறிப்புப் பொருட்களுக்கு நீங்கள் நன்றியுள்ளவர்களாக இருப்பீர்கள். ஸ்கொயர்டு மாறியின் அடையாளம், வரைபடத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் கிளைகள் மேலே செல்லுமா (a>0),

அல்லது கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையம் (அ<0) .

பரவளையத்தின் உச்சி வேர்களுக்கு நடுவில் உள்ளது

பாகுபாடு காண்பவரின் உடல் பொருள்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட (D>0) அதிகமாக இருந்தால், பரவளையமானது ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (D=0) உச்சியில் உள்ள பரவளையம் x- அச்சைத் தொடும்.
மற்றும் கடைசி வழக்கு, போது பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக(டி<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் மட்டுமே தீர்க்கப்படுகின்றன, மற்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற கட்டுரையில் காணலாம்.

எந்த இருபடி சமன்பாடுகள் முழுமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன? இது கோடாரி 2 + b x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், குணகங்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாம் பாகுபாடு D ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் மதிப்பைப் பொறுத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் (டி< 0),то корней нет.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், x = (-b)/2a. பாகுபாடு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் போது (D > 0),

பின்னர் x 1 = (-b - √D)/2a, மற்றும் x 2 = (-b + √D)/2a.

உதாரணத்திற்கு. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

பதில்: 2.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

பதில்: – 3.5; 1.

எனவே படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை கற்பனை செய்வோம்.

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம். நீங்கள் தான் கவனமாக இருக்க வேண்டும் சமன்பாடு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட்டது நிலையான பார்வை

ஏ x 2 + bx + c,இல்லையெனில் நீங்கள் தவறு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3 + 2x 2 = 0 சமன்பாட்டை எழுதும்போது, ​​நீங்கள் அதை தவறாக முடிவு செய்யலாம்.

a = 1, b = 3 மற்றும் c = 2. பிறகு

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 பின்னர் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் இது உண்மையல்ல. (மேலே உதாரணம் 2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்படாவிட்டால், முதலில் முழுமையான இருபடி சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட வேண்டும் (பெரிய அடுக்குடன் கூடிய மோனோமியல் முதலில் வர வேண்டும், அதாவது ஏ x 2 , பின்னர் குறைவாக – bxபின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர் உடன்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை இரண்டாவது காலப்பகுதியில் சம குணகம் கொண்ட இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மற்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரங்களைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம். ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது காலத்தின் குணகம் சமமாக (b = 2k) இருந்தால், படம் 2 இல் உள்ள வரைபடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடு இல் குணகம் இருந்தால் குறைக்கப்படும் x 2 ஒன்றுக்கு சமம் மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது x 2 + px + q = 0. அத்தகைய சமன்பாட்டை தீர்க்க கொடுக்கலாம் அல்லது சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறலாம். ஏ, நின்று x 2 .

குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தை படம் 3 காட்டுகிறது
சமன்பாடுகள். இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3x 2 + 6x – 6 = 0.

படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3

இந்த சமன்பாட்டில் x இன் குணகம் ஒரு இரட்டை எண்ணாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம், அதாவது, b = 6 அல்லது b = 2k, எங்கிருந்து k = 3. பிறகு D உருவப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் கவனித்து, வகுத்தலைச் செய்தால், குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 + 2x – 2 = 0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
சமன்பாடுகள் படம் 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம். எனவே, படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களை முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், எந்தவொரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் நீங்கள் எப்போதும் தீர்க்க முடியும்.

இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

முழு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில், மிகவும் விரிவான தலைப்புகளில் ஒன்று இருபடி சமன்பாடுகளின் தலைப்பு. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு எனப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இதில் a ≠ 0 (படிக்க: x ஆல் பெருக்கப்படும் x x கூட்டல் ce ஆனது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், அங்கு a இல்லை. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). இந்த வழக்கில், குறிப்பிட்ட வகையின் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களால் முக்கிய இடம் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் வெளிப்பாடாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அத்துடன் அவற்றின் எண் (ஏதேனும் இருந்தால்).

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டின் சூத்திரம் (சமன்பாடு).

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டிற்கான பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட சூத்திரம் பின்வருமாறு: D = b 2 – 4ac. குறிப்பிடப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், இருபடி சமன்பாட்டின் இருப்பு மற்றும் வேர்களின் எண்ணிக்கையை மட்டும் தீர்மானிக்க முடியாது, ஆனால் இந்த வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு முறையையும் தேர்வு செய்யலாம், இதில் இருபடி சமன்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து பல உள்ளன.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் என்ன அர்த்தம் \ பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

பாகுபாடு, சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு, குறிக்கப்படுகிறது லத்தீன் எழுத்து D. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​கோடாரி 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு, ≠ 0, ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. . பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது மட்டுமே இந்த சூத்திரம் பொருந்தும்: x = –b/2a, இங்கு x என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர், b மற்றும் a ஆகியவை இருபடிச் சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய மாறிகள். இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிய, b மாறியின் எதிர்மறை மதிப்பை a மாறியின் மதிப்பை விட இரு மடங்கு ஆல் வகுக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வெளிப்படும் வெளிப்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக இருக்கும்.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்ப்பது

மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாரபட்சத்தைக் கணக்கிடும் போது, ​​நேர்மறை மதிப்பு (D என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகம்) பெறப்பட்டால், இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அவை பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. பெரும்பாலும், பாகுபாடு தனித்தனியாக கணக்கிடப்படுவதில்லை, ஆனால் ஒரு பாகுபாடு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் உள்ள தீவிர வெளிப்பாடு வெறுமனே ரூட் பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பு D இல் மாற்றப்படுகிறது. b மாறி சம மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட, a ≠ 0, நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்தலாம்: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, இங்கு k = b/2.

சில சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடுகளை நடைமுறையில் தீர்க்க, நீங்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது x 2 + px + q = 0 என்ற வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு x 1 + x 2 = –p உண்மையாக இருக்கும், மேலும் குறிப்பிட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களின் பெருக்கத்திற்கு – வெளிப்பாடு x 1 x x 2 = q.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்க முடியுமா?

பாகுபாடு மதிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​விவரிக்கப்பட்ட எந்த வழக்குகளின் கீழும் வராத சூழ்நிலையை நீங்கள் சந்திக்க நேரிடலாம் - பாகுபாடு காட்டுபவர் எதிர்மறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் போது (அதாவது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக). இந்த வழக்கில், ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு, ≠ 0 க்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது, எனவே, அதன் தீர்வு பாகுபாடு மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டுப்படுத்தப்படும். ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் இந்த வழக்கில் பொருந்தாது. அதே நேரத்தில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கான பதிலில், "சமன்பாடு உண்மையான வேர்கள் இல்லை" என்று எழுதப்பட்டுள்ளது.

விளக்க வீடியோ:

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

இந்த திட்டம்உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்குத் தயாரிப்பில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் சோதனைகள்மற்றும் பரீட்சைகள், ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கு முன் அறிவை சோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோர்கள். அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம் வீட்டுப்பாடத்தை கூடிய விரைவில் முடிக்க வேண்டுமா? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை எனில், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்

எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.
எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.

எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம்.
மேலும், பின்ன எண்களை தசம வடிவில் மட்டுமல்ல, சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.

தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
தசம பின்னங்களில், பகுதியளவு பகுதியை முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு காலம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம்.
உதாரணமாக, நீங்கள் நுழையலாம் தசமங்கள்இது போல்: 2.5x - 3.5x^2

சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும் போது, ​​எண் வகுப்பிலிருந்து ஒரு பிரிவு அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: /
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஆம்பர்சண்ட் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: &
உள்ளீடு: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போது நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.
இந்த வழக்கில், அதை முடக்கி, பக்கத்தைப் புதுப்பிக்கவும்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறந்து விடாதீர்கள் எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a\neq 0\), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவ ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) காரணி அதன் இடது பக்கத்தை கொண்டு ax 2 +bx=0 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டை பெற வேண்டும்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் கட்டற்ற சொல் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்போம், இதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம்.

இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 ஐ தீர்க்கவும்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

இந்த சமன்பாட்டை ஈருறுப்புக் குறியீட்டின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

தீவிர வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் கொண்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)