Nyumbani-Njia panda-Ni mali gani ya parallelogram iliyojumuishwa katika ufafanuzi wake. Mradi wa utafiti "parallelogram na mali zake"

Ni mali gani ya parallelogram iliyojumuishwa katika ufafanuzi wake. Mradi wa utafiti "parallelogram na mali zake"

Ili kuamua ikiwa takwimu fulani ni parallelogram, kuna idadi ya ishara. Hebu tuangalie sifa tatu kuu za parallelogram.

Ishara 1 ya parallelogram

Ikiwa pande mbili za quadrilateral ni sawa na sambamba, basi quadrilateral hii itakuwa parallelogram.

Uthibitisho:

Fikiria ABCD ya pembe nne. Acha pande AB na CD ziwe sambamba. Na basi AB=CD. Hebu tuchore BD ya diagonal ndani yake. Itagawanya quadrilateral hii katika pembetatu mbili sawa: ABD na CBD.

Pembetatu hizi ni sawa kwa kila upande kwa pande mbili na pembe kati yao (BD ni upande wa kawaida, AB = CD kwa hali, angle1 = angle2 kama pembe za kuvuka na BD ya mstari wa mistari sambamba AB na CD.), na kwa hiyo angle3 = pembe4.

Na pembe hizi zitakuwa kinyume wakati mistari ya BC na AD inapoingiliana na BD ya pili. Inafuata kutokana na hili kwamba BC na AD ni sambamba kwa kila mmoja. Tunayo kwamba katika ABCD ya pembe nne pande tofauti zinafanana kwa pande mbili, na kwa hiyo ABCD ya quadrilateral ni parallelogram.

Ishara ya Sambamba 2

Ikiwa katika quadrilateral pande tofauti ni sawa katika jozi, basi quadrilateral hii itakuwa parallelogram.

Uthibitisho:

Fikiria ABCD ya pembe nne. Hebu tuchore BD ya diagonal ndani yake. Itagawanya quadrilateral hii katika pembetatu mbili sawa: ABD na CBD.

Pembetatu hizi mbili zitakuwa sawa kwa kila mmoja kwa pande tatu (BD ni upande wa kawaida, AB = CD na BC = AD kwa hali). Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kuwa angle1 = angle2. Inafuata kwamba AB ni sambamba na CD. Na kwa kuwa AB = CD na AB ni sawa na CD, basi kwa mujibu wa kigezo cha kwanza cha parallelogram, ABCD ya quadrilateral itakuwa parallelogram.

3 ishara ya parallelogram

Ikiwa diagonals ya quadrilateral intersect na ni bisected na hatua ya makutano, basi quadrilateral hii itakuwa parallelogram.

Fikiria ABCD ya pembe nne. Wacha tuchore diagonal mbili za AC na BD ndani yake, ambazo zitaingiliana kwa hatua O na zimegawanywa kwa hatua hii.

Pembetatu AOB na COD zitakuwa sawa kwa kila mmoja, kulingana na ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu. (AO = OC, BO = OD kwa hali, pembe AOB = pembe COD kama pembe za wima.) Kwa hiyo, AB = CD na angle 1 = angle 2. Kutoka kwa usawa wa pembe 1 na 2, tuna kwamba AB ni sawa na CD. Kisha tunayo kwamba katika ABCD ya quadrilateral pande AB ni sawa na CD na sambamba, na kwa mujibu wa kigezo cha kwanza cha parallelogram, ABCD ya quadrilateral itakuwa parallelogram.

Muhtasari wa somo.

Algebra daraja la 8

Mwalimu Sysoy A.K.

Shule 1828

Mada ya somo: "Parallelogram na sifa zake"

Aina ya somo: pamoja

Malengo ya somo:

1) Hakikisha uigaji wa dhana mpya - parallelogram na sifa zake

2) Kuendelea kukuza ujuzi na uwezo wa kutatua matatizo ya kijiometri;

3) Maendeleo ya utamaduni wa hotuba ya hisabati

Mpango wa somo:

1. Wakati wa shirika

(Slaidi ya 1)

Slaidi inaonyesha taarifa ya Lewis Carroll. Wanafunzi wanafahamishwa kuhusu madhumuni ya somo. Utayari wa wanafunzi kwa somo unaangaliwa.

2. Kusasisha maarifa

(Slaidi ya 2)

Kwenye ubao kuna kazi za kazi ya mdomo. Mwalimu anawaalika wanafunzi kufikiri juu ya matatizo haya na kuinua mikono yao kwa wale wanaoelewa jinsi ya kutatua tatizo. Baada ya kutatua matatizo mawili, mwanafunzi anaitwa kwenye ubao ili kuthibitisha nadharia juu ya jumla ya pembe, ambaye kwa kujitegemea hufanya ujenzi wa ziada kwenye kuchora na kuthibitisha nadharia kwa mdomo.

Wanafunzi hutumia fomula ya jumla ya pembe za poligoni:


3. Sehemu kuu

(Slaidi ya 3)

Ufafanuzi wa parallelogram kwenye ubao. Mwalimu anazungumza sura mpya na kuunda ufafanuzi, kufanya maelezo muhimu kwa msaada wa kuchora. Kisha, kwenye sehemu iliyochaguliwa ya uwasilishaji, kwa kutumia alama na mtawala, anaonyesha jinsi ya kuchora parallelogram (kesi kadhaa zinawezekana)

(Slaidi ya 4)

Mwalimu huunda mali ya kwanza ya parallelogram. Anawaalika wanafunzi kueleza kutoka kwenye mchoro kile kilichotolewa na kile kinachohitaji kuthibitishwa. Baada ya hayo, kazi iliyotolewa inaonekana kwenye ubao. Wanafunzi nadhani (labda kwa msaada wa mwalimu) kwamba usawa unaohitajika lazima uthibitishwe kwa njia ya usawa wa pembetatu, ambayo inaweza kupatikana kwa kuchora diagonal (diagonal inaonekana kwenye ubao). Kisha, wanafunzi wanakisia kwa nini pembetatu ni sawa na kutaja ishara kwamba pembetatu ni sawa (umbo linalolingana linaonekana). Wanawasiliana kwa maneno ukweli ambao ni muhimu kufanya pembetatu kuwa sawa (kama wanavyozitaja, taswira inayolingana inaonekana). Ifuatayo, wanafunzi huunda mali ya pembetatu zinazolingana, inaonekana kama nukta ya 3 ya uthibitisho, na kisha wakamilishe uthibitisho wa nadharia kwa njia ya mdomo.

(Slaidi ya 5)

Mwalimu huunda mali ya pili ya parallelogram. Mchoro wa parallelogram inaonekana kwenye ubao. Mwalimu anapendekeza kutumia picha kueleza kile kilichotolewa na kile kinachohitaji kuthibitishwa. Baada ya wanafunzi kuripoti kwa usahihi kile kilichotolewa na kile kinachohitaji kuthibitishwa, hali ya nadharia inaonekana. Wanafunzi wanadhani kwamba usawa wa sehemu za diagonal unaweza kuthibitishwa kupitia usawa wa pembetatuAOB Na C.O.D.. Kutumia mali ya awali ya parallelogram, mtu anadhani kwamba pande ni sawaAB Na CD. Kisha wanaelewa kuwa wanahitaji kupata pembe sawa na, kwa kutumia mali ya mistari inayofanana, kuthibitisha usawa wa pembe zilizo karibu na pande sawa. Hatua hizi zinaonyeshwa kwenye slaidi. Ukweli wa nadharia hufuata kutoka kwa usawa wa pembetatu - wanafunzi wanasema na taswira inayolingana inaonekana kwenye slaidi.

(Slaidi ya 6)

Mwalimu huunda mali ya tatu ya parallelogram. Kulingana na muda uliosalia hadi mwisho wa somo, mwalimu anaweza kuwapa wanafunzi fursa ya kuthibitisha kwa kujitegemea mali hii, au kujiwekea kikomo kwa uundaji wake, na kuacha uthibitisho wenyewe kwa wanafunzi kama. kazi ya nyumbani. Uthibitisho unaweza kutegemea jumla ya pembe za poligoni iliyoandikwa, ambayo ilirudiwa mwanzoni mwa somo, au kwa jumla ya pembe za ndani za upande mmoja za mistari miwili inayofanana.AD Na B.C., na sekanti, kwa mfanoAB.

4. Kurekebisha nyenzo

Katika hatua hii, wanafunzi hutumia nadharia zilizojifunza hapo awali kutatua shida. Wanafunzi huchagua mawazo ya kutatua tatizo kwa kujitegemea. Kwa sababu chaguzi zinazowezekana Kuna muundo mwingi na wote hutegemea jinsi wanafunzi watakavyotafuta suluhisho la shida, hakuna taswira ya suluhisho la shida, na wanafunzi huandaa kwa uhuru kila hatua ya suluhisho kwenye ubao tofauti na. kurekodi suluhisho katika daftari.

(Slaidi ya 7)

Hali ya kazi inaonekana. Mwalimu anapendekeza kuunda "Kutolewa" kulingana na hali. Baada ya wanafunzi kutunga kwa usahihi taarifa fupi ya sharti, "Imetolewa" inaonekana kwenye ubao. Mchakato wa kutatua shida unaweza kuonekana kama hii:

    Wacha tuchore urefu BH (iliyoonyeshwa)

    Triangle AHB ni pembetatu ya kulia. Pembe A sawa na pembe C na sawa na 30 0 (kulingana na mali ya pembe kinyume katika parallelogram). 2BH =AB (kwa mali ya mguu uliolala kinyume na pembe 30 0 katika pembetatu ya kulia). Hivyo AB = 13 cm.

    AB = CD, BC = AD (kulingana na mali ya pande tofauti katika parallelogram) Kwa hiyo AB = CD = 13 cm. Kwa kuwa mzunguko wa parallelogram ni 50 cm, basi BC = AD = (50 - 26): 2 = 12 cm.

Jibu: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Slaidi ya 8)

Hali ya kazi inaonekana. Mwalimu anapendekeza kuunda "Kutolewa" kulingana na hali. Kisha "Imetolewa" inaonekana kwenye skrini. Kutumia mistari nyekundu, quadrilateral inasisitizwa, ambayo unahitaji kuthibitisha kuwa ni parallelogram. Mchakato wa kutatua shida unaweza kuonekana kama hii:

    Kwa sababu BK na MD ni perpendicular kwa mstari mmoja, kisha mistari BK na MD ni sambamba.

    Kupitia pembe za karibu inaweza kuonyeshwa kuwa jumla ya pembe za ndani za upande mmoja katika mistari iliyonyooka BM na KD na secant MD ni sawa na 180 0. Kwa hiyo, mistari hii ni sambamba.

    Kwa kuwa BMDK ya pembe nne ina pande kinyume sambamba katika jozi, basi quadrilateral hii ni parallelogram.

5. Mwisho wa somo. Tabia ya matokeo.

(Slaidi ya 8)

Maswali yanaonekana kwenye slaidi mada mpya, ambayo wanafunzi hujibu.

Sambamba ni pembe nne ambayo pande zake kinyume ni sambamba katika jozi. Kielelezo kifuatacho kinaonyesha sambamba ABCD. Ina upande AB sambamba na CD upande na BC upande sambamba na AD upande.

Kama unavyoweza kukisia, parallelogram ni mbonyeo ya pembe nne. Hebu fikiria mali ya msingi ya parallelogram.

Tabia za parallelogram

1. Katika parallelogram, pembe kinyume na pande kinyume ni sawa. Hebu tuthibitishe mali hii - fikiria parallelogram iliyotolewa katika takwimu ifuatayo.

Diagonal BD inaigawanya katika pembetatu mbili sawa: ABD na CBD. Wao ni sawa kando ya BD ya upande na pembe mbili zilizo karibu nayo, kwa kuwa pembe zilizolala kwenye BD ya secant ya mistari sambamba BC na AD na AB na CD, kwa mtiririko huo. Kwa hiyo AB = CD na
BC = AD. Na kutoka kwa usawa wa pembe 1, 2, 3 na 4 inafuata kwamba angle A = angle1 + angle3 = angle2 + angle4 = angle C.

2. Diagonals ya parallelogram imegawanywa katika nusu na hatua ya makutano. Wacha uelekeze O kuwa sehemu ya makutano ya diagonal AC na BD ya sambamba ABCD.

Kisha pembetatu AOB na pembetatu COD ni sawa kwa kila mmoja, kando na pembe mbili za karibu. (AB = CD kwa kuwa hizi ni pande zinazopingana za msambamba. Na pembe1 = pembe2 na pembe3 = pembe4 ni kama pembe zinazovuka wakati mistari AB na CD zinapopishana na sekenti AC na BD, mtawalia.) Kutokana na hili inafuata kwamba AO = OC na OB = OD, ambayo na inahitajika kuthibitishwa.

Tabia zote kuu zinaonyeshwa katika takwimu tatu zifuatazo.

Kama vile katika jiometri ya Euclidean, nukta na mstari ulionyooka ndio vitu kuu vya nadharia ya ndege, kwa hivyo parallelogramu ni moja wapo ya nambari kuu za pande nne za koni. Kutoka kwake, kama nyuzi kutoka kwa mpira, mtiririko wa dhana za "mstatili", "mraba", "rhombus" na idadi nyingine ya kijiometri.

Ufafanuzi wa parallelogram

mbonyeo wa pembe nne, inayojumuisha sehemu, kila jozi ambayo ni sambamba, inajulikana katika jiometri kama parallelogram.

Jinsi paralelogramu ya kawaida inavyoonekana inaonyeshwa na ABCD ya pembe nne. Pande hizo huitwa besi (AB, BC, CD na AD), perpendicular inayotolewa kutoka kwa vertex yoyote hadi upande kinyume na vertex hii inaitwa urefu (BE na BF), mistari AC na BD inaitwa diagonals.

Makini! Mraba, rhombus na mstatili ni kesi maalum za parallelogram.

Pande na pembe: sifa za uhusiano

Tabia kuu, kwa ujumla, kuamuliwa mapema na jina lenyewe, zinathibitishwa na nadharia. Sifa hizi ni kama zifuatazo:

  1. Pande zilizo kinyume zinafanana katika jozi.
  2. Pembe kinyume na kila mmoja ni sawa katika jozi.

Uthibitisho: Zingatia ∆ABC na ∆ADC, ambazo hupatikana kwa kugawanya ABCD ya pembe nne na mstari wa moja kwa moja wa AC. ∠BCA=∠CAD na ∠BAC=∠ACD, kwa kuwa AC ni kawaida kwao (pembe za wima za BC||AD na AB||CD, mtawalia). Inafuata kutoka kwa hii: ∆ABC = ∆ADC (ishara ya pili ya usawa wa pembetatu).

Sehemu za AB na BC katika ∆ABC zinalingana katika jozi na mistari ya CD na AD katika ∆ADC, ambayo ina maana kwamba zinafanana: AB = CD, BC = AD. Kwa hivyo, ∠B inalingana na ∠D na ni sawa. Kwa kuwa ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ambazo pia zinafanana kwa jozi, kisha ∠A = ∠C. Mali hiyo imethibitishwa.

Tabia za diagonal za takwimu

Kipengele kikuu ya mistari hii ya parallelogram: hatua ya makutano inawagawanya kwa nusu.

Uthibitisho: Hebu yaani iwe sehemu ya makutano ya diagonal AC na BD ya takwimu ABCD. Zinaunda pembetatu mbili zinazolingana - ∆ABE na ∆CDE.

AB=CD kwani ni kinyume. Kulingana na mistari na sekunde, ∠ABE = ∠CDE na ∠BAE = ∠DCE.

Kwa kigezo cha pili cha usawa, ∆ABE = ∆CDE. Hii ina maana kwamba vipengele ∆ABE na ∆CDE: AE = CE, BE = DE na wakati huo huo ni sehemu za uwiano wa AC na BD. Mali hiyo imethibitishwa.

Vipengele vya pembe za karibu

Pande za karibu zina jumla ya pembe sawa na 180 °, kwa kuwa wanalala upande mmoja wa mistari sambamba na transversal. Kwa ABCD ya pembe nne:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Tabia za bisector:

  1. , iliyopungua kwa upande mmoja, ni perpendicular;
  2. vipeo vya kinyume vina vipengee vilivyofanana;
  3. pembetatu iliyopatikana kwa kuchora bisector itakuwa isosceles.

Uamuzi wa sifa za sifa za parallelogram kwa kutumia theorem

Tabia za takwimu hii hufuata kutoka kwa nadharia yake kuu, ambayo inasema yafuatayo: quadrilateral inachukuliwa kuwa parallelogram katika tukio ambalo diagonals zake zinaingiliana, na hatua hii inawagawanya katika makundi sawa.

Uthibitisho: acha mistari ya AC na BD ya ABCD ya pembe nne ikatike kwa i.e. Kwa kuwa ∠AED = ∠BEC, na AE+CE=AC BE+DE=BD, kisha ∆AED = ∆BEC (kwa kigezo cha kwanza cha usawa wa pembetatu). Hiyo ni, ∠EAD = ∠ECB. Pia ni pembe za msalaba za ndani za secant AC kwa mistari AD na BC. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi wa usawa - AD || B.C. Mali sawa ya mistari BC na CD pia inatokana. Nadharia imethibitishwa.

Kuhesabu eneo la takwimu

Eneo la takwimu hii kupatikana kwa mbinu kadhaa moja ya rahisi zaidi: kuzidisha urefu na msingi ambao hutolewa.

Uthibitisho: chora perpendiculars BE na CF kutoka kwa vipeo B na C. ∆ABE na ∆DCF ni sawa, kwani AB = CD na BE = CF. ABCD ni sawa kwa ukubwa na mstatili EBCF, kwa kuwa inajumuisha takwimu zinazolingana: S ABE na S EBCD, pamoja na S DCF na S EBCD. Inafuata kutoka kwa hii kwamba eneo la hii takwimu ya kijiometri iko kwa njia sawa na mstatili:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Kuamua formula ya jumla ya eneo la parallelogram, hebu tuonyeshe urefu kama hb, na upande - b. Mtawalia:

Njia zingine za kupata eneo

Mahesabu ya eneo kupitia pande za parallelogram na pembe, ambayo huunda, ni njia ya pili inayojulikana.

,

Spr-ma - eneo;

a na b ni pande zake

α ni pembe kati ya sehemu a na b.

Njia hii inategemea ya kwanza, lakini ikiwa haijulikani. daima hupunguza pembetatu ya kulia, ambao vigezo ni vitambulisho vya trigonometric, yaani. Kubadilisha uhusiano, tunapata. Katika equation ya njia ya kwanza, tunabadilisha urefu na bidhaa hii na kupata uthibitisho wa uhalali wa formula hii.

Kupitia diagonal za parallelogram na pembe, ambayo huunda wakati wanaingiliana, unaweza pia kupata eneo hilo.

Uthibitisho: AC na BD hupishana na kuunda pembetatu nne: ABE, BEC, CDE na AED. Jumla yao ni sawa na eneo la quadrilateral hii.

Eneo la kila moja kati ya hizi ∆ linaweza kupatikana kwa usemi , ambapo a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Tangu , hesabu hutumia thamani moja ya sine. Hiyo ni. Kwa kuwa AE+CE=AC= d 1 na BE+DE=BD= d 2, fomula ya eneo inapungua hadi:

.

Maombi katika algebra ya vekta

Vipengele vya sehemu kuu za sehemu hii ya nne zimepata matumizi katika aljebra ya vekta, yaani, nyongeza ya vekta mbili. Kanuni ya parallelogram inasema hivyo ikiwa imepewa vektaNaSivyoni collinear, basi jumla yao itakuwa sawa na diagonal ya takwimu hii, misingi ambayo inafanana na vectors hizi.

Uthibitisho: kutoka mwanzo uliochaguliwa kiholela - i.e. - tengeneza vekta na . Ifuatayo, tunaunda parallelogram OASV, ambapo sehemu za OA na OB ni pande. Kwa hivyo, OS iko kwenye vekta au jumla.

Fomula za kuhesabu vigezo vya parallelogram

Vitambulisho vinatolewa chini ya masharti yafuatayo:

  1. a na b, α - pande na pembe kati yao;
  2. d 1 na d 2, γ - diagonals na katika hatua ya makutano yao;
  3. h a na h b - urefu uliopungua kwa pande a na b;
Kigezo Mfumo
Kutafuta pande
kando ya diagonals na cosine ya pembe kati yao

pamoja na diagonal na pande

kupitia urefu na vertex kinyume
Kutafuta urefu wa diagonals
kwa pande na saizi ya kilele kati yao

Hii ni pembe nne ambayo pande zake kinyume ni sambamba katika jozi.

Mali 1. Ulalo wowote wa parallelogram huigawanya katika pembetatu mbili sawa.

Ushahidi. Kulingana na tabia ya II (pembe za kuvuka na upande wa kawaida).

Nadharia imethibitishwa.

Mali 2. Katika parallelogram, pande tofauti ni sawa na pembe kinyume ni sawa.

Ushahidi.
Vile vile,

Nadharia imethibitishwa.

Mali 3. Katika parallelogram, diagonals ni bisected na hatua ya makutano.

Ushahidi.

Nadharia imethibitishwa.

Mali 4. Angle bisector ya parallelogram inayokatiza upande wa pili, inaigawanya katika pembetatu ya isosceles na trapezoid. (Ch. Maneno - vertex - isosceles mbili? -ka).

Ushahidi.

Nadharia imethibitishwa.

Mali 5. Katika parallelogram, sehemu ya mstari yenye ncha kwa pande tofauti inayopita kwenye hatua ya makutano ya diagonals imegawanywa kwa hatua hii.

Ushahidi.

Nadharia imethibitishwa.

Mali 6. Pembe kati ya miinuko iliyoshuka kutoka kwenye kipeo cha pembe ya msambamba ni sawa na pembe ya papo hapo ya parallelogramu.

Ushahidi.

Nadharia imethibitishwa.

Mali 7. Jumla ya pembe za parallelogram iliyo karibu na upande mmoja ni 180 °.

Ushahidi.

Nadharia imethibitishwa.

Kuunda sehemu mbili za pembe. Sifa za sehemu ya pembetatu ya pembetatu.

1) Tengeneza miale ya kiholela DE.

2) Kwenye mionzi uliyopewa, jenga mduara wa kiholela na kituo kwenye vertex na sawa.
na kituo mwanzoni mwa ray iliyojengwa.

3) F na G - sehemu za makutano ya duara na pande za pembe fulani, H - sehemu ya makutano ya duara na mionzi iliyojengwa.

Tengeneza mduara wenye kituo kwa uhakika H na kipenyo sawa na FG.

5) Mimi ni hatua ya makutano ya miduara ya boriti iliyojengwa.

6) Chora mstari wa moja kwa moja kupitia vertex na mimi.

IDH ndio pembe inayohitajika.
)

Mali 1. Sehemu mbili za pembe ya pembetatu hugawanya upande wa pili kwa uwiano wa pande zilizo karibu.

Ushahidi. Acha x, y iwe sehemu za upande c. Wacha tuendelee boriti BC. Kwenye ray BC tunapanga kutoka C sehemu CK sawa na AC.

Machapisho yanayohusiana: