Teorema e sinusit dhe kosinusit për trekëndëshat kënddrejtë. Teorema e kosinuseve, sinuseve: formulimi, pasojat dhe shembujt

Trigonometria përdoret gjerësisht jo vetëm në seksionin e algjebrës - fillimi i analizës, por edhe në gjeometri. Në këtë drejtim, është e arsyeshme të supozohet ekzistenca e teoremave dhe provave të tyre që lidhen me funksionet trigonometrike. Në të vërtetë, teoremat e kosinuseve dhe sinuseve nxjerrin marrëdhënie shumë interesante dhe më e rëndësishmja e dobishme midis brinjëve dhe këndeve të trekëndëshave.

Duke përdorur këtë formulë, mund të nxirrni secilën nga anët e trekëndëshit:

Vërtetimi i pohimit është nxjerrë bazuar në teoremën e Pitagorës: katrori i hipotenuzës e barabartë me shumën katrorët e këmbëve.

Konsideroni një trekëndësh arbitrar ABC. Nga kulmi C e ulim lartësinë h në bazën e figurës në këtë rast gjatësia e saj nuk është absolutisht e rëndësishme; Tani, nëse marrim parasysh një trekëndësh arbitrar ACB, atëherë mund të shprehim koordinatat e pikës C përmes funksionet trigonometrike cos dhe mëkat.

Le të kujtojmë përkufizimin e kosinusit dhe të shkruajmë raportin e brinjëve të trekëndëshit ACD: cos α = AD/AC | shumëzojini të dyja anët e barazisë me AC; AD = AC * cos α.

Marrim gjatësinë AC si b dhe marrim një shprehje për koordinatën e parë të pikës C:
x = b * cos⁡α. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë vlerën e ordinatës C: y = b * sin α. Më pas, ne zbatojmë teoremën e Pitagorës dhe shprehim h në mënyrë alternative për trekëndëshin ACD dhe DCB:

Është e qartë se të dyja shprehjet (1) dhe (2) janë të barabarta me njëra-tjetrën. Le të barazojmë anët e djathta dhe të paraqesim të ngjashme:

Në praktikë, kjo formulë ju lejon të gjeni gjatësinë e anës së panjohur të një trekëndëshi nga kënde të dhëna. Teorema e kosinusit ka tre pasoja: për këndet e drejta, akute dhe të mprehta të një trekëndëshi.

Le të zëvendësojmë vlerën e cos α me ndryshoren e zakonshme x, atëherë për këndin akut të trekëndëshit ABC marrim:

Nëse këndi rezulton i drejtë, atëherë 2bx do të zhduket nga shprehja, pasi cos 90° = 0. Grafikisht, pasoja e dytë mund të paraqitet si më poshtë:

Në rastin e një këndi të mpirë, shenja "-" përpara argumentit të dyfishtë në formulë do të ndryshojë në "+":

Siç shihet nga shpjegimi, nuk ka asgjë të komplikuar në marrëdhënie. Teorema e kosinusit nuk është gjë tjetër veçse një përkthim i teoremës së Pitagorës në sasi trigonometrike.

Zbatimi praktik i teoremës

Ushtrimi 1. Jepet një trekëndësh ABC, brinja e të cilit BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, dhe cos α = ½. Duhet të gjesh gjatësinë e anës AB.

Për të bërë llogaritjen saktë, duhet të përcaktoni këndin α. Për ta bërë këtë, duhet t'i referoheni tabelës së vlerave për funksionet trigonometrike, sipas së cilës kosinusi i harkut është i barabartë me 1/2 për një kënd prej 60°. Bazuar në këtë, ne përdorim formulën e konkluzionit të parë të teoremës:

Detyra 2. Për trekëndëshin ABC njihen të gjitha brinjët: AB =4√2,BC=5,AC=7. Ju duhet të gjeni të gjitha këndet e figurës.

Në këtë rast, nuk mund të bëni pa një vizatim të kushteve të problemit.

Meqenëse vlerat e këndit mbeten të panjohura, duhet të përdorni formulë e plotë për një kënd akut.

Për analogji, nuk është e vështirë të krijohen formula dhe të llogariten vlerat e këndeve të tjera:

Shuma e tre këndeve të trekëndëshit duhet të jetë 180°: 53 + 82 + 45 = 180, prandaj, zgjidhja është gjetur.

Teorema e sinuseve

Teorema thotë se të gjitha anët trekëndësh arbitrar proporcionale me sinuset e këndeve të kundërta. Marrëdhëniet shkruhen në formën e barazisë së trefishtë:

Vërtetimi klasik i deklaratës kryhet duke përdorur shembullin e një figure të gdhendur në një rreth.

Për të verifikuar vërtetësinë e pohimit duke përdorur shembullin e trekëndëshit ABC në figurë, është e nevojshme të konfirmohet fakti se 2R = BC / sin A. Më pas provoni se anët e tjera janë të lidhura me sinuset e këndeve të kundërta, si 2R ose D të një rrethi.

Për ta bërë këtë, vizatoni diametrin e rrethit nga kulmi B. Nga vetia e këndeve të gdhendura në një rreth, ∠GCB është një vijë e drejtë dhe ∠CGB është ose e barabartë me ∠CAB ose (π - ∠CAB). Në rastin e sinusit, kjo rrethanë e fundit nuk është domethënëse, pasi mëkat (π –α) = mëkat α. Bazuar në përfundimet e mësipërme, mund të thuhet se:

sin ∠CGB = BC/ BG ose mëkat A = BC/2R,

Nëse marrim parasysh kënde të tjera të figurës, marrim një formulë të zgjeruar për teoremën e sinuseve:

Detyrat tipike për praktikimin e teoremës së sinusit përfundojnë në gjetjen e një brinje ose këndi të panjohur të një trekëndëshi.

Siç shihet nga shembujt, zgjidhja e problemeve të tilla nuk është e vështirë dhe konsiston në kryerjen e llogaritjeve matematikore.

Ne do të fillojmë studimin tonë të trigonometrisë me trekëndësh kënddrejtë. Le të përcaktojmë se çfarë janë sinusi dhe kosinusi, si dhe tangjentja dhe kotangjentja e një këndi akut. Këto janë bazat e trigonometrisë.

Le t'ju kujtojmë se kënd i drejtëështë një kënd i barabartë me 90 gradë. Me fjalë të tjera, gjysmë këndi i kthyer.

Këndi i mprehtë- më pak se 90 gradë.

Këndi i mpirë- më shumë se 90 gradë. Në lidhje me një kënd të tillë, "i trashë" nuk është një fyerje, por një term matematikor :-)

Le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë. Një kënd i drejtë zakonisht shënohet me . Ju lutemi vini re se ana përballë këndit tregohet me të njëjtën shkronjë, vetëm e vogël. Kështu, caktohet ana përballë këndit A.

Këndi shënohet me shkronjën përkatëse greke.

Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është brinja përballë këndit të drejtë.

Këmbët- faqet e shtrira përballë këndeve akute.

Këmba e shtrirë përballë këndit quhet e kundërt(në lidhje me këndin). Këmba tjetër, e cila shtrihet në njërën nga anët e këndit, quhet ngjitur.

Sinus Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:

Kosinusi këndi akut në një trekëndësh të drejtë - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:

Tangjente këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë - raporti i anës së kundërt me fqinjin:

Një përkufizim tjetër (ekuivalent): tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të këndit me kosinusin e tij:

Kotangjente këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë - raporti i anës ngjitur me të kundërtën (ose, që është i njëjtë, raporti i kosinusit me sinusin):

Vini re marrëdhëniet bazë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën më poshtë. Ata do të jenë të dobishëm për ne kur zgjidhim problemet.

Le të vërtetojmë disa prej tyre.

Mirë, ne kemi dhënë përkufizime dhe kemi shkruar formula. Por pse kemi ende nevojë për sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent?

Ne e dimë atë shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me.

Ne e dimë marrëdhënien ndërmjet partive trekëndësh kënddrejtë. Kjo është teorema e Pitagorës: .

Rezulton se duke ditur dy kënde në një trekëndësh, mund të gjesh të tretin. Duke ditur dy anët e një trekëndëshi kënddrejtë, mund të gjeni të tretën. Kjo do të thotë që këndet kanë raportin e tyre, dhe anët kanë të tyren. Por çfarë duhet të bëni nëse në një trekëndësh kënddrejtë njihni një kënd (përveç këndit të drejtë) dhe njërën anë, por duhet të gjeni anët e tjera?

Kjo është ajo që njerëzit në të kaluarën hasnin kur bënin harta të zonës dhe qiellit me yje. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të maten drejtpërdrejt të gjitha anët e një trekëndëshi.

Sinus, kosinus dhe tangjent - quhen gjithashtu funksionet e këndit trigonometrik- japin marrëdhënie ndërmjet partive Dhe qoshet trekëndëshi. Duke ditur këndin, mund të gjeni të gjitha funksionet e tij trigonometrike duke përdorur tabela të veçanta. Dhe duke ditur sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këndeve të një trekëndëshi dhe njërës prej brinjëve të tij, mund të gjeni pjesën tjetër.

Ne gjithashtu do të vizatojmë një tabelë të vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për kënde "të mira" nga në.

Ju lutemi vini re dy vijat e kuqe në tabelë. Në vlerat e duhura të këndit, tangjentja dhe kotangjentja nuk ekzistojnë.

Le të shohim disa probleme trigonometrike nga Banka e Detyrave FIPI.

1. Në një trekëndësh, këndi është , . Gjej .

Problemi zgjidhet në katër sekonda.

Sepse , .

2. Në një trekëndësh, këndi është , , . Gjej .

Le ta gjejmë duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Problemi është zgjidhur.

Shpesh në problema ka trekëndësha me kënde dhe ose me kënde dhe. Mos harroni raportet bazë për ta përmendësh!

Për një trekëndësh me kënde dhe këmbën përballë këndit në është e barabartë me gjysma e hipotenuzës.

Një trekëndësh me kënde dhe është dykëndësh. Në të, hipotenuza është herë më e madhe se këmba.

Ne shikuam problemet për zgjidhjen e trekëndëshave kënddrejtë - domethënë gjetjen e brinjëve ose këndeve të panjohura. Por kjo nuk është e gjitha! NË Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë ka shumë probleme ku shfaqet sinusi, kosinusi, tangjentja ose kotangjentja e këndit të jashtëm të një trekëndëshi. Më shumë për këtë në artikullin vijues.

Jo të gjithë nxënësit e shkollës, dhe veçanërisht të rriturit, e dinë se teorema e kosinusit lidhet drejtpërdrejt me teoremën e Pitagorës. Më saktë, ky i fundit është një rast i veçantë i të parës. Kjo pikë, si dhe dy mënyra për të vërtetuar teoremën e kosinusit, do t'ju ndihmojnë të bëheni më shumë person i ditur. Përveç kësaj, praktika në shprehjen e sasive nga shprehjet fillestare zhvillohet mirë të menduarit logjik. Formula e gjatë e teoremës që studiohet patjetër do t'ju detyrojë të punoni shumë dhe të përmirësoheni.

Fillimi i një bisede: prezantimi i shënimit

Kjo teoremë është formuluar dhe vërtetuar për një trekëndësh arbitrar. Prandaj, mund të përdoret gjithmonë, në çdo situatë, nëse jepen dy anë, dhe në disa raste tre, dhe një kënd, dhe jo domosdoshmërisht midis tyre. Cilido qoftë lloji i trekëndëshit, teorema do të funksionojë gjithmonë.

Dhe tani për përcaktimin e sasive në të gjitha shprehjet. Është më mirë të bini dakord menjëherë, në mënyrë që të mos keni nevojë të shpjegoni disa herë më vonë. Për këtë qëllim është përpiluar tabela e mëposhtme.

Formulimi dhe shënimi matematik

Pra, teorema e kosinusit formulohet si më poshtë:

Katrori i një brinje të çdo trekëndëshi është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera të tij minus dyfishin e produktit të këtyre brinjëve dhe kosinusit të këndit që shtrihet ndërmjet tyre.

Sigurisht, është e gjatë, por nëse e kuptoni thelbin e saj, do të jetë e lehtë të mbahet mend. Ju madje mund të imagjinoni të vizatoni një trekëndësh. Është gjithmonë më e lehtë të kujtosh vizualisht.

Formula e kësaj teoreme do të duket si kjo:

Pak e gjatë, por gjithçka është logjike. Nëse shikoni pak më nga afër, mund të shihni se letrat përsëriten, që do të thotë se nuk është e vështirë të mbani mend.

Prova e zakonshme e teoremës

Meqenëse është e vërtetë për të gjithë trekëndëshat, ju mund të zgjidhni cilindo nga llojet për arsyetim. Le të jetë një figurë me të gjithë qoshe të mprehta. Konsideroni një arbitrar trekëndëshi akut, këndi i të cilit C është më i madh se këndi B. Nga kulmi me këtë kënd i lartë ju duhet të ulni pingulën me anën e kundërt. Lartësia e vizatuar do ta ndajë trekëndëshin në dy drejtkëndëshe. Kjo do të kërkohet për provë.

Ana do të ndahet në dy segmente: x, y. Ato duhet të shprehen në terma të sasive të njohura. Pjesa që përfundon në një trekëndësh me një hipotenuzë të barabartë me b do të shprehet me shënimin:

x = b * cos A.

Tjetri do të jetë i barabartë me këtë ndryshim:

y = c - në * cos A.

Tani ju duhet të shkruani teoremën e Pitagorës për dy trekëndëshat kënddrejtë që rezultojnë, duke marrë lartësinë si vlerë të panjohur. Këto formula do të duken kështu:

n 2 = në 2 - (në * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Këto barazi përmbajnë të njëjtat shprehje në të majtë. Kjo do të thotë se edhe anët e tyre të djathta do të jenë të barabarta. Është e lehtë për ta shkruar atë. Tani ju duhet të hapni kllapat:

në 2 - në 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * në * cos A - në 2 * (cos A) 2.

Nëse kryeni transferimin dhe reduktimin e termave të ngjashëm këtu, do të merrni formulën fillestare, e cila shkruhet pas formulimit, domethënë teorema e kosinusit. Prova është e plotë.

Vërtetimi i teoremës duke përdorur vektorë

Është shumë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Dhe nëse i dini vetitë e vektorëve, atëherë teorema e kosinusit për një trekëndësh do të vërtetohet thjesht.

Nëse anët a, b, c përcaktohen nga vektorët BC, AC dhe AB, përkatësisht, atëherë barazia vlen:

BC = AC - AB.

Tani ju duhet të bëni disa hapa. E para prej tyre është katrori i të dy anëve të barazisë:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Atëherë barazia duhet të rishkruhet në formë skalare, duke marrë parasysh që prodhimi i vektorëve është i barabartë me kosinusin e këndit ndërmjet tyre dhe vlerat e tyre skalare:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Gjithçka që mbetet është të kthehemi në shënimin e vjetër dhe përsëri marrim teoremën e kosinusit:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Formulat për anët e tjera dhe të gjitha këndet

Për të gjetur anën, duhet të merrni rrënjën katrore të teoremës së kosinusit. Formula për katrorët e njërës prej anëve të tjera do të duket si kjo:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Të shkruajë shprehjen për katrorin e një brinje V, ju duhet të zëvendësoni në barazinë e mëparshme Me në V, dhe anasjelltas, dhe vendosni këndin B nën kosinus.

Nga formula bazë e teoremës, mund të shprehim vlerën e kosinusit të këndit A:

cos A = (në 2 + c 2 - a 2) / (2 në * c).

Formulat për kënde të tjera nxirren në mënyrë të ngjashme. Kjo praktikë e mirë, kështu që mund të përpiqeni t'i shkruani vetë.

Natyrisht, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Mjafton të kuptohet teorema dhe aftësia për të nxjerrë këto shprehje nga shënimi kryesor i saj.

Formula origjinale e teoremës bën të mundur gjetjen e anës nëse këndi nuk shtrihet midis dy të njohurve. Për shembull, ju duhet të gjeni V, kur jepen vlerat: a, c, A. Ose e panjohur Me, por ka kuptime a, b, A.

Në këtë situatë, ju duhet të transferoni të gjitha kushtet e formulës në ana e majte. Ju merrni barazinë e mëposhtme:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Le ta rishkruajmë në një formë paksa të ndryshme:

c 2 - (2 * në * cos A) * c + (në 2 - a 2) = 0.

Mund të shihet lehtësisht ekuacioni kuadratik. Ka një sasi të panjohur në të - Me, dhe të gjitha të tjerat janë dhënë. Prandaj, është e mjaftueshme për ta zgjidhur atë duke përdorur një diskriminues. Në këtë mënyrë do të gjendet ana e panjohur.

Formula për anën e dytë është marrë në mënyrë të ngjashme:

në 2 - (2 * c * cos A) * në + (c 2 - a 2) = 0.

Nga shprehjet e tjera, formula të tilla janë gjithashtu të lehta për t'u marrë në mënyrë të pavarur.

Si mund të zbuloni llojin e këndit pa llogaritur kosinusin?

Nëse shikoni nga afër formulën e kosinusit të këndit të nxjerrë më herët, do të vini re sa vijon:

emëruesi i një thyese është gjithmonë një numër pozitiv, sepse përmban prodhimin e brinjëve që nuk mund të jenë negative;
vlera e këndit do të varet nga shenja e numëruesit.

Këndi A do të jetë:

akute në një situatë ku numëruesi është më i madh se zero;
budallaqe nëse kjo shprehje është negative;
i drejtpërdrejtë kur është i barabartë me zero.

Meqë ra fjala, situata e fundit e kthen teoremën e kosinusit në teoremën e Pitagorës. Sepse për një kënd prej 90º kosinusi i tij është e barabartë me zero, dhe termi i fundit zhduket.

Detyra e parë

gjendja

Këndi i mpirë i një trekëndëshi arbitrar është 120º. Për brinjët me të cilat është i kufizuar, dihet se njëra prej tyre është 8 cm më e madhe se tjetra.

Zgjidhje

Së pari ju duhet të shënoni njërën nga anët me shkronjën "x". Në këtë rast, tjetri do të jetë i barabartë me (x + 8). Meqenëse ka shprehje për të tre anët, mund të përdorim formulën e dhënë nga teorema e kosinusit:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Në tabelat për kosinus ju duhet të gjeni vlerën që korrespondon me 120 gradë. Ky do të jetë numri 0.5 me një shenjë minus. Tani duhet të hapni kllapat, duke ndjekur të gjitha rregullat dhe të sillni terma të ngjashëm:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Ky ekuacion kuadratik zgjidhet duke gjetur diskriminuesin, i cili do të jetë i barabartë me:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Meqenëse vlera e tij është më e madhe se zero, ekuacioni ka dy përgjigje rrënjësore.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Rrënja e fundit nuk mund të jetë përgjigja e problemit, sepse pala duhet të jetë pozitive.

Secili prej nesh kaloi shumë orë duke zgjidhur një ose një problem tjetër gjeometri. Natyrisht, lind pyetja: pse keni nevojë të mësoni fare matematikë? Pyetja është veçanërisht e rëndësishme për gjeometrinë, njohja e së cilës, nëse është e dobishme, është shumë e rrallë. Por matematika ka një qëllim edhe për ata që nuk synojnë të bëhen punëtorë. Ajo e detyron një person të punojë dhe të zhvillohet.

Qëllimi fillestar i matematikës nuk ishte t'u siguronte studentëve njohuri rreth lëndës. Mësuesit i vendosin vetes si qëllim që t'i mësojnë fëmijët të mendojnë, të arsyetojnë, të analizojnë dhe të argumentojnë. Kjo është pikërisht ajo që gjejmë në gjeometri me aksiomat dhe teoremat e saj të shumta, përfundimet dhe provat.

Teorema e kosinusit

Përdorimi

Përveç mësimeve në matematikë dhe fizikë, kjo teoremë përdoret gjerësisht në arkitekturë dhe ndërtim për llogaritjen e brinjëve dhe këndeve të kërkuara. Përdoret për të përcaktuar dimensionet e kërkuara ndërtesat dhe sasinë e materialeve që do të kërkohen për ndërtimin e tij. Sigurisht, shumica e proceseve që më parë kërkonin pjesëmarrje dhe njohuri të drejtpërdrejta njerëzore janë të automatizuara sot. Ka një numër të madh programesh që ju lejojnë të simuloni projekte të tilla në një kompjuter. Programimi i tyre kryhet gjithashtu duke marrë parasysh të gjitha ligjet matematikore, vetitë dhe formulat.