Vetitë e logaritmeve natyrore: grafiku, baza, funksionet, kufiri, formula dhe fusha e përkufizimit. Logaritmi natyror, funksioni ln x

Mësim dhe prezantim me temat: "Logaritmet natyrore. Baza e logaritmit natyror. Logaritmi i një numri natyror"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 11-të
Manual interaktiv për klasat 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktiv për klasat 10-11 "Logaritmet"

Çfarë është logaritmi natyror

Djema, në mësimin e fundit mësuam një numër të ri, të veçantë - sot do të vazhdojmë të punojmë me këtë numër.
I kemi studiuar logaritmet dhe e dimë se baza e një logaritmi mund të jetë shumë numra më të mëdhenj se 0. Sot do të shikojmë edhe një logaritëm baza e të cilit është numri e. Një logaritëm i tillë zakonisht quhet logaritëm natyror. Ai ka shënimin e vet: $\ln(n)$ është logaritmi natyror. Kjo hyrje është ekuivalente me hyrjen: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funksionet eksponenciale dhe logaritmike janë të anasjellta, atëherë logaritmi natyror është inversi i funksionit: $y=e^x$.
Funksionet e anasjellta janë simetrike në lidhje me drejtëzën $y=x$.
Le të vizatojmë logaritmin natyror duke paraqitur funksionin eksponencial në lidhje me drejtëzën $y=x$.

Vlen të theksohet se këndi i prirjes së tangjentes në grafikun e funksionit $y=e^x$ në pikën (0;1) është 45°. Atëherë këndi i prirjes së tangjentes me grafikun e logaritmit natyror në pikën (1;0) do të jetë gjithashtu i barabartë me 45°. Të dyja këto tangjente do të jenë paralele me drejtëzën $y=x$. Le të diagramojmë tangjentet:

Vetitë e funksionit $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nuk është as çift dhe as tek.
3. Rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.
4. Nuk kufizohet nga lart, nuk kufizohet nga poshtë.
5. Vlera më e madhe jo, nuk ka vlerë minimale.
6. E vazhdueshme.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks lart.
9. E dallueshme kudo.

Në lëndën e matematikës së lartë vërtetohet se derivati i një funksioni të kundërt është inversi i derivatit të një funksioni të caktuar.
Nuk ka shumë kuptim të futemi më thellë në provë, le të shkruajmë formulën: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Shembull.
Llogaritni vlerën e derivatit të funksionit: $y=\ln(2x-7)$ në pikën $x=4$.
Zgjidhje.
NË pamje e përgjithshme funksioni ynë përfaqësohet nga funksioni $y=f(kx+m)$, ne mund të llogarisim derivatet e funksioneve të tilla.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Le të llogarisim vlerën e derivatit në pikën e kërkuar: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Përgjigje: 2.

Shembull.
Vizatoni një tangjente në grafikun e funksionit $y=ln(x)$ në pikën $х=е$.
Zgjidhje.
E mbajmë mend mirë ekuacionin e tangjentes në grafikun e një funksioni në pikën $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ne llogarisim në mënyrë sekuenciale vlerat e kërkuara.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ekuacioni tangjent në pikën $x=e$ është funksioni $y=\frac(x)(e)$.
Le të vizatojmë logaritmin natyror dhe vijën tangjente.

Shembull.
Shqyrtoni funksionin për monotoni dhe ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Zgjidhje.
Fusha e përcaktimit të funksionit $D(y)=(0;+∞)$.
Le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivati ekziston për të gjitha x nga fusha e përkufizimit, atëherë pikat kritike Nr. Le të gjejmë pika të palëvizshme:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Pika $х=-1$ nuk i përket domenit të përkufizimit. Atëherë kemi një pikë të palëvizshme $x=1$. Le të gjejmë intervalet e rritjes dhe zvogëlimit:

Pika $x=1$ është pika minimale, pastaj $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Përgjigje: Funksioni zvogëlohet në segmentin (0;1], funksioni rritet në rreze $)