Krahasimi i funksioneve pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha. Funksionet infinitime të vogla

Cilat janë funksionet e vogla të pafundme

Megjithatë, një funksion mund të jetë vetëm infinit i vogël në një pikë specifike. Siç tregohet në figurën 1, funksioni është infinitimal vetëm në pikën 0.

Figura 1. Funksioni pafundësisht i vogël

Nëse kufiri i herësit të dy funksioneve rezulton në 1, funksionet thuhet se janë infinitezimale ekuivalente pasi x tenton në pikën a.

\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Përkufizimi

Nëse funksionet f(x), g(x) janë infinitimale për $x > a$, atëherë:

• Një funksion f(x) quhet infinitezimal i rendit më të lartë në lidhje me g(x) nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Një funksion f(x) quhet infinitezimal i rendit n në lidhje me g(x) nëse është i ndryshëm nga 0 dhe kufiri është i fundëm:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Shembulli 1

Funksioni $y=x^3$ është pafundësisht i vogël i rendit më të lartë për x>0, në krahasim me funksionin y=5x, pasi kufiri i raportit të tyre është 0, kjo shpjegohet me faktin se funksioni $y=x ^3$ tenton në vlerën zero më shpejt:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) \frac(x^(2))(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim)\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Shembulli 2

Funksionet y=x2-4 dhe y=x2-5x+6 janë infinitezimale të të njëjtit rend për x>2, pasi kufiri i raportit të tyre nuk është i barabartë me 0:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ në 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\në 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Vetitë e infinitezimaleve ekuivalente

1. Dallimi midis dy infinitezimaleve ekuivalente është një infinitezimal i rendit më të lartë në lidhje me secilën prej tyre.
2. Nëse nga shuma e disa infinitezimaleve të rendeve të ndryshme hedhim poshtë infinitesimals të rendit më të lartë, atëherë pjesa e mbetur, e quajtur pjesa kryesore, është ekuivalente me të gjithë shumën.

Nga vetia e parë rrjedh se infinitesimals ekuivalente mund të bëhen afërsisht të barabarta me një gabim relativ arbitrarisht të vogël. Prandaj, shenja ≈ përdoret si për të treguar ekuivalencën e infinitezimaleve dhe për të shkruar barazinë e përafërt të vlerave të tyre mjaft të vogla.

Gjatë gjetjes së kufijve, është shumë shpesh e nevojshme të përdoret zëvendësimi i funksioneve ekuivalente për shpejtësinë dhe lehtësinë e llogaritjeve. Tabela e infinitezimaleve ekuivalente është paraqitur më poshtë (Tabela 1).

Ekuivalenca e infinitezimaleve të dhëna në tabelë mund të vërtetohet bazuar në barazinë:

\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Shembulli 3

Le të vërtetojmë ekuivalencën e ln(1+x) dhe x infinitimale.

Dëshmi:

1. Le të gjejmë kufirin e raportit të sasive
\[\mathop(\lim)\limits_(x\në a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Për ta bërë këtë, ne aplikojmë vetinë e logaritmit:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Duke ditur që funksioni logaritmik është i vazhdueshëm në domenin e tij të përkufizimit, ne mund të ndërrojmë shenjën e kufirit dhe funksionin logaritmik:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ drejtë)\]
4. Meqenëse x është një sasi infiniteminale, kufiri tenton në 0. Kjo do të thotë:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ djathtas)=\n e=1\]

(zbatoi kufirin e dytë të mrekullueshëm)

Siç u tregua, shuma, diferenca dhe prodhimi i funksioneve infiniteminale janë infinite-vogël, por nuk mund të thuhet e njëjta gjë për të veçantën: pjesëtimi i një infinite vogël me një tjetër mund të japë rezultate të ndryshme.

Për shembull, nëse a(x) = 2x, p(x) = 3x, atëherë

Nëse a(x) = x 2, P (l;) = x 3, atëherë

Këshillohet që të futen rregulla për krahasimin e funksioneve infinitimale duke përdorur terminologjinë e duhur.

Le në X -» A Funksionet a(x) dhe p(.v) janë infiniteminale. Më pas dallohen opsionet e mëposhtme për krahasimin e tyre, në varësi të vlerës Me kufi në një pikë A marrëdhëniet e tyre:

• 1. Nëse Me= I, atëherë a(x) dhe P(x) janë infinitezimale ekuivalente: a(x) - p(x).
• 2. Nëse Me= 0, atëherë a(x) është një infinitezimal i rendit më të lartë se p(x) (ose ka një rend më të lartë të vogëlsisë).
• 3. Nëse Me = d* 0 (d- numri), atëherë Oh) dhe P(x) janë infinitezimale të të njëjtit rend.

Shpesh nuk mjafton të dihet se një infinit i vogël në raport me një tjetër është një infinit i vogël i një rendi më të lartë të vogëlsisë. Prandaj, përdoret rregulli i mëposhtëm.

4. Nëse Mm - - =d*0, atëherë a(x) është një infinitezimal i rendit të l-të në lidhje me - *->lp"(*)

fjalë për fjalë P(x). Në këtë rast, përdorni simbolin o "o" i vogël"): a(x) = o(P(x)).

Vini re se rregulla të ngjashme për krahasimin e funksioneve infiniteminale për x -»oo janë të vlefshme, X-" -oo, X-> +«>, si dhe në rastin e kufijve të njëanshëm në x -» A majtas dhe djathtas.

Një veti e rëndësishme rrjedh nga rregullat e krahasimit:

atëherë ka një kufi limit 1, dhe të dy këta kufij janë të barabartë.

Në një numër rastesh, deklarata e provuar thjeshton llogaritjen e kufijve dhe kryerjen e vlerësimeve.

Le të shohim disa shembuj.

1. Funksionet e mëkatit X Dhe X në X-» 0 janë ekuivalente me infinitezimale për shkak të kufirit (8.11), d.m.th. në X -> 0 mëkat X ~ X.

Në të vërtetë, ne kemi:

• 2. Funksionet e mëkatit kh dhe mëkati X janë në q: -> 0 infinitezimale të të njëjtit rend, pasi
• 3. Funksioni a(x) = cos ah - cos bx (a * b)është në X-» 0 infinitezimal i rendit të dytë të vogëlsisë në lidhje me infinitimal.v, pasi

Shembulli 7. Gjeni lim

*-+° x + x"

Zgjidhje. Që nga mëkati kh ~ kh Dhe X + x 2 ~ X:

Krahasimi i funksioneve pafundësisht të mëdha

Për funksionet pafundësisht të mëdha, zbatohen gjithashtu rregulla të ngjashme krahasimi, me ndryshimin e vetëm që për to, në vend të termit "rend i vogël", përdoret termi "rend i rritjes".

Le të shpjegojmë atë që është thënë me shembuj.

1. Funksionet f(x) = (2 + x)/x dhe g(x) = 2/x në X-» 0 janë ekuivalente me pafundësisht të mëdha, pasi

Të dhënat e funksionit /(X) dhe #(*) kanë të njëjtin rend rritje.

2. Le të krahasojmë rendet e rritjes së funksioneve f(x) = 2x?+ Unë dhe g(x)= x 3 + X në X-> pse të gjeni kufirin e raportit të tyre:

Nga kjo rrjedh se funksioni g(x) ka një rend më të lartë rritjeje se funksioni / (x).

3. Funksione pafundësisht të mëdha për x -» °o /(x) = 3x 3 + X dhe #(x) = x 3 - 4x 2 kanë të njëjtin rend të rritjes, pasi

4. Funksioni /(x) = x 3 + 2x + 3 është pafundësisht i madh për x -»

rendit i tretë në lidhje me një funksion pafundësisht të madh g(x) = x - Unë, pasi

Le a(x) Dhe b(x) – b.m. funksionon në x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0,…). Le të shqyrtojmë kufirin e raportit të tyre në x® a.

1. Nëse = b Dhe b- numri përfundimtar, b¹ 0, pastaj funksionet a(x), b(x) quhen pafundësisht të vogla një rend i vogël në x® a.

2. Nëse = 0, atëherë a(x) quhet pafundësisht i vogël rendit më të lartë , si b(x) në x® a. Natyrisht, në këtë rast = ¥.

3. Nëse a(x) – b.m. rendit më të lartë se b(x), dhe = b¹ 0 ( b- numri përfundimtar, kÎ N ), Kjo a(x) quhet pafundësisht i vogël k-rendit, në krahasim me b(x) në x® a.

4. Nëse nuk ekziston (as i fundëm, as i pafund), atëherë a(x), b(x) quhen i pakrahasueshëm b.m. në x® a.

5. Nëse = 1, atëherë a(x), b(x) quhen ekuivalente b.m. në x® a, e cila shënohet si më poshtë: a(x) ~ b(x) në x® a.

Shembulli 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Është e qartë se kur x® 1 funksionet a(x), b(x) janë b.m. Për t'i krahasuar ato, le të gjejmë kufirin e raportit të tyre në x® 1:

konkluzioni: a(x b(x) në x® 1.

Është e lehtë të verifikohet se = (sigurohuni!), prej nga rrjedh kjo a(x) – b.m. Rendi i tretë i vogëlsisë, në krahasim me b(x) në x® 1.

Shembulli 2. Funksione a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = mëkat x, a 4 (x) = tg x janë pafundësisht të vogla në x® 0. Le t'i krahasojmë ato:

0, , = 1, = ¥.

Nga këtu konkludojmë se a 2 (x) = x 2 – p.m. rendit më të lartë në krahasim me a 1 (x) Dhe a 3 (x) (në x® 0), a 1 (x) Dhe a 3 (x) – b.m. i njëjti rend a 3 (x) Dhe a 4 (x) – ekuivalent b.m., d.m.th. mëkat x~tg x në x® 0.

Teorema 1. Le a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) në x® a. Nëse ekziston, atëherë të dyja dhe = ekzistojnë.

Dëshmi. = 1, = 1,

= = .

Kjo teoremë e bën më të lehtë gjetjen e kufijve.

Shembulli 3.

Për shkak të kufirit të parë të shquar sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x në x® 0, pra

Teorema 2. Funksionet infiniteminale a(x) Dhe b(x) janë ekuivalente (me x® a) nese dhe vetem nese a(x) – b(x) është b.m. rendit më të lartë në krahasim me a(x) Dhe b(x) (në x® a).

Dëshmi

Le a(x) ~ b(x) në x® a. Pastaj = = 0, d.m.th. ndryshim a(x) – b(x a(x) në në x® a(të ngjashme me b(x)).

Le a(x) – b(x) – b.m. rendit më të lartë në krahasim me a(x) Dhe b(x), do ta tregojmë këtë a(x) ~ b(x) në x® a:

= = + = 1,

Test

Disiplina: Matematikë e lartë

Tema: Kufijtë. Krahasimi i madhësive infiniteminale

1. Kufiri i një sekuence numerike

2. Kufiri i funksionit

3. Kufiri i dytë i mrekullueshëm

4. Krahasimi i madhësive pafundësisht të vogla

Letërsia

1. Kufiri i një sekuence numerike

Zgjidhja e shumë problemeve matematikore dhe të aplikuara çon në një sekuencë numrash të specifikuar në një mënyrë të caktuar. Le të zbulojmë disa nga vetitë e tyre.

Përkufizimi 1.1. Nëse për çdo numër natyror

Bazuar në përkufizimin 1, është e qartë se një sekuencë numrash përmban gjithmonë një numër të pafund elementësh. Studimi i sekuencave të ndryshme të numrave tregon se ndërsa numri rritet, anëtarët e tyre sillen ndryshe. Ato mund të rriten ose zvogëlohen pafundësisht, mund t'i afrohen vazhdimisht një numri të caktuar ose mund të mos tregojnë fare model.

Përkufizimi 1.2. Numri

Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjent. Në këtë rast ata shkruajnë

Natyrisht, për të sqaruar çështjen e konvergjencës së një sekuence numerike, është e nevojshme të kemi një kriter që do të bazohej vetëm në vetitë e elementeve të tij.

Teorema 1.1.(Teorema e Cauchy-t mbi konvergjencën e një sekuence numrash). Në mënyrë që një sekuencë numrash të jetë konvergjente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që për çdo numër

Dëshmi. Domosdoshmëri. Duke pasur parasysh se sekuenca e numrave

Nga kjo rrjedh se

Përshtatshmëria. Është dhënë se

Le të marrim një arbitrare

Nga kjo rrjedh se