Teorema e trekëndëshit arbitrar sinus-kosinus. Vërtetimi i Teoremës së Sinusit

Le të ndërtojmë një trekëndësh arbitrar të gdhendur në një rreth. Le ta shënojmë si ABC.
Për të vërtetuar të gjithë teoremën, duke qenë se dimensionet e trekëndëshit janë zgjedhur në mënyrë arbitrare, mjafton të vërtetohet se raporti i njërës anë arbitrare me këndin përballë tij është i barabartë me 2R. Le të jetë 2R = a / sin α, domethënë nëse marrim nga vizatimi 2R = BC / sin A.

Le të llogarisim diametrin BD për rrethin. Trekëndëshi që rezulton BCD është kënddrejtë sepse hipotenuza e tij shtrihet në diametrin e rrethit të rrethuar (vetia e këndeve të gdhendura në një rreth).

Meqenëse këndet e gdhendura në një rreth të bazuar në të njëjtin hark janë të barabartë, atëherë këndi CDB është ose e barabartë me këndin CAB (nëse pikat A dhe D shtrihen në të njëjtën anë të vijës BC), ose e barabartë me π - CAB (ndryshe).

Le të shohim pronat funksionet trigonometrike. Meqenëse sin(π − α) = sin α, opsionet e treguara për ndërtimin e një trekëndëshi do të çojnë ende në të njëjtin rezultat.

Le të llogarisim vlerën 2R = a / sin α, sipas vizatimit 2R = BC / sin A. Për ta bërë këtë, zëvendësoni sin A me raportin e brinjëve përkatëse të trekëndëshit kënddrejtë.

2R = para Krishtit / mëkati A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

Dhe, meqenëse DB u ndërtua si diametri i një rrethi, atëherë barazia plotësohet.
Duke përsëritur të njëjtin arsyetim për dy anët e tjera të trekëndëshit, marrim:

Teorema e sinusit është vërtetuar.

Teorema e sinuseve

shënim. Kjo është pjesë e një mësimi me probleme gjeometrie (teorema e seksionit të sinuseve). Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është këtu, shkruani për të në forum. Në detyra, në vend të simbolit "rrënjë katrore", përdoret funksioni sqrt(), në të cilin sqrt është simboli. rrenja katrore, dhe shprehja radikale tregohet në kllapa.

Teorema e sinuseve:
Brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me sinuset e këndeve të kundërta, ose, në një formulim të zgjeruar:
a / sin α = b / mëkat β = c / mëkat γ = 2R
ku R është rrezja e rrethit të rrethuar

Për teorinë - formulimin dhe vërtetimin e teoremës, shihni në detaje në kapitullin "Teorema e sinuseve" .

Detyrë

Në trekëndëshin XYZ, këndi X=30, këndi Z=15. Pingulja YQ me ZY e ndan anën XZ në pjesë XQ dhe QZ Gjeni XY nëse QZ = 1,5 m

Zgjidhje.
Lartësia formoi dy trekëndësha kënddrejtë XYQ dhe ZYQ.
Për të zgjidhur problemin, ne do të përdorim teoremën e sinuseve.
QZ / sin(QYZ) = QY / mëkat(QZY)

QZY = 15 gradë, në përputhje me rrethanat, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Meqenëse gjatësia e lartësisë së trekëndëshit tashmë dihet, le të gjejmë XY duke përdorur të njëjtën teoremë të sinuseve.

QY / sin(30) = XY / sin (90)

Le të marrim parasysh vlerat tabelare të disa funksioneve trigonometrike:

sinusi prej 30 gradë është i barabartë me sin(30) = 1/2
sinusi prej 90 gradë është i barabartë me sin(90) = 1

QY = XY mëkat (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Përgjigju: 0,8 m ose 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Teorema e sinuseve (pjesa 2)

Shihni teorinë në detaje në kapitullin "Teorema e sinuseve" .

Detyrë

Brinja AB e trekëndëshit ABC është 16 cm. Këndi A është 30 gradë. Këndi B është 105 gradë. Llogaritni gjatësinë e brinjës BC.

Zgjidhje.
Sipas ligjit të sinuseve, brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me sinuset e këndeve të kundërta:
a / sin α = b / mëkat β = c / mëkat γ

Kështu
BC / sin α = AB / mëkat γ

Madhësinë e këndit C e gjejmë bazuar në faktin se shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me 180 gradë.
C = 180 - 30 -105 = 45 gradë.

Ku:
para Krishtit / mëkati 30° = 16 / mëkati 45°

BC = 16 mëkat 30° / mëkat 45°

Duke iu referuar tabelës së funksioneve trigonometrike, gjejmë:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Përgjigju: 16 / √2

Detyrë.
Në trekëndëshin ABC, këndi A = α, këndi C = β, BC = 7cm, BN është lartësia e trekëndëshit.
Gjeni AN

Maturantët që përgatiten të marrin provimin e unifikuar të shtetit në matematikë dhe duan të marrin rezultate mjaft të larta duhet patjetër të zotërojnë parimin e zgjidhjes së problemeve duke përdorur teoremën e sinuseve dhe kosinuseve. Praktika shumëvjeçare tregon se detyra të ngjashme nga seksioni "Gjeometria e planit" janë një pjesë e detyrueshme e programit të testimit të certifikimit. Prandaj, nëse një nga ju pika të dobëta janë probleme në teoremën e kosinuseve dhe sinuseve, ju rekomandojmë që patjetër të përsërisni teorinë bazë për këtë temë.

Përgatituni për provimin me portalin arsimor Shkolkovo

Ushtrimi më parë dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, shumë maturantë përballen me problemin e gjetjes së teorisë bazë të nevojshme për zgjidhjen e problemeve praktike duke përdorur teoremën e sinuseve dhe kosinuseve.

Teksti shkollor nuk është gjithmonë pranë në kohën e duhur. Dhe gjetja e formulave të nevojshme ndonjëherë mund të jetë mjaft problematike edhe në internet.

Përgatitja për testin e certifikimit me portal arsimor“Shkolkova” do të jetë e cilësisë dhe efikasitetit më të lartë. Për t'i bërë më të lehta problemet në teoremën e sinuseve dhe kosinuseve, ne rekomandojmë të shqyrtojmë të gjithë teorinë për këtë temë. Ekspertët tanë e kanë përgatitur këtë material bazuar në përvojën e gjerë dhe e kanë paraqitur në një formë të kuptueshme. Mund ta gjeni në seksionin "Informacioni Teorik".

Njohja e teoremave dhe përkufizimeve bazë është gjysma e suksesit kur kaloni testin e certifikimit. Ushtrimet e duhura ju lejojnë të përmirësoni aftësitë tuaja në zgjidhjen e shembujve. Për t'i gjetur ato, thjesht shkoni te seksioni "Katalog" në faqen e internetit arsimore Shkolkovo. Ekziston një listë e madhe detyrash me nivele të ndryshme vështirësish, e cila plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Nxënësit mund të plotësojnë problema mbi teoremat e sinuseve dhe kosinuseve, të ngjashme me ato që gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, në internet, ndërsa janë në Moskë ose në ndonjë qytet tjetër rus.

Nëse është e nevojshme, çdo ushtrim, për shembull, mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat". Kjo do t'ju lejojë t'i ktheheni asaj në të ardhmen për të analizuar edhe një herë algoritmin për gjetjen e përgjigjes së saktë dhe për ta diskutuar atë me një mësues në shkollë ose një mësues.

Pjesa e parë e teoremës: brinjët e një trekëndëshi arbitrar në përpjesëtim me sinuset e këndeve të kundërta, domethënë:

Pjesa e dytë e teoremës: çdo thyesë është e barabartë me diametrin e rrethit të përshkruar rreth trekëndëshit të dhënë, pra: .

Komenti i mësuesit të matematikës: përdorimi i pjesës së dytë të teoremës së sinusit përfshihet pothuajse në çdo problem të dytë konkurrues në një rreth. Pse? Fakti është se barazia ju lejon të gjeni rrezen e një rrethi që ka vetëm dy elementë të trekëndëshit. Kjo përdoret shumë shpesh nga përpiluesit e problemeve të forta, të cilët në mënyrë specifike zgjedhin kushtin në mënyrë që asnjë element tjetër i trekëndëshit (dhe i gjithë fotografisë) të mos gjendet fare! "Fotografia" do të jetë lundruese. Kjo rrethanë e ndërlikon shumë punën në provim, sepse nuk bën të mundur veprimin rreth pronës së qenësishme.

Vërtetimi i teoremës së sinuseve:

sipas librit shkollor të Atanasyan
Le të vërtetojmë se për çdo trekëndësh me brinjë a, b, c dhe kënde të kundërta A, B dhe C, barazia vlen: .
Le të nxjerrim lartësinë BH nga kulmi B. Dy raste janë të mundshme:
1) Pika H shtrihet në anën AC (kjo është e mundur kur dhe janë të mprehta).
Sipas përcaktimit të sinusit të një këndi akut në trekëndësh kënddrejtë ABH do të shkruajmë

Në mënyrë të ngjashme, në trekëndëshin CBH kemi . Duke barazuar shprehjet për BH me njëra-tjetrën, marrim:
2)Le të shtrihet H në shtrirjen e anës AC (për shembull, në të majtë të A). Kjo do të ndodhë nëse jeni budalla. Në mënyrë të ngjashme, sipas përkufizimit të sinusit të një këndi akut A në trekëndëshin ABH, ne shkruajmë barazinë, por meqenëse sinuset qoshet ngjitur janë të barabarta, atëherë duke e zëvendësuar këtë barazi me , marrim të njëjtën gjë si në rastin e parë. Prandaj, pavarësisht nga vlerat e këndeve A dhe C, barazia është e vërtetë.
Pasi i ndajmë të dyja anët, marrim . Në mënyrë të ngjashme vërtetohet barazia e çiftit të dytë të thyesave

Vërtetimi i teoremës së sinusit sipas librit shkollor të Pogorelov:

Le të zbatojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi për dy kënde A dhe C:

Pasi barazojmë anët e djathta dhe zvogëlojmë me, fitojmë të njëjtën barazi si në vërtetimin në mënyrën e parë. Nga ajo fitojmë barazinë e thyesave në të njëjtën mënyrë.

Vërtetimi i pjesës së dytë të teoremës së sinusit:

Le të përshkruajmë një rreth rreth këtij trekëndëshi dhe të vizatojmë diametrin e tij BD përmes B. Meqenëse këndet D dhe C qëndrojnë në të njëjtin hark, ata janë të barabartë (pasojë e teoremës së këndit të brendashkruar). Pastaj . Le të zbatojmë përkufizimin e sinusit të këndit D në trekëndëshin ABD: Kjo është ajo që na duhej të vërtetonim.

Problemet për pjesën e dytë të teoremës së sinusit:
1) Një trapez është i gdhendur në një rreth me rreze 15. Gjatësitë e diagonales dhe lartësisë së trapezit janë përkatësisht 20 dhe 6. Gjeni anën.
2) Rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një trapezi është 25, dhe kosinusi i tij kënd i mpirë e barabartë me -0.28 (minus!!!). Diagonalja e një trapezi formon një kënd me bazën. Gjeni lartësinë e trapezit.
3) Një trapezoid është i gdhendur në një rreth me rreze 10. Gjatësitë diagonale dhe vija e mesme trapezët janë përkatësisht 15 dhe 12. Gjeni gjatësinë e anës së trapezit.
4) Olimpiada në Akademinë Financiare 2009 Kordat e rrethit priten në pikën Q. Dihet se a rrezja e rrethit është 4 cm. Gjeni gjatësinë e kordës PN. Olimpiada në Akademinë Financiare 2009
5) Në trekëndëshin PST. Rreth pikës së kryqëzimit të përgjysmuesve dhe kulmeve P dhe T rrethohet rrethi me rreze 8 cm. Gjeni rrezen e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit PST (problemi i autorit).

Analizoni në detaje teoremën e sinusit dhe merrni praktikë e nevojshme Një mësues matematike do t'ju ndihmojë gjithmonë ta përdorni atë në probleme. Ajo kishte planifikuar studim në shkollë zhvillohet në lëndën e gjeometrisë së klasës së 9-të me temën e zgjidhjes së trekëndëshave (për të gjitha programet). Nëse keni nevojë për përgatitje për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë për të kaluar provimin me të paktën 70 pikë, do të duhet të stërviteni për zgjidhjen e problemeve të forta planimetrike nga numrat C4. Në to, teorema e sinuseve zbatohet shpesh në trekëndëshat e brendashkruar, duke marrë parasysh relacionin. Mbaje mend këte!

Sinqerisht, Kolpakov Alexander Nikolaevich,
mësues matematike

Kur studioni trekëndëshat, lind çështja e llogaritjes së marrëdhënies midis brinjëve dhe këndeve të tyre në mënyrë të pavullnetshme. Gjeometria dhe Sines ofron përgjigjen më të plotë për të zgjidhur këtë problem. Në bollëkun e shprehjeve dhe formulave, ligjeve, teoremave dhe rregullave të ndryshme matematikore, ka nga ato që dallohen për harmoninë e jashtëzakonshme, koncizitetin dhe thjeshtësinë e paraqitjes së kuptimit që përmbajnë. Teorema e sinusit është një shembull kryesor i një formulimi të tillë matematikor. Nëse në interpretimin verbal ekziston edhe një pengesë në kuptimin e këtij rregulli matematikor, atëherë kur shikohet formula matematikore gjithçka bie menjëherë në vend.

Informacioni i parë për këtë teoremë u zbulua në formën e një prove në kuadrin e punës matematikore të Nasir ad-Din At-Tusi, që daton në shekullin e trembëdhjetë.

Duke iu afruar shqyrtimit të raportit të brinjëve dhe këndeve në çdo trekëndësh, vlen të përmendet se teorema e sinuseve na lejon të zgjidhim masën problemet matematikore, ndërsa ky ligj i gjeometrisë gjen zbatim në lloje të ndryshme veprimtari praktike njerëzore.

Vetë teorema e sinusit thotë se çdo trekëndësh karakterizohet nga proporcionaliteti i brinjëve të tij me sinuset e këndeve të kundërta. Ekziston edhe një pjesë e dytë e kësaj teoreme, sipas së cilës raporti i çdo brinjë të trekëndëshit me sinusin e këndit të kundërt është i barabartë me atë të përshkruar rreth trekëndëshit në fjalë.

Në formën e formulës, kjo shprehje duket si

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Teorema e sinusit ka një provë e cila është opsione të ndryshme tekstet shkollore ofrohen në një shumëllojshmëri të pasur versionesh.

Si shembull, merrni parasysh një nga provat që shpjegon pjesën e parë të teoremës. Për ta bërë këtë, ne i vendosëm vetes qëllimin për të vërtetuar korrektësinë e shprehjes asinC= csinA.

Në një trekëndësh arbitrar ABC, ne ndërtojmë lartësinë BH. Në një nga opsionet e ndërtimit, H do të shtrihet në segmentin AC, dhe në tjetrin jashtë tij, në varësi të madhësisë së këndeve në kulmet e trekëndëshave. Në rastin e parë, lartësia mund të shprehet në terma të këndeve dhe brinjëve të trekëndëshit, si BH = a sinC dhe BH = c sinA, që është prova e kërkuar.

Në rastin kur pika H është jashtë segmentit AC, mund të marrim zgjidhjet e mëposhtme:

VN = a sinC dhe VN = c sin(180-A)= c sinA;

ose VN = një sin (180-C) = një sinC dhe VN = c sinA.

Siç mund ta shihni, pavarësisht nga opsionet e ndërtimit, ne arrijmë në rezultatin e dëshiruar.

Vërtetimi i pjesës së dytë të teoremës do të na kërkojë të vizatojmë një rreth rreth trekëndëshit. Duke përdorur një nga lartësitë e trekëndëshit, për shembull B, ndërtojmë diametrin e rrethit. Ne e lidhim pikën që rezulton në rrethin D me një nga lartësitë e trekëndëshit, le të jetë pika A e trekëndëshit.

Nëse marrim parasysh trekëndëshat ABD dhe ABC që rezultojnë, do të vërejmë se këndet C dhe D janë të barabartë (ata qëndrojnë në të njëjtin hark). Dhe duke pasur parasysh se këndi A është i barabartë me nëntëdhjetë gradë, atëherë sin D = c/2R, ose sin C = c/2R, që është ajo që duhej vërtetuar.

Teorema e sinusit është pika fillestare për zgjidhjen e një game të gjerë të detyra të ndryshme. Apeli i tij i veçantë qëndron në zbatimin e tij praktik, si pasojë e teoremës, ne kemi mundësinë të lidhim me njëra-tjetrën vlerat e brinjëve të një trekëndëshi, këndet e kundërta dhe rrezen (diametrin) e rrethit të përshkruar rreth tij; trekëndëshi. Thjeshtësia dhe aksesueshmëria e formulës që e përshkruan këtë shprehje matematikore, bëri të mundur përdorimin e gjerë të kësaj teoreme për zgjidhjen e problemeve duke përdorur pajisje të ndryshme llogaritëse mekanike, tabela, etj.), por edhe ardhja e pajisjeve të fuqishme kompjuterike në shërbimin njerëzor nuk e zvogëloi rëndësinë e kësaj teoreme.

Kjo teoremë nuk përfshihet vetëm në lëndën e detyrueshme të gjeometrisë gjimnaz, por përdoret edhe më tej në disa fusha të veprimtarisë praktike.