Rendi i zbërthimit. Rastet komplekse të faktorizimit të polinomeve

Faktorizimi i polinomeve është një transformim identiteti, si rezultat i të cilit një polinom shndërrohet në produkt të disa faktorëve - polinomeve ose monomëve.

Ka disa mënyra për të faktorizuar polinomet.

Metoda 1. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave.

Ky transformim bazohet në ligjin shpërndarës të shumëzimit: ac + bc = c(a + b). Thelbi i transformimit është izolimi i faktorit të përbashkët në dy komponentët në shqyrtim dhe "heqja" e tij nga kllapat.

Le të faktorizojmë polinomin 28x 3 – 35x 4.

Zgjidhje.

1. Gjeni një pjesëtues të përbashkët për elementet 28x3 dhe 35x4. Për 28 dhe 35 do të jetë 7; për x 3 dhe x 4 – x 3. Me fjalë të tjera, faktori ynë i përbashkët është 7x3.

2. Secilin prej elementeve e paraqesim si produkt faktorësh, njëri prej të cilëve
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapa
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. "Mjeshtëria" e përdorimit të kësaj metode është të vëreni një nga formulat e shkurtuara të shumëzimit në shprehje.

Le të faktorizojmë polinomin x 6 – 1.

Zgjidhje.

1. Në këtë shprehje mund të zbatojmë formulën e ndryshimit të katrorëve. Për ta bërë këtë, imagjinoni x 6 si (x 3) 2, dhe 1 si 1 2, d.m.th. 1. Shprehja do të marrë formën:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Mund të zbatojmë formulën për shumën dhe ndryshimin e kubeve në shprehjen që rezulton:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kështu që,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupimi. Metoda e grupimit është të kombinohen përbërësit e një polinomi në mënyrë të tillë që të jetë e lehtë të kryhen veprime mbi to (mbledhja, zbritja, zbritja e një faktori të përbashkët).

Le të faktorizojmë polinomin x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Zgjidhje.

1. Le t'i grupojmë përbërësit në këtë mënyrë: i pari me të dytin dhe i 3-ti me të katërtin.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Në shprehjen që rezulton, nxjerrim faktorët e përbashkët nga kllapat: x 2 në rastin e parë dhe 5 në të dytin.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Marrim faktorin e përbashkët x – 3 nga kllapat dhe marrim:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Kështu që,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Le të sigurojmë materialin.

Faktoroni polinomin a 2 – 7ab + 12b 2 .

Zgjidhje.

1. Le të paraqesim monomin 7ab si shumë 3ab + 4ab. Shprehja do të marrë formën:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Le të hapim kllapat dhe të marrim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Të grupojmë përbërësit e polinomit në këtë mënyrë: 1 me 2 dhe 3 me 4. Ne marrim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Le të nxjerrim faktorin e përbashkët (a – 3b) nga kllapat:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Kështu që,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Në përgjithësi, kjo detyrë kërkon një qasje krijuese, pasi nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e saj. Por le të përpiqemi të japim disa këshilla.

Në shumicën dërrmuese të rasteve, faktorizimi i një polinomi bazohet në një përfundim të teoremës së Bezout, domethënë, rrënja gjendet ose zgjidhet dhe shkalla e polinomit zvogëlohet me një duke e pjesëtuar me . Kërkohet rrënja e polinomit që rezulton dhe procesi përsëritet deri në zgjerimin e plotë.

Nëse rrënja nuk mund të gjendet, atëherë përdoren metoda specifike të zgjerimit: nga grupimi deri te futja e termave shtesë reciprokisht ekskluzive.

Paraqitja e mëtejshme bazohet në aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta me koeficientë të plotë.

Përmbledhja e faktorit të përbashkët.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur termi i lirë e barabartë me zero, pra polinomi ka formën .

Natyrisht, rrënja e një polinomi të tillë është , domethënë ne mund ta përfaqësojmë polinomin në formën .

Kjo metodë nuk është asgjë më shumë se duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Shembull.

Faktoroni një polinom të shkallës së tretë.

Zgjidhje.

Është e qartë se cila është rrënja e polinomit, d.m.th X mund të hiqet nga kllapat:

Le të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik

Kështu,

Në krye të faqes

Faktorizimi i një polinomi me rrënjë racionale.

Së pari, le të shqyrtojmë një metodë për zgjerimin e një polinomi me koeficientë të plotë të formës , koeficienti i shkallës më të lartë është i barabartë me një.

Në këtë rast, nëse një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato janë pjesëtues të termit të lirë.

Shembull.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë nëse ka rrënjë të paprekura. Për ta bërë këtë, shkruani pjesëtuesit e numrit -18 : . Kjo do të thotë, nëse një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër numrat e shkruar. Le t'i kontrollojmë këta numra në mënyrë sekuenciale duke përdorur skemën e Hornerit. Komoditeti i tij qëndron gjithashtu në faktin se në fund marrim koeficientët e zgjerimit të polinomit:

Kjo eshte, x=2 Dhe x=-3 janë rrënjët e polinomit origjinal dhe ne mund ta paraqesim atë si produkt:

Gjithçka që mbetet është të dekompozohet trinom kuadratik.

Diskriminuesi i këtij trinomi është negativ, prandaj nuk ka rrënjë reale.

Përgjigje:

Koment:

Në vend të skemës së Hornerit, mund të përdoret zgjedhja e rrënjës dhe ndarja pasuese e polinomit me një polinom.

Tani konsideroni zgjerimin e një polinomi me koeficientë të plotë të formës , dhe koeficienti i shkallës më të lartë nuk është i barabartë me një.

Në këtë rast, polinomi mund të ketë rrënjë fraksionale racionale.

Shembull.

Faktoroni shprehjen.

Zgjidhje.

Duke kryer një ndryshim variabël y=2x, le të kalojmë në një polinom me një koeficient të barabartë me një në shkallën më të lartë. Për ta bërë këtë, së pari shumëzojeni shprehjen me 4 .

Nëse funksioni që rezulton ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Le t'i shkruajmë ato:

Le të llogarisim në mënyrë sekuenciale vlerat e funksionit g(y) në këto pika derisa të arrihet zero.

Faktorizimi i një ekuacioni është procesi i gjetjes së atyre termave ose shprehjeve që, kur shumëzohen, çojnë në ekuacionin fillestar. Faktorizimi është një aftësi e dobishme për zgjidhjen e problemeve bazë të algjebrës dhe bëhet pothuajse thelbësore kur punoni me ekuacione kuadratike dhe polinome të tjera. Faktorizimi përdoret për të thjeshtuar ekuacionet algjebrike për t'i bërë ato më të lehta për t'u zgjidhur. Faktorizimi mund t'ju ndihmojë të eliminoni disa përgjigje të mundshme më shpejt se sa duke zgjidhur një ekuacion me dorë.

Hapat

Faktorizimi i numrave dhe shprehjet algjebrike bazë

1. Numrat e faktorizimit. Koncepti i faktorizimit është i thjeshtë, por në praktikë faktorizimi mund të jetë sfidues (nëse jepet një ekuacion kompleks). Prandaj, së pari, le të shohim konceptin e faktorizimit duke përdorur numrat si shembull dhe të vazhdojmë me ekuacione të thjeshta, dhe më pas kaloni te ekuacionet komplekse. Faktorët e një numri të caktuar janë numrat që, kur shumëzohen, japin numrin origjinal. Për shembull, faktorët e numrit 12 janë numrat: 1, 12, 2, 6, 3, 4, pasi 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Po kështu, ju mund të mendoni për faktorët e një numri si pjesëtues të tij, domethënë numrat me të cilët pjesëtohet numri.
   • Gjeni të gjithë faktorët e numrit 60. Ne shpesh përdorim numrin 60 (për shembull, 60 minuta në një orë, 60 sekonda në një minutë, etj.) dhe ky numër ka mjaft nje numer i madh i shumëzuesit.
     • 60 shumëzues: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dhe 60.

2. Mbani mend: mund të faktorizohen edhe termat e një shprehjeje që përmban një koeficient (numër) dhe një ndryshore. Për ta bërë këtë, gjeni faktorët e koeficientit për variablin. Duke ditur se si të faktorizoni termat e ekuacioneve, mund ta thjeshtoni lehtësisht këtë ekuacion.

   • Për shembull, termi 12x mund të shkruhet si prodhim i 12 dhe x. Ju gjithashtu mund të shkruani 12x si 3(4x), 2(6x), etj., duke ndarë 12 në faktorët që funksionojnë më mirë për ju.
     • Mund të merreni 12 herë shumë herë radhazi. Me fjalë të tjera, nuk duhet të ndaleni në 3 (4x) ose 2 (6x); vazhdoni zgjerimin: 3(2(2x)) ose 2(3(2x)) (natyrisht 3(4x)=3(2(2x)), etj.)

3. Zbatoni vetinë shpërndarëse të shumëzimit në ekuacionet algjebrike të faktorëve. Duke ditur si të faktorizoni numrat dhe termat e shprehjes (koeficientët me ndryshore), mund të thjeshtoni ekuacionet e thjeshta algjebrike duke gjetur faktorin e përbashkët të një numri dhe termi shprehës. Në mënyrë tipike, për të thjeshtuar një ekuacion, ju duhet të gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCD). Ky thjeshtim është i mundur për shkak të vetive shpërndarëse të shumëzimit: për çdo numër a, b, c, barazia a(b+c) = ab+ac është e vërtetë.

   • Shembull. Faktoroni ekuacionin 12x + 6. Së pari, gjeni gcd-në e 12x dhe 6. 6 është numri më i madh që pjesëton edhe 12x edhe 6, kështu që mund ta faktorizoni këtë ekuacion me: 6(2x+1).
   • Ky proces është gjithashtu i vërtetë për ekuacionet që kanë terma negativë dhe thyesorë. Për shembull, x/2+4 mund të faktorizohet në 1/2(x+8); për shembull, -7x+(-21) mund të faktorizohet në -7(x+3).

   Faktorizimi i ekuacioneve kuadratike

   1. Sigurohuni që ekuacioni të jetë dhënë në formë kuadratike (ax 2 + bx + c = 0). Ekuacionet kuadratike kanë formën: ax 2 + bx + c = 0, ku a, b, c janë koeficientë numerikë të ndryshëm nga 0. Nëse ju jepet një ekuacion me një ndryshore (x) dhe në këtë ekuacion ka një ose më shumë terma me një ndryshore të rendit të dytë , mund të zhvendosni të gjitha termat e ekuacionit në njërën anë të ekuacionit dhe ta vendosni atë të barabartë me zero.

      • Për shembull, duke pasur parasysh ekuacionin: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Kjo mund të shndërrohet në ekuacionin x 2 + 6x + 9 = 0, që është një ekuacion kuadratik.
      • Ekuacionet me variabël x të urdhrave të mëdhenj, për shembull, x 3, x 4, etj. nuk janë ekuacione kuadratike. Këto janë ekuacione kubike, ekuacione të rendit të katërt, e kështu me radhë (përveç nëse ekuacione të tilla mund të thjeshtohen në ekuacione kuadratike me variablin x të ngritur në fuqinë 2).

   2. Ekuacionet kuadratike, ku a = 1, zgjerohen në (x+d)(x+e), ku d*e=c dhe d+e=b. Nëse ekuacioni kuadratik që ju është dhënë ka formën: x 2 + bx + c = 0 (d.m.th., koeficienti i x 2 është 1), atëherë një ekuacion i tillë mund (por nuk është i garantuar) të zgjerohet në faktorët e mësipërm. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni dy numra që, kur shumëzohen, japin "c", dhe kur shtohen, "b". Pasi të gjeni këta dy numra (d dhe e), zëvendësojini me shprehjen e mëposhtme: (x+d)(x+e), e cila, kur hap kllapat, të çon në ekuacionin origjinal.

      • Për shembull, duke pasur parasysh një ekuacion kuadratik x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dhe 3+2=5, kështu që mund ta faktorizoni këtë ekuacion në (x+3)(x+2).
      • Për terma negativë, bëni ndryshimet e vogla të mëposhtme në procesin e faktorizimit:
        • Nëse një ekuacion kuadratik ka formën x 2 -bx+c, atëherë ai zgjerohet në: (x-_)(x-_).
        • Nëse një ekuacion kuadratik ka formën x 2 -bx-c, atëherë ai zgjerohet në: (x+_)(x-_).
      • Shënim: hapësirat mund të zëvendësohen me thyesa ose numra dhjetorë. Për shembull, ekuacioni x 2 + (21/2)x + 5 = 0 zgjerohet në (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizimi me provë dhe gabim. Ekuacionet e thjeshta kuadratike mund të faktorizohen thjesht duke zëvendësuar numrat në zgjidhjet e mundshme derisa të gjeni vendimi i duhur. Nëse ekuacioni ka formën ax 2 +bx+c, ku a>1, zgjidhjet e mundshme shkruhen në formën (dx +/- _)(ex +/- _), ku d dhe e janë koeficientë numerikë jo zero. , të cilat kur shumëzohen japin a. Ose d ose e (ose të dy koeficientët) mund të jenë të barabartë me 1. Nëse të dy koeficientët janë të barabartë me 1, atëherë përdorni metodën e përshkruar më sipër.

      • Për shembull, duke pasur parasysh ekuacionin 3x 2 - 8x + 4. Këtu 3 ka vetëm dy faktorë (3 dhe 1), kështu që zgjidhjet e mundshme shkruhen si (3x +/- _)(x +/- _). Në këtë rast, duke zëvendësuar hapësirat -2, do të gjeni përgjigjen e saktë: -2*3x=-6x dhe -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dhe -2*-2=4, domethënë, një zgjerim i tillë gjatë hapjes së kllapave do të çojë në termat e ekuacionit origjinal.

Çdo polinom algjebrik i shkallës n mund të paraqitet si produkt i n-faktorëve linearë të formës dhe një numri konstant, i cili është koeficienti i polinomit në shkallën më të lartë x, d.m.th.

Ku - janë rrënjët e polinomit.

Rrënja e një polinomi është numri (real ose kompleks) që e bën polinomin të zhduket. Rrënjët e një polinomi mund të jenë ose rrënjë reale ose rrënjë komplekse të konjuguara, atëherë polinomi mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:

Le të shqyrtojmë metodat për zbërthimin e polinomeve të shkallës "n" në produktin e faktorëve të shkallës së parë dhe të dytë.

Metoda nr. 1.Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.

Koeficientët e një shprehjeje të tillë të transformuar përcaktohen me metodën e koeficientëve të pacaktuar. Thelbi i metodës është se lloji i faktorëve në të cilët zbërthehet një polinom i caktuar është i njohur paraprakisht. Kur përdorni metodën e koeficientëve të pasigurt, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

P.1. Dy polinome janë identikisht të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë për të njëjtat fuqi të x.

P.2. Çdo polinom i shkallës së tretë zbërthehet në prodhim të faktorëve linearë dhe kuadratikë.

P.3. Çdo polinom i shkallës së katërt mund të zbërthehet në produktin e dy polinomeve të shkallës së dytë.

Shembulli 1.1.Është e nevojshme të faktorizohet shprehja kubike:

P.1. Në përputhje me pohimet e pranuara, barazia identike vlen për shprehjen kubike:

P.2. Ana e djathtë e shprehjes mund të përfaqësohet si terma si më poshtë:

P.3. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh nga kushti i barazisë së koeficientëve në fuqitë përkatëse të shprehjes kubike.

Ky sistem ekuacionesh mund të zgjidhet duke zgjedhur koeficientët (nëse është një problem i thjeshtë akademik) ose mund të përdoren metoda zgjidhjeje. sistemet jolineare ekuacionet. Duke vendosur këtë sistem ekuacionet, ne gjejmë se koeficientët e pasigurt përcaktohen si më poshtë:

Kështu, shprehja origjinale faktorizohet në formën e mëposhtme:

Kjo metodë mund të përdoret si në llogaritjet analitike ashtu edhe në programimin kompjuterik për të automatizuar procesin e gjetjes së rrënjës së një ekuacioni.

Metoda nr. 2.Formulat Vieta

Formulat e Vieta-s janë formula që lidhin koeficientët e ekuacioneve algjebrike të shkallës n dhe rrënjët e saj. Këto formula u prezantuan në mënyrë implicite në veprat e matematikanit francez François Vieta (1540 - 1603). Për shkak të faktit se Vieth konsideronte vetëm rrënjë reale pozitive, prandaj ai nuk pati mundësinë t'i shkruante këto formula në një formë të përgjithshme eksplicite.

Për çdo polinom algjebrik të shkallës n që ka rrënjë n-reale,

Janë të vlefshme relacionet e mëposhtme që lidhin rrënjët e një polinomi me koeficientët e tij:

Formulat e Vieta janë të përshtatshme për t'u përdorur për të kontrolluar saktësinë e gjetjes së rrënjëve të një polinomi, si dhe për të ndërtuar një polinom nga rrënjët e dhëna.

Shembulli 2.1. Le të shqyrtojmë se si rrënjët e një polinomi lidhen me koeficientët e tij duke përdorur shembullin e një ekuacioni kub

Në përputhje me formulat e Vieta, marrëdhënia midis rrënjëve të një polinomi dhe koeficientëve të tij ka formën e mëposhtme:

Marrëdhënie të ngjashme mund të bëhen për çdo polinom të shkallës n.

Metoda nr. 3. Zbërthimi ekuacioni kuadratik ndaj faktorëve me rrënjë racionale

Nga formula e fundit e Vietës del se rrënjët e një polinomi janë pjesëtues të termit të lirë dhe koeficientit kryesor. Në lidhje me këtë, nëse deklarata e problemit specifikon një polinom të shkallës n me koeficientë të plotë

atëherë ky polinom ka një rrënjë racionale (thyesë e pareduktueshme), ku p është pjesëtuesi i termit të lirë, dhe q është pjesëtuesi i koeficientit kryesor. Në këtë rast, një polinom i shkallës n mund të përfaqësohet si (teorema e Bezout):

Një polinom shkalla e të cilit është 1 më pak se shkalla e polinomit fillestar përcaktohet duke pjesëtuar një polinom të binomit të shkallës n, për shembull duke përdorur skemën e Hornerit ose shumicën në një mënyrë të thjeshtë- "kolona".

Shembulli 3.1.Është e nevojshme të faktorizohet polinomi

P.1. Për faktin se koeficienti i anëtarit më të lartë është i barabartë me një, rrënjët racionale të këtij polinomi janë pjesëtues të termit të lirë të shprehjes, d.m.th. mund të jenë numra të plotë . Secilin nga numrat e paraqitur e zëvendësojmë në shprehjen origjinale dhe gjejmë se rrënja e polinomit të paraqitur është e barabartë me .

Le të ndajmë polinomin origjinal me një binom:

Le të përdorim skemën e Horner

Koeficientët e polinomit origjinal vendosen në vijën e sipërme, ndërsa qeliza e parë e rreshtit të sipërm mbetet bosh.

Në qelizën e parë të rreshtit të dytë shkruhet rrënja e gjetur (në shembullin në shqyrtim shkruhet numri "2"), dhe vlerat e mëposhtme në qeliza llogariten në një mënyrë të caktuar dhe ato janë koeficientët të polinomit, i cili fitohet duke pjesëtuar polinomin me binomin. Koeficientët e panjohur përcaktohen si më poshtë:

Vlera nga qeliza përkatëse e rreshtit të parë transferohet në qelizën e dytë të rreshtit të dytë (në shembullin në shqyrtim, shkruhet numri "1").

Qeliza e tretë e rreshtit të dytë përmban vlerën e produktit të qelizës së parë dhe qelizën e dytë të rreshtit të dytë plus vlerën nga qeliza e tretë e rreshtit të parë (në shembullin në shqyrtim 2 ∙1 -5 = -3 ).

Qeliza e katërt e rreshtit të dytë përmban vlerën e produktit të qelizës së parë dhe qelizën e tretë të rreshtit të dytë plus vlerën nga qeliza e katërt e rreshtit të parë (në shembullin në shqyrtim, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Kështu, polinomi origjinal faktorizohet:

Metoda numër 4.Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit

Formulat e shkurtuara të shumëzimit përdoren për të thjeshtuar llogaritjet, si dhe për faktorizimin e polinomeve. Formulat e shkurtuara të shumëzimit ju lejojnë të thjeshtoni zgjidhjen e problemeve individuale.

Formulat e përdorura për faktorizimin

Duke marrë parasysh shumëzimin e polinomeve, kujtuam disa formula, përkatësisht: formulat për (a + b)², për (a – b)², për (a + b) (a – b), për (a + b)³ dhe për (a – b)³.

Nëse një polinom i dhënë rezulton të përputhet me njërën nga këto formula, atëherë do të jetë e mundur të faktorizohet. Për shembull, polinomi a² – 2ab + b², ne e dimë, është i barabartë me (a – b)² [ose (a – b) · (a – b), pra kemi arritur të faktorizojmë a² – 2ab + b² në 2 faktorë ]; Gjithashtu

Le të shohim të dytin nga këta shembuj. Shohim që polinomi i dhënë këtu i përshtatet formulës së përftuar nga katrori i diferencës së dy numrave (katrori i numrit të parë, minus produktin e dy nga numri i parë dhe i dyti, plus katrorin e numrit të dytë): x 6 është katrori i numrit të parë, dhe për këtë arsye, vetë numri i parë është x 3, katrori i numrit të dytë është termi i fundit i polinomit të dhënë, pra 1, vetë numri i dytë është, pra, edhe 1; prodhimi i dy nga numri i parë dhe i dyti është termi –2x 3, sepse 2x 3 = 2 x 3 1. Prandaj, polinomi ynë është marrë duke kuadruar diferencën e numrave x 3 dhe 1, d.m.th. është i barabartë me (x 3 - 12 . Le të shohim një shembull tjetër të 4-të. Shohim që ky polinom a 2 b 2 – 25 mund të konsiderohet si diferenca e katrorëve të dy numrave, përkatësisht katrori i numrit të parë është a 2 b 2, pra, vetë numri i parë është ab, katrori i numri i dytë është 25, pse vetë numri i dytë është 5. Prandaj, polinomi ynë mund të konsiderohet si i fituar nga shumëzimi i shumës së dy numrave me ndryshimin e tyre, d.m.th.

(ab + 5) (ab – 5).

Ndonjëherë ndodh që në një polinom të caktuar termat të mos renditen në rendin me të cilin jemi mësuar, për shembull.

9a 2 + b 2 + 6ab - mendërisht ne mund të riorganizojmë termat e dytë dhe të tretë, dhe atëherë do të na bëhet e qartë se trinomi ynë = (3a + b) 2.

... (ne riorganizojmë mendërisht termat e parë dhe të dytë).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, etj.

Le të shqyrtojmë një polinom tjetër

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Shohim se termi i tij i parë është katrori i numrit a dhe termi i tretë është katrori i numrit 2b, por termi i dytë nuk është prodhimi i dy nga numri i parë dhe i dyti - një produkt i tillë do të ishte i barabartë me 2 a 2b = 4ab. Prandaj, është e pamundur të zbatohet formula për katrorin e shumës së dy numrave në këtë polinom. Nëse dikush shkruante se a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, atëherë kjo do të ishte e pasaktë - duhet të merren parasysh me kujdes të gjitha termat e polinomit përpara se të aplikoni faktorizimin në të duke përdorur formula.

40. Një kombinim i të dyja teknikave. Ndonjëherë, kur faktorizoni polinomet, duhet të kombinoni si teknikën e nxjerrjes së faktorit të përbashkët jashtë kllapave, ashtu edhe teknikën e përdorimit të formulave. Këtu janë shembuj:

1. 2a 3 – 2ab 2. Le të marrim së pari faktorin e përbashkët 2a nga kllapat dhe marrim 2a (a 2 – b 2). Faktori a 2 – b 2, nga ana tjetër, zbërthehet sipas formulës në faktorët (a + b) dhe (a - b).

Ndonjëherë ju duhet të përdorni teknikën e dekompozimit të formulës disa herë:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Shohim që faktori i parë a 2 + b 2 nuk përshtatet me asnjë nga formulat e njohura; Për më tepër, duke kujtuar raste të veçanta të pjesëtimit (pika 37), do të përcaktojmë se a 2 + b 2 (shuma e katrorëve të dy numrave) nuk mund të faktorizohet fare. I dyti nga faktorët që rezultojnë a 2 – b 2 (diferenca me katrorin e dy numrave) zbërthehet në faktorë (a + b) dhe (a – b). Kështu që,

41. Zbatimi i rasteve të veçanta të ndarjes. Bazuar në paragrafin 37, ne mund të shkruajmë menjëherë se, për shembull,