Hetimi i një funksioni me një zgjidhje të detajuar. Si të ekzaminojmë një funksion dhe ta grafikojmë atë

Një nga detyrat më të rëndësishme të llogaritjes diferenciale është zhvillimi shembuj të zakonshëm studime të sjelljes së funksionit.

Nëse funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në intervalin , dhe derivati ​​i tij është pozitiv ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) rritet me (f"(x)0) Nëse funksioni y=f (x) është i vazhdueshëm në segmentin , dhe derivati ​​i tij është negativ ose i barabartë me 0 në intervalin (a,b), atëherë y=f(x) zvogëlohet me (f"(x)0. )

Intervalet në të cilat funksioni nuk zvogëlohet ose rritet quhen intervale të monotonitetit të funksionit. Monotonia e një funksioni mund të ndryshojë vetëm në ato pika të fushës së përkufizimit të tij në të cilat ndryshon shenja e derivatit të parë. Pikat në të cilat derivati ​​i parë i një funksioni zhduket ose ka një ndërprerje quhen kritike.

Teorema 1 (kushti i parë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Le të përcaktohet funksioni y=f(x) në pikën x 0 dhe le të ketë një fqinjësi δ>0 të tillë që funksioni të jetë i vazhdueshëm në interval dhe i diferencueshëm në intervalin (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dhe derivati ​​i tij ruan një shenjë konstante në secilin prej këtyre intervaleve. Atëherë nëse në x 0 -δ,x 0) dhe (x 0 , x 0 +δ) shenjat e derivatit janë të ndryshme, atëherë x 0 është një pikë ekstreme, dhe nëse ato përkojnë, atëherë x 0 nuk është një pikë ekstreme. . Për më tepër, nëse, kur kalon në pikën x0, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus (në të majtë të x 0 f"(x)>0 është i kënaqur, atëherë x 0 është pika maksimale; nëse derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus (në të djathtë të x 0 ekzekutuar f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Pikat maksimale dhe minimale quhen pikat ekstreme të funksionit, dhe maksimumi dhe minimumi i funksionit quhen vlera ekstreme të tij.

Teorema 2 (një shenjë e nevojshme e një ekstremi lokal).

Nëse funksioni y=f(x) ka një ekstrem në rrymën x=x 0, atëherë as f’(x 0)=0 ose f’(x 0) nuk ekziston.
Në pikat ekstreme të funksionit të diferencueshëm, tangjentja me grafikun e tij është paralele me boshtin Ox.

Algoritmi për studimin e një funksioni për një ekstrem:

1) Gjeni derivatin e funksionit.
2) Gjeni pikat kritike, d.m.th. pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​është zero ose nuk ekziston.
3) Konsideroni fqinjësinë e secilës pikë dhe shqyrtoni shenjën e derivatit majtas dhe djathtas të kësaj pike.
4) Përcaktoni koordinatat e pikave ekstreme për këtë, zëvendësoni vlerat e pikave kritike në këtë funksion. Duke përdorur kushte të mjaftueshme për ekstremin, nxirrni përfundimet e duhura.

Shembulli 18. Shqyrtoni funksionin y=x 3 -9x 2 +24x për një ekstrem

Zgjidhje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Duke barazuar derivatin me zero, gjejmë x 1 =2, x 2 =4. Në këtë rast, derivati ​​përcaktohet kudo; Kjo do të thotë se përveç dy pikave të gjetura, nuk ka pika të tjera kritike.
3) Shenja e derivatit y"=3(x-2)(x-4) ndryshon në varësi të intervalit siç tregohet në figurën 1. Kur kalon në pikën x=2, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, dhe kur kalon nëpër pikën x=4 - nga minus në plus.
4) Në pikën x=2 funksioni ka një maksimum y max =20, dhe në pikën x=4 - një minimum y min =16.

Teorema 3. (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Le të jetë f"(x 0) dhe në pikën x 0 ekziston f""(x 0). Atëherë nëse f""(x 0)>0, atëherë x 0 është pika minimale, dhe nëse f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Në një segment, funksioni y=f(x) mund të arrijë vlerën më të vogël (y më së paku) ose më të madhe (y më të lartën) ose në pikat kritike të funksionit që shtrihen në intervalin (a;b), ose në skajet e segmentit.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm y=f(x) në segment:

1) Gjeni f"(x).
2) Gjeni pikat në të cilat f"(x)=0 ose f"(x) nuk ekziston dhe zgjidhni prej tyre ato që shtrihen brenda segmentit.
3) Llogaritni vlerën e funksionit y=f(x) në pikat e marra në hapin 2), si dhe në skajet e segmentit dhe zgjidhni më të madhin dhe më të voglin prej tyre: ato janë, përkatësisht, më të mëdhenjtë (y vlerat më të mëdha) dhe më të vogla (y më pak) të funksionit në interval.

Shembulli 19. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit të vazhdueshëm y=x 3 -3x 2 -45+225 në segment.

1) Kemi y"=3x 2 -6x-45 në segment
2) Derivati ​​y" ekziston për të gjitha x. Le të gjejmë pikat në të cilat y"=0; marrim:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Llogaritni vlerën e funksionit në pikat x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmenti përmban vetëm pikën x=5. Më e madhja nga vlerat e gjetura të funksionit është 225, dhe më e vogla është numri 50. Pra, y max = 225, y min = 50.

Studimi i një funksioni në konveksitet

Figura tregon grafikët e dy funksioneve. E para prej tyre është konveks lart, e dyta është konveks poshtë.

Funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në segment dhe i diferencueshëm në intervalin (a;b), quhet konveks lart (poshtë) në këtë segment nëse, për axb, grafiku i tij nuk qëndron më i lartë (jo më i ulët) se tangjente e tërhequr në çdo pikë M 0 (x 0 ;f(x 0)), ku axb.

Teorema 4. Le të ketë funksioni y=f(x) një derivat të dytë në çdo pikë të brendshme x të segmentit dhe të jetë i vazhdueshëm në skajet e këtij segmenti. Atëherë nëse jobarazia f""(x)0 plotësohet në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks poshtë në intervalin ; nëse pabarazia f""(x)0 qëndron në intervalin (a;b), atëherë funksioni është konveks lart në .

Teorema 5. Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat të dytë në intervalin (a;b) dhe nëse ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë M(x 0 ;f(x 0)) është një pikë përkuljeje.

Rregulla për gjetjen e pikave të lakimit:

1) Gjeni pikat në të cilat f""(x) nuk ekziston ose zhduket.
2) Shqyrtoni shenjën f""(x) majtas dhe djathtas të secilës pikë të gjetur në hapin e parë.
3) Bazuar në teoremën 4, nxirrni një përfundim.

Shembulli 20. Gjeni pikat ekstreme dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kemi f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Natyrisht, f"(x)=0 kur x 1 =0, x 2 =1. Kur kalon në pikën x=0, derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus, por kur kalon në pikën x=1 nuk ndryshon shenjë. Kjo do të thotë se x=0 është pika minimale (y min =12), dhe nuk ka ekstrem në pikën x=1. Më pas, gjejmë . Derivati ​​i dytë zhduket në pikat x 1 = 1, x 2 = 1/3. Shenjat e derivatit të dytë ndryshojnë si më poshtë: Në rreze (-∞;) kemi f""(x)>0, në intervalin (;1) kemi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prandaj, x= është pika e lakimit të grafikut të funksionit (kalimi nga konveksiteti poshtë në konveksitet lart) dhe x=1 është gjithashtu pika e përkuljes (kalimi nga konveksiteti lart në konveksitet poshtë). Nëse x=, atëherë y=; nëse, atëherë x=1, y=13.

Algoritmi për gjetjen e asimptotës së grafikut

I. Nëse y=f(x) si x → a, atëherë x=a është një asimptotë vertikale.
II. Nëse y=f(x) si x → ∞ ose x → -∞, atëherë y=A është një asimptotë horizontale.
III. Për të gjetur asimptotën e zhdrejtë, ne përdorim algoritmin e mëposhtëm:
1) Llogaritni. Nëse kufiri ekziston dhe është i barabartë me b, atëherë y=b është një asimptotë horizontale; nëse , atëherë shkoni në hapin e dytë.
2) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me k, atëherë shkoni në hapin e tretë.
3) Llogaritni. Nëse ky kufi nuk ekziston, atëherë nuk ka asimptotë; nëse ekziston dhe është e barabartë me b, atëherë shkoni në hapin e katërt.
4) Shkruani ekuacionin e asimptotës së zhdrejtë y=kx+b.

Shembulli 21: Gjeni asimptotën për një funksion

1)
2)
3)
4) Ekuacioni i asimptotës së zhdrejtë ka formën

Skema për studimin e një funksioni dhe ndërtimin e grafikut të tij

I. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.
II. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.
III. Gjeni asimptota.
IV. Gjeni pikat e mundshme ekstreme.
V. Gjeni pikat kritike.
VI. Duke përdorur figurën ndihmëse, eksploroni shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Përcaktoni zonat e rritjes dhe zvogëlimit të funksionit, gjeni drejtimin e konveksitetit të grafikut, pikat e skajeve dhe pikat e lakimit.
VII. Ndërtoni një grafik, duke marrë parasysh kërkimin e kryer në paragrafët 1-6.

Shembulli 22: Ndërtoni një grafik të funksionit sipas diagramit të mësipërm

Zgjidhje.
I. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç x=1.
II. Meqenëse ekuacioni x 2 +1=0 nuk ka rrënjë reale, grafiku i funksionit nuk ka pika të prerjes me boshtin Ox, por e pret boshtin Oy në pikën (0;-1).
III. Le të sqarojmë çështjen e ekzistencës së asimptotave. Le të studiojmë sjelljen e funksionit pranë pikës së ndërprerjes x=1. Meqenëse y → ∞ si x → -∞, y → +∞ si x → 1+, atëherë drejtëza x=1 është asimptota vertikale e grafikut të funksionit.
Nëse x → +∞(x → -∞), atëherë y → +∞(y → -∞); prandaj grafiku nuk ka asimptotë horizontale. Më tej, nga ekzistenca e kufijve

Duke zgjidhur ekuacionin x 2 -2x-1=0 marrim dy pika ekstreme të mundshme:
x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2

V. Për të gjetur pikat kritike, llogarisim derivatin e dytë:

Meqenëse f""(x) nuk zhduket, nuk ka pika kritike.
VI. Le të shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë dhe të dytë. Pikat e mundshme ekstreme që duhen marrë parasysh: x 1 =1-√2 dhe x 2 =1+√2, ndaje domenin e ekzistencës së funksionit në intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dhe (1+√2;+∞).

Në secilën prej këtyre intervaleve, derivati ​​ruan shenjën e tij: në të parën - plus, në të dytën - minus, në të tretën - plus. Sekuenca e shenjave të derivatit të parë do të shkruhet si më poshtë: +,-,+.
Ne gjejmë se funksioni rritet në (-∞;1-√2), zvogëlohet në (1-√2;1+√2) dhe rritet përsëri në (1+√2;+∞). Pikat ekstreme: maksimumi në x=1-√2, dhe f(1-√2)=2-2√2 minimumi në x=1+√2, dhe f(1+√2)=2+2√2. Në (-∞;1) grafiku është konveks lart, dhe në (1;+∞) është konveks poshtë.
VII Të bëjmë një tabelë të vlerave të fituara

VIII Në bazë të të dhënave të marra ndërtojmë një skicë të grafikut të funksionit

Pikat e referencës gjatë studimit të funksioneve dhe ndërtimit të grafikëve të tyre janë pika karakteristike - pikat e ndërprerjes, ekstremit, lakimit, kryqëzimit me boshtet koordinative. Duke përdorur llogaritjen diferenciale, është e mundur të përcaktohen tiparet karakteristike të ndryshimeve në funksione: rritja dhe zvogëlimi, maksimalet dhe minimumet, drejtimi i konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut, prania e asimptotave.

Një skicë e grafikut të funksionit mund (dhe duhet) të vizatohet pasi të gjenden asimptotat dhe pikat ekstreme, dhe është e përshtatshme të plotësoni tabelën përmbledhëse të studimit të funksionit ndërsa studimi përparon.

Zakonisht përdoret skema e mëposhtme e studimit të funksionit.

1.Gjeni domenin e përkufizimit, intervalet e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes së funksionit.

2.Ekzaminoni funksionin për barazi ose çuditshmëri (simetria boshtore ose qendrore e grafikut.

3.Gjeni asimptota (vertikale, horizontale ose të zhdrejtë).

4.Gjeni dhe studioni intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit, pikat ekstreme të tij.

5.Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të kurbës, pikat e lakimit të saj.

6.Gjeni pikat e kryqëzimit të kurbës me boshtet e koordinatave, nëse ato ekzistojnë.

7.Hartoni një tabelë përmbledhëse të studimit.

8.Ndërtohet një grafik, duke marrë parasysh studimin e funksionit të kryer sipas pikave të përshkruara më sipër.

Shembull. Funksioni i eksplorimit

dhe ndërtoni grafikun e tij.

7. Të përpilojmë një tabelë përmbledhëse për studimin e funksionit, ku do të fusim të gjitha pikat karakteristike dhe intervalet ndërmjet tyre. Duke marrë parasysh paritetin e funksionit, marrim tabelën e mëposhtme:

Sot ju ftojmë të eksploroni dhe të ndërtoni një grafik të një funksioni me ne. Pasi të keni studiuar me kujdes këtë artikull, nuk do t'ju duhet të djersiteni për një kohë të gjatë për të përfunduar këtë lloj detyre. Nuk është e lehtë të studiosh dhe të ndërtosh një grafik të një funksioni, është një punë voluminoze që kërkon vëmendje dhe saktësi maksimale të llogaritjeve. Për ta bërë më të lehtë për t'u kuptuar materialin, ne do të studiojmë të njëjtin funksion hap pas hapi dhe do të shpjegojmë të gjitha veprimet dhe llogaritjet tona. Mirë se vini në botën e mahnitshme dhe magjepsëse të matematikës! Le të shkojmë!

Domeni i përkufizimit

Për të eksploruar dhe grafikuar një funksion, duhet të dini disa përkufizime. Funksioni është një nga konceptet kryesore (bazë) në matematikë. Ai pasqyron varësinë midis disa variablave (dy, tre ose më shumë) gjatë ndryshimeve. Funksioni tregon gjithashtu varësinë e grupeve.

Imagjinoni që kemi dy variabla që kanë një gamë të caktuar ndryshimi. Pra, y është një funksion i x, me kusht që secila vlerë e ndryshores së dytë t'i korrespondojë njërës vlerë të së dytës. Në këtë rast, ndryshorja y është e varur dhe quhet funksion. Është zakon të thuhet se variablat x dhe y janë në Për qartësi më të madhe të kësaj varësie, ndërtohet një grafik i funksionit. Çfarë është grafiku i një funksioni? Ky është një grup pikash në planin koordinativ, ku çdo vlerë x korrespondon me një vlerë y. Grafikët mund të jenë të ndryshëm - drejtëz, hiperbolë, parabolë, valë sinus, etj.

Është e pamundur të grafikohet një funksion pa hulumtim. Sot do të mësojmë se si të bëjmë kërkime dhe të ndërtojmë një grafik të një funksioni. Është shumë e rëndësishme të mbani shënime gjatë studimit. Kjo do ta bëjë detyrën shumë më të lehtë për t'u përballuar. Plani më i përshtatshëm i kërkimit:

1. Fusha e përkufizimit.
2. Vazhdimësia.
3. Çift ose tek.
4. Periodiciteti.
5. Asimptota.
6. Zero.
7. Shenjë qëndrueshmëri.
8. Në rritje dhe në rënie.
9. Ekstreme.
10. Konveksiteti dhe konkaviteti.

Le të fillojmë me pikën e parë. Le të gjejmë domenin e përkufizimit, pra në çfarë intervalesh ekziston funksioni ynë: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Në rastin tonë, funksioni ekziston për çdo vlerë të x, domethënë domeni i përkufizimit është i barabartë me R. Kjo mund të shkruhet si më poshtë xÎR.

Vazhdimësia

Tani do të shqyrtojmë funksionin e ndërprerjes. Në matematikë, termi "vazhdimësi" u shfaq si rezultat i studimit të ligjeve të lëvizjes. Çfarë është e pafundme? Hapësira, koha, disa varësi (një shembull është varësia e ndryshoreve S dhe t në problemet e lëvizjes), temperatura e një objekti të ndezur (uji, tigani, termometri, etj.), një vijë e vazhdueshme (d.m.th., ajo që mund të vizatohet pa e hequr nga lapsi i fletës).

Një grafik konsiderohet i vazhdueshëm nëse nuk prishet në një moment. Një nga shembujt më të dukshëm të një grafiku të tillë është një sinusoid, të cilin mund ta shihni në foto në këtë seksion. Funksioni është i vazhdueshëm në një pikë x0 nëse plotësohen një sërë kushtesh:

• një funksion përcaktohet në një pikë të caktuar;
• kufijtë e djathtë dhe të majtë në një pikë janë të barabartë;
• kufiri është i barabartë me vlerën e funksionit në pikën x0.

Nëse të paktën një kusht nuk plotësohet, funksioni thuhet se dështon. Dhe pikat në të cilat funksioni prishet zakonisht quhen pika pushimi. Një shembull i një funksioni që do të "prishet" kur shfaqet grafikisht është: y=(x+4)/(x-3). Për më tepër, y nuk ekziston në pikën x = 3 (pasi është e pamundur të ndahet me zero).

Në funksionin që po studiojmë (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) gjithçka doli të jetë e thjeshtë, pasi grafiku do të jetë i vazhdueshëm.

Çift, tek

Tani shqyrto funksionin për barazi. Së pari, një teori e vogël. Një funksion çift është ai që plotëson kushtin f(-x)=f(x) për çdo vlerë të ndryshores x (nga diapazoni i vlerave). Shembujt përfshijnë:

• moduli x (grafi duket si një agim, përgjysmues i tremujorit të parë dhe të dytë të grafikut);
• x në katror (parabolë);
• kosinus x (kosinus).

Vini re se të gjithë këta grafikë janë simetrik kur shikohen në lidhje me boshtin y.

Çfarë quhet atëherë një funksion tek? Këto janë ato funksione që plotësojnë kushtin: f(-x)=-f(x) për çdo vlerë të ndryshores x. Shembuj:

• hiperbola;
• parabolë kubike;
• sinusoid;
• tangjente dhe kështu me radhë.

Ju lutemi vini re se këto funksione janë simetrike për pikën (0:0), domethënë origjinën. Bazuar në atë që u tha në këtë pjesë të artikullit, një funksion çift dhe tek duhet të ketë vetinë: x i përket grupit të përkufizimit dhe -x gjithashtu.

Le të shqyrtojmë funksionin për barazi. Mund të shohim se ajo nuk i përshtatet asnjërit prej përshkrimeve. Prandaj, funksioni ynë nuk është as çift dhe as tek.

Asimptota

Le të fillojmë me një përkufizim. Një asimptotë është një kurbë që është sa më afër grafikut, domethënë distanca nga një pikë e caktuar tenton në zero. Në total, ekzistojnë tre lloje të asimptotave:

• vertikale, pra paralele me boshtin y;
• horizontale, domethënë paralel me boshtin x;
• të prirur.

Sa i përket llojit të parë, këto rreshta duhet të kërkohen në disa pika:

• boshllëk;
• skajet e fushës së përkufizimit.

Në rastin tonë, funksioni është i vazhdueshëm dhe domeni i përkufizimit është i barabartë me R. Për rrjedhojë, nuk ka asimptota vertikale.

Grafiku i një funksioni ka një asimptotë horizontale, e cila plotëson kërkesën e mëposhtme: nëse x priret në pafundësi ose minus pafundësi, dhe kufiri është i barabartë me një numër të caktuar (për shembull, a). Në këtë rast, y=a është asimptota horizontale. Nuk ka asimptota horizontale në funksionin që po studiojmë.

Një asimptotë e zhdrejtë ekziston vetëm nëse plotësohen dy kushte:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Pastaj mund të gjendet duke përdorur formulën: y=kx+b. Përsëri, në rastin tonë nuk ka asimptota të zhdrejtë.

Funksioni zero

Hapi tjetër është të ekzaminoni grafikun e funksionit për zero. Është gjithashtu shumë e rëndësishme të theksohet se detyra që lidhet me gjetjen e zerove të një funksioni ndodh jo vetëm kur studiohet dhe ndërtohet një grafik i një funksioni, por edhe si një detyrë e pavarur dhe si një mënyrë për të zgjidhur pabarazitë. Mund t'ju kërkohet të gjeni zerot e një funksioni në një grafik ose të përdorni shënime matematikore.

Gjetja e këtyre vlerave do t'ju ndihmojë të grafikoni funksionin më saktë. Me fjalë të thjeshta, zeroja e një funksioni është vlera e ndryshores x në të cilën y = 0. Nëse jeni duke kërkuar për zerot e një funksioni në një grafik, atëherë duhet t'i kushtoni vëmendje pikave në të cilat grafiku kryqëzohet me boshtin x.

Për të gjetur zerot e funksionit, duhet të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Pas kryerjes së llogaritjeve të nevojshme, marrim përgjigjen e mëposhtme:

Shenjë qëndrueshmëri

Faza tjetër e kërkimit dhe e ndërtimit të një funksioni (grafiku) është gjetja e intervaleve me shenjë konstante. Kjo do të thotë që ne duhet të përcaktojmë se në cilat intervale funksioni merr një vlerë pozitive dhe në cilat intervale merr një vlerë negative. Funksionet zero të gjetura në seksionin e fundit do të na ndihmojnë ta bëjmë këtë. Pra, duhet të ndërtojmë një vijë të drejtë (të ndarë nga grafiku) dhe t'i shpërndajmë zerot e funksionit përgjatë saj në rendin e duhur nga më i vogli tek më i madhi. Tani ju duhet të përcaktoni se cili nga intervalet rezultuese ka një shenjë "+" dhe cili ka një "-".

Në rastin tonë, funksioni merr një vlerë pozitive në intervale:

• nga 1 në 4;
• nga 9 në pafundësi.

Vlera negative:

• nga minus pafundësi në 1;
• nga 4 në 9.

Kjo është mjaft e lehtë për t'u përcaktuar. Zëvendësoni çdo numër nga intervali në funksion dhe shikoni se çfarë shenje rezulton të ketë përgjigja (minus ose plus).

Funksionet rritëse dhe pakësuese

Për të eksploruar dhe ndërtuar një funksion, duhet të dimë se ku do të rritet grafiku (të ngjitet lart përgjatë boshtit Oy) dhe ku do të bjerë (zvarritje poshtë përgjatë boshtit y).

Një funksion rritet vetëm nëse një vlerë më e madhe e ndryshores x korrespondon me një vlerë më të madhe të y. Domethënë, x2 është më i madh se x1, dhe f(x2) është më i madh se f(x1). Dhe ne vëzhgojmë një fenomen krejtësisht të kundërt me një funksion në rënie (sa më shumë x, aq më pak y). Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes, duhet të gjeni sa vijon:

• fusha e përkufizimit (ne tashmë e kemi);
• derivati ​​(në rastin tonë: 1/3 (3x^2-28x+49);
• zgjidh barazimin 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Pas llogaritjeve marrim rezultatin:

Marrim: funksioni rritet në intervalet nga minus pafundësia në 7/3 dhe nga 7 në pafundësi, dhe zvogëlohet në intervalin nga 7/3 në 7.

Ekstreme

Funksioni në studim y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) është i vazhdueshëm dhe ekziston për çdo vlerë të ndryshores x. Pika ekstreme tregon maksimumin dhe minimumin e një funksioni të caktuar. Në rastin tonë nuk ka asnjë, gjë që thjeshton shumë detyrën e ndërtimit. Përndryshe, ato mund të gjenden edhe duke përdorur funksionin derivat. Pasi të gjenden, mos harroni t'i shënoni ato në tabelë.

Konveksiteti dhe konkaviteti

Ne vazhdojmë të eksplorojmë më tej funksionin y(x). Tani duhet ta kontrollojmë për konveksitet dhe konkavitet. Përkufizimet e këtyre koncepteve janë mjaft të vështira për t'u kuptuar, është më mirë të analizoni gjithçka duke përdorur shembuj. Për testin: një funksion është konveks nëse është një funksion jo-zvogëlues. Dakord, kjo është e pakuptueshme!

Duhet të gjejmë derivatin e një funksioni të rendit të dytë. Marrim: y=1/3(6x-28). Tani le të barazojmë anën e djathtë me zero dhe të zgjidhim ekuacionin. Përgjigje: x=14/3. Gjetëm pikën e lakimit, domethënë vendin ku grafiku ndryshon nga konveksiteti në konkavitet ose anasjelltas. Në intervalin nga minus pafundësia deri në 14/3, funksioni është konveks, dhe nga 14/3 në plus pafundësi është konkav. Është gjithashtu shumë e rëndësishme të theksohet se pika e përkuljes në grafik duhet të jetë e lëmuar dhe e butë dhe nuk duhet të ketë qoshe të mprehta.

Përcaktimi i pikave shtesë

Detyra jonë është të hetojmë dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit. Ne kemi përfunduar studimin, ndërtimi i një grafiku të funksionit tani nuk është i vështirë. Për riprodhim më të saktë dhe më të detajuar të një lakore ose të vijës së drejtë në planin koordinativ, mund të gjeni disa pika ndihmëse. Ato janë mjaft të lehta për t'u llogaritur. Për shembull, marrim x=3, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe gjejmë y=4. Ose x=5, dhe y=-5 e kështu me radhë. Ju mund të merrni aq pikë shtesë sa ju nevojiten për ndërtimin. Janë gjetur të paktën 3-5 prej tyre.

Hartimi i një grafiku

Na duhej të hetojmë funksionin (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Të gjitha shenjat e nevojshme gjatë llogaritjeve u bënë në planin koordinativ. Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të ndërtoni një grafik, domethënë të lidhni të gjitha pikat. Lidhja e pikave duhet të jetë e qetë dhe e saktë, kjo është çështje aftësie - pak praktikë dhe orari juaj do të jetë i përsosur.

Për të studiuar plotësisht funksionin dhe për të paraqitur grafikun e tij, rekomandohet skema e mëposhtme:
A) gjeni domenin e përkufizimit, pikat e ndërprerjes; eksploroni sjelljen e një funksioni pranë pikave të ndërprerjes (gjeni kufijtë e funksionit majtas dhe djathtas në këto pika). Tregoni asimptotat vertikale.
B) përcaktoni nëse një funksion është çift apo tek dhe arrini në përfundimin se ka simetri. Nëse , atëherë funksioni është çift dhe simetrik rreth boshtit OY; kur funksioni është tek, simetrik në lidhje me origjinën; dhe nëse është funksion i formës së përgjithshme.
C) gjeni pikat e kryqëzimit të funksionit me boshtet koordinative OY dhe OX (nëse është e mundur), përcaktoni intervalet e shenjës konstante të funksionit. Kufijtë e intervaleve të shenjës konstante të një funksioni përcaktohen nga pikat në të cilat funksioni është i barabartë me zero (funksioni zero) ose nuk ekziston dhe kufijtë e fushës së përcaktimit të këtij funksioni. Në intervalet ku grafiku i funksionit ndodhet mbi boshtin OX, dhe ku - nën këtë bosht.
D) gjeni derivatin e parë të funksionit, përcaktoni zerat e tij dhe intervalet e shenjës konstante. Në intervale ku funksioni rritet dhe ku zvogëlohet. Bëni një përfundim për praninë e ekstremeve (pikat ku ekziston funksioni dhe derivati ​​dhe kur kalon nëpër të cilat ai ndryshon shenjën. Nëse shenja ndryshon nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum, dhe nëse nga minus në plus , pastaj një minimum). Gjeni vlerat e funksionit në pikat ekstreme.
D) gjeni derivatin e dytë, zerot e tij dhe intervalet e shenjës konstante. Në intervale ku< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) gjeni asimptota të prirura (horizontale), ekuacionet e të cilave kanë formën ; Ku
.
Në grafiku i funksionit do të ketë dy asimptota të pjerrëta, dhe secila vlerë e x në dhe gjithashtu mund të korrespondojë me dy vlera të b.
G) gjeni pika shtesë për të sqaruar grafikun (nëse është e nevojshme) dhe ndërtoni një grafik.

Shembulli 1 Eksploroni funksionin dhe ndërtoni grafikun e tij. Zgjidhja: A) fusha e përkufizimit; funksioni është i vazhdueshëm në fushën e tij të përkufizimit; – pikë pushimi, sepse ;
. Pastaj - asimptotë vertikale.
B)
ato. y(x) është një funksion i formës së përgjithshme.
.
C) Gjeni pikat e prerjes së grafikut me boshtin OY: vendoseni x=0; atëherë y(0)=–1, d.m.th. grafiku i funksionit pret boshtin në pikën (0;-1). Zerot e funksionit (pikat e prerjes së grafikut me boshtin OX): bashkësia y=0; Pastaj
Diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është më i vogël se zero, që do të thotë se nuk ka zero. Atëherë kufiri i intervaleve të shenjës konstante është pika x=1, ku funksioni nuk ekziston.

Shenja e funksionit në secilin prej intervaleve përcaktohet me metodën e vlerave të pjesshme:
Nga diagrami është e qartë se në interval grafiku i funksionit ndodhet nën boshtin OX, dhe në interval - mbi boshtin OX.
.
D) Konstatojmë praninë e pikave kritike.

Ne gjejmë pika kritike (ku ekziston ose nuk ekziston) nga barazitë dhe .

Marrim: x1=1, x2=0, x3=2. Le të krijojmë një tabelë ndihmëse

(Rreshti i parë përmban pikat kritike dhe intervalet në të cilat këto pika ndahen me boshtin OX; rreshti i dytë tregon vlerat e derivatit në pikat kritike dhe shenjat në intervalet. Shenjat përcaktohen nga vlera e pjesshme Rreshti i tretë tregon vlerat e funksionit y(x) në pikat kritike dhe tregon sjelljen e funksionit - duke u rritur ose zvogëluar në intervalet përkatëse të boshtit numerik treguar.
D) Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të funksionit.
; ndërtoni një tabelë si në pikën D); Vetëm në rreshtin e dytë shkruajmë shenjat, dhe në të tretën tregojmë llojin e konveksitetit. Sepse ; Se pikë kritike një x=1.
Tabela 2

Pika x=1 është pika e lakimit.
E) Gjeni asimptota të zhdrejta dhe horizontale

Atëherë y=x është një asimptotë e zhdrejtë.
G) Në bazë të të dhënave të marra ndërtojmë një grafik të funksionit

1). Shtrirja e funksionit.
Është e qartë se ky funksion është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik, përveç pikave “” dhe “”, sepse në këto pika emëruesi është i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, funksioni nuk ekziston, dhe vijat e drejta dhe janë asimptota vertikale.

2). Sjellja e një funksioni si argument tenton në pafundësi, ekzistenca e pikave të ndërprerjes dhe kontrollimi i pranisë së asimptotave të zhdrejta.
Le të kontrollojmë fillimisht se si funksioni sillet kur i afrohet pafundësisë majtas dhe djathtas.

Kështu, kur funksioni tenton në 1, d.m.th. – asimptotë horizontale.
Në afërsi të pikave të ndërprerjes, sjellja e funksionit përcaktohet si më poshtë:


Ato. Kur i afrohemi pikave të ndërprerjes në të majtë, funksioni zvogëlohet pafundësisht, dhe në të djathtë rritet pafundësisht.
Ne përcaktojmë praninë e një asimptote të zhdrejtë duke marrë parasysh barazinë:

Nuk ka asimptota të zhdrejtë.

3). Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative.
Këtu është e nevojshme të merren parasysh dy situata: gjeni pikën e kryqëzimit me boshtin Ox dhe boshtin Oy. Shenja e prerjes me boshtin Ox është vlera zero e funksionit, d.m.th. është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni:

Ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, grafiku i këtij funksioni nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Ox.
Shenja e prerjes me boshtin Oy është vlera x = 0. Në këtë rast
,
ato. – pika e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oy.

4).Përcaktimi i pikave ekstreme dhe intervaleve të rritjes dhe uljes.
Për të studiuar këtë çështje, ne përcaktojmë derivatin e parë:
.
Le të barazojmë vlerën e derivatit të parë me zero.
.
Një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi i saj është i barabartë me zero, d.m.th. .
Le të përcaktojmë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.

Kështu, funksioni ka një pikë ekstreme dhe nuk ekziston në dy pika.
Kështu, funksioni rritet në intervalet dhe dhe zvogëlohet në intervalet dhe .

5). Pikat e lakimit dhe zonat e konveksitetit dhe konkavitetit.
Kjo karakteristikë e sjelljes së një funksioni përcaktohet duke përdorur derivatin e dytë. Le të përcaktojmë së pari praninë e pikave të lakimit. Derivati ​​i dytë i funksionit është i barabartë me

Kur dhe funksioni është konkav;

kur dhe funksioni është konveks.

6). Grafikimi i një funksioni.
Duke përdorur vlerat e gjetura në pika, ne do të ndërtojmë skematikisht një grafik të funksionit:

Zgjidhje
Funksioni i dhënë është një funksion jo periodik i formës së përgjithshme. Grafiku i tij kalon përmes origjinës së koordinatave, pasi .
Fusha e përcaktimit të një funksioni të caktuar janë të gjitha vlerat e ndryshores përveç dhe për të cilat emëruesi i fraksionit bëhet zero.
Rrjedhimisht, pikat janë pikat e ndërprerjes së funksionit.
Sepse ,

Sepse ,
, atëherë pika është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë.
Vijat e drejta janë asimptota vertikale të grafikut të funksionit.
Ekuacionet e asimptotave të zhdrejta, ku, .
Në ,
.
Kështu, për dhe grafiku i funksionit ka një asimptotë.
Le të gjejmë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit dhe pikave ekstreme.
.
Derivati ​​i parë i funksionit në dhe, për rrjedhojë, në dhe funksioni rritet.
Kur , pra, kur , funksioni zvogëlohet.
nuk ekziston për , .
, pra, kur Grafiku i funksionit është konkav.
Në , pra, kur Grafiku i funksionit është konveks.

Kur kalon nëpër pikat , , ndryshon shenjë. Kur , funksioni nuk është i përcaktuar, prandaj, grafiku i funksionit ka një pikë lakimi.
Le të ndërtojmë një grafik të funksionit.

Kryeni një studim të plotë dhe grafikoni funksionin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Shtrirja e funksionit. Meqenëse funksioni është një thyesë, ne duhet të gjejmë zerot e emëruesit.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Përjashtojmë pikën e vetme x=1x=1 nga fusha e përcaktimit të funksionit dhe marrim:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Le të studiojmë sjelljen e funksionit në afërsi të pikës së ndërprerjes. Le të gjejmë kufijtë e njëanshëm:

Meqenëse kufijtë janë të barabartë me pafundësinë, pika x=1x=1 është një ndërprerje e llojit të dytë, drejtëza x=1x=1 është një asimptotë vertikale.

3) Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut të funksionit me boshtet e koordinatave.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e ordinatave OyOy, për të cilat barazojmë x=0x=0:

Kështu, pika e kryqëzimit me boshtin OyOy ka koordinata (0;8)(0;8).

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin e abshisave OxOx, për të cilat vendosim y=0y=0:

Ekuacioni nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika të kryqëzimit me boshtin OxOx.

Vini re se x2+8>0x2+8>0 për çdo xx. Prandaj, për x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funksioni y>0y>0 (merr vlera pozitive, grafiku është mbi boshtin x), për x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funksioni y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksioni nuk është as çift dhe as tek sepse:

5) Le të shqyrtojmë funksionin për periodicitetin. Funksioni nuk është periodik, pasi është një funksion racional thyesor.

6) Le të shqyrtojmë funksionin për ekstreme dhe monotoni. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë të funksionit:

Le të barazojmë derivatin e parë me zero dhe të gjejmë pika të palëvizshme (në të cilat y′=0y′=0):

Ne morëm tre pika kritike: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Le të ndajmë të gjithë fushën e përkufizimit të funksionit në intervale me këto pika dhe të përcaktojmë shenjat e derivatit në çdo interval:

Për x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivati ​​y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Për x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivatin y′>0y′>0, funksioni rritet në këto intervale.

Në këtë rast, x=−2x=−2 është një pikë minimale lokale (funksioni zvogëlohet dhe më pas rritet), x=4x=4 është një pikë maksimale lokale (funksioni rritet dhe më pas zvogëlohet).

Le të gjejmë vlerat e funksionit në këto pika:

Kështu, pika minimale është (−2;4)(−2;4), pika maksimale është (4;−8)(4;−8).

7) Ne ekzaminojmë funksionin për përthyerje dhe konveksitet. Le të gjejmë derivatin e dytë të funksionit:

Le të barazojmë derivatin e dytë me zero:

Ekuacioni që rezulton nuk ka rrënjë, kështu që nuk ka pika lakimi. Për më tepër, kur x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 është i kënaqur, pra funksioni është konkav, kur x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) është i kënaqur me y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit në pafundësi, domethënë në .

Meqenëse kufijtë janë të pafund, nuk ka asimptota horizontale.

Le të përpiqemi të përcaktojmë asimptota të zhdrejta të formës y=kx+nga=kx+b. Ne llogarisim vlerat e k,bk,b duke përdorur formulat e njohura:

Ne zbuluam se funksioni ka një asimptotë të zhdrejtë y=−x−1y=−x−1.

9) Pikat shtesë. Le të llogarisim vlerën e funksionit në disa pika të tjera për të ndërtuar më saktë grafikun.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Bazuar në të dhënat e marra, do të ndërtojmë një grafik, do ta plotësojmë me asimptota x=1x=1 (blu), y=−x−1y=−x−1 (jeshile) dhe do të shënojmë pikat karakteristike (prerje vjollce me boshtin e ordinatave. , ekstreme portokalli, pika shtesë të zeza):

Detyra 4: Probleme gjeometrike, ekonomike (nuk e kam idenë se çfarë, këtu është një përzgjedhje e përafërt e problemeve me zgjidhje dhe formula)

Shembulli 3.23. a

Zgjidhje. x Dhe y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет vlera më e lartë funksionet. Kështu, raporti më i favorshëm i pamjes së sitit në kushtet e dhëna të problemit është y = 2x.

Shembulli 3.24.

Zgjidhje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shembulli 3.22. Gjeni ekstremin e funksionit f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Zgjidhje. Meqenëse f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x‑2)(x - 3), atëherë pikat kritike të funksionit x 1 = 2 dhe x 2 = 3. Ekstrema mund të jetë vetëm në Pra, kur kalon në pikën x 1 = 2, derivati ​​ndryshon shenjën e tij nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum kur kalon në pikën x 2 = 3 në plus, pra në pikën x 2 = 3 funksioni ka një minimum pasi të ketë llogaritur vlerat e funksionit në pika
x 1 = 2 dhe x 2 = 3, gjejmë ekstremin e funksionit: maksimumi f(2) = 14 dhe minimumi f(3) = 13.

Shembulli 3.23. Ne duhet të ndërtojmë një platformë drejtkëndore afër mur guri në mënyrë që ajo të jetë e rrethuar nga tre anët me rrjetë teli, dhe ana e katërt është ngjitur me murin. Për këtë ka a metra lineare rrjete Në çfarë raporti aspekti do të ketë faqja zona më e madhe?

Zgjidhje. Le të shënojmë anët e platformës me x Dhe y. Zona e sitit është S = xy. Le y- kjo është gjatësia e anës ngjitur me murin. Pastaj, sipas kushtit, duhet të jetë barazia 2x + y = a. Prandaj y = a - 2x dhe S = x(a - 2x), ku
0 ≤ x ≤ a/2 (gjatësia dhe gjerësia e jastëkut nuk mund të jenë negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 në x = a/4, prej nga
y = a - 2×a/4 =a/2. Meqenëse x = a/4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Për xa/4 S "> 0, dhe për x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Shembulli 3.24. Kërkohet prodhimi i një depozite cilindrike të mbyllur me kapacitet V=16p ≈ 50 m 3 . Cilat duhet të jenë dimensionet e rezervuarit (rrezja R dhe lartësia H) në mënyrë që të përdoret sa më pak material për prodhimin e tij?

Zgjidhje. Sipërfaqja totale e cilindrit është S = 2pR(R+H). Dihet vëllimi i cilindrit V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Kjo do të thotë S(R) = 2p (R 2 +16/R). Gjejmë derivatin e këtij funksioni:
S "(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 për R 3 = 8, pra,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informacione të lidhura.