Dhe madje edhe shpërndarja në proces. Ligjet uniforme dhe eksponenciale të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Le të kujtojmë përkufizimin e densitetit të probabilitetit.

Le të prezantojmë tani konceptin e një shpërndarje uniforme probabiliteti:

Përkufizimi 2

Shpërndarja quhet uniforme nëse, gjatë intervalit që përmban të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme, dendësia e shpërndarjes është konstante, domethënë:

Foto 1.

Le të gjejmë vlerën e konstantës $\C$ duke përdorur vetinë e mëposhtme të densitetit të shpërndarjes: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1$

\[\int\limits^(+\infty)_(-\infty)(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty)(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Kështu, funksioni i densitetit uniform të shpërndarjes ka formën:

Figura 2.

Grafiku duket si ky (Fig. 1):

Figura 3. Dendësia uniforme e shpërndarjes së probabilitetit

Funksioni uniform i shpërndarjes së probabilitetit

Le të gjejmë tani funksionin e shpërndarjes për shpërndarje uniforme.

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim formulën e mëposhtme: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty)(\varphi (x)dx)$

1. Për $x ≤ a$, sipas formulës, marrim:

1. Në $a

1. Për $x> 2 $, sipas formulës, marrim:

Kështu, funksioni i shpërndarjes duket si ky:

Figura 4.

Grafiku duket si ky (Fig. 2):

Figura 5. Funksioni uniform i shpërndarjes së probabilitetit.

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ me një shpërndarje uniforme probabiliteti

Për të gjetur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin $(\alpha ,\beta)$ me një shpërndarje uniforme probabiliteti, ne do të përdorim formulën e mëposhtme:

Vlera e pritshme:

Devijimi standard:

Shembuj të zgjidhjes së problemit të shpërndarjes uniforme të probabilitetit

Shembulli 1

Intervali midis trolejbusëve është 9 minuta.

Përpiloni funksionin e shpërndarjes dhe densitetin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$ të pritjes për pasagjerët e trolejbusit.

Gjeni probabilitetin që një pasagjer të presë një trolejbus në më pak se tre minuta.

Gjeni probabilitetin që një pasagjer të presë një trolejbus në të paktën 4 minuta.

Gjeni vlerën e pritur, variancën dhe devijimin standard

1. Meqenëse ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme e pritjes për një autobus $X$ shpërndahet në mënyrë uniforme, atëherë $a=0,\ b=9$.

Kështu, dendësia e shpërndarjes, sipas formulës së funksionit uniform të densitetit të shpërndarjes së probabilitetit, ka formën:

Figura 6.

Sipas formulës së funksionit uniform të shpërndarjes së probabilitetit, në rastin tonë funksioni i shpërndarjes ka formën:

Figura 7.

1. Kjo pyetje mund të riformulohet si më poshtë: gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e një shpërndarjeje uniforme të bjerë në intervalin $\left(6,9\djathtas).$

Ne marrim:

\ \ \

Kështu, funksioni i densitetit uniform të shpërndarjes ka formën:

Figura 2.

Grafiku duket si ky (Fig. 1):

Figura 3. Dendësia uniforme e shpërndarjes së probabilitetit

Funksioni uniform i shpërndarjes së probabilitetit

Le të gjejmë tani funksionin e shpërndarjes për shpërndarje uniforme.

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim formulën e mëposhtme: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty)(\varphi (x)dx)$

1. Për $x ≤ a$, sipas formulës, marrim:

1. Në $a

1. Për $x> 2 $, sipas formulës, marrim:

Kështu, funksioni i shpërndarjes duket si ky:

Figura 4.

Grafiku duket si ky (Fig. 2):

Figura 5. Funksioni uniform i shpërndarjes së probabilitetit.

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ me një shpërndarje uniforme probabiliteti

Për të gjetur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin $(\alpha ,\beta)$ me një shpërndarje uniforme probabiliteti, ne do të përdorim formulën e mëposhtme:

Vlera e pritshme:

Devijimi standard:

Shembuj të zgjidhjes së problemit të shpërndarjes uniforme të probabilitetit

Shembulli 1

Intervali midis trolejbusëve është 9 minuta.

Përpiloni funksionin e shpërndarjes dhe densitetin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$ të pritjes për pasagjerët e trolejbusit.

Gjeni probabilitetin që një pasagjer të presë një trolejbus në më pak se tre minuta.

Gjeni probabilitetin që një pasagjer të presë një trolejbus në të paktën 4 minuta.

Gjeni vlerën e pritur, variancën dhe devijimin standard

1. Meqenëse ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme e pritjes për një autobus $X$ shpërndahet në mënyrë uniforme, atëherë $a=0,\ b=9$.

Kështu, dendësia e shpërndarjes, sipas formulës së funksionit uniform të densitetit të shpërndarjes së probabilitetit, ka formën:

Figura 6.

Sipas formulës së funksionit uniform të shpërndarjes së probabilitetit, në rastin tonë funksioni i shpërndarjes ka formën:

Figura 7.

1. Kjo pyetje mund të riformulohet si më poshtë: gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e një shpërndarjeje uniforme të bjerë në intervalin $\left(6,9\djathtas).$

Ne marrim:

\, nëse në këtë segment densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastit është konstant, domethënë nëse funksioni i shpërndarjes diferenciale f(x) ka formën e mëposhtme:

Kjo shpërndarje nganjëherë quhet ligji i densitetit uniform. Për një sasi që ka një shpërndarje uniforme në një segment të caktuar, do të themi se shpërndahet në mënyrë uniforme në këtë segment.

Le të gjejmë vlerën e konstantës c. Meqenëse sipërfaqja e kufizuar nga kurba e shpërndarjes dhe boshti Oh,është e barabartë me 1, atëherë

ku Me=1/(b-a).

Tani funksioni f(x)mund të paraqitet në formë

Le të ndërtojmë funksionin e shpërndarjes F(x ), pse gjejmë një shprehje për F(x) në intervalin [ a, b]:

Grafikët e funksioneve f (x) dhe F (x) duken kështu:

Le të gjejmë karakteristikat numerike.

Duke përdorur formulën për llogaritjen e pritshmërisë matematikore të NSV, kemi:

Kështu, pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin [a, b] përkon me mesin e këtij segmenti.

Le të gjejmë variancën e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme:

nga e cila menjëherë rrjedh se devijimi standard:

Le të gjejmë tani probabilitetin e vlerës së një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje uniforme që bie në interval(a, b), që i përkasin tërësisht segmentit [a, b ]:

Shërbimi online: