Çfarë është transformimi i ngjashmërisë? Transformimi i ngjashmërisë

>>Matematika: Transformimi i ngjashmërisë

Leksioni nr 16

Transformimi i ngjashmërisë. Homoteiteti. Llojet e ngjashmërisë.

Klasifikimi i ngjashmërive në rrafsh. Grupi i ngjashmërisë dhe nëngrupet e tij.

Përkufizimi 16.1 . Një transformim i rrafshët quhet transformim i ngjashmërisë nëse k > 0, se për çdo dy pikë A Dhe B dhe imazhet e tyre A` Dhe B` barazia vlen
.

Në k =1 transformimi i ngjashmërisë ruan distancën, d.m.th. është një lëvizje. Pra, lëvizja – një rast i veçantë ngjashmërie.

Përkufizimi 16.2. Një transformim i rrafshët quhet homoteti nëse ka një numër të caktuar m 1 , e cila për çdo tre pika të aeroplanit MM,M` kushti eshte plotesuar
.

Pika M- qendra e homoteitetit, numri m– koeficienti homotetik. Nëse m > 0 – homoteiteti është pozitiv nëse m < 0 – homotesia është negative.

Teorema 16.3. Homoteiteti është ngjashmëri.

Dëshmi:

,
.

2. Nga përkufizimi i homoteitetit kemi:

3. Zbrisni të dytën nga barazia e parë:

. Pra homoteti ka ngjashmëri, ku koeficienti homotetik
e barabartë me koeficientin e ngjashmërisë .

Nëse pika M (x, y) me homotetizëm shkon në pikën M`(x`,y`), pastaj:

- shprehje analitike të homotetizmit.

Vetitë e homoteitetit

Një homoteti me një koeficient të ndryshëm nga 1 shndërron një drejtëz që nuk kalon nga qendra e homotetisë në një drejtëz paralele me të;

një vijë e drejtë që kalon nëpër qendër - në vetvete.

Homoteiteti ruan lidhjen e thjeshtë të tre pikave.

Homoteiteti ruan orientimin e rrafshit.

Homoteiteti shndërron një kënd në një kënd të barabartë. Teorema 16.4. Le f k > 0 – transformimi i ngjashmërisë me koeficient , A h k– homotesia me koeficientin M. Pastaj ka vetëm një lëvizje g të tilla që Le = g∙ , A.

Dëshmi:

Merrni parasysh përbërjen e lëvizjes dhe homotetitë (shumëzoni të dyja anët e barazisë (*) me homotetinë ):
ose g∙ , A = Le (**)

Homoteiteti i ka të gjitha vetitë e lëvizjeve;

Meqenëse homotesia ruan orientimin, dhe ngjashmëria është produkt i lëvizjes dhe homoteitetit, d.m.th. lëvizja ka të njëjtin orientim me homotetinë, atëherë ngjashmëria ka edhe këtë orientim. Në këtë rast flasim për ngjashmëri të llojit të parë.

Nëse lëvizja ka një orientim të kundërt me homotetinë, atëherë në këtë rast ngjashmëria ka orientim të kundërt dhe është ngjashmëri e llojit të dytë.

Shprehje analitike të ngjashmërisë

Që nga homotesia jepet nga shprehjet , lëvizje jepet me shprehje, pastaj imazhi koordinohet
pikë
në transformimin e ngjashmërisë
llogariten duke përdorur formulat:

Nëse ε = 1, pastaj ngjashmëria e llojit të parë;

Nëse ε = -1, pastaj ngjashmëria e llojit të dytë.

Teorema 16.5. Çdo transformim ngjashmërie ka vetëm një pikë fikse nëse është i ndryshëm nga lëvizja.

Dëshmi:

1. Pika
është një pikë fikse e këtij transformimi nëse dhe vetëm nëse
. Nga shprehjet analitike të ngjashmërisë del se

Përcaktori i sistemit nuk është i barabartë me 0 në ε = ± 1. Kështu, kur k 1 për këdo kemi që përcaktorja nuk është e barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, sistemi është homogjen, d.m.th. do të ketë një zgjidhje unike.

Klasifikimi i ngjashmërisë

Ngjashmëria e llojit të parë.

Ngjashmëria e llojit të dytë.

Përfundimi 16.6. Çdo transformim i ngjashmërisë që ka më shumë se një pikë fikse ose nuk ka pika fikse është një lëvizje.

Grupi i ngjashmërisë dhe nëngrupet e tij.

Le të jetë P bashkësia e të gjitha transformimeve të ngjashmërisë së rrafshit, dhe mbi të është dhënë një veprim "∙".

Shumë Rështë një grup në lidhje me këtë operacion.

Vërtet:

Ngjashmëria e llojit të parë formon një nëngrup të grupit P. Bashkësia e homotetikave me koeficient k(e barabartë me koeficientin e ngjashmërisë) formon një nëngrup të grupit P.

Tërësia e ngjashmërive të llojit të dytë nuk përbën një nëngrup, sepse produkti i ngjashmërive të llojit të dytë jep ngjashmëri të llojit të parë.

1. Përkufizimi i transformimit të ngjashmërisë. Një përgjithësim i drejtpërdrejtë i lëvizjeve janë transformimet e ngjashmërisë. Transformimi A quhet transformim ngjashmërie nëse për këtë transformim ka një numër kaq pozitiv të ngjashmërisë saqë sido që të jenë dy pikat, gjithmonë

Në këtë rast, si gjithmonë, me M shënojmë imazhin e pikës M. Nëse , atëherë fitojmë transformime izometrike, domethënë lëvizje, të cilat janë kështu një rast i veçantë i shndërrimeve të ngjashmërisë.

Vërejtje 1. Është e lehtë të shihet se transformimet e ngjashmërisë formojnë një grup - një nëngrup në grupin e të gjitha shndërrimeve (rrafsh, përkatësisht hapësirë).

2. Shtrirje uniforme (homote). Së pari, le të shohim transformimet më të thjeshta të ngjashmërisë, të ashtuquajturat zgjerime uniforme, ose transformime homotetike (homothies). Shtrirja e një hapësire (plani) me qendër O dhe koeficientin e shtrirjes k është një transformim A, i përbërë nga sa vijon:

Pika V O mbetet e palëvizshme.

2 Çdo pikë shkon në një pikë M që shtrihet në rreze OM dhe përcaktohet në të nga kushti OM.

Kështu, emri "shtrirje" korrespondon me një pamje vizuale të transformimit vetëm kur "shtrirja" jonë në të vërtetë rezulton të jetë ngjeshje.

Vërejtje 2. Meqenëse vektorët dhe OM shtrihen në të njëjtën gjysmëdrejtëzë që del nga pika O, ata kanë të njëjtin drejtim. Prandaj, barazia nënkupton dhe .

Le të vërtetojmë se çdo zgjerim është një transformim ngjashmërie. Në fakt, le, kur shtrihen me qendër O dhe koeficientin k, pikat shndërrohen në pika dhe M, përkatësisht (Fig. 150). Pastaj . Trekëndëshat janë të ngjashëm, dhe, për rrjedhojë, ajo që kërkohej të vërtetohej.

Le të vërtetojmë tani se një zgjerim me qendër O dhe koeficient k është një transformim afin. Ne mund të kufizojmë veten në rastin e një avioni.

Le të marrim një referencë arbitrare të koordinatave me fillimin në qendër të kësaj shtrirjeje (Fig. 151). Le të jetë një pikë arbitrare në aeroplan, le të jetë imazhi i saj për një shtrirje të caktuar (koordinatat në lidhje me pikën e referencës). Atëherë kemi barazi ekuivalente me sistemin e barazive

duke vërtetuar deklaratën tonë.

Anasjelltas, nëse në ndonjë sistem koordinativ afine . Shndërrimi A shkruhet në formën (2), atëherë është shtrirje me qendër O dhe koeficient shtrirjeje k. Në fakt, transformimi - A, duke e lënë pikën O në vend, e shndërron çdo vektor në një vektor, nga i cili rrjedh pohimi.

Pra, zgjerimi i një rrafshi me qendër O dhe koeficient k mund të përkufizohet si një transformim afin, i cili në , dhe më pas sigurisht në çdo sistem koordinativ afinik me origjinë O shkruhet në formën (2).

Shënim 3. Jemi gjithmonë në cilësi sistemi origjinal koordinatat mund të zgjedhim një sistem drejtkëndor.

Një rezultat krejtësisht i ngjashëm ndodh për hapësirën.

Vërejtje 4. Të gjitha zgjerimet me qendër të caktuar formojnë një grup - nëngrup të grupit të shndërrimeve afine (rrafshët, përkatësisht hapësirë).

3. Paraqitja e transformimit të ngjashmërisë si produkt i shtrirjes dhe lëvizjes. Nga sa u tha deri më tani, nuk është ende e qartë nëse ndonjë transformim i ngjashmërisë është një transformim afin. Një përgjigje pozitive për këtë pyetje gjendet në teoremën e mëposhtme, e cila është rezultati kryesor i këtij seksioni.

Teorema 11. Çdo transformim i ngjashmërisë me koeficientin e ngjashmërisë k është një transformim afin, përkatësisht prodhimi i një zgjerimi me të njëjtin koeficient k dhe një qendër arbitrare O dhe disa lëvizje të duhura ose të pahijshme A.

Dëshmi. Le të jetë Q një shtrirje me një qendër arbitrare O dhe një koeficient - L. Gjatë transformimit, gjatësia e secilit segment shumëzohet me k, dhe kur transformohet Q shumëzohet me pra, nëse së pari bëjmë transformimin Q, dhe më pas transformim, marrim një transformim në të cilin gjatësia e secilit segment mbetet e pandryshuar. Me fjalë të tjera, transformimi është një transformim izometrik, domethënë lëvizje, e duhur ose e pahijshme.

Gjeometria

Ngjashmëria e figurave

Vetitë e figurave të ngjashme

Teorema. Kur një figurë është e ngjashme me një figurë, dhe një figurë është e ngjashme me një figurë, atëherë shifrat dhe të ngjashme.
Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se për figurat e ngjashme këndet përkatëse janë të barabarta, kurse segmentet përkatëse janë proporcionale. Për shembull, në trekëndësha të ngjashëm ABC Dhe:
; ; ;
.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave

Teorema 1. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabartë me dy kënde të trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 2. Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me dy brinjët e trekëndëshit të dytë dhe këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Nga këto teorema rrjedhin fakte që janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve.
1. Një vijë e drejtë paralele me një anë të një trekëndëshi dhe që kryqëzon dy brinjët e tjera të tij, shkëput një trekëndësh të ngjashëm me këtë.
Në foto.

2. Për trekëndëshat e ngjashëm, elementët përkatës (lartësitë, medianat, përgjysmuesit, etj.) lidhen si brinjë përkatëse.
3. Për trekëndëshat e ngjashëm, perimetrat lidhen si brinjë përkatëse.
4. Nëse RRETH- pika e prerjes së diagonaleve trapezoide ABCD, Kjo .
Në figurën në një trapez ABCD:.

5. Nëse vazhdimi i faqeve të trapezit ABCD kryqëzohen në një pikë K, pastaj (shih figurën) .
.

Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

Teorema 1. Nëse trekëndëshat kënddrejtë kanë kënde akute të barabartë, atëherë ata janë të ngjashëm.
Teorema 2. Nëse dy këmbët janë një trekëndësh kënddrejtë janë proporcionale me dy këmbët e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse këmbët dhe hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë janë proporcionale me këmbën dhe hipotenuzën e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 4. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë të nxjerrë nga kulmi kënd i drejtë, ndan një trekëndësh në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm me këtë.
Në foto .

Më poshtë vijon nga ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë.
1. Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar ndërmjet hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kembeje mbi hipotenuzë:
; ,
ose
; .
2. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë:
, ose .
3. Vetia e përgjysmuesit të trekëndëshit:
përgjysmuesja e një trekëndëshi (arbitrare) ndahet anën e kundërt trekëndësh në segmente proporcionale me dy brinjët e tjera.
Në foto në B.P.- përgjysmues.
, ose .

Ngjashmëritë ndërmjet trekëndëshave barabrinjës dhe dykëndësh

1. Të gjithë trekëndëshat barabrinjës janë të ngjashëm.
2. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë kënde të barabarta midis anëve, atëherë ato janë të ngjashme.
3. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë bazë dhe brinjë proporcionale, atëherë ata janë të ngjashëm.

Shembuj

• Çdo homoteti është një ngjashmëri.
• Çdo lëvizje (përfshirë ato identike) mund të konsiderohet gjithashtu si një transformim ngjashmërie me një koeficient k = 1 .

Shifrat e ngjashme në foto kanë të njëjtat ngjyra.

Përkufizime të ngjashme

Vetitë

Në hapësirat metrike njësoj si në n-hapësirat dimensionale Rimaniane, pseudo-Riemaniane dhe Finsleriane, ngjashmëria përkufizohet si një transformim që merr metrikën e hapësirës në vetvete deri në një faktor konstant.

Bashkësia e të gjitha ngjashmërive të hapësirës n-dimensionale Euklidiane, pseudo-Euklidiane, Riemanniane, pseudo-Riemanniane ose Finsler është r-grupi anëtar i shndërrimeve Lie, i quajtur grupi i shndërrimeve të ngjashme (homotetike) të hapësirës përkatëse. Në secilën nga hapësirat e llojeve të përcaktuara r- grupi anëtar i transformimeve të ngjashme të Gënjeshtrës përmban ( r− 1) -nëngrup normal i lëvizjeve të anëtarësuar.

Shihni gjithashtu

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "Transformimi i ngjashmërisë" në fjalorë të tjerë:- Ndryshimi i karakteristikave të objektit të modeluar duke shumëzuar parametrat e tij me vlerat e sasive të tilla që transformojnë parametra të ngjashëm, duke siguruar kështu ngjashmëri dhe duke bërë përshkrimi matematik, nëse ekziston, identike......

Shihni se çfarë është "Transformimi i ngjashmërisë" në fjalorë të tjerë:- panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformimi i ngjashmërisë vok. Ähnlichkeitstransformim, f; Transformim ekuiformë, f rus. ngjashmëri transformim, n pranc. conversion de similitude, f; transformimi de… … Fizikos terminų žodynas

Shiko Homothesia... Fjalori i madh enciklopedik politeknik

Shihni se çfarë është "Transformimi i ngjashmërisë" në fjalorë të tjerë:- Ndryshimi i karakteristikave sasiore të një dukurie të caktuar duke i shumëzuar ato me faktorë konstante që i shndërrojnë këto karakteristika në karakteristikat përkatëse të një dukurie të ngjashme... Fjalor shpjegues terminologjik politeknik

Konvertimi- (në kibernetikë) një ndryshim në vlerat e variablave që karakterizojnë sistemin, për shembull, shndërrimi i variablave në hyrjen e një ndërmarrje (punë e gjallë, lëndë e parë, etj.) në variabla të prodhimit (produkte, nënprodukte). , defekte). Ky është një shembull i P... Fjalor ekonomik dhe matematikor

transformimi (në kibernetikë)- Ndryshimi i vlerave të variablave që karakterizojnë sistemin, për shembull, shndërrimi i variablave në hyrje të një ndërmarrje (punë e gjallë, lëndë e parë, etj.) në variabla të prodhimit (produkte, nënprodukte, defekte). Ky është një shembull i P. gjatë një procesi material. NË…… Udhëzues teknik i përkthyesit

Zëvendësimi i një objekti matematikor ( figura gjeometrike, formula algjebrike, funksion etj.) një objekt i ngjashëm i marrë nga i pari nga rregulla të caktuara. Për shembull, duke zëvendësuar shprehje algjebrike x2+4x+4 nga shprehja (x+2)2,… … Fjalori i madh enciklopedik

Këtu janë mbledhur përkufizimet e termave nga planimetria. Referencat për termat në këtë fjalor (në këtë faqe) janë me shkronja të pjerrëta. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Një nga konceptet themelore të matematikës që lind gjatë studimit të korrespondencës midis klasave të objekteve gjeometrike, klasave të funksioneve, etj. Për shembull, në studimet gjeometrike shpesh është e nevojshme të ndryshohen të gjitha madhësitë e figurave në një dhe... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

unë; e mërkurë 1. për të transformuar dhe konvertuar. P. shkollë në institut. P. bujqësia. P. energjia mekanike në energji termike. 2. Ndryshimi themelor, ndryshim. Transformime të mëdha shoqërore. Angazhohuni në transformimet ekonomike. ◁…… Fjalor Enciklopedik