Numri 1 duke zgjidhur pabarazinë x 2 1. Metoda e intervalit: zgjidhja e pabarazive më të thjeshta strikte

Diagrami në figurën 5:

Dhe shembulli i mëposhtëm: Zgjidh inekuacionin 0,6 2x – 3< 0,36 .

Duke ndjekur diagramin në Figurën 5, marrim
2x – 3 > log 0.6 0.36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2.5

Përgjigje: (2,5; +∞) .

Le të shqyrtojmë skemën e fundit për zgjidhjen e një pabarazie të formës dhe f(x)< b , në a>0 Dhe b<0 , paraqitur në figurën 6:

Për shembull, le të zgjidhim pabarazinë:

Vërejmë se pavarësisht se cilin numër e zëvendësojmë x, ana e majtë e mosbarazimit është gjithmonë më e madhe se zero, dhe në rastin tonë kjo shprehje është më e vogël se -8, d.m.th. dhe zero, që do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: asnjë zgjidhje.

Duke ditur se si të zgjidhni pabarazitë më të thjeshta eksponenciale, mund të vazhdoni zgjidhjen e pabarazive eksponenciale.

Shembulli 1.

Gjeni vlerën më të madhe të numrit të plotë të x që plotëson pabarazinë

Meqenëse 6 x është më e madhe se zero (në asnjë x emëruesi shkon në zero), duke shumëzuar të dyja anët e pabarazisë me 6 x, marrim:

440 – 2 6 2x > 8, atëherë
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Përgjigje: 1.

Shembulli 2.

Zgjidhja e pabarazisë 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Le të shënojmë 2 x me y, të marrim pabarazinë y 2 – 3y + 2 ≤ 0 dhe ta zgjidhim këtë pabarazi kuadratike.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 dhe y 2 = 2.

Degët e parabolës janë të drejtuara lart, le të vizatojmë një grafik:

Atëherë zgjidhja e pabarazisë do të jetë pabarazia 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Përgjigje: (0; 1) .

Shembulli 3. Zgjidh pabarazinë 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Le të mbledhim shprehje me baza të njëjta në një pjesë të pabarazisë

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Le të marrim 5 x nga kllapat në anën e majtë të pabarazisë dhe 3 x në anën e djathtë të pabarazisë dhe marrim pabarazinë

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Ndani të dy anët e pabarazisë me shprehjen 3 3 x, shenja e pabarazisë nuk ndryshon, pasi 3 3 x është një numër pozitiv, marrim pabarazinë:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Përgjigje: (–∞; 2) .

Nëse keni pyetje në lidhje me zgjidhjen e pabarazive eksponenciale ose dëshironi të praktikoni zgjidhjen e shembujve të ngjashëm, regjistrohuni për mësimet e mia. Tutor Valentina Galinevskaya.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Pabarazitë quhen lineare anët e majta dhe të djathta të të cilave janë funksione lineare në lidhje me sasinë e panjohur. Këto përfshijnë, për shembull, pabarazitë:

2x-1-x+3; 7x0;

5 > 4 - 6 herë 9- x< x + 5 .

1) Pabarazitë e rrepta: sëpatë +b>0 ose sëpatë+b<0

2) Pabarazitë jo të rrepta: sëpatë +b≤0 ose sëpatë+b≫ 0

Le të analizojmë këtë detyrë. Njëra nga brinjët e paralelogramit është 7 cm. Sa duhet të jetë gjatësia e anës tjetër që perimetri i paralelogramit të jetë më i madh se 44 cm?

Le të jetë ana e kërkuar X cm Në këtë rast, perimetri i paralelogramit do të përfaqësohet me (14 + 2x) cm. Nëse e zëvendësojmë variablin në këtë pabarazi X për shembull, në numrin 16, atëherë marrim pabarazinë numerike të saktë 14 + 32 > 44. Në këtë rast, ata thonë se numri 16 është një zgjidhje e pabarazisë 14 + 2x > 44.

Zgjidhja e pabarazisë emërtoni vlerën e një ndryshoreje që e kthen atë në një pabarazi numerike të vërtetë.

Prandaj, secili nga numrat është 15.1; 20;73 vepron si zgjidhje për pabarazinë 14 + 2x > 44, por numri 10, për shembull, nuk është zgjidhja e tij.

Zgjidhja e pabarazisë do të thotë të vendosësh të gjitha zgjidhjet e tij ose të provosh se nuk ka zgjidhje.

Formulimi i zgjidhjes së pabarazisë është i ngjashëm me formulimin e rrënjës së ekuacionit. E megjithatë nuk është zakon të caktohet "rrënja e pabarazisë".

Vetitë e barazive numerike na ndihmuan në zgjidhjen e ekuacioneve. Në mënyrë të ngjashme, vetitë e pabarazive numerike do të ndihmojnë në zgjidhjen e pabarazive.

Kur zgjidhim një ekuacion, e ndryshojmë atë në një ekuacion tjetër, më të thjeshtë, por të barabartë me atë të dhënë. Përgjigja për pabarazitë gjendet në mënyrë të ngjashme. Kur ndryshojnë një ekuacion në një ekuacion ekuivalent, ata përdorin teoremën për transferimin e termave nga njëra anë e ekuacionit në anën e kundërt dhe për shumëzimin e të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër jozero. Kur zgjidhet një pabarazi, ekziston një ndryshim domethënës midis tij dhe një ekuacioni, i cili qëndron në faktin se çdo zgjidhje e një ekuacioni mund të verifikohet thjesht duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal. Në pabarazitë, kjo metodë mungon, pasi nuk është e mundur të zëvendësohen zgjidhje të panumërta në pabarazinë origjinale. Prandaj, ekziston një koncept i rëndësishëm, këto shigjeta<=>është një shenjë e transformimeve ekuivalente, ose ekuivalente. Transformimi quhet ekuivalente, ose ekuivalente, nëse nuk e ndryshojnë grupin e zgjidhjeve.

Rregulla të ngjashme për zgjidhjen e pabarazive.

Nëse kalojmë një term nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën, duke zëvendësuar shenjën e tij me të kundërtën, marrim një pabarazi të barabartë me këtë.

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër pozitiv, marrim një pabarazi të barabartë me këtë.

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër negativ, duke zëvendësuar shenjën e pabarazisë me atë të kundërt, fitojmë një pabarazi ekuivalente me atë të dhënë.

Duke përdorur këto rregullat Le të llogarisim pabarazitë e mëposhtme.

1) Le të analizojmë pabarazinë 2x - 5 > 9.

Kjo pabarazia lineare, do të gjejmë zgjidhjen e saj dhe do të diskutojmë konceptet bazë.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 u zhvendos në anën e majtë me shenjën e kundërt), pastaj e ndamë gjithçka me 2 dhe kemi x > 7. Le të vizatojmë grupin e zgjidhjeve në bosht x

Ne kemi marrë një rreze të drejtuar pozitivisht. Vërejmë grupin e zgjidhjeve ose në formën e pabarazisë x > 7, ose në formën e intervalit x(7; ∞). Cila është një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi? Për shembull, x = 10është një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi, x = 12- kjo është gjithashtu një zgjidhje e veçantë për këtë pabarazi.

Ka shumë zgjidhje të pjesshme, por detyra jonë është të gjejmë të gjitha zgjidhjet. Dhe zakonisht ka zgjidhje të panumërta.

Le ta zgjidhim shembulli 2:

2) Zgjidh pabarazinë 4a - 11 > a + 13.

Le ta zgjidhim: A zhvendoseni në njërën anë 11 zhvendoseni në anën tjetër, marrim 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 pabarazia ka formën a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Le të shfaqim gjithashtu grupin a< 8 , por tashmë në bosht A.

Përgjigjen ose e shkruajmë në formën e pabarazisë a< 8, либо A(-∞;8), 8 nuk ndizet.

Pas marrjes së informacionit fillestar për pabarazitë me variabla, kalojmë në çështjen e zgjidhjes së tyre. Do të analizojmë zgjidhjen e pabarazive lineare me një variabël dhe të gjitha metodat për zgjidhjen e tyre me algoritme dhe shembuj. Do të merren parasysh vetëm ekuacionet lineare me një ndryshore.

Çfarë është pabarazia lineare?

Së pari, ju duhet të përcaktoni një ekuacion linear dhe të zbuloni formën e tij standarde dhe si do të ndryshojë nga të tjerët. Nga kursi i shkollës kemi se nuk ka dallim thelbësor midis pabarazive, ndaj është e nevojshme të përdoren disa përkufizime.

Përkufizimi 1

Pabarazi lineare me një ndryshore x është një pabarazi e formës a · x + b > 0, kur çdo shenjë pabarazie përdoret në vend të >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Përkufizimi 2

Pabarazitë a x< c или a · x >c, ku x është një ndryshore dhe a dhe c janë disa numra, quhet pabarazitë lineare me një ndryshore.

Meqenëse asgjë nuk thuhet nëse koeficienti mund të jetë i barabartë me 0, atëherë një pabarazi strikte e formës 0 x > c dhe 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Dallimet e tyre janë:

• formë shënimi a · x + b > 0 në të parën, dhe a · x > c - në të dytën;
• pranueshmëria e koeficientit a është e barabartë me zero, a ≠ 0 - në të parën dhe a = 0 - në të dytën.

Besohet se pabarazitë a · x + b > 0 dhe a · x > c janë ekuivalente, sepse ato fitohen duke transferuar një term nga një pjesë në tjetrën. Zgjidhja e pabarazisë 0 x + 5 > 0 do të çojë në faktin se do të duhet të zgjidhet, dhe rasti a = 0 nuk do të funksionojë.

Përkufizimi 3

Besohet se pabarazitë lineare në një ndryshore x janë pabarazi të formës a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Dhe a x + b ≥ 0, ku a dhe b janë numra realë. Në vend të x mund të ketë një numër të rregullt.

Në bazë të rregullit kemi që 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 quhen të reduktueshme në lineare.

Si të zgjidhim pabarazinë lineare

Mënyra kryesore për të zgjidhur pabarazitë e tilla është përdorimi i transformimeve ekuivalente për të gjetur pabarazitë elementare x< p (≤ , >, ≥) , p i cili është një numër i caktuar, për një ≠ 0, dhe nga forma a< p (≤ , >, ≥) për a = 0.

Për të zgjidhur pabarazitë në një variabël, mund të përdorni metodën e intervalit ose ta paraqisni atë grafikisht. Secili prej tyre mund të përdoret veçmas.

Përdorimi i transformimeve ekuivalente

Për të zgjidhur një pabarazi lineare të formës a x + b< 0 (≤ , >, ≥), është e nevojshme të zbatohen transformimet ekuivalente të pabarazisë. Koeficienti mund të jetë ose jo zero. Le të shqyrtojmë të dyja rastet. Për ta zbuluar, duhet t'i përmbaheni një skeme të përbërë nga 3 pika: thelbi i procesit, algoritmi dhe vetë zgjidhja.

Përkufizimi 4

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë lineare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) për një ≠ 0

• numri b do të zhvendoset në anën e djathtë të pabarazisë me shenjën e kundërt, e cila do të na lejojë të arrijmë në ekuivalentin a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Të dyja anët e pabarazisë do të pjesëtohen me një numër jo të barabartë me 0. Për më tepër, kur a është pozitive, shenja mbetet kur a është negative, ajo ndryshon në të kundërtën;

Le të shqyrtojmë zbatimin e këtij algoritmi për zgjidhjen e shembujve.

Shembulli 1

Të zgjidhet pabarazia e formës 3 x + 12 ≤ 0.

Zgjidhje

Kjo pabarazi lineare ka a = 3 dhe b = 12. Kjo do të thotë se koeficienti a i x nuk është i barabartë me zero. Le të zbatojmë algoritmet e mësipërme dhe ta zgjidhim atë.

Është e nevojshme të zhvendosni termin 12 në një pjesë tjetër të pabarazisë dhe të ndryshoni shenjën përpara tij. Pastaj marrim një pabarazi të formës 3 x ≤ − 12. Është e nevojshme të ndahen të dy pjesët me 3. Shenja nuk do të ndryshojë pasi 3 është një numër pozitiv. Marrim se (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, që jep rezultatin x ≤ − 4.

Një pabarazi e formës x ≤ − 4 është ekuivalente. Kjo do të thotë, zgjidhja për 3 x + 12 ≤ 0 është çdo numër real që është më i vogël ose i barabartë me 4. Përgjigja shkruhet si një pabarazi x ≤ − 4, ose një interval numerik i formës (− ∞, − 4].

I gjithë algoritmi i përshkruar më sipër është shkruar kështu:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

Përgjigje: x ≤ − 4 ose (− ∞ , − 4 ] .

Shembulli 2

Tregoni të gjitha zgjidhjet e disponueshme për pabarazinë − 2, 7 · z > 0.

Zgjidhje

Nga kushti shohim se koeficienti a për z është i barabartë me - 2.7, dhe b mungon në mënyrë eksplicite ose i barabartë me zero. Ju nuk mund të përdorni hapin e parë të algoritmit, por menjëherë kaloni në të dytin.

Ne i ndajmë të dy anët e ekuacionit me numrin - 2, 7. Meqenëse numri është negativ, është e nevojshme të ndryshohet shenja e pabarazisë. Kjo do të thotë, marrim se (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Le të shkruajmë të gjithë algoritmin në formë të shkurtër:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Përgjigje: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Shembulli 3

Zgjidhe pabarazinë - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Zgjidhje

Sipas kushtit, shohim se është e nevojshme të zgjidhet pabarazia me koeficientin a për ndryshoren x, e cila është e barabartë me - 5, me koeficientin b, që i përgjigjet thyesës - 15 22. Është e nevojshme të zgjidhet pabarazia duke ndjekur algoritmin, domethënë: zhvendoseni - 15 22 në një pjesë tjetër me shenjën e kundërt, ndani të dy pjesët me - 5, ndryshoni shenjën e pabarazisë:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Gjatë kalimit të fundit për anën e djathtë, përdoret rregulli për pjesëtimin e numrit me shenja të ndryshme 15 22: - 5 = - 15 22: 5, pas së cilës pjesëtojmë thyesën e zakonshme me numrin natyror - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Përgjigje: x ≥ - 3 22 dhe [ - 3 22 + ∞) .

Le të shqyrtojmë rastin kur a = 0. Shprehje lineare e formës a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Gjithçka bazohet në përcaktimin e zgjidhjes së pabarazisë. Për çdo vlerë të x-së marrim një pabarazi numerike të formës b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Ne do t'i shqyrtojmë të gjitha gjykimet në formën e një algoritmi për zgjidhjen e pabarazive lineare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Përkufizimi 5

Mosbarazimi numerik i formës b< 0 (≤ , >, ≥) është e vërtetë, atëherë pabarazia origjinale ka një zgjidhje për çdo vlerë, dhe është e gabuar kur pabarazia origjinale nuk ka zgjidhje.

Shembulli 4

Zgjidheni pabarazinë 0 x + 7 > 0.

Zgjidhje

Kjo pabarazi lineare 0 x + 7 > 0 mund të marrë çdo vlerë x. Pastaj marrim një pabarazi të formës 7 > 0. Pabarazia e fundit konsiderohet e vërtetë, që do të thotë se çdo numër mund të jetë zgjidhja e tij.

Përgjigju: intervali (− ∞ , + ∞) .

Shembulli 5

Gjeni një zgjidhje për pabarazinë 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Zgjidhje

Kur zëvendësojmë ndryshoren x të çdo numri, marrim se pabarazia merr formën − 12, 7 ≥ 0. Është e pasaktë. Domethënë, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive lineare ku të dy koeficientët janë të barabartë me zero.

Shembulli 6

Përcaktoni pabarazinë e pazgjidhshme nga 0 x + 0 > 0 dhe 0 x + 0 ≥ 0.

Zgjidhje

Kur zëvendësojmë ndonjë numër në vend të x, marrim dy pabarazi të formës 0 > 0 dhe 0 ≥ 0. E para është e pasaktë. Kjo do të thotë që 0 x + 0 > 0 nuk ka zgjidhje, dhe 0 x + 0 ≥ 0 ka një numër të pafund zgjidhjesh, domethënë çdo numër.

Përgjigju: pabarazia 0 x + 0 > 0 nuk ka zgjidhje, por 0 x + 0 ≥ 0 ka zgjidhje.

Kjo metodë diskutohet në kursin e matematikës në shkollë. Metoda e intervalit është në gjendje të zgjidhë lloje të ndryshme të pabarazive, duke përfshirë ato lineare.

Metoda e intervalit përdoret për pabarazitë lineare kur vlera e koeficientit x nuk është e barabartë me 0. Përndryshe, do të duhet të llogaritni duke përdorur një metodë tjetër.

Përkufizimi 6

Metoda e intervalit është:

• duke prezantuar funksionin y = a · x + b ;
• kërkimi i zerave për të ndarë domenin e përkufizimit në intervale;
• përcaktimi i shenjave për konceptet e tyre në intervale.

Le të mbledhim një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve lineare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) për një ≠ 0 duke përdorur metodën e intervalit:

• gjetja e zerave të funksionit y = a · x + b për të zgjidhur një ekuacion të formës a · x + b = 0 . Nëse a ≠ 0, atëherë zgjidhja do të jetë një rrënjë e vetme, e cila do të marrë emërtimin x 0;
• ndërtimi i një vije koordinative me një imazh të një pike me koordinatë x 0, pika shënohet me një pabarazi jo të rreptë;
• përcaktimi i shenjave të funksionit y = a · x + b në intervale për këtë është e nevojshme të gjenden vlerat e funksionit në pikat e intervalit;
• zgjidhja e një pabarazie me shenja > ose ≥ në vijën e koordinatave, duke shtuar hije mbi intervalin pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së pabarazive lineare duke përdorur metodën e intervalit.

Shembulli 6

Zgjidheni pabarazinë − 3 x + 12 > 0.

Zgjidhje

Nga algoritmi rrjedh se së pari ju duhet të gjeni rrënjën e ekuacionit - 3 x + 12 = 0. Marrim se − 3 · x = − 12 , x = 4 . Është e nevojshme të vizatoni një vijë koordinative ku shënojmë pikën 4. Do të shpohet sepse pabarazia është e rreptë. Konsideroni vizatimin më poshtë.

Është e nevojshme të përcaktohen shenjat në intervale. Për ta përcaktuar atë në intervalin (− ∞, 4), është e nevojshme të llogaritet funksioni y = − 3 x + 12 në x = 3. Nga këtu marrim se − 3 3 + 12 = 3 > 0. Shenja në interval është pozitive.

Ne përcaktojmë shenjën nga intervali (4, + ∞), pastaj zëvendësojmë vlerën x = 5. Kemi që − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Ne e zgjidhim pabarazinë me shenjën > dhe hijezimi kryhet mbi intervalin pozitiv. Konsideroni vizatimin më poshtë.

Nga vizatimi shihet qartë se zgjidhja e dëshiruar ka formën (− ∞ , 4) ose x< 4 .

Përgjigju: (− ∞ , 4) ose x< 4 .

Për të kuptuar se si të përshkruani grafikisht, është e nevojshme të merren parasysh 4 pabarazi lineare si shembull: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dhe 0, 5 x − 1 ≥ 0. Zgjidhjet e tyre do të jenë vlerat e x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dhe x ≥ 2. Për ta bërë këtë, le të vizatojmë funksionin linear y = 0, 5 x − 1 të paraqitur më poshtë.

Është e qartë se

Përkufizimi 7

• zgjidhja e pabarazisë 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• zgjidhja 0, 5 x − 1 ≤ 0 konsiderohet të jetë intervali ku funksioni y = 0, 5 x − 1 është më i ulët se O x ose përkon;
• zgjidhja 0, 5 · x − 1 > 0 konsiderohet të jetë një interval, funksioni ndodhet mbi O x;
• zgjidhja 0, 5 · x − 1 ≥ 0 konsiderohet të jetë intervali ku grafiku sipër O x ose përkon.

Qëllimi i zgjidhjes grafike të pabarazive është gjetja e intervaleve që duhet të përshkruhen në grafik. Në këtë rast, gjejmë se ana e majtë ka y = a · x + b, dhe ana e djathtë ka y = 0, dhe përkon me O x.

Grafiku i funksionit y = a x + b paraqitet:

• gjatë zgjidhjes së mosbarazimit a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kur zgjidhet pabarazia a · x + b ≤ 0, përcaktohet intervali ku grafiku është paraqitur nën boshtin O x ose përkon;
• kur zgjidhet pabarazia a · x + b > 0, përcaktohet intervali ku grafiku është paraqitur sipër O x;
• Kur zgjidhet pabarazia a · x + b ≥ 0, përcaktohet intervali ku grafiku është mbi O x ose përkon.

Shembulli 7

Zgjidheni pabarazinë - 5 · x - 3 > 0 duke përdorur një grafik.

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndërtohet një grafik i funksionit linear - 5 · x - 3 > 0. Kjo linjë është në rënie sepse koeficienti i x është negativ. Për të përcaktuar koordinatat e pikës së kryqëzimit të saj me O x - 5 · x - 3 > 0, marrim vlerën - 3 5. Le ta përshkruajmë në mënyrë grafike.

Duke zgjidhur pabarazinë me shenjën >, atëherë duhet t'i kushtoni vëmendje intervalit mbi O x. Le të theksojmë me të kuqe pjesën e kërkuar të avionit dhe ta marrim atë

Hendeku i kërkuar është pjesa O x e kuqe. Kjo do të thotë se rrezja e numrit të hapur - ∞ , - 3 5 do të jetë një zgjidhje për pabarazinë. Nëse, sipas kushtit, do të kishim një pabarazi jo të rreptë, atëherë edhe vlera e pikës - 3 5 do të ishte zgjidhje e pabarazisë. Dhe do të përkonte me O x.

Përgjigju: - ∞ , - 3 5 ose x< - 3 5 .

Zgjidhja grafike përdoret kur ana e majtë i përgjigjet funksionit y = 0 x + b, pra y = b. Atëherë vija e drejtë do të jetë paralele me O x ose do të përkojë në b = 0. Këto raste tregojnë se pabarazia mund të mos ketë zgjidhje, ose zgjidhja mund të jetë ndonjë numër.

Shembulli 8

Përcaktoni nga mosbarazimet 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Zgjidhje

Paraqitja e y = 0 x + 7 është y = 7, atëherë do të jepet një plan koordinativ me një drejtëz paralele me O x dhe e vendosur mbi O x. Pra 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Grafiku i funksionit y = 0 x + 0 konsiderohet të jetë y = 0, domethënë, drejtëza përkon me O x. Kjo do të thotë se pabarazia 0 x + 0 ≥ 0 ka shumë zgjidhje.

Përgjigju: Pabarazia e dytë ka zgjidhje për çdo vlerë të x.

Pabarazitë që reduktohen në lineare

Zgjidhja e pabarazive mund të reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni linear, të cilat quhen pabarazi që reduktohen në lineare.

Këto pabarazi u morën në konsideratë në kursin e shkollës, pasi ishin një rast i veçantë i zgjidhjes së pabarazive, gjë që çoi në hapjen e kllapave dhe uljen e termave të ngjashëm. Për shembull, merrni parasysh se 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Pabarazitë e dhëna më sipër reduktohen gjithmonë në formën e një ekuacioni linear. Pas kësaj hapen kllapat dhe jepen terma të ngjashëm, të transferuar nga pjesë të ndryshme, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën.

Kur e zvogëlojmë pabarazinë 5 − 2 x > 0 në lineare, e paraqesim atë në atë mënyrë që të ketë formën − 2 x + 5 > 0, dhe për të reduktuar të dytën fitojmë se 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Është e nevojshme të hapni kllapat, të sillni terma të ngjashëm, të zhvendosni të gjithë termat në anën e majtë dhe të sillni terma të ngjashëm. Duket kështu:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Kjo çon zgjidhjen në një pabarazi lineare.

Këto pabarazi konsiderohen lineare, pasi ato kanë të njëjtin parim zgjidhjeje, pas së cilës është e mundur të reduktohen në pabarazi elementare.

Për të zgjidhur këtë lloj pabarazie, është e nevojshme ta reduktoni atë në një linjë lineare. Duhet të bëhet në këtë mënyrë:

Përkufizimi 9

• kllapa të hapura;
• mbledhni variabla në të majtë dhe numra në të djathtë;
• jepni terma të ngjashëm;
• pjesëtoni të dyja anët me koeficientin x.

Shembulli 9

Zgjidheni pabarazinë 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Zgjidhje

Hapim kllapat, pastaj marrim një pabarazi të formës 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pas reduktimit të termave të ngjashëm, kemi se 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pas lëvizjes së termave nga e majta në të djathtë, gjejmë se 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Prandaj ekziston një pabarazi e formës 32 ≤ 0 nga ajo e fituar duke llogaritur 0 x + 32 ≤ 0. Mund të shihet se pabarazia është e rreme, që do të thotë se pabarazia e dhënë me kusht nuk ka zgjidhje.

Përgjigju: nuk ka zgjidhje.

Vlen të përmendet se ka shumë lloje të tjera të pabarazive që mund të reduktohen në lineare ose pabarazi të tipit të treguar më sipër. Për shembull, 5 2 x − 1 ≥ 1 është një ekuacion eksponencial që reduktohet në një zgjidhje të formës lineare 2 x − 1 ≥ 0. Këto raste do të merren parasysh gjatë zgjidhjes së pabarazive të këtij lloji.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Zgjidhja e pabarazive në internet

Para se të zgjidhni pabarazitë, duhet të kuptoni mirë se si zgjidhen ekuacionet.

Nuk ka rëndësi nëse pabarazia është e rreptë () apo jo e rreptë (≤, ≥), hapi i parë është zgjidhja e ekuacionit duke zëvendësuar shenjën e pabarazisë me barazi (=).

Le të shpjegojmë se çfarë do të thotë të zgjidhësh një pabarazi?

Pas studimit të ekuacioneve, studenti merr në kokë foton e mëposhtme: ai duhet të gjejë vlerat e ndryshores në mënyrë që të dyja anët e ekuacionit të marrin të njëjtat vlera. Me fjalë të tjera, gjeni të gjitha pikat në të cilat qëndron barazia. Gjithçka është e saktë!

Kur flasim për pabarazi, nënkuptojmë gjetjen e intervaleve (segmenteve) në të cilat qëndron pabarazia. Nëse ka dy ndryshore në pabarazi, atëherë zgjidhja nuk do të jetë më intervale, por disa zona në rrafsh. Merreni me mend vetë cila do të jetë zgjidhja e një pabarazie në tre variabla?

Si të zgjidhen pabarazitë?

Një mënyrë universale për zgjidhjen e pabarazive konsiderohet të jetë metoda e intervaleve (e njohur edhe si metoda e intervaleve), e cila konsiston në përcaktimin e të gjitha intervaleve brenda kufijve të të cilave do të plotësohet një pabarazi e caktuar.

Pa hyrë në llojin e pabarazisë, në këtë rast kjo nuk është pika, ju duhet të zgjidhni ekuacionin përkatës dhe të përcaktoni rrënjët e tij, e ndjekur nga përcaktimi i këtyre zgjidhjeve në boshtin e numrave.

Si të shkruhet saktë zgjidhja e një pabarazie?

Pasi të keni përcaktuar intervalet e zgjidhjes për pabarazinë, duhet të shkruani saktë vetë zgjidhjen. Ekziston një nuancë e rëndësishme - a përfshihen kufijtë e intervaleve në zgjidhje?

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Nëse zgjidhja e ekuacionit plotëson ODZ dhe pabarazia nuk është strikte, atëherë kufiri i intervalit përfshihet në zgjidhjen e pabarazisë. Përndryshe, jo.

Duke marrë parasysh çdo interval, zgjidhja e pabarazisë mund të jetë vetë intervali, ose një gjysmë-interval (kur njëri nga kufijtë e tij plotëson pabarazinë), ose një segment - intervali së bashku me kufijtë e tij.

Pika e rëndësishme

Mos mendoni se vetëm intervalet, gjysmëintervalet dhe segmentet mund të zgjidhin pabarazinë. Jo, zgjidhja mund të përfshijë edhe pika individuale.

Për shembull, pabarazia |x|≤0 ka vetëm një zgjidhje - kjo është pika 0.

Dhe pabarazia |x|

Për çfarë shërben një kalkulator i pabarazisë?

Llogaritësi i pabarazive jep përgjigjen përfundimtare të saktë. Në shumicën e rasteve, jepet një ilustrim i një boshti ose plani numëror. Është e dukshme nëse kufijtë e intervaleve përfshihen në zgjidhje apo jo - pikat shfaqen si të hijezuara ose të shpuara.

Falë kalkulatorit të pabarazive në internet, mund të kontrolloni nëse i keni gjetur saktë rrënjët e ekuacionit, i keni shënuar ato në boshtin e numrave dhe keni kontrolluar përmbushjen e kushtit të pabarazisë në intervalet (dhe kufijtë)?

Nëse përgjigja juaj ndryshon nga përgjigja e kalkulatorit, atëherë patjetër që duhet të kontrolloni dy herë zgjidhjen tuaj dhe të identifikoni gabimin.