Vektorový súčin súčtu vektorov. vektorový produkt

Uhol medzi vektormi

Aby sme mohli zaviesť pojem krížového súčinu dvoch vektorov, musíme sa najskôr zaoberať takým pojmom, akým je uhol medzi týmito vektormi.

Dajme nám dva vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$. Zoberme si nejaký bod $O$ v priestore a odložme z neho vektory $\overline(α)=\overline(OA)$ a $\overline(β)=\overline(OB)$, potom uhol $AOB $ budeme nazývať uhol medzi týmito vektormi (obr. 1).

Zápis: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Koncept krížového súčinu vektorov a vzorec na nájdenie

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor kolmý na oba dané vektory a jeho dĺžka sa bude rovnať súčinu dĺžok týchto vektorov so sínusom uhla medzi týmito vektormi a tento vektor s dvoma počiatočnými vektormi má rovnaký orientácia ako karteziánsky súradnicový systém.

Zápis: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicky to vyzerá takto:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ a $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sú rovnako orientované (obr. 2)

Je zrejmé, že vonkajší súčin vektorov sa bude rovnať nulovému vektoru v dvoch prípadoch:

1. Ak je dĺžka jedného alebo oboch vektorov nulová.
2. Ak je uhol medzi týmito vektormi rovný $180^\circ$ alebo $0^\circ$ (pretože v tomto prípade je sínus rovný nule).

Aby ste jasne videli, ako sa nájde krížový súčin vektorov, zvážte nasledujúce príklady riešení.

Príklad 1

Nájdite dĺžku vektora $\overline(δ)$, ktorý bude výsledkom krížového súčinu vektorov, so súradnicami $\overline(α)=(0,4,0)$ a $\overline(β) =(3,0,0 )$.

rozhodnutie.

Znázornime tieto vektory v priestore kartézskych súradníc (obr. 3):

Obrázok 3. Vektory v priestore kartézskych súradníc. Author24 - online výmena študentských prác

Vidíme, že tieto vektory ležia na osiach $Ox$ a $Oy$. Preto bude uhol medzi nimi rovný $90^\circ$. Nájdite dĺžky týchto vektorov:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Potom podľa definície 1 získame modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Odpoveď: 12 $.

Výpočet krížového súčinu podľa súradníc vektorov

Definícia 1 okamžite naznačuje spôsob, ako nájsť krížový súčin pre dva vektory. Keďže vektor má okrem hodnoty aj smer, nie je možné ho nájsť iba pomocou skalárnej hodnoty. Ale okrem toho existuje ďalší spôsob, ako nájsť vektory, ktoré nám boli dané, pomocou súradníc.

Dajme nám vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$, ktoré budú mať súradnice $(α_1,α_2,α_3)$ a $(β_1,β_2,β_3)$. Potom vektor krížového produktu (konkrétne jeho súradnice) možno nájsť podľa nasledujúceho vzorca:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

V opačnom prípade rozšírením determinantu získame nasledujúce súradnice

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Príklad 2

Nájdite vektor krížového súčinu kolineárnych vektorov $\overline(α)$ a $\overline(β)$ so súradnicami $(0,3,3)$ a $(-1,2,6)$.

rozhodnutie.

Použime vzorec uvedený vyššie. Získajte

$\overline(α)x\overline(β)=\začiatok(vmatica)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Odpoveď: $(12,-3,3)$.

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Pre ľubovoľne zmiešané tri vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a $\overline(γ)$, ako aj $r∈R$, platia nasledujúce vlastnosti:

Príklad 3

Nájdite oblasť rovnobežníka, ktorého vrcholy majú súradnice $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ a $(3,8,0) $.

rozhodnutie.

Najprv nakreslite tento rovnobežník v súradnicovom priestore (obr. 5):

Obrázok 5. Rovnobežník v súradnicovom priestore. Author24 - online výmena študentských prác

Vidíme, že dve strany tohto rovnobežníka sú zostrojené pomocou kolineárnych vektorov so súradnicami $\overline(α)=(3,0,0)$ a $\overline(β)=(0,8,0)$. Pomocou štvrtej vlastnosti dostaneme:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Nájdite vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatica)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Preto

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Angličtina: Wikipedia robí stránku bezpečnejšou. Používate starý webový prehliadač, ktorý sa v budúcnosti nebude môcť pripojiť k Wikipédii. Aktualizujte svoje zariadenie alebo kontaktujte správcu IT.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 更加 安全 您 正 使用 旧 的 ， ， 在 将来 无法 百科。 更新 英语 设备 或 您 的 英语 的 管理员。 英语 更 ， 具 技术性 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 管理员 英语 英语 英语 ， ahoj).

španielčina: Wikipedia está hacienda el sitio más seguro. Používa sa web navigácie, ktorý nie je pripojený k Wikipédii a budúcnosti. Aktuálne informácie o kontakte a správcovi informático. Más abajo hay una updateization más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Ak používate aktuálny webový navigátor, môžete použiť pripojenie na internetovú stránku Wikipédia. Merci de mettre à joour votre appareil alebo de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Informácie o doplnkových technikách a technikách sú k dispozícii.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を 高 め い。 ご ご 利用 の ブラウザ は が 今後 ウィキペディア に 技術 なる 可能 性 が 更新 更新 デバイス を 更新 更新 か 管理 者 ご。。 面 の 更新 更新 更新 更新 更新 デバイス 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい AH情報は以下に聾恏下に聾恏下に聾恏下に聾下まま

nemčina: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Tento webový prehliadač vám umožňuje používať nový webový prehliadač, ktorý nie je na Wikipédii známy. Bitte aktualisiere dein Gerät alebo sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

taliansky: Wikipedia sa nachádza v tejto situácii. Môžete použiť web prehliadača, ktorý nie je dostupný na stupňoch pripojenia na Wikipédii v budúcnosti. V prospech, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

maďarčina: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švédsko: Wikipedia sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare inte commer att Kunna läsa Wikipedia and framtiden. Aktualizujte váš kontakt na správcu IT. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Odstraňujeme podporu pre nezabezpečené verzie protokolu TLS, konkrétne TLSv1.0 a TLSv1.1, na ktoré sa softvér vášho prehliadača spolieha pri pripájaní k našim stránkam. Zvyčajne je to spôsobené zastaranými prehliadačmi alebo staršími smartfónmi so systémom Android. Alebo to môže byť rušenie podnikovým alebo osobným softvérom „Web Security“, ktorý v skutočnosti znižuje bezpečnosť pripojenia.

Ak chcete získať prístup k našim stránkam, musíte aktualizovať svoj webový prehliadač alebo inak vyriešiť tento problém. Táto správa zostane v platnosti do 1. januára 2020. Po tomto dátume už váš prehliadač nebude môcť nadviazať spojenie s našimi servermi.

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, možno až dosť na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako rovnaký skalárny produkt, dokonca bude menej typických úloh. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí uvidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dopadlo to dobre. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý takto označovať krížový súčin vektorov v hranatých zátvorkách krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sú teda dva vektory tiež znásobené v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu aj označenia líšiť, ja použijem písmeno .

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: krížový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!

Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a, samozrejme, nominálna dĺžka krížového produktu sa nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj . Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne spojiť ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec- vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor rôznymi smermi. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Vektorový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak a . Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:

Pomocou krížového produktu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov to môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

rozhodnutie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve, rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že človek nerozumie jednoduchým veciam a / alebo sa neponoril do podstaty úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kde sa stratilo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, zaradím ich však do tohto zoznamu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?

4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

rozhodnutie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.

(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas hodiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

rozhodnutie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, akí pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b)

rozhodnutie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový produkt:

Takže vektory nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaným produktom je objem kvádra, postavený na vektoroch (obrázok je nakreslený červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a → , b → , c → v trojrozmernom priestore.

Na začiatok odložme vektory a → , b → , c → z jedného bodu. Orientácia trojice a → , b → , c → je pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora c → . Zo smeru, v ktorom je najkratší obrat z vektora a → do b → od konca vektora c → , sa určí tvar trojice a → , b → , c →.

Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a → , b → , c → správny ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b → . Odložme potom vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojme vektor A D → = c → , ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C → . Pri konštrukcii vektora A D → = c → teda môžeme urobiť dve veci, pričom mu dáme jeden alebo opačný smer (pozri obrázok).

Usporiadaná trojica vektorov a → , b → , c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu vektorového súčinu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

• ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
• bude kolmá na vektor a →​​ aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• trojica vektorov a → , b → , c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.

Krížový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b → .

Súradnice krížových produktov

Keďže každý vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, je možné zaviesť druhú definíciu krížového súčinu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice z daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) vektor nazývame c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kde i → , j → , k → sú súradnicové vektory.

Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú orta vektory i → , j → , k → , druhý riadok obsahuje súradnice vektora a → a tretí riadok sú súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme, tento determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Vlastnosti krížových produktov

Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , potom na zákl. vlastnosti determinantu matrice nasledujúci Vlastnosti vektorového produktu:

1. antikomutatívnosť a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b → , kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti nemajú zložité dôkazy.

Môžeme napríklad dokázať antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Dôkaz antikomutatívnosti

Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ak sa vymenia dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, teda a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , čo a dokazuje antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt – príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov ide o tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, ale musíte nájsť dĺžku krížového produktu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Príklad 1

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a → a b → ak je známe a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

rozhodnutie

Pomocou definície dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → riešime tento problém: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odpoveď: 15 2 2 .

Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, obsahujú vektorový súčin, jeho dĺžku atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) .

Pre tento typ úloh môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie súradnice vektorov a → a b → , ale ich expanzie v súradnicových vektoroch tvaru b → = b x i → + b y j → + b z k → a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , alebo vektory a → a b → môžu byť dané súradnicami ich počiatočné a koncové body.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

Dva vektory sú nastavené v pravouhlom súradnicovom systéme a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Nájdite ich vektorový produkt.

rozhodnutie

Podľa druhej definície nájdeme krížový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ak vektorový súčin zapíšeme pomocou maticového determinantu, potom riešenie tohto príkladu je nasledovné: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Príklad 3

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k → , kde i → , j → , k → - orty pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

rozhodnutie

Najprv nájdime súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1 ; - 1 ; 0) a (1 ; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou maticového determinantu, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1 ; - 1 ; 2) v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu zistíme podľa vzorca (pozri časť o zisťovaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Príklad 4

Súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3) ​​, C (1, 4, 2) sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

rozhodnutie

Vektory A B → a AC → majú nasledujúce súradnice (-1; 2; 2) a (0; 4; 1). Keď sme našli vektorový súčin vektorov A B → a A C → , je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C → , to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdite to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedným z kolmých vektorov.

Problémy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

rozhodnutie

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociatívnosti vyberáme číselné koeficienty za znamienkom vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Krížové produkty a → × a → a b → × b → sa rovnajú 0, pretože a → × a → = a → a → sin 0 = 0 a b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Z antikomutatívnosti vektorového súčinu vyplýva - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Podľa podmienky sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný π 2 . Teraz zostáva len nahradiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → hriech (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dĺžka krížového súčinu vektorov je podľa definície a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. Preto sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b → , odložených z jedného bodu sínusom. uhla medzi nimi sin ∠ a → , b → .

Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Fyzikálny význam vektorového produktu

V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.

Definícia 3

Pod momentom sily F → , pôsobiacim na bod B , relatívne k bodu A budeme rozumieť nasledujúci vektorový súčin A B → × F → .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter