Rovnica stojatej vlny cez sínus. Elastické vlny
Kmitavé teleso uložené v elastickom prostredí je zdrojom vibrácií, ktoré sa z neho šíria do všetkých strán. Proces šírenia vibrácií v médiu sa nazýva tzv mávať.
Keď sa vlna šíri, častice média sa nepohybujú s vlnou, ale oscilujú okolo svojich rovnovážnych polôh. Spolu s vlnou sa z častice na časticu prenáša len stav vibračného pohybu a jeho energia. Preto hlavnou vlastnosťou všetkých vĺn, bez ohľadu na ich povahu, je prenos energie bez prenosu hmoty.
Vlny môžu byť priečne (oscilácie prebiehajú v rovine kolmej na smer šírenia) a pozdĺžne (v smere šírenia dochádza ku kondenzácii a výbojom častíc média).
Keď sa k sebe šíria dve rovnaké vlny s rovnakými amplitúdami a periódami, pri prekrývaní vznikajú stojaté vlny. Stojaté vlny môžu vzniknúť odrazom od prekážok. Povedzme, že žiarič vyšle vlnu na prekážku (dopadajúca vlna). Vlna, ktorá sa od nej odrazí, bude superponovaná na dopadajúcu vlnu. Rovnicu stojatej vlny možno získať pridaním rovnice dopadajúcej vlny
(Veľmi dôležitý prípad interferencie je pozorovaný, keď sa superponujú dve protibežné rovinné vlny s rovnakou amplitúdou. Výsledný oscilačný proces sa nazýva stojaté vlnenie. Prakticky stojaté vlny vznikajú pri odraze od prekážok.)
Táto rovnica sa nazýva vlnová rovnica. Akákoľvek funkcia, ktorá spĺňa túto rovnicu, opisuje určitú vlnu.
Vlnová rovnica
je výraz, ktorý dáva zaujatosť
oscilačný bod ako funkcia jeho súradníc ( X, r, z) a čas t.
Táto funkcia musí byť periodická z hľadiska času aj súradníc (vlna je šíriaci sa kmit, teda periodicky sa opakujúci pohyb). Okrem toho body nachádzajúce sa vo vzdialenosti l od seba vibrujú rovnakým spôsobom.
- Toto rovinná vlnová rovnica.
Rovnica (5.2.3) bude mať rovnaký tvar, ak sa vibrácie šíria pozdĺž osi r alebo z
Všeobecne rovinná vlnová rovnica sa píše takto:
Výrazy (5.2.3) a (5.2.4) sú rovnice postupujúcej vlny .
Rovnica (5.2.3) popisuje vlnu šíriacu sa v smere stúpania X. Vlna šíriaca sa opačným smerom má tvar:
Poďme sa predstaviť vlnové číslo alebo vo vektorovej forme:
kde je vlnový vektor a je kolmá k povrchu vlny.
Odvtedy. Odtiaľ. Potom rovinná vlnová rovnica bude napísané takto:
sférická vlnová rovnica:
Kde A rovná amplitúde vo vzdialenosti od zdroja rovnajúcej sa jednej.
VLNOVÝ VEKTOR- vektor k, ktorý určuje smer šírenia a priestorovú periódu plochého monochromatického. vlny
kde je konštantná amplitúda a fáza vlny, je kruhová frekvencia, r- vektor polomeru. Modul V.V. volal vlnové číslo k= , Kde - priestorová perióda alebo vlnová dĺžka. V smere E. dochádza k najrýchlejšej zmene fázy vlny, preto sa berie ako smer šírenia. Rýchlosť fázového pohybu v tomto smere alebo fázová rýchlosť je určená vlnovým číslom .. c.
6.1 Stojaté vlny v elastickom médiu
Podľa princípu superpozície, keď sa niekoľko vĺn šíri súčasne v pružnom prostredí, dochádza k ich superpozícii a vlny sa navzájom nerušia: kmity častíc média sú vektorovým súčtom kmitov, ktoré by častice urobili. keď sa každá z vĺn šírila samostatne .
Vlny, ktoré vytvárajú oscilácie prostredia, medzi ktorými sú fázové rozdiely konštantné v každom bode priestoru, sa nazývajú koherentný.
Keď sa pridajú koherentné vlny, jav nastane rušenie, ktorý spočíva v tom, že v niektorých bodoch v priestore sa vlny navzájom posilňujú a v iných bodoch oslabujú. Dôležitý prípad rušenia sa pozoruje, keď sa superponujú dve protibežné rovinné vlny s rovnakou frekvenciou a amplitúdou. Výsledné kmity sa nazývajú stojatá vlna. Najčastejšie stojaté vlny vznikajú pri odraze postupnej vlny od prekážky. V tomto prípade dopadajúca vlna a vlna, ktorá sa k nej odráža, po pridaní dávajú stojatú vlnu.
Získame rovnicu stojatej vlny. Zoberme si dve rovinné harmonické vlny šíriace sa k sebe pozdĺž osi X a majú rovnakú frekvenciu a amplitúdu:
Kde 
– fáza kmitov bodov média pri prechode prvej vlny;
– fáza kmitov bodov v médiu pri prechode druhej vlny.
Fázový rozdiel v každom bode na osi X sieť nebude závislá od času, t.j. bude konštantná:
Preto budú obe vlny koherentné.
Vibrácie častíc média vyplývajúce z pridania uvažovaných vĺn budú nasledovné:
Transformujme súčet kosínusov uhlov podľa pravidla (4.4) a získajme:
Preskupením faktorov dostaneme:
Pre zjednodušenie výrazu volíme referenčný bod tak, aby bol fázový rozdiel 
a začiatok času sa počíta tak, aby sa súčet fáz rovnal nule: 
.
Potom bude mať rovnica pre súčet vĺn tvar:
Volá sa rovnica (6.6). rovnica stojatej vlny. Ukazuje, že frekvencia stojatej vlny sa rovná frekvencii postupujúcej vlny a amplitúda, na rozdiel od postupujúcej vlny, závisí od vzdialenosti od začiatku:
. (6.7)
Berúc do úvahy (6.7), rovnica stojatej vlny má tvar:
. (6.8)
Body média teda oscilujú s frekvenciou zhodujúcou sa s frekvenciou postupujúcej vlny a amplitúdou a, v závislosti od polohy bodu na osi X. Podľa toho sa amplitúda mení podľa kosínusového zákona a má svoje maximá a minimá (obr. 6.1).
 |
Aby sme si znázornili umiestnenie miním a maxím amplitúdy, nahradíme podľa (5.29) vlnové číslo jeho hodnotou:
Potom bude mať tvar výraz (6.7) pre amplitúdu
(6.10)
Z toho je zrejmé, že amplitúda posunu je maximálna pri 
, t.j. v bodoch, ktorých súradnice spĺňajú podmienku:
, (6.11)
Kde 
Odtiaľ získame súradnice bodov, kde je amplitúda posunutia maximálna:
; (6.12)
Nazývajú sa body, kde je amplitúda vibrácií média maximálna antinody vlny.
Amplitúda vlny je nulová v bodoch, kde 
. Súradnice takýchto bodov, tzv vlnové uzly, spĺňa podmienku:
, (6.13)
Kde
Z (6.13) je zrejmé, že súradnice uzlov majú hodnoty:
, (6.14)
Na obr. Obrázok 6.2 zobrazuje približný pohľad na stojatú vlnu s vyznačením polohy uzlov a antinodov. Je možné vidieť, že susedné uzly a antinody posunutia sú od seba vzdialené v rovnakej vzdialenosti.
 |
Nájdite vzdialenosť medzi susednými antinodami a uzlami. Z (6.12) získame vzdialenosť medzi antinodami:
(6.15)
Vzdialenosť medzi uzlami sa získa z (6.14):
(6.16)
Zo získaných vzťahov (6.15) a (6.16) je zrejmé, že vzdialenosť medzi susednými uzlami, ako aj medzi susednými protiuzlami, je konštantná a rovná sa ; uzly a antinody sú voči sebe posunuté o (obr. 6.3).
Z definície vlnovej dĺžky môžeme napísať výraz pre dĺžku stojatej vlny: rovná sa polovici dĺžky postupujúcej vlny:
Napíšme, berúc do úvahy (6.17), výrazy pre súradnice uzlov a antinodov:
, (6.18)
, 
(6.19)
Faktor, ktorý určuje amplitúdu stojatej vlny, mení svoje znamienko pri prechode cez nulovú hodnotu, v dôsledku čoho sa fáza kmitov na rôznych stranách uzla líši o . V dôsledku toho všetky body ležiace na opačných stranách uzla oscilujú v protifáze. Všetky body nachádzajúce sa medzi susednými uzlami oscilujú vo fáze.
 |
Uzly podmienene rozdeľujú prostredie na autonómne oblasti, v ktorých sa harmonické kmity vyskytujú nezávisle. Nedochádza k prenosu pohybu medzi regiónmi, a teda ani k toku energie medzi regiónmi. To znamená, že nedochádza k prenosu rušenia pozdĺž osi. Preto sa vlna nazýva stojatá vlna.
Stojatá vlna je teda vytvorená z dvoch opačne smerujúcich postupujúcich vĺn rovnakých frekvencií a amplitúd. Umovove vektory každej z týchto vĺn majú rovnakú veľkosť a opačný smer a po sčítaní dávajú nulu. V dôsledku toho stojatá vlna neprenáša energiu.
6.2 Príklady stojatého vlnenia
6.2.1 Stojatá vlna v strune
Zoberme si reťazec dĺžky L, upevnený na oboch koncoch (obr. 6.4).
Pozdĺž šnúrky položíme os X tak, že ľavý koniec reťazca má súradnicu x=0 a ten správny - x=L. V reťazci sa vyskytujú oscilácie opísané rovnicou:
Zapíšme si okrajové podmienky pre uvažovaný reťazec. Keďže jeho konce sú pevné, potom v bodoch so súradnicami x=0 A x=L bez váhania:
(6.22)
Nájdite rovnicu kmitov strún na základe zapísaných okrajových podmienok. Napíšme rovnicu (6.20) pre ľavý koniec reťazca berúc do úvahy (6.21):
Vzťah (6.23) je splnený kedykoľvek t v dvoch prípadoch:
1. 
. To je možné, ak v strune nie sú žiadne vibrácie (). Tento prípad nás nezaujíma a nebudeme sa ním zaoberať.
2. Tu je fáza. Tento prípad nám umožní získať rovnicu vibrácií strún.
Výslednú hodnotu fázy dosadíme do okrajovej podmienky (6.22) pre pravý koniec reťazca:
. (6.25)
Zvažujem to
, (6.26)
z (6.25) získame:
Opäť vznikajú dva prípady, v ktorých je vzťah (6.27) splnený. Nebudeme brať do úvahy prípad, keď v strune nie sú žiadne vibrácie ().
V druhom prípade musí byť splnená rovnosť:
a to je možné len vtedy, keď je argument sínus násobkom celého čísla:
Hodnotu zahodíme, pretože v tomto prípade by to znamenalo buď nulovú dĺžku reťazca ( L = 0) alebo vlnové číslo k=0. S prihliadnutím na súvislosť (6.9) medzi vlnovým číslom a vlnovou dĺžkou je zrejmé, že aby sa vlnové číslo rovnalo nule, vlnová dĺžka by mala byť nekonečná a to by znamenalo absenciu kmitov.
Z (6.28) je zrejmé, že vlnové číslo pri kmitaní struny upevnenej na oboch koncoch môže nadobúdať len určité diskrétne hodnoty:
Berúc do úvahy (6.9), píšeme (6.30) v tvare:
z ktorého získame výraz pre možné vlnové dĺžky v reťazci:
Inými slovami, po celej dĺžke reťazca L sa musí zmestiť do celého čísla n polovičné vlny:
Zodpovedajúce frekvencie kmitov možno určiť z (5.7):
Tu je fázová rýchlosť vlny v závislosti podľa (5.102) od lineárnej hustoty struny a napínacej sily struny:
Dosadením (6.34) do (6.33) dostaneme výraz popisujúci možné frekvencie vibrácií struny:
, (6.36)
Frekvencie sú tzv prirodzené frekvencie struny. Frekvencia (at n = 1):
(6.37)
volal základná frekvencia(alebo hlavný tón) struny. Frekvencie stanovené pri n>1 sa volajú podtóny alebo harmonické. Harmonické číslo je n-1. Napríklad frekvencia:
zodpovedá prvej harmonickej a frekvencii:
zodpovedá druhej harmonickej atď. Pretože struna môže byť reprezentovaná ako diskrétny systém s nekonečným počtom stupňov voľnosti, potom každá harmonická je móda vibrácie strún. Vo všeobecnom prípade vibrácie strún predstavujú superpozíciu režimov.
 |
Každá harmonická má svoju vlnovú dĺžku. Pre hlavný tón (s n= 1) vlnová dĺžka:
pre prvú a druhú harmonickú (at n= 2 a n= 3) vlnové dĺžky budú:
Obrázok 6.5 ukazuje vzhľad niekoľkých režimov vibrácií vykonávaných strunou.
Struna s pevnými koncami teda realizuje výnimočný prípad v rámci klasickej fyziky - diskrétne spektrum frekvencií (alebo vlnových dĺžok) vibrácií. Pružná tyč s jedným alebo oboma upnutými koncami a kmitanie vzduchového stĺpca v potrubí sa správajú rovnakým spôsobom, čo bude diskutované v nasledujúcich častiach.
6.2.2 Vplyv počiatočných podmienok na pohyb
súvislý reťazec. Fourierova analýza
Kmity struny s upnutými koncami majú okrem diskrétneho spektra frekvencií kmitov ešte jednu dôležitú vlastnosť: konkrétna forma kmitov struny závisí od spôsobu budenia kmitov, t.j. z počiatočných podmienok. Poďme sa na to pozrieť bližšie.
Rovnica (6.20), ktorá popisuje jeden režim stojatého vlnenia v reťazci, je konkrétnym riešením diferenciálnej vlnovej rovnice (5.61). Keďže vibrácia struny pozostáva zo všetkých možných režimov (pre strunu je ich nekonečný počet), potom všeobecné riešenie vlnovej rovnice (5.61) pozostáva z nekonečného počtu čiastkových riešení:
, (6.43)
Kde i– číslo vibračného režimu. Výraz (6.43) je napísaný s prihliadnutím na skutočnosť, že konce reťazca sú pevné:
a tiež s prihliadnutím na frekvenčné pripojenie i-tý režim a jeho vlnové číslo:
(6.46)
Tu 
– vlnové číslo i móda;
– vlnové číslo 1. módu;
Nájdite hodnotu počiatočnej fázy pre každý oscilačný režim. Pre toto, momentálne t = 0 dajme reťazcu tvar opísaný funkciou f 0 (X), výraz, pre ktorý získame z (6.43):
. (6.47)
Na obr. Obrázok 6.6 ukazuje príklad tvaru reťazca opísaného funkciou f 0 (X).
 |
V určitom okamihu t = 0 struna je stále v kľude, t.j. rýchlosť všetkých jeho bodov je nulová. Z (6.43) nájdeme výraz pre rýchlosť reťazcov:
a nahrádzanie v ňom t = 0, získame výraz pre rýchlosť bodov na reťazci v počiatočnom časovom okamihu:
. (6.49)
Keďže v počiatočnom okamihu je rýchlosť rovná nule, potom výraz (6.49) bude rovný nule pre všetky body reťazca if . Z toho vyplýva, že počiatočná fáza pre všetky režimy je tiež nulová (). Ak to vezmeme do úvahy, výraz (6.43), ktorý popisuje pohyb struny, má tvar:
, (6.50)
a výraz (6.47), popisujúci počiatočný tvar reťazca, vyzerá takto:
. (6.51)
Stojatá vlna v reťazci je opísaná funkciou, ktorá je periodická v intervale , kde sa rovná dvom dĺžkam struny (obr. 6.7):
To možno vidieť zo skutočnosti, že periodicita na intervale znamená:
teda
čo nás vedie k vyjadreniu (6.52).
Z matematickej analýzy je známe, že každá periodická funkcia môže byť s vysokou presnosťou rozšírená do Fourierovho radu:
, (6.57)
kde , , sú Fourierove koeficienty.
Ak sa v médiu šíri súčasne niekoľko vĺn, potom sa kmity častíc média ukážu ako geometrický súčet kmitov, ktoré by častice robili, keby sa každá z vĺn šírila oddelene. V dôsledku toho sa vlny jednoducho prekrývajú jedna na druhú bez toho, aby sa navzájom rušili. Toto tvrdenie sa nazýva princíp superpozície vĺn. Princíp superpozície hovorí, že pohyb spôsobený šírením viacerých vĺn naraz je opäť určitý vlnový proces. Takýmto procesom je napríklad zvuk orchestra. Vzniká súčasným budením zvukových vibrácií vo vzduchu jednotlivými hudobnými nástrojmi. Je pozoruhodné, že pri superponovaní vĺn môžu nastať zvláštne javy. Nazývajú sa adičné efekty alebo, ako sa tiež hovorí, superpozícia vĺn. Spomedzi týchto efektov sú najdôležitejšie interferencie a difrakcie.
Interferencia je jav časovo trvalého prerozdeľovania energie kmitania v priestore, v dôsledku čoho sa kmity na niektorých miestach zosilňujú a na iných zoslabujú. Tento jav nastáva, keď sa vlny s fázovým rozdielom, ktorý pretrváva v priebehu času, sčítajú, takzvané koherentné vlny. Interferencia veľkého počtu vĺn sa nazýva difrakcia. Medzi interferenciou a difrakciou nie je zásadný rozdiel. Povaha týchto javov je rovnaká. Obmedzíme sa na diskusiu len o jednom veľmi dôležitom interferenčnom efekte, ktorým je vznik stojatých vĺn.
Nevyhnutnou podmienkou pre vznik stojatých vĺn je prítomnosť hraníc, ktoré odrážajú vlny dopadajúce na ne. Stojaté vlny vznikajú v dôsledku sčítania dopadajúcich a odrazených vĺn. Javy tohto druhu sa vyskytujú pomerne často. Každý tón akéhokoľvek hudobného nástroja je teda vzrušený stojatou vlnou. Táto vlna je generovaná buď v strune (sláčikové nástroje) alebo v stĺpci vzduchu (dychové nástroje). Odrazovými hranicami sú v týchto prípadoch body uchytenia struny a povrchy vnútorných dutín dychových nástrojov.
Každá stojatá vlna má nasledujúce vlastnosti. Celá oblasť priestoru, v ktorej je vlna excitovaná, môže byť rozdelená na bunky takým spôsobom, že na hraniciach buniek úplne chýbajú oscilácie. Body nachádzajúce sa na týchto hraniciach sa nazývajú uzly stojatej vlny. Fázy kmitov vo vnútorných bodoch každej bunky sú rovnaké. Oscilácie v susedných bunkách sa vyskytujú voči sebe navzájom, to znamená v protifáze. V rámci jednej bunky sa amplitúda kmitov mení v priestore a na niektorých miestach dosahuje maximálnu hodnotu. Body, v ktorých sa to pozoruje, sa nazývajú antinody stojatej vlny. Napokon, charakteristickou vlastnosťou stojatých vĺn je diskrétnosť ich frekvenčného spektra. V stojatej vlne môžu nastať oscilácie iba s presne definovanými frekvenciami a prechod z jednej z nich na druhú nastáva náhle.
Pozrime sa na jednoduchý príklad stojatej vlny. Predpokladajme, že reťazec obmedzenej dĺžky je natiahnutý pozdĺž osi; jeho konce sú pevne pripevnené, pričom ľavý koniec je umiestnený v počiatku súradníc. Potom súradnice pravého konca budú . Vybuďme vlnu v strune
,
šíri sa zľava doprava. Vlna sa bude odrážať od pravého konca struny. Predpokladajme, že sa to stane bez straty energie. V tomto prípade bude mať odrazená vlna rovnakú amplitúdu a rovnakú frekvenciu ako dopadajúca. Preto by odrazená vlna mala mať tvar:
Jeho fáza obsahuje konštantu, ktorá určuje zmenu fázy pri odraze. Keďže k odrazu dochádza na oboch koncoch struny a bez straty energie, budú sa v strune súčasne šíriť vlny rovnakých frekvencií. Preto by počas pridávania malo dôjsť k rušeniu. Poďme nájsť výslednú vlnu.
Toto je rovnica stojatej vlny. Z neho vyplýva, že v každom bode struny dochádza k kmitaniu s frekvenciou. V tomto prípade sa amplitúda kmitov v bode rovná
.
Keďže konce struny sú pevné, nedochádza k vibráciám. Z podmienky vyplýva, že . Preto nakoniec dostaneme:
.
Teraz je jasné, že v bodoch, kde nie sú žiadne oscilácie. Tieto body sú uzlami stojatej vlny. Kde je amplitúda kmitov maximálna, rovná sa dvojnásobku amplitúdy pridaných kmitov. Tieto body sú antinodami stojatej vlny. Vzhľad antinodov a uzlov je presne tam, kde leží rušenie: na niektorých miestach sa oscilácie zintenzívňujú, zatiaľ čo na iných miznú. Vzdialenosť medzi susednými uzlami a antinodami sa zistí zo zjavnej podmienky: . Pretože teda. Preto je vzdialenosť medzi susednými uzlami .
Z rovnice stojatej vlny je zrejmé, že faktor 
Pri prechode cez nulovú hodnotu zmení znamienko. V súlade s tým sa fáza kmitov na opačných stranách uzla líši o . To znamená, že body ležiace na opačných stranách uzla oscilujú v protifáze. Všetky body medzi dvoma susednými uzlami oscilujú v rovnakej fáze.
Takže pridaním dopadajúcich a odrazených vĺn je skutočne možné získať obraz pohybu vĺn, ktorý bol charakterizovaný skôr. V tomto prípade sú bunky diskutované v jednorozmernom prípade segmenty uzavreté medzi susednými uzlami a majúce dĺžku .
Uistime sa nakoniec, že vlna, ktorú sme uvažovali, môže existovať iba pri presne definovaných frekvenciách kmitov. Využime to, že na pravom konci struny nedochádza k vibráciám, tzn. Z toho vyplýva, že . Táto rovnosť je možná, ak , kde je ľubovoľné kladné celé číslo.
Ak sa v médiu šíri súčasne niekoľko vĺn, potom sa kmity častíc média ukážu ako geometrický súčet kmitov, ktoré by častice robili, keby sa každá z vĺn šírila oddelene. Vlny sa teda jednoducho prekrývajú jedna na druhú bez toho, aby sa navzájom rušili. Toto tvrdenie sa nazýva princíp superpozície vĺn.
V prípade, že oscilácie spôsobené jednotlivými vlnami v každom bode média majú konštantný fázový rozdiel, nazývame vlny koherentné. (Prísnejšia definícia koherencie bude uvedená v § 120.) Pri pridávaní koherentných vĺn vzniká jav interferencie, ktorý spočíva v tom, že kmity v niektorých bodoch sa zosilňujú a v iných bodoch navzájom zoslabujú.
Veľmi dôležitý prípad interferencie je pozorovaný, keď sú superponované dve protibežné rovinné vlny s rovnakou amplitúdou. Výsledný oscilačný proces sa nazýva stojaté vlnenie. Takmer stojaté vlny vznikajú pri odraze vĺn od prekážok. Vlna dopadajúca na prekážku a odrazená vlna smerujúca k nej, ktoré sa navzájom prekrývajú, vytvárajú stojaté vlnenie.
Napíšme rovnice dvoch rovinných vĺn, ktoré sa šíria pozdĺž osi x v opačných smeroch:
Sčítaním týchto rovníc a transformáciou výsledku pomocou vzorca pre súčet kosínusov dostaneme
Rovnica (99.1) je rovnica stojatej vlny. Aby sme to zjednodušili, zvolíme počiatok tak, aby sa rozdiel , rovnal nule, a počiatok, aby sa súčet rovnal nule. Okrem toho nahradíme vlnové číslo k jeho hodnotou
Potom bude mať tvar rovnica (99.1).
Z (99.2) je zrejmé, že v každom bode stojatých vĺn dochádza k osciláciám s rovnakou frekvenciou ako protismerné vlny a amplitúda závisí od x:
amplitúda kmitov dosahuje svoju maximálnu hodnotu. Tieto body sa nazývajú antinody stojatej vlny. Z (99.3) sa získajú hodnoty súradníc antinód:
Treba mať na pamäti, že antinoda nie je jeden bod, ale rovina, ktorej body majú x súradnicové hodnoty určené vzorcom (99.4).
V bodoch, ktorých súradnice spĺňajú podmienku
amplitúda kmitov sa stáva nulovou. Tieto body sa nazývajú uzly stojatej vlny. Body média umiestnené v uzloch nekmitajú. Dôležité sú súradnice uzla
Uzol, podobne ako antinoda, nie je jeden bod, ale rovina, ktorej body majú x súradnicové hodnoty určené vzorcom (99.5).
Zo vzorcov (99.4) a (99.5) vyplýva, že vzdialenosť medzi susednými protiuzlami, ako aj vzdialenosť medzi susednými uzlami sa rovná . Antinody a uzly sú voči sebe posunuté o štvrtinu vlnovej dĺžky.
Vráťme sa opäť k rovnici (99.2). Násobiteľ zmení znamienko pri prechode cez nulu. V súlade s tým sa fáza kmitov na opačných stranách uzla líši o To znamená, že body ležiace na opačných stranách uzla kmitajú v protifáze. Všetky body nachádzajúce sa medzi dvoma susednými uzlami oscilujú vo fáze (t. j. v rovnakej fáze). Na obr. 99.1 poskytuje sériu „snímok“ bodových odchýlok od rovnovážnej polohy.
Prvá „fotografia“ zodpovedá momentu, keď odchýlky dosiahnu najväčšiu absolútnu hodnotu. Nasledujúce „fotografie“ sa robia v štvrťročných intervaloch. Šípky označujú rýchlosti častíc.
Po diferencovanej rovnici (99.2) raz vzhľadom na t a inokedy vzhľadom na x nájdeme výrazy pre rýchlosť častice a pre deformáciu prostredia:
Rovnica (99.6) opisuje stojatú rýchlostnú vlnu a (99.7) stojatú deformačnú vlnu.
Na obr. 99.2 porovnáva „snímky“ posunu, rýchlosti a deformácie pre časové okamihy 0 a Z grafov je zrejmé, že uzly a antiuzly rýchlosti sa zhodujú s uzlami a antiuzlami posunu; uzly a antinody deformácie sa zhodujú s antinodami a uzlami posunutia. Pri dosahovaní maximálnych hodnôt ide na nulu a naopak.
Preto sa energia stojatej vlny dvakrát za periódu premení buď úplne na potenciál, sústredený hlavne v blízkosti vlnových uzlov (kde sú umiestnené deformačné antinody), alebo úplne na kinetickú energiu, sústredenú hlavne v blízkosti vlnových antinodov (kde rýchlostné antinody sa nachádzajú). V dôsledku toho sa energia prenáša z každého uzla na jeho susedné antinody a späť. Časovo spriemerovaný tok energie v ktorejkoľvek časti vlny je nulový.
