Sínusové a kosínusové vety pre pravouhlý trojuholník. Kosínusová, sínusová veta: formulácia, dôsledky a príklady
Trigonometria je široko používaná nielen v sekcii algebry - začiatok analýzy, ale aj v geometrii. V tomto ohľade je rozumné predpokladať existenciu teorémov a ich dôkazov týkajúcich sa goniometrických funkcií. Kosínusové a sínusové vety skutočne odvodzujú veľmi zaujímavé, a čo je najdôležitejšie, užitočné vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníkov.
Pomocou tohto vzorca môžete odvodiť ktorúkoľvek zo strán trojuholníka:
Dôkaz tvrdenia je odvodený na základe Pytagorovej vety: druhá mocnina prepony sa rovná súčtuštvorce nôh.
Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC. Z vrcholu C znížime výšku h k základni obrázku, v tomto prípade nie je jeho dĺžka absolútne dôležitá. Teraz, ak vezmeme do úvahy ľubovoľný trojuholník ACB, potom môžeme vyjadriť súradnice bodu C cez goniometrické funkcie pretože a hriech.
Pripomeňte si definíciu kosínusu a napíšte pomer strán trojuholníka ACD: cos α = AD/AC | vynásobte obe strany rovnosti AC; AD = AC * cos α.
Vezmime dĺžku AC ako b a získame výraz pre prvú súradnicu bodu C:
x = b * cosα. Podobne zistíme hodnotu ordináty C: y = b * sin α. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu a vyjadríme h striedavo pre trojuholník ACD a DCB:
Je zrejmé, že oba výrazy (1) a (2) sú si navzájom rovné. Prirovnáme pravé strany a dáme podobné:
V praxi vám tento vzorec umožňuje nájsť dĺžku neznámej strany trojuholníka v daných uhloch. Kosínusová veta má tri dôsledky: pre pravý, ostrý a tupý uhol trojuholníka.
Nahradme hodnotu cos α obvyklou premennou x, potom pre ostrý uhol trojuholníka ABC dostaneme:
Ak sa ukáže, že uhol je správny, potom 2bx zmizne z výrazu, pretože cos 90 ° \u003d 0. Graficky môže byť druhý dôsledok znázornený takto:
V prípade tupého uhla sa znamienko „-“ pred dvojitým argumentom vo vzorci zmení na „+“:
Ako vidíte z vysvetlenia, v pomeroch nie je nič zložité. Kosínusová veta nie je nič iné ako usporiadanie Pytagorovej vety v goniometrických veličinách.
Praktická aplikácia vety
Cvičenie 1. Je daný trojuholník ABC so stranou BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm a cos α = ½. Nájdite dĺžku strany AB.
Pre správny výpočet je potrebné určiť uhol α. Ak to chcete urobiť, pozrite si tabuľku hodnôt pre trigonometrické funkcie, podľa ktorej je kosínus oblúka 1/2 pre uhol 60 °. Na základe toho použijeme vzorec prvého dôsledku vety:
Úloha 2. Pre trojuholník ABC sú známe všetky strany: AB =4√2,BC=5,AC=7. Je potrebné nájsť všetky uhly obrázku.
V tomto prípade sa nezaobídete bez výkresu podmienok problému.
Pretože hodnoty uhlov zostávajú neznáme, mali by ste použiť úplný vzorec pre ostrý uhol.
Analogicky nie je ťažké formulovať a vypočítať hodnoty iných uhlov:
Celkovo by tri uhly trojuholníka mali byť 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, preto je nájdené riešenie.
Sínusová veta
Veta hovorí, že všetky strany ľubovoľný trojuholníkúmerné sínusom opačných uhlov. Pomery sú zapísané vo forme trojitej rovnosti:
Klasický dôkaz tvrdenia sa uskutočňuje na príklade postavy vpísanej do kruhu.
Na overenie pravdivosti tvrdenia na príklade trojuholníka ABC na obrázku je potrebné potvrdiť skutočnosť, že 2R = BC / sin A. Potom dokážte, že aj ostatné strany zodpovedajú sínusom opačných uhlov, ako 2R resp. D kruhu.
Aby sme to dosiahli, nakreslíme priemer kruhu z vrcholu B. Z vlastností uhlov vpísaných do kruhu je ∠GCB priamka a ∠CGB sa rovná ∠CAB alebo (π - ∠CAB). V prípade sínusu nie je táto okolnosť významná, pretože sin (π -α) \u003d sin α. Na základe vyššie uvedených záverov možno tvrdiť, že:
sin ∠CGB = BC/BG alebo sin A = BC/2R,
Ak vezmeme do úvahy ďalšie uhly obrázku, dostaneme rozšírený vzorec sínusovej vety:
Typické úlohy na precvičovanie znalostí sínusovej vety spočívajú v hľadaní neznámej strany alebo uhla trojuholníka.
Ako je zrejmé z príkladov, riešenie takýchto problémov nespôsobuje ťažkosti a spočíva vo vykonávaní matematických výpočtov.
Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.
Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.
Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.
Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážkou, ale matematickým výrazom :-)
Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Zvyčajne sa označuje pravý uhol. Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže je označená strana ležiaca oproti uhlu A.
Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.
Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana opačná k pravému uhlu.
Nohy- strany oproti ostrým rohom.
Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.
Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:
Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):
Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.
Dokážme niektoré z nich.
Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Prečo však potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?
My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.
Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .
Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?
Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo zmerať všetky strany trojuholníka.
Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.
Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.
Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.
Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Bank of FIPI.
1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .
Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.
Pretože , .
2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .
Hľadajme podľa Pytagorovej vety.
Problém je vyriešený.
Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!
Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.
Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.
Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. To však nie je všetko! AT POUŽÍVAŤ možnosti v matematike je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.
Nie všetci školáci a ešte viac dospelí vedia, že kosínusová veta priamo súvisí s Pytagorovou vetou. Presnejšie, to druhé je špeciálnym prípadom prvého. Tento moment, ako aj dva spôsoby dokázania kosínusovej vety, pomôžu stať sa viac znalý človek. Okrem toho sa dobre rozvíja prax vo vyjadrovaní veličín z počiatočných výrazov logické myslenie. Dlhý vzorec skúmanej vety vás určite prinúti tvrdo pracovať a zlepšovať sa.
Začatie konverzácie: Predstavenie notácie
Táto veta je formulovaná a dokázaná pre ľubovoľný trojuholník. Preto sa môže vždy použiť v akejkoľvek situácii, ak sú dané dve strany, v niektorých prípadoch tri a uhol, a nie nevyhnutne medzi nimi. Bez ohľadu na typ trojuholníka bude veta vždy fungovať.
A teraz o označovaní veličín vo všetkých výrazoch. Je lepšie súhlasiť naraz, aby ste nevysvetľovali viackrát neskôr. Na tento účel bola zostavená nasledujúca tabuľka.
Formulácia a matematický zápis
Kosínusová veta je teda formulovaná takto:
Druhá mocnina strany akéhokoľvek trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov jeho ďalších dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu tých istých strán a kosínusu uhla medzi nimi.
Samozrejme, je to dlhé, ale ak pochopíte jeho podstatu, bude ľahké si to zapamätať. Môžete si dokonca predstaviť nakreslenie trojuholníka. Vizuálne je vždy ľahšie zapamätateľné.
Vzorec tejto vety bude vyzerať takto:
Trochu dlhé, ale všetko je logické. Ak sa pozriete trochu bližšie, môžete vidieť, že písmená sa opakujú, čo znamená, že nie je ťažké si to zapamätať.
Spoločný dôkaz vety
Keďže platí pre všetky trojuholníky, na uvažovanie je možné zvoliť ktorýkoľvek z typov. Nech je to postava so všetkým ostré rohy. Uvažujme ľubovoľný trojuholník s ostrým uhlom, ktorého uhol C je väčší ako uhol B. Z vrcholu s týmto vysoký uhol musíte znížiť kolmicu na opačnú stranu. Nakreslená výška rozdeľuje trojuholník na dva obdĺžniky. Toto je potrebné na preukázanie.
Strana bude rozdelená na dva segmenty: x, y. Musia byť vyjadrené v známych množstvách. Časť, ktorá bude v trojuholníku s preponou rovnajúcou sa b, bude vyjadrená pomocou zápisu:
x \u003d b * cos A.
Druhý sa bude rovnať tomuto rozdielu:
y \u003d c - v * cos A.
Teraz musíme zapísať Pytagorovu vetu pre dva pravouhlé trojuholníky vyplývajúce z konštrukcie, pričom výšku berieme ako neznámu hodnotu. Tieto vzorce budú vyzerať takto:
n 2 \u003d v 2 - (v * cos A) 2,
n 2 \u003d a 2 - (c - v * cos A) 2.
V týchto rovnosti sú vľavo rovnaké výrazy. To znamená, že ich pravé strany budú tiež rovnaké. Je ľahké si to zapísať. Teraz musíte otvoriť zátvorky:
v 2 - v 2 * (cos A) 2 \u003d a 2 - c 2 + 2 c * v * cos A - v 2 * (cos A) 2.
Ak tu vykonáme prenos a redukciu podobných členov, dostaneme počiatočný vzorec, ktorý je napísaný za formuláciou, to znamená kosínusovú vetu. Dôkaz je hotový.
Dôkaz vety z hľadiska vektorov
Je oveľa kratší ako predchádzajúci. A ak poznáte vlastnosti vektorov, kosínusová veta pre trojuholník sa jednoducho dokáže.
Ak sú strany a, b, c označené vektormi BC, AC a AB, potom platí rovnosť:
BC = AC - AB.
Teraz musíte urobiť nejaké veci. Prvým z nich je druhá mocnina oboch strán rovnice:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Potom sa musí rovnosť prepísať do skalárnej formy, pretože súčin vektorov sa rovná kosínusu uhla medzi nimi a ich skalárnymi hodnotami:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Zostáva len vrátiť sa k starej notácii a opäť dostaneme kosínusovú vetu:
a 2 \u003d v 2 + c 2 - 2 * v * c * cos A.
Vzorce pre ostatné strany a všetky uhly
Ak chcete nájsť stranu, musíte vziať druhú odmocninu kosínusovej vety. Vzorec pre štvorce jednej z ostatných strán by vyzeral takto:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Napísať výraz pre druhú mocninu strany v, musíte nahradiť v predchádzajúcej rovnosti S na v, a naopak a umiestnite uhol B pod kosínus.
Z hlavného vzorca vety môžeme vyjadriť hodnotu kosínusu uhla A:
cos A \u003d (v 2 + c 2 - a 2) / (2 v * c).
Vzorce pre ostatné uhly sú odvodené podobne. to dobre cvicenie, takže si ich môžete skúsiť napísať sami.
Prirodzene, nie je potrebné sa tieto vzorce učiť naspamäť. Stačí pochopiť vetu a vedieť odvodiť tieto výrazy z jej hlavného zápisu.
Pôvodný vzorec vety umožňuje nájsť stranu, ak uhol neleží medzi dvoma známymi. Napríklad musíte nájsť v keď sú uvedené hodnoty: a, c, a. alebo neznámy S, ale existujú hodnoty a, b, a.
V tejto situácii musíte preniesť všetky podmienky vzorca do ľavá strana. Získate túto rovnosť:
c 2 - 2 * v * c * cos A + v 2 - a 2 \u003d 0.
Poďme to prepísať do trochu inej podoby:
c 2 - (2 * v * cos A) * c + (v 2 - a 2) \u003d 0.
Dá sa ľahko vidieť kvadratická rovnica. Má neznáme množstvo S a všetko ostatné je dané. Preto to stačí vyriešiť pomocou diskriminantu. Takže neznáma strana sa nájde.
Podobne sa získa vzorec pre druhú stranu:
v 2 - (2 * c * cos A) * v + (c 2 - a 2) \u003d 0.
Z iných výrazov sa takéto vzorce dajú ľahko získať aj samostatne.
Ako zistiť typ uhla bez výpočtu kosínusu?
Ak sa pozorne pozriete na vzorec pre kosínus uhla, odvodený skôr, všimnete si nasledovné:
- menovateľ zlomku je vždy kladné číslo, pretože obsahuje súčin strán, ktoré nemôžu byť záporné;
- hodnota uhla bude závisieť od znamienka čitateľa.
Uhol A bude:
- akútne v situácii, keď je čitateľ väčší ako nula;
- hlúpy, ak je tento výraz záporný;
- priamy, keď sa rovná nule.
Mimochodom, posledná situácia mení kosínusovú vetu na Pytagorovu vetu. Pretože pre uhol 90º je jeho kosínus nula a posledný termín zmizne.
Prvá úloha
Podmienka
Tupý uhol nejakého ľubovoľného trojuholníka sa rovná 120º. O stranách, ktorými je ohraničený, je známe, že jedna z nich je o 8 cm väčšia ako druhá.Dĺžka tretej strany je známa, táto je 28 cm. Je potrebné nájsť obvod trojuholníka.
Riešenie
Najprv musíte jednu zo strán označiť písmenom „x“. V tomto prípade sa druhý bude rovnať (x + 8). Keďže existujú výrazy pre všetky tri strany, môžete použiť vzorec daný kosínusovou vetou:
28 2 \u003d (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * čos 120º.
V tabuľkách pre kosínusy musíte nájsť hodnotu zodpovedajúcu 120 stupňom. Bude to číslo 0,5 so znamienkom mínus. Teraz sa má otvoriť zátvorky pri dodržaní všetkých pravidiel a priniesť podobné výrazy:
784 \u003d x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 \u003d 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Táto kvadratická rovnica je vyriešená nájdením diskriminantu, ktorý sa bude rovnať:
D \u003d 24 2 - 4 * 3 * (- 720) \u003d 9216.
Keďže jej hodnota je väčšia ako nula, rovnica má dve odpovede – korene.
x 1 \u003d ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) \u003d 12;
x 2 \u003d ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) \u003d -20.
Posledný koreň nemôže byť odpoveďou na problém, pretože strana musí byť pozitívna.
Každý z nás presedel dlhé hodiny nad riešením tej či onej úlohy v geometrii. Samozrejme, vyvstáva otázka, prečo sa vôbec potrebujete učiť matematiku? Táto otázka je obzvlášť dôležitá pre geometriu, ktorej znalosť, ak je užitočná, je veľmi zriedkavá. Ale matematika má zmysel pre tých, ktorí sa nestanú robotníkom, núti človeka pracovať a rozvíjať sa.
Pôvodným zámerom matematiky nebolo poskytnúť žiakom poznatky o predmete. Učitelia si dali za cieľ naučiť deti myslieť, uvažovať, analyzovať a argumentovať. To je presne to, čo nájdeme v geometrii s jej početnými axiómami a teorémami, dôsledkami a dôkazmi.
Kosínusová veta
Použitie
Okrem hodín matematiky a fyziky je táto veta široko používaná v architektúre a konštrukcii na výpočet požadovaných strán a uhlov. Používa sa na určenie požadované rozmery budovy a množstvo materiálov, ktoré budú potrebné na jej výstavbu. Samozrejme, väčšina procesov, ktoré predtým vyžadovali priamu ľudskú účasť a znalosti, je dnes automatizovaná. Existuje obrovské množstvo programov, ktoré umožňujú simulovať takéto projekty na počítači. Ich programovanie sa vykonáva aj s prihliadnutím na všetky matematické zákony, vlastnosti a vzorce.
