Riešenie nerovností pomocou diskriminačných príkladov. Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

S týmto matematickým programom môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje ako presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v nasledujúcom tvare:

Tento program môžu byť užitočné pre študentov stredných škôl na stredných školách v rámci prípravy na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania kvadratického polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie kvadratického polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť oddelená od celej časti bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade pri riešení kvadratická rovnica Zavedený výraz sa najskôr zjednoduší.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
vyzerá ako
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
Kvadratická rovnica sa nazýva rovnica v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je voľný člen.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a\neq 0\), je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva daná kvadratická rovnica. Napríklad uvedené kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovná nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Teda rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Existujú tri typy neúplných kvadratických rovníc:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Uvažujme o riešení rovníc každého z týchto typov.

Ak chcete vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \), presuňte jej voľný člen na pravú stranu a vydeľte obe strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0\), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 +bx=0 s \(b \neq 0 \) ju rozviňte ľavá strana podľa faktorov a získajte rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo.

To znamená, že neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako vyriešiť kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu v všeobecný pohľad a ako výsledok dostaneme vzorec pre korene. Tento vzorec potom možno použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Delením oboch strán a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformujme túto rovnicu výberom štvorca binomu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

Radikálny výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - diskriminátor). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou diskriminačného zápisu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo nemá žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca, je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, potom použite koreňový vzorec, ak je diskriminant záporný, potom zapíšte, že neexistujú žiadne korene;

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu prevzatému z opačné znamenie a súčin koreňov sa rovná voľnému termínu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)

Problémy kvadratických rovníc sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Znamenajú rovnice tvaru a*x^2 + b*x + c = 0, kde X- premenná, a, b, c – konštanty; a<>0 Úlohou je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie, ktorá je reprezentovaná kvadratickou rovnicou, je parabola. Riešeniami (koreňmi) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x. Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá žiadne priesečníky s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s konármi hore alebo dole s konármi dole. V takýchto prípadoch kvadratická rovnica nemá skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom nadobúda svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden reálny koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad je v praxi zaujímavejší - existujú dva body priesečníka paraboly s osou x. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov mocnin premenných možno vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nahor, ak je záporný, vetvy paraboly smerujú nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, potom vrchol paraboly leží v ľavej polrovine, ak trvá negatívny význam- potom vpravo.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Prenesme konštantu z kvadratickej rovnice

pre znamienko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať úplný štvorec vľavo, pridajte b^2 na obe strany a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je hodnota radikálneho výrazu, ak je kladný, potom má rovnica dva reálne korene, vypočítané podľa vzorca Keď je diskriminant nulový, kvadratická rovnica má jedno riešenie (dva zhodné korene), ktoré možno ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D=0. negatívny diskriminant neexistujú žiadne skutočné koreňové rovnice. Riešenia kvadratickej rovnice sa však nachádzajú v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta pomocou vzorca

Vietov teorém

Uvažujme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe zostrojme kvadratickú rovnicu samotná Vietova veta ľahko vyplýva zo zápisu: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom sa súčet jej koreňov rovná koeficientu p s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Formulická reprezentácia vyššie uvedeného bude vyzerať takto: Ak v klasickej rovnici je konštanta a nenulová, musíte ňou rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vietovu vetu.

Rozvrh faktoringových kvadratických rovníc

Nech je úloha stanovená: vynásobte kvadratickú rovnicu. Aby sme to urobili, najprv vyriešime rovnicu (nájdime korene). Ďalej dosadíme nájdené korene do expanzného vzorca pre kvadratickú rovnicu. Tým sa problém vyrieši.

Úlohy kvadratických rovníc

Úloha 1. Nájdite korene kvadratickej rovnice

x^2-26x+120=0.

Riešenie: Zapíšte si koeficienty a dosaďte ich do diskriminačného vzorca

Koreň z daná hodnota sa rovná 14, je ľahké ho nájsť pomocou kalkulačky alebo si zapamätať pri častom používaní, avšak pre pohodlie vám na konci článku uvediem zoznam štvorcov čísel, s ktorými sa pri takýchto problémoch často môžete stretnúť.
Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca

a dostaneme

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

2x 2 +x-3=0.

Riešenie: Máme kompletnú kvadratickú rovnicu, vypíšte koeficienty a nájdite diskriminant


Autor: známe vzorce hľadanie koreňov kvadratickej rovnice

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

9x 2 -12x+4=0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určenie diskriminantu

Máme prípad, keď sa korene zhodujú. Nájdite hodnoty koreňov pomocou vzorca

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

x^2+x-6=0.

Riešenie: V prípadoch, keď sú pre x malé koeficienty, je vhodné použiť Vietovu vetu. Jeho podmienkou získame dve rovnice

Z druhej podmienky zistíme, že súčin sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúcu dvojicu možných riešení (-3;2), (3;-2) . Berúc do úvahy prvú podmienku, zamietame druhú dvojicu riešení.
Korene rovnice sú rovnaké

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak jeho obvod je 18 cm a jeho plocha je 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu jeho priľahlých strán. Označme x ako väčšiu stranu, potom 18-x je jej menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x(18-x)=77;
alebo
x 2 -18x+77=0.
Poďme nájsť diskriminant rovnice

Výpočet koreňov rovnice

Ak x=11, To 18 = 7, platí to aj naopak (ak x=7, potom 21=9).

Úloha 6. Vynásobte kvadratickú rovnicu 10x 2 -11x+3=0.

Riešenie: Vypočítajme korene rovnice, na to nájdeme diskriminant

Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca a vypočítame

Aplikujeme vzorec na rozklad kvadratickej rovnice podľa koreňov

Otvorením zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Pri akých hodnotách parametrov A , má rovnica (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a=3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využijeme fakt, že s nulovým diskriminantom má rovnica jeden koreň násobnosti 2. Vypíšme diskriminant

Zjednodušme si to a prirovnajme to k nule

Získali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na parameter a, ktorej riešenie možno ľahko získať pomocou Vietovej vety. Súčet koreňov je 7 a ich súčin je 12. Jednoduchým hľadaním zistíme, že čísla 3,4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme už na začiatku výpočtov zamietli riešenie a=3, jediné správne bude - a=4. Teda pre a=4 má rovnica jeden koreň.

Príklad 2. Pri akých hodnotách parametrov A , rovnica a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv zvážime singulárne body, budú to hodnoty a=0 a a=-3. Keď a=0, rovnica sa zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude tam jeden koreň. Pre a= -3 získame identitu 0=0.
Vypočítajme diskriminant

a nájdite hodnotu a, pri ktorej je kladné

Z prvej podmienky dostaneme a>3. Pre druhú nájdeme diskriminant a korene rovnice


Určme intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty. Dosadením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3;1/3) je funkcia záporná. Nezabudni na pointu a=0, ktorý by mal byť vylúčený, pretože pôvodná rovnica má v sebe jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré spĺňajú podmienky úlohy

Podobných úloh bude v praxi veľa, skúste si úlohy vyrátať sami a nezabudnite brať do úvahy podmienky, ktoré sa navzájom vylučujú. Dobre si preštudujte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, ktoré sú často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.

V rámci celého učiva školskej algebry je jednou z najrozsiahlejších tém téma kvadratických rovníc. V tomto prípade sa kvadratickou rovnicou chápe rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0 (čítaj: a vynásobené x na druhú plus be x plus ce sa rovná nule, kde a nie je rovná nule). Hlavné miesto v tomto prípade zaujímajú vzorce na nájdenie diskriminantu kvadratickej rovnice určeného typu, ktorý sa chápe ako výraz, ktorý umožňuje určiť prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov kvadratickej rovnice, ako aj ich číslo (ak existuje).

Vzorec (rovnica) diskriminantu kvadratickej rovnice

Všeobecne akceptovaný vzorec pre diskriminant kvadratickej rovnice je nasledovný: D = b 2 – 4ac. Výpočtom diskriminantu pomocou zadaného vzorca môžete nielen určiť prítomnosť a počet koreňov kvadratickej rovnice, ale aj zvoliť metódu hľadania týchto koreňov, ktorých je niekoľko v závislosti od typu kvadratickej rovnice.

Čo to znamená, ak je diskriminant nulový \ Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ak je diskriminant nulový

Diskriminant, ako vyplýva zo vzorca, je označený latinské písmeno D. V prípade, že sa diskriminant rovná nule, treba dospieť k záveru, že kvadratická rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, má iba jeden koreň, ktorý sa vypočíta pomocou zjednodušeného vzorca . Tento vzorec platí len vtedy, keď je diskriminant nulový a vyzerá takto: x = –b/2a, kde x je koreň kvadratickej rovnice, b a a sú zodpovedajúce premenné kvadratickej rovnice. Ak chcete nájsť koreň kvadratickej rovnice, musíte vydeliť zápornú hodnotu premennej b dvojnásobkom hodnoty premennej a. Výsledný výraz bude riešením kvadratickej rovnice.

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu

Ak sa pri výpočte diskriminantu pomocou vyššie uvedeného vzorca získa kladná hodnota (D je väčšie ako nula), potom má kvadratická rovnica dva korene, ktoré sa vypočítajú pomocou nasledujúcich vzorcov: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Najčastejšie sa diskriminant nevypočítava samostatne, ale radikálne vyjadrenie vo forme diskriminačného vzorca sa jednoducho dosadí do hodnoty D, z ktorej sa extrahuje koreň. Ak má premenná b párnu hodnotu, potom na výpočet koreňov kvadratickej rovnice v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, môžete použiť aj tieto vzorce: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kde k = b/2.

V niektorých prípadoch na praktické riešenie kvadratických rovníc môžete použiť Vietovu vetu, ktorá hovorí, že pre súčet koreňov kvadratickej rovnice tvaru x 2 + px + q = 0 je hodnota x 1 + x 2 = –p bude pravdivé a pre súčin koreňov zadanej rovnice – výraz x 1 x x 2 = q.

Môže byť diskriminant menší ako nula?

Pri výpočte diskriminačnej hodnoty sa môžete stretnúť so situáciou, ktorá nespadá do žiadneho z popísaných prípadov - keď má diskriminant zápornú hodnotu (t.j. menej ako nula). V tomto prípade sa všeobecne uznáva, že kvadratická rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, nemá reálne korene, preto sa jej riešenie obmedzí na výpočet diskriminantu a vyššie uvedené vzorce lebo korene kvadratickej rovnice nebudú platiť v tomto prípade budú. Zároveň je v odpovedi na kvadratickú rovnicu napísané, že „rovnica nemá žiadne skutočné korene“.

Vysvetľujúce video:

Diskriminant, podobne ako kvadratické rovnice, sa začína študovať na kurze algebry v 8. ročníku. Kvadratickú rovnicu môžete vyriešiť pomocou diskriminantu a pomocou Vietovej vety. Metódu štúdia kvadratických rovníc, ale aj diskriminačných vzorcov, učia školákov dosť neúspešne, ako veľa vecí v reálnom vzdelávaní. Preto ubiehajú školské roky, vzdelávanie v ročníkoch 9-11 nahrádza „ vyššie vzdelanie"a všetci sa znova pozerajú -" "Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu?", "Ako nájsť korene rovnice?", "Ako nájsť diskriminant?" A...

Diskriminačný vzorec

Diskriminant D kvadratickej rovnice a*x^2+bx+c=0 sa rovná D=b^2–4*a*c.
Korene (riešenia) kvadratickej rovnice závisia od znamienka diskriminantu (D):
D>0 – rovnica má 2 rôzne reálne korene;
D=0 - rovnica má 1 koreň (2 zodpovedajúce korene):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Vzorec na výpočet diskriminantu je pomerne jednoduchý, preto mnohé webové stránky ponúkajú online diskriminačnú kalkulačku. Na tento druh skriptov sme ešte neprišli, takže ak niekto vie, ako to implementovať, napíšte nám e-mailom Táto e-mailová adresa je chránená pred spamovacími robotmi. Na jej zobrazenie musíte mať povolený JavaScript. .

Všeobecný vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice:

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorca
Ak je koeficient štvorcovej premennej spárovaný, potom je vhodné vypočítať nie diskriminant, ale jeho štvrtú časť
V takýchto prípadoch sa korene rovnice nachádzajú pomocou vzorca

Druhý spôsob, ako nájsť korene, je Vietin teorém.

Veta je formulovaná nielen pre kvadratické rovnice, ale aj pre polynómy. Môžete si to prečítať na Wikipédii alebo iných elektronických zdrojoch. Pre zjednodušenie však uvažujme časť, ktorá sa týka vyššie uvedených kvadratických rovníc, teda rovníc tvaru (a=1)
Podstatou Vietových vzorcov je, že súčet koreňov rovnice sa rovná koeficientu premennej, braný s opačným znamienkom. Súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu. Vietovu vetu je možné zapísať do vzorcov.
Odvodenie Vietinho vzorca je celkom jednoduché. Napíšme kvadratickú rovnicu cez jednoduché faktory
Ako vidíte, všetko dômyselné je zároveň jednoduché. Je efektívne použiť Vietov vzorec, keď je rozdiel v module koreňov alebo rozdiel v moduloch koreňov 1, 2. Napríklad nasledujúce rovnice podľa Vietovej vety majú korene




Až po rovnicu 4 by analýza mala vyzerať takto. Súčin koreňov rovnice je 6, preto koreňmi môžu byť hodnoty (1, 6) a (2, 3) alebo dvojice s opačnými znamienkami. Súčet koreňov je 7 (koeficient premennej s opačným znamienkom). Odtiaľto sme dospeli k záveru, že riešenia kvadratickej rovnice sú x=2; x=3.
Jednoduchšie je vybrať korene rovnice medzi deliteľmi voľného termínu a upraviť ich znamienko, aby sa splnili vzorce Vieta. Spočiatku sa to zdá byť ťažké, ale s praxou na množstve kvadratických rovníc sa táto technika ukáže ako efektívnejšia ako výpočet diskriminantu a hľadanie koreňov kvadratickej rovnice klasickým spôsobom.
Ako vidíte, školská teória štúdia diskriminantu a metódy hľadania riešení rovnice nemajú praktický význam - "Prečo školáci potrebujú kvadratickú rovnicu?", "Aký je fyzikálny význam diskriminantu?"

Skúsme na to prísť Čo popisuje diskriminant?

V kurze algebra študujú funkcie, schémy na štúdium funkcií a zostavenie grafu funkcií. Zo všetkých funkcií zaujíma dôležité miesto parabola, ktorej rovnicu je možné zapísať do tvaru
Takže fyzikálny význam kvadratickej rovnice sú nuly paraboly, to znamená priesečníky grafu funkcie s osou x Ox.
Žiadam vás, aby ste si zapamätali vlastnosti parabol, ktoré sú popísané nižšie. Príde čas robiť skúšky, testy alebo prijímacie skúšky a vy budete vďační za referenčný materiál. Znamienko druhej mocniny zodpovedá tomu, či budú vetvy paraboly na grafe stúpať (a>0),

alebo parabola s vetvami dole (a<0) .

Vrchol paraboly leží uprostred medzi koreňmi

Fyzický význam diskriminantu:

Ak je diskriminant väčší ako nula (D>0), parabola má dva priesečníky s osou Ox.
Ak je diskriminant nulový (D=0), potom sa parabola vo vrchole dotýka osi x.
A posledný prípad, keď je diskriminant menší ako nula (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Neúplné kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho rovnica môže (ale nemusí!) obsahovať len X (na prvú mocninu) a len číslo (voľný člen). A nemali by existovať žiadne X s mocninou väčšou ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A– čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X sa stratí pre prvú mocninu. To sa stane, keď sa vynásobí nulou.) Ukáže sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo A nemôže sa rovnať nule? A namiesto toho nahrádzate A nula.) Naša X na druhú zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A riešenie je úplne iné...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Poďme nahradiť s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Spoznali ste to?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z tohto? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Dovoľte mi poznamenať, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - absolútne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menšie a x 2- to, čo je väčšie.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Typicky je diskriminant označený písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžilo špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci to konkrétne nenazývajú nijako... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom budete mať jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Druhá odmocnina zo záporného čísla sa nedá vziať. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Aby som bol úprimný, pri jednoduchom riešení kvadratických rovníc nie je pojem diskriminant skutočne potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca a počítame. Všetko sa tam deje samo, dva korene, jeden a žiadny. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Chápete, že kľúčové slovo je tu - pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude čoraz menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity." Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice číslom -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Teraz sa môžeme rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nevychádza? Alebo to vôbec nejde? Potom vám pomôže oddiel 555. Všetky tieto príklady sú tam rozpísané. Zobrazené Hlavná chyby v riešení. Samozrejme, hovoríme aj o použití identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.