Vypočítajte aritmetický priemer pomocou metódy momentov. Vlastnosti aritmetického priemeru

Existujú tri typy priemerných hodnôt: modus (M0), medián (Me), aritmetický priemer (M).

Nemôžu sa navzájom nahradiť a len spolu predstavujú znaky celkom plne a v zhustenej forme. variačná séria.

Móda (Po)- najbežnejšia možnosť v distribučnej sérii. Poskytuje predstavu o centre distribúcie série variácií. Použité:

Na určenie centra distribúcie v otvorených variačných sériách

Na určenie priemernej úrovne v sérii s ostro asymetrickým rozložením

Medián- toto je stredná možnosť, ústredný člen hodnotenej série. Názov medián je prevzatý z geometrie, kde je to názov daný čiare rozdeľujúcej stranu trojuholníka na dve rovnaké časti.

Uplatňuje sa medián:

Určiť priemernú úroveň charakteristiky v číselnom rade s nerovnakými intervalmi v skupinách

Na určenie priemernej úrovne funkcie, kedy sú počiatočné údaje prezentované vo forme kvalitatívnych znakov a kedy jediná cesta naznačovať určité ťažisko agregátu je označenie opcií (skupiny opcií), ktoré zaujímajú centrálnu polohu

Pri výpočte niektorých demografických ukazovateľov (priemerná dĺžka života)

Pri určovaní najracionálnejšieho umiestnenia zdravotníckych zariadení, verejných služieb a pod. (rozumej s prihliadnutím na optimálnu vzdialenosť zariadení od všetkých zariadení služieb)

V súčasnosti sú veľmi bežné rôzne prieskumy (marketingové, sociologické atď.), v ktorých sú respondenti požiadaní, aby pridelili body produktom, politikom atď. Potom sa z výsledných hodnotení vypočítajú priemerné skóre a považujú sa za integrálne hodnotenia dané skupinou. respondentov. V tomto prípade sa na určenie priemerných ukazovateľov zvyčajne používa aritmetický priemer. Túto metódu však v skutočnosti nemožno použiť. V tomto prípade je rozumné použiť medián alebo režim ako priemer skóre.

Na charakterizáciu priemernej úrovne vlastnosti sa v medicíne najčastejšie používa aritmetický priemer (M).

Aritmetický priemer - ide o všeobecnú kvantitatívnu charakteristiku určité znamenie skúmané javy, ktoré tvoria kvalitatívne homogénnu štatistickú populáciu.

Existujú jednoduché a vážené aritmetické priemery.

Jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta pre nezoskupený rad variácií sčítaním všetkých možností a vydelením tohto súčtu celkovým počtom možností zahrnutých v rade variácií.

Jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta podľa vzorca:

M - aritmetický vážený priemer,

∑Vp - súčet súčinov variantu podľa ich frekvencií,

n je počet pozorovaní.

Okrem uvedenej metódy priameho výpočtu aritmetického váženého priemeru existujú aj iné metódy, najmä metóda momentov, v ktorej sú aritmetické výpočty trochu zjednodušené.

Výpočet aritmetického priemeru metódou momentov sa vykonáva podľa vzorca:

A - podmienený priemer (najčastejšie sa režim M0 berie ako podmienený priemer)

d - odchýlka každej možnosti od podmieneného priemeru (V-A)

∑dp je súčet súčinov odchýlok a ich frekvencie.

Postup výpočtu je uvedený v tabuľke (ako podmienený priemer berieme M0 = 76 úderov za minútu).

kde i je interval medzi skupinami.

Postup výpočtu je uvedený v tabuľke. (berieme M 0 = 73 úderov za minútu ako podmienený priemer, kde i = 3)

Stanovenie aritmetického priemeru pomocou metódy momentov

n = 54 ∑dp = -13

Takto získaná hodnota aritmetického priemeru pomocou metódy momentov je identická s hodnotou zistenou bežnou metódou.

Kde A je podmienená nula rovnajúca sa možnosti s maximálnou frekvenciou (stred intervalu s maximálnou frekvenciou), h je krok intervalu,

Účel služby. Pomocou online kalkulačky sa priemerná hodnota vypočíta pomocou metódy momentov. Výsledok rozhodnutia je prezentovaný vo formáte Word.

Inštrukcie. Ak chcete získať riešenie, musíte vyplniť počiatočné údaje a vybrať parametre zostavy na formátovanie vo Worde.

Algoritmus na zistenie priemeru pomocou metódy momentov

Príklad. Pracovný čas strávený homogénnou technologickou operáciou bol rozdelený medzi pracovníkov takto:

Príklad

Vážený priemer

Priemerná hodnota študovanej charakteristiky pomocou metódy momentov.

kde A je podmienená nula rovnajúca sa možnosti s maximálnou frekvenciou (stred intervalu s maximálnou frekvenciou), h je krok intervalu.

Nehnuteľnosť 1. Aritmetický priemer konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante: at

Nehnuteľnosť 2. Algebraický súčet odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru sa rovná nule: pre nezoskupené údaje a pre distribučné série.

Táto vlastnosť znamená, že súčet kladných odchýlok sa rovná súčtu negatívnych odchýlok, t.j. všetky odchýlky spôsobené náhodnými príčinami sú zrušené.

Nehnuteľnosť 3. Súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je minimálny počet: pre nezoskupené údaje a pre distribučné série. Táto vlastnosť znamená, že súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je vždy menší ako súčet odchýlok variantov charakteristiky od akejkoľvek inej hodnoty, aj keď sa mierne líši od priemeru.

Druhá a tretia vlastnosť aritmetického priemeru sa používa na kontrolu správnosti výpočtu priemernej hodnoty; pri štúdiu vzorcov zmien v úrovniach série dynamiky; nájsť parametre regresnej rovnice pri štúdiu korelácie medzi charakteristikami.

Všetky tri prvé vlastnosti vyjadrujú podstatné znaky priemeru ako štatistickej kategórie.

Nasledujúce vlastnosti priemeru sa považujú za výpočtové, pretože majú určitý praktický význam.

Nehnuteľnosť 4. Ak sa všetky váhy (frekvencie) vydelia ľubovoľným konštantným číslom d, potom sa aritmetický priemer nezmení, pretože toto zníženie rovnako ovplyvní čitateľa aj menovateľa vzorca na výpočet priemeru.

Z tejto vlastnosti vyplývajú dva dôležité dôsledky.

Dôsledok 1. Ak sú všetky váhy rovnaké, výpočet váženého aritmetického priemeru možno nahradiť výpočtom jednoduchého aritmetického priemeru.

Dôsledok 2. Absolútne hodnoty frekvencií (váhy) môžu byť nahradené ich špecifickými váhami.

Nehnuteľnosť 5. Ak sú všetky možnosti delené alebo vynásobené nejakým konštantným číslom d, potom sa aritmetický priemer zníži alebo zvýši o d krát.

Nehnuteľnosť 6. Ak sú všetky možnosti znížené alebo zvýšené o konštantné číslo A, potom nastanú podobné zmeny s priemerom.

Aplikované vlastnosti aritmetického priemeru možno ilustrovať pomocou metódy výpočtu priemeru od podmieneného začiatku (metóda momentov).

Aritmetický priemer pomocou metódy momentov vypočítané podľa vzorca:

kde A je stred ľubovoľného intervalu (uprednostňuje sa stredný);

d – hodnota rovnako veľkého intervalu alebo najväčšieho násobného deliteľa intervalov;

m 1 – moment prvého rádu.

Moment prvej objednávky je definovaný nasledovne:

.

Techniku ​​použitia tejto metódy výpočtu ilustrujeme na údajoch z predchádzajúceho príkladu.

Tabuľka 5.6

Ako je možné vidieť z výpočtov uvedených v tabuľke. 5.6 sa od všetkých možností odpočíta jedna z ich hodnôt 12,5, ktorá sa rovná nule a slúži ako podmienený referenčný bod. Vydelením rozdielov hodnotou intervalu – 5 sa získajú nové možnosti.

Podľa výsledkov tabuľky. 5.6 máme: .

Výsledok výpočtov pomocou metódy momentov je podobný výsledku, ktorý bol získaný pomocou hlavnej metódy výpočtu pomocou aritmetického váženého priemeru.

Štrukturálne priemery

Na rozdiel od priemerov výkonu, ktoré sa počítajú na základe použitia všetkých variantov charakteristických hodnôt, štrukturálne priemery pôsobia ako špecifické hodnoty, ktoré sa zhodujú s dobre definovanými variantmi distribučnej série. Modus a medián charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaujíma určitú pozíciu v zoradenej sérii variácií.

Móda– ide o hodnotu vlastnosti, ktorá sa najčastejšie vyskytuje v danej populácii. V sérii variácií to bude možnosť s najvyššou frekvenciou.

Nájdenie režimu v diskrétnej sérii distribúcia nevyžaduje výpočty. Pri pohľade cez stĺpec frekvencie sa nájde najvyššia frekvencia.

Napríklad rozdelenie pracovníkov podniku podľa kvalifikácie charakterizujú údaje v tabuľke. 5.7.

Tabuľka 5.7

Najvyššia frekvencia v tomto distribučnom rade je 80, čo znamená, že režim sa rovná štvrtej číslici. Najbežnejšími pracovníkmi sú teda pracovníci štvrtej kategórie.

Ak je distribučný rad intervalový, potom sa nastaví iba modálny interval na základe najvyššej frekvencie a potom sa režim vypočíta pomocou vzorca:

,

kde je spodná hranica modálneho intervalu;

– hodnota modálneho intervalu;

– frekvencia modálneho intervalu;

– frekvencia premodálneho intervalu;

– frekvencia postmodálneho intervalu.

Vypočítajme režim podľa údajov uvedených v tabuľke. 5.8.

Tabuľka 5.8

To znamená, že podniky majú najčastejšie zisk 726 miliónov rubľov.

Praktické využitie módy je obmedzené. Zameriavajú sa na dôležitosť módy pri určovaní najobľúbenejších veľkostí obuvi a odevov pri plánovaní ich výroby a predaja, pri štúdiu cien na veľkoobchodnom a maloobchodnom trhu (metóda hlavného poľa). Režim sa používa namiesto priemernej hodnoty pri výpočte možných zásob výroby.

Medián zodpovedá možnosti umiestnenej v strede zoradeného riadku distribúcie. Toto je hodnota atribútu, ktorý rozdeľuje celú populáciu na dve rovnaké časti.

Poloha mediánu je určená jeho číslom (N).

kde je počet jednotiek v populácii. Použijeme vzorové údaje uvedené v tabuľke. 5.7 na určenie mediánu.

, t.j. medián sa rovná aritmetickému priemeru 100. a 110. hodnoty atribútu. Na základe naakumulovaných frekvencií určíme, že 100. a 110. jednotka radu má hodnotu znamienka rovnajúcu sa štvrtej číslici, t.j. medián sa rovná štvrtej číslici.

Medián v intervaloch distribučných radov sa určuje v nasledujúcom poradí.

1. Vypočítajú sa akumulované frekvencie pre tento zoradený distribučný rad.

2. Na základe akumulovaných frekvencií sa stanoví stredný interval. Nachádza sa tam, kde je prvá akumulovaná frekvencia rovná alebo väčšia ako polovica súhrnu (všetky frekvencie).

3. Medián sa vypočíta pomocou vzorca:

,

kde je dolná hranica stredného intervalu;

- veľkosť intervalu;

– súčet všetkých frekvencií;

– súčet akumulovaných frekvencií predchádzajúcich intervalu mediánu;

– frekvencia stredného intervalu.

Vypočítajme medián podľa údajov v tabuľke. 5.8.

Prvá akumulovaná frekvencia, ktorá sa rovná polovici populácie 30, znamená, že medián je v rozsahu 500-700.

To znamená, že polovica podnikov dosahuje zisk až 676 miliónov rubľov a druhá polovica - viac ako 676 miliónov rubľov.

Medián sa často používa namiesto priemeru, keď je populácia heterogénna, pretože nie je ovplyvnená extrémnymi hodnotami charakteristiky. S praktickou aplikáciou mediánu súvisí aj jeho vlastnosť minimalizmu. Absolútny súčet odchýlok jednotlivých hodnôt od mediánu je najmenšia hodnota. Preto sa medián používa vo výpočtoch pri návrhu umiestnenia objektov, ktoré budú využívať rôzne organizácie a jednotlivci.

Kde A je podmienená nula rovnajúca sa možnosti s maximálnou frekvenciou (stred intervalu s maximálnou frekvenciou), h je krok intervalu,

Účel služby. Pomocou online kalkulačky sa priemerná hodnota vypočíta pomocou metódy momentov. Výsledok rozhodnutia je prezentovaný vo formáte Word.

Inštrukcie. Ak chcete získať riešenie, musíte vyplniť počiatočné údaje a vybrať parametre zostavy na formátovanie vo Worde.

Algoritmus na zistenie priemeru pomocou metódy momentov

Príklad. Pracovný čas strávený homogénnou technologickou operáciou bol rozdelený medzi pracovníkov takto:

Príklad

Vážený priemer

Priemerná hodnota študovanej charakteristiky pomocou metódy momentov.

kde A je podmienená nula rovnajúca sa možnosti s maximálnou frekvenciou (stred intervalu s maximálnou frekvenciou), h je krok intervalu.

Aritmetický priemer má množstvo vlastností, ktoré úplnejšie odhaľujú jeho podstatu a zjednodušujú výpočty:

1. Súčin priemeru súčtom početností sa vždy rovná súčtu súčinov variantu podľa početností, t.j.

2. Aritmetický priemer súčtu rôznych veličín sa rovná súčtu aritmetických priemerov týchto veličín:

3. Algebraický súčet odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od priemeru sa rovná nule:

4. Súčet štvorcových odchýlok opcií od priemeru je menší ako súčet štvorcových odchýlok od akejkoľvek inej ľubovoľnej hodnoty, t.j.:

5. Ak sa všetky možnosti v sérii znížia alebo zvýšia o rovnaké číslo, potom sa priemer zníži o rovnaké číslo:

6. Ak sú všetky možnosti v rade znížené alebo zvýšené o faktor, potom sa priemerná tiež zníži alebo zvýši o faktor:

7. Ak sa všetky frekvencie (váhy) zvýšia alebo znížia o faktor, potom sa aritmetický priemer nezmení:

Táto metóda je založená na použití matematických vlastností aritmetického priemeru. V tomto prípade sa priemerná hodnota vypočíta pomocou vzorca: , kde i je hodnota rovnakého intervalu alebo ľubovoľné konštantné číslo, ktoré sa nerovná 0; m 1 – moment prvého rádu, ktorý sa vypočíta podľa vzorca: ; A je ľubovoľné konštantné číslo.

18 HARMONICKÝ PRIEMER JEDNODUCHÝ A VÁŽENÝ.

Harmonický priemer používa sa v prípadoch, keď frekvencie (f i) nie sú známe, ale objem študovanej charakteristiky je známy (x i *f i =M i).

Na príklade 2 určíme priemernú mzdu v roku 2001.

V pôvodných informáciách z roku 2001. Chýbajú údaje o počte zamestnancov, ale dajú sa ľahko vypočítať ako pomer mzdového fondu k priemernej mzde.

Potom 2769,4 rubľov, t.j. priemerná mzda v roku 2001 -2769,4 rub.

V tomto prípade sa používa harmonický priemer: ,

kde M i je mzdový fond v samostatnej dielni; x i – mzda v samostatnej dielni.

V dôsledku toho sa harmonický priemer používa, keď je jeden z faktorov neznámy, ale je známy súčin „M“.

Harmonický priemer sa používa na výpočet priemernej produktivity práce, priemerného percenta splnených noriem, priemernej mzdy atď.

Ak sú produkty „M“ navzájom rovnaké, potom sa použije priemerné harmonické prvočíslo: , kde n je počet možností.

PRIEMERNÉ GEOMETRICKÉ A PRIEMERNÉ CHRONOLOGICKÉ.

Geometrický priemer sa používa na analýzu dynamiky javov a umožňuje určiť priemerný koeficient rastu. Pri výpočte geometrického priemeru jednotlivé hodnoty charakteristiky zvyčajne predstavujú relatívne ukazovatele dynamiky, konštruované vo forme reťazových hodnôt, ako pomer každej úrovne série k predchádzajúcej úrovni.

, - koeficienty rastu reťazca;

n – počet rastových koeficientov reťazca.

Ak sú zdrojové údaje uvedené k určitým dátumom, potom sa priemerná úroveň charakteristiky určí pomocou priemerného chronologického vzorca. Ak sú intervaly medzi dátumami (momentmi) rovnaké, potom priemerná úroveň je určená vzorcom priemerného chronologického jednoduchého...

Pozrime sa na jeho výpočet pomocou konkrétnych príkladov.

Príklad. K dispozícii sú nasledujúce údaje o zostatkoch vkladov domácností v ruských bankách v prvom polroku 1997 (začiatkom mesiaca):

Priemerný stav vkladov domácností za prvý polrok 1997 (podľa priemerného chronologického jednoduchého vzorca) bol: