Výpočet relatívnej a absolútnej chyby. Absolútne a relatívne chyby merania

Absolútna chyba výpočtu sa zistí podľa vzorca:

Znak modulo ukazuje, že je nám jedno, ktorá hodnota je väčšia a ktorá menšia. dôležité, ako ďaleko približný výsledok sa v jednom alebo druhom smere odchýlil od presnej hodnoty.

Relatívna chyba výpočtu sa zistí podľa vzorca:
, alebo to isté:

Ukazuje sa relatívna chyba o aké percento približný výsledok sa líšil od presnej hodnoty. Existuje verzia vzorca bez násobenia 100%, ale v praxi takmer vždy vidím vyššie uvedenú verziu s percentami.

Po krátkom pozadí sa vraciame k nášmu problému, v ktorom sme vypočítali približnú hodnotu funkcie pomocou diferenciálu.

Vypočítať presná hodnota Funkcie s kalkulačkou:
, prísne vzaté, hodnota je stále približná, ale budeme ju považovať za presnú. Takéto úlohy sa vyskytujú.

Vypočítajte absolútnu chybu:

Vypočítajme relatívnu chybu:
, získajú sa tisíciny percenta, takže diferenciál poskytuje len skvelú aproximáciu.

Odpoveď: , absolútna chyba výpočtu , relatívna chyba výpočtu

Ďalší príklad pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 4

v bode . Vypočítajte presnejšiu hodnotu funkcie v danom bode, vyhodnoťte absolútne a relatívne chyby výpočtu.

Hrubý príklad dokončovacích prác a odpoveď na konci hodiny.

Mnohí si všimli, že vo všetkých uvažovaných príkladoch sa objavujú korene. Nie je to náhodné, vo väčšine prípadov sa v uvažovanom probléme skutočne navrhujú funkcie s koreňmi.

Ale pre trpiacich čitateľov som vyhrabal malý príklad s arcsínom:

Príklad 5

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu hodnotu funkcie v bode

Tento krátky, ale informatívny príklad slúži aj na nezávislé rozhodnutie. A trochu som si oddýchol, aby som s novou silou zvážil špeciálnu úlohu:

Príklad 6

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na dve desatinné miesta.

Riešenie:Čo je nové v úlohe? Podľa podmienky je potrebné zaokrúhliť výsledok na dve desatinné miesta. Ale nie je to tak, školská úloha zaokrúhľovanie, myslím, nie je pre teba ťažké. Ide o to, že u nás je daná dotyčnica s argumentom, ktorá je vyjadrená v stupňoch. Čo robiť, keď vás požiadajú o riešenie goniometrickej funkcie so stupňami? Napríklad , atď.

Algoritmus riešenia je v zásade zachovaný, to znamená, že je potrebné, ako v predchádzajúcich príkladoch, použiť vzorec

Zapíšte si zrejmú funkciu

Hodnota musí byť reprezentovaná ako . Bude vážna pomoc tabuľka hodnôt goniometrických funkcií . Mimochodom, ak to nemáte vytlačené, odporúčam tak urobiť, pretože tam budete musieť hľadať počas celého štúdia vyššej matematiky.

Pri analýze tabuľky si všimneme „dobrú“ hodnotu dotyčnice, ktorá sa blíži k 47 stupňom:

Teda:

Po predbežnej analýze stupne musia byť prevedené na radiány. Áno, a len tak!

IN tento príklad priamo z trigonometrickej tabuľky to zistíte. Vzorec na prevod stupňov na radiány je: (vzorce nájdete v tej istej tabuľke).

Ďalšia šablóna:

Teda: (pri výpočtoch používame hodnotu ). Výsledok, ako to vyžaduje podmienka, sa zaokrúhli na dve desatinné miesta.

odpoveď:

Príklad 7

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na tri desatinné miesta.

Toto je príklad „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako vidíte, nič zložité, prevádzame stupne na radiány a držíme sa obvyklého algoritmu riešenia.

Približné výpočty pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných

Všetko bude veľmi, veľmi podobné, takže ak ste na túto stránku prišli s touto konkrétnou úlohou, najprv odporúčam pozrieť si aspoň pár príkladov z predchádzajúceho odseku.

Ak chcete študovať odsek, musíte byť schopní nájsť parciálne deriváty druhého rádu , kde bez nich. Vo vyššie uvedenej lekcii som funkciu dvoch premenných označil písmenom . S ohľadom na uvažovanú úlohu je vhodnejšie použiť ekvivalentný zápis .

Podobne ako v prípade funkcie jednej premennej môže byť podmienka problému formulovaná rôznymi spôsobmi a pokúsim sa zvážiť všetky formulácie, s ktorými sa stretnem.

Príklad 8

Riešenie: Bez ohľadu na to, ako je podmienka napísaná v samotnom riešení, na označenie funkcie, opakujem, je lepšie nepoužívať písmeno „Z“, ale .

A tu je pracovný vzorec:

Pred nami je vlastne staršia sestra vzorca z predchádzajúceho odseku. Premenná sa práve zväčšila. Čo môžem povedať, sám seba Algoritmus riešenia bude v podstate rovnaký!

Podľa podmienky je potrebné nájsť približnú hodnotu funkcie v bode .

Predstavme si číslo 3,04 ako . Medovník si pýta, aby ho zjedol:
,

Predstavme si číslo 3,95 ako . Na rade je druhá polovica Koloboku:
,

A nepozerajte sa na všelijaké líščie triky, existuje perníkový muž - musíte ho zjesť.

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Diferenciál funkcie v bode nájdeme podľa vzorca:

Zo vzorca vyplýva, že treba nájsť parciálne deriváty prvého rádu a vypočítajte ich hodnoty v bode .

Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu v bode:

Celkový rozdiel v bode:

Podľa vzorca teda približná hodnota funkcie v bode:

Vypočítajme presnú hodnotu funkcie v bode:

Táto hodnota je úplne správna.

Chyby sa počítajú pomocou štandardných vzorcov, ktoré už boli diskutované v tomto článku.

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

Odpoveď: , absolútna chyba: , relatívna chyba:

Príklad 9

Vypočítajte približnú hodnotu funkcie v bode pomocou plného diferenciálu vyhodnoťte absolútnu a relatívnu chybu.

Toto je príklad „urob si sám“. Kto sa podrobnejšie zaoberá týmto príkladom, bude venovať pozornosť skutočnosti, že chyby vo výpočte sa ukázali ako veľmi, veľmi nápadné. Stalo sa to z nasledujúceho dôvodu: v navrhovanom probléme sú prírastky argumentov dostatočne veľké: .

Všeobecný vzorec je a - čím väčšie sú tieto prírastky v absolútnej hodnote, tým nižšia je presnosť výpočtov. Takže napríklad pre podobný bod budú prírastky malé: a presnosť približných výpočtov bude veľmi vysoká.

Táto vlastnosť platí aj pre prípad funkcie jednej premennej (prvá časť lekcie).

Príklad 10

Riešenie: Vypočítajme tento výraz približne pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Rozdiel od príkladov 8-9 je v tom, že najprv musíme zložiť funkciu dvoch premenných: . Ako je funkcia zložená, je myslím intuitívne každému jasné.

Hodnota 4,9973 sa blíži k "päťke", preto: , .
Hodnota 0,9919 je blízka "jedna", preto predpokladáme: , .

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Diferenciál nájdeme v bode podľa vzorca:

Za týmto účelom vypočítame parciálne derivácie prvého rádu v bode .

Deriváty tu nie sú najjednoduchšie a mali by ste byť opatrní:

;

.

Celkový rozdiel v bode:

Takže približná hodnota tohto výrazu:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu pomocou mikrokalkulačky: 2,998899527

Poďme nájsť relatívnu chybu výpočtu:

odpoveď: ,

Len na ilustráciu vyššie uvedeného, ​​v uvažovanom probléme sú prírastky argumentov veľmi malé a chyba sa ukázala ako fantasticky skromná.

Príklad 11

Pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu tohto výrazu. Vypočítajte rovnaký výraz pomocou mikrokalkulačky. Odhadnite v percentách relatívnu chybu výpočtov.

Toto je príklad „urob si sám“. Približná ukážka dokončovania na konci hodiny.

Ako už bolo uvedené, najsúkromnejší hosť v tento typúlohy sú akési korene. Ale z času na čas existujú aj iné funkcie. A na záver jednoduchý príklad na oddych:

Príklad 12

Pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu funkcie if

Riešenie je bližšie k spodnej časti stránky. Opäť pozor na znenie úloh vyučovacej hodiny, v rôzne príklady v praxi môžu byť formulácie odlišné, ale to zásadne nemení podstatu a algoritmus riešenia.

Úprimne povedané, trochu som sa unavil, pretože materiál bol nudný. Nebolo pedagogické povedať na začiatku článku, ale teraz je to už možné =) V skutočnosti problémy výpočtovej matematiky zvyčajne nie sú veľmi ťažké, nie príliš zaujímavé, najdôležitejšie snáď nie je urobiť chyba v bežných výpočtoch.

Nech sa kľúče vašej kalkulačky nevymažú!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Takto:

odpoveď:

Príklad 4:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Takto:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu funkcie pomocou mikrokalkulačky:

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

odpoveď: , absolútna chyba výpočtu , relatívna chyba výpočtu

Príklad 5:

Riešenie: Používame vzorec:

V tomto prípade: , ,

Teda:

odpoveď:

Príklad 7:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Ako už bolo spomenuté, keď porovnávame presnosť merania nejakej približnej hodnoty, používame absolútnu chybu.

Koncept absolútnej chyby

Absolútna chyba približnej hodnoty je modul rozdielu medzi presnou hodnotou a približnou hodnotou.
Absolútna chyba sa dá použiť na porovnanie presnosti aproximácií rovnakých veličín a ak ideme porovnávať presnosť aproximácií rôznych veličín, tak samotná absolútna chyba nestačí.

Napríklad: Dĺžka listu papiera A4 je (29,7 ± 0,1) cm A vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy je (650 ± 1) km. Absolútna chyba v prvom prípade nepresahuje jeden milimeter av druhom - jeden kilometer. Otázkou je porovnanie presnosti týchto meraní.

Ak si myslíte, že dĺžka listu sa meria presnejšie, pretože absolútna chyba nepresahuje 1 mm. Potom sa mýlite. Tieto hodnoty sa nedajú priamo porovnávať. Urobme si nejaké úvahy.

Pri meraní dĺžky listu nepresahuje absolútna chyba 0,1 cm x 29,7 cm, to znamená, že v percentách je to 0,1 / 29,7 * 100 % = 0,33 % nameranej hodnoty.

Keď meriame vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy, absolútna chyba nepresahuje 1 km na 650 km, čo je 1/650 * 100 % = 0,15 % nameranej hodnoty v percentách. Vidíme, že vzdialenosť medzi mestami sa meria presnejšie ako dĺžka listu A4.

Pojem relatívnej chyby

Na posúdenie kvality aproximácie sa tu zavádza nový koncept relatívnej chyby. Relatívna chyba je podiel delenia absolútnej chyby modulom približných hodnôt meranej veličiny. Relatívna chyba sa zvyčajne vyjadruje v percentách. V našom príklade sme dostali dve relatívne chyby rovné 0,33 % a 0,15 %.

Ako ste možno uhádli, hodnota relatívnej chyby je vždy kladná. Vyplýva to z toho, že absolútna chyba je vždy kladná a delíme ju modulom a modul je tiež vždy kladný.

Pri akýchkoľvek meraniach, zaokrúhľovaní výsledkov výpočtov, vykonávaní pomerne zložitých výpočtov nevyhnutne vzniká jedna alebo druhá odchýlka. Na posúdenie takejto nepresnosti sa zvykne používať dva ukazovatele – ide o absolútne a relatívne chyby.

Ak výsledok odpočítame od presnej hodnoty čísla, tak dostaneme absolútnu odchýlku (navyše pri počítaní sa odpočítava menšie). Ak napríklad zaokrúhlite 1370 na 1400, absolútna chyba bude 1400-1382 = 18. Pri zaokrúhlení na 1380 bude absolútna odchýlka 1382-1380 = 2. Vzorec absolútnej chyby je:

Δx = |x* - x|, tu

x* - skutočná hodnota,

x je približná hodnota.

Tento ukazovateľ však sám o sebe zjavne nestačí na charakterizáciu presnosti. Posúďte sami, ak je chyba hmotnosti 0,2 gramu, tak pri vážení chemikálií na mikrosyntézu to bude veľa, pri vážení 200 gramov klobásy je to úplne normálne a pri meraní hmotnosti železničného vagóna to možno ani nepostrehnete. vôbec. Preto sa často spolu s absolútnou chybou uvádza alebo vypočítava aj relatívna chyba. Vzorec pre tento indikátor vyzerá takto:

Zvážte príklad. Nech je celkový počet žiakov v škole 196. Zaokrúhlime toto číslo na 200.

Absolútna odchýlka bude 200 – 196 = 4. Relatívna chyba bude 4/196 alebo zaokrúhlená, 4/196 = 2 %.

Ak je teda známa skutočná hodnota určitej veličiny, potom relatívna chyba prijatej približnej hodnoty je pomer absolútnej odchýlky približnej hodnoty k presnej hodnote. Vo väčšine prípadov je však odhalenie skutočnej presnej hodnoty veľmi problematické a niekedy dokonca nemožné. A preto nie je možné vypočítať presnú hodnotu, ale vždy je možné určiť nejaké číslo, ktoré bude vždy o niečo väčšie ako maximálna absolútna alebo relatívna chyba.

Napríklad predavač váži melón na váhe. V tomto prípade je najmenšia hmotnosť 50 gramov. Váhy ukazovali 2000 gramov. Toto je približná hodnota. Presná hmotnosť melónu nie je známa. Vieme však, že to nemôže byť viac ako 50 gramov. Potom relatívna hmotnosť nepresiahne 50/2000 = 2,5 %.

Hodnota, ktorá je na začiatku väčšia ako absolútna chyba alebo v najhoršom prípade sa jej rovná, sa zvyčajne nazýva medzná absolútna chyba alebo medza absolútnej chyby. V predchádzajúcom príklade je toto číslo 50 gramov. Obdobným spôsobom sa určí limitná relatívna chyba, ktorá vo vyššie uvedenom príklade bola 2,5 %.

Hodnota hraničnej chyby nie je presne špecifikovaná. Takže namiesto 50 gramov by sme mohli vziať akékoľvek číslo väčšie ako je hmotnosť najmenšej hmotnosti, povedzme 100 g alebo 150 g. V praxi sa však minimálna hodnota. A ak sa to dá presne určiť, bude to zároveň slúžiť ako hraničná chyba.

Stáva sa, že absolútna hraničná chyba nie je špecifikovaná. Potom by sa malo zvážiť, že sa rovná polovici jednotky poslednej špecifikovanej číslice (ak ide o číslo) alebo minimálnej jednotke delenia (ak ide o nástroj). Napríklad pre milimetrové pravítko je tento parameter 0,5 mm a pre približné číslo 3,65 je absolútna limitná odchýlka 0,005.

Pri praktickej realizácii procesu merania bez ohľadu na presnosť meracích prístrojov, správnosť metodiky a dôkladnosť
merania sa výsledky merania líšia od skutočnej hodnoty meranej veličiny, t.j. chyby merania sú nevyhnutné. Pri vyhodnocovaní chyby sa namiesto skutočnej hodnoty berie skutočná hodnota; preto je možné uviesť len približný odhad chyby merania. Posúdenie spoľahlivosti výsledku merania, t.j. určenie chyby merania je jednou z hlavných úloh metrológie.
Chyba je odchýlka výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej veličiny. Chyby možno podmienečne rozdeliť na chyby meracích prístrojov a chyby výsledku merania.
Chyby meracích prístrojov boli diskutované v kapitole 3.
Chyba merania je číslo označujúce možné hranice neistoty hodnoty meranej veličiny.
Nižšie bude uvedená klasifikácia a budú sa brať do úvahy chyby výsledku merania.
Prostredníctvom číselného vyjadrenia rozlišovať absolútne a relatívne chyby.
V závislosti od pôvodu sú tam chyby inštrumentálne, metodické, čítania a nastavenia.
Podľa vzorcov prejavu chyby merania sa delia na systematické, progresívne, náhodné a hrubé.
Pozrime sa podrobnejšie na uvedené chyby merania.

4.1. Absolútne a relatívne chyby

Absolútna chyba D je rozdiel medzi nameraným X a skutočným X a hodnotami meranej veličiny. Absolútna chyba je vyjadrená v jednotkách nameranej hodnoty: D = X - Chi.
Keďže skutočnú hodnotu meranej veličiny nie je možné určiť, v praxi sa namiesto nej používa skutočná hodnota meranej veličiny Xd. Skutočná hodnota sa zistí experimentálne, použitím dostatočného množstva presné metódy a meracie prístroje. Len málo sa líši od skutočnej hodnoty a môže sa použiť namiesto nej na vyriešenie problému. Pri overovaní sa ako skutočná hodnota zvyčajne berú odčítania vzorových meracích prístrojov. V praxi sa teda absolútna chyba zistí podľa vzorca D » X - Xd. Relatívna chyba d je pomer absolútnej chyby merania k skutočnej (reálnej) hodnote meranej veličiny (spravidla sa vyjadruje v percentách): .

4.2. Inštrumentálne a metodologické chyby,
hodnoty a nastavenia

inštrumentálne chyby (prístroja alebo hardvéru) sú tie, ktoré patria danému meraciemu prístroju, možno ich zistiť pri jeho testovaní a zapísať do jeho pasu.
Tieto chyby sú spôsobené konštrukčnými a technologickými nedostatkami meracích prístrojov, ako aj následkom ich opotrebovania, starnutia alebo nefunkčnosti. Inštrumentálne chyby, vzhľadom na chyby použitých meracích prístrojov, boli uvažované v kapitole 3.
Okrem inštrumentálnych chýb sa však počas meraní vyskytujú aj také chyby, ktoré nemožno pripísať tomuto zariadeniu, nemožno ich uviesť v jeho pase a sú tzv. metodický, tie. spojené nie so samotným zariadením, ale so spôsobom jeho použitia.
Metodologické chyby môže vzniknúť v dôsledku nedokonalosti rozvoja teórie javov, na ktorých je založená metóda merania, nepresnosti vzťahov použitých na nájdenie odhadu meranej veličiny a tiež v dôsledku nesúladu medzi meranou veličinou a jej modelom.
Zvážte príklady ilustrujúce metodologickú chybu merania.
Predmetom štúdia je zdroj striedavého napätia, ktorého hodnota amplitúdy hm treba merať. Na základe predbežnej štúdie predmetu štúdie bol ako jeho model prijatý generátor sínusového napätia. Pomocou voltmetra určeného na meranie efektívnych hodnôt striedavých napätí a so znalosťou vzťahu medzi efektívnymi a amplitúdovými hodnotami sínusového napätia získame výsledok merania vo forme hm = × UV, Kde UV-čítanie voltmetra. Dôkladnejšie štúdium objektu by mohlo odhaliť, že tvar nameraného napätia sa líši od sínusového a správnejšia súvislosť medzi hodnotou nameranej hodnoty a údajom voltmetra hm =k× UV, Kde k¹ . Nedokonalosť prijatého modelu predmetu skúmania teda vedie k metodickej chybe merania DU= × UV-k× UV.
Táto chyba môže byť znížená buď výpočtom hodnoty k na základe analýzy tvaru krivky meraného napätia alebo výmenou meracieho prístroja za voltmeter určený na meranie hodnôt amplitúd striedavých napätí.
Veľmi častým dôvodom vzniku metodických chýb je fakt, že pri organizovaní meraní sme nútení merať (alebo zámerne merať) nie hodnotu, ktorá by sa merať mala, ale nejakú inú, blízku, no nie rovnú.

Príkladom takejto metodickej chyby je chyba merania napätia voltmetrom s konečným odporom (obr. 4.1).
Vzhľadom na to, že voltmeter posúva časť obvodu, kde sa meria napätie, ukáže sa, že je menšie ako pred pripojením voltmetra. A skutočne, napätie, ktoré ukáže voltmeter, je určené výrazom U=I×Rv. Vzhľadom na to, že prúd v obvode ja=E/(Ri +Rv), To
< .
Preto je pre ten istý voltmeter pripojený k rôznym úsekom skúmaného obvodu táto chyba odlišná: v sekciách s nízkym odporom je zanedbateľná a v sekciách s vysokým odporom môže byť veľmi veľká. Táto chyba by sa dala odstrániť, ak by bol voltmeter neustále pripojený k tejto časti obvodu po celú dobu prevádzky zariadenia (ako na paneli elektrárne), čo je však z mnohých dôvodov nevýhodné.
Časté sú prípady, keď je vo všeobecnosti ťažké určiť metódu merania, ktorá vylučuje metodickú chybu. Nech sa napríklad zmeria teplota horúcich ingotov prichádzajúcich z pece do valcovne. Otázkou je, kam umiestniť snímač teploty (napríklad termočlánok): pod prírez, na bok alebo nad prírez? Kamkoľvek ho umiestnime, nebudeme merať vnútornú teplotu tela polotovaru, t.j. budeme mať značnú metodologickú chybu, pretože nemeriame to, čo je potrebné, ale to, čo je jednoduchšie (nevŕtajte kanál do každého polotovaru, aby ste do jeho stredu umiestnili termočlánok).
Takže hlavné charakteristický znak metodickou chybou je skutočnosť, že ich nemožno uviesť v pase prístroja, ale musí ich vyhodnotiť sám experimentátor pri organizácii zvolenej techniky merania, preto musí jasne rozlišovať medzi skutočným merateľné majú veľkosť na meranie.
Chyba čítania pochádza z nepresných údajov. Je to spôsobené subjektívnymi vlastnosťami pozorovateľa (napríklad chyba interpolácie, t.j. nepresné odčítanie deliacich zlomkov na stupnici prístroja) a typom čítacieho zariadenia (napríklad chyba paralaxy). Pri používaní digitálnych meracích prístrojov nedochádza k chybám v počítaní, čo je jedným z dôvodov ich sľubnej povahy.
Chyba inštalácie je spôsobená odchýlkou ​​podmienok merania od normálu, t.j. podmienky, za ktorých sa vykonávala kalibrácia a overovanie meradiel. Patrí sem napríklad chyba z nesprávnej inštalácie zariadenia v priestore alebo jeho ukazovateľa na nulu, zo zmien teploty, napájacieho napätia a iných ovplyvňujúcich veličín.
Uvažované typy chýb sú rovnako vhodné na charakterizáciu presnosti výsledkov jednotlivých meraní aj meracích prístrojov.

4.3. Systematické, progresívne, náhodné a hrubé chyby

Systematická chyba merania Dc je zložka chyby merania, ktorá zostáva konštantná alebo sa pravidelne mení počas opakovaných meraní rovnakej hodnoty.
Príčiny výskytu systematických chýb možno zvyčajne zistiť počas prípravy a vykonávania meraní. Tieto dôvody sú veľmi rôznorodé: nedokonalosť použitých meracích prístrojov a metód, nesprávna inštalácia meracieho prístroja, vplyv vonkajších faktorov (ovplyvňujúcich veličín) na parametre meracích prístrojov a na samotný objekt merania, nedostatky metóda merania (metodické chyby), individuálnych charakteristík operátor (subjektívne chyby) atď. Podľa charakteru prejavu sa systematické chyby delia na konštantné a premenlivé. Medzi konštanty patria napríklad chyby v dôsledku nepresnosti osadenia hodnoty miery, nesprávne odstupňovanie stupnice prístroja, nesprávna inštalácia prístroja voči smeru magnetických polí a pod. Premenlivé systematické chyby vznikajú vplyvom ovplyvňujúcich veličín na proces merania a môžu nastať napríklad pri zmene napätia zdroja energie prístroja, vonkajších magnetických poliach, frekvencii meraného striedavého napätia a pod. vlastnosťou systematických chýb je, že ich závislosť od ovplyvňujúcich veličín podlieha určitému zákonu. Tento zákon je možné naštudovať a výsledok merania spresniť úpravou, ak číselné hodnoty tieto chyby sú určené. Ďalším spôsobom, ako znížiť vplyv systematických chýb, je použitie takých metód merania, ktoré umožňujú vylúčiť vplyv systematických chýb bez určenia ich hodnôt (napríklad substitučná metóda).
Výsledok merania je tým bližšie k skutočnej hodnote meranej veličiny, čím menšie sú zostávajúce nevylúčené systematické chyby. Prítomnosť vylúčených systematických chýb určuje správnosť meraní, kvalitu, ktorá odráža blízkosť systematických chýb k nule. Výsledok merania bude taký správny, nakoľko nie je skreslený systematickými chybami a čím je správnejší, tým sú tieto chyby menšie.
progresívne(alebo drift) sa nazývajú nepredvídateľné chyby, ktoré sa v priebehu času pomaly menia. Tieto chyby sú spravidla spôsobené procesmi starnutia určitých častí zariadenia (vybíjanie napájacích zdrojov, starnutie odporov, kondenzátorov, deformácia mechanických častí, zmršťovanie papierovej pásky v samonahrávacích prístrojoch atď.). Charakteristickým rysom progresívnych chýb je, že sa dajú opraviť zavedením opravy iba v danom časovom bode a potom sa opäť nepredvídateľne zvýšia. Preto na rozdiel od systematických chýb, ktoré je možné opraviť korekciou zistenou raz za celú životnosť zariadenia, progresívne chyby vyžadujú priebežné opakovanie opravy a čím častejšie, tým menšia by mala byť ich zostatková hodnota. Ďalšou črtou progresívnych chýb je, že ich zmena v čase je nestacionárnym náhodným procesom a preto ich v rámci dobre rozvinutej teórie stacionárnych náhodných procesov možno popísať len s výhradami.
Náhodná chyba merania je zložka chyby merania, ktorá sa pri opakovaných meraniach tej istej veličiny náhodne mení. Hodnotu a znamienko náhodných chýb nie je možné určiť, nemožno ich priamo zohľadniť pre ich chaotickú zmenu v dôsledku súčasného vplyvu rôznych na sebe nezávislých faktorov na výsledok merania. Náhodné chyby sa nachádzajú pri viacerých meraniach tej istej veličiny (samostatné merania sa v tomto prípade nazývajú pozorovania) tými istými meracími prístrojmi za rovnakých podmienok tým istým pozorovateľom, t.j. pri rovnako presných (ekvidispergovaných) meraniach. Vplyv náhodných chýb na výsledok merania zohľadňujú metódy matematickej štatistiky a teórie pravdepodobnosti.
Hrubé chyby merania - náhodné chyby merania výrazne prevyšujúce chyby očakávané za daných chybových podmienok.
Hrubé chyby (chyby) sú zvyčajne spôsobené nesprávnymi údajmi na prístroji, chybou pri zaznamenávaní pozorovaní, prítomnosťou silne ovplyvňujúcej veličiny, poruchou meracích prístrojov a inými príčinami. Výsledky meraní obsahujúce hrubé chyby sa spravidla neberú do úvahy, takže hrubé chyby majú malý vplyv na presnosť merania. Nájsť miss nie je vždy jednoduché, najmä pri jedinom meraní; často je ťažké rozlíšiť hrubú chybu od veľkej náhodnej chyby. Ak sú hrubé chyby bežné, spochybníme všetky výsledky meraní. Preto hrubé chyby ovplyvňujú platnosť meraní.
Na záver popísaného delenia chýb priemerov a výsledkov meraní na náhodnú, progresívnu a systematickú zložku je potrebné venovať pozornosť tomu, že takéto delenie je veľmi zjednodušenou metódou ich analýzy. Preto treba vždy pamätať na to, že v skutočnosti sa tieto zložky chyby objavujú spoločne a tvoria jeden nestacionárny náhodný proces. V tomto prípade môže byť chyba výsledku merania reprezentovaná ako súčet náhodných a systematických Dc chýb: D = Dc +. Chyby merania zahŕňajú náhodnú zložku, preto by sa mala považovať za náhodnú premennú.
Úvaha o povahe prejavu chýb merania nám ukazuje, že jediný správny spôsob vyhodnocovania chýb nám dáva teória pravdepodobnosti a matematická štatistika.

4.4. Pravdepodobný prístup k popisu chýb

Zákony rozdelenia náhodných chýb. Náhodné chyby sa zistia počas série meraní rovnakej hodnoty. V tomto prípade sa výsledky merania spravidla nezhodujú, pretože v dôsledku celkového vplyvu mnohých rôznych faktorov, ktoré nemožno vziať do úvahy, každé nové meranie tiež dáva novú náhodnú hodnotu meranej veličiny. O správne správanie meraní, ich dostatočného počtu a vylúčení systematických chýb a nedostatkov, možno tvrdiť, že skutočná hodnota meranej veličiny nepresahuje hodnoty získané pri týchto meraniach. Zostáva neznáma, kým nie je určená teoreticky pravdepodobná hodnota náhodnej chyby.
Nech sa zmeria hodnota A P krát a pozorovali hodnoty a1, a2, a3,…,a i,...,an. Náhodná absolútna chyba jedného merania je určená rozdielom
Di = ai - A . (4.1)
Graficky sú výsledky jednotlivých meraní prezentované na obr. 4.2.
Pre dostatočne veľký počet P rovnaké chyby, ak majú množstvo diskrétnych hodnôt, sa opakujú a preto je možné stanoviť relatívnu frekvenciu (frekvenciu) ich výskytu, t.j. pomer počtu prijatých identických údajov mi Komu celkový počet vykonané merania P. Ako merania pokračujú, množstvá A táto frekvencia sa nezmení, takže ju možno považovať za pravdepodobnosť chyby v týchto meraniach: p(AI) = mi / n.

Štatistická závislosť pravdepodobnosti výskytu náhodných chýb od ich hodnoty sa nazýva zákon o rozdelení chýb resp zákon rozdelenia pravdepodobnosti. Tento zákon určuje charakter vzhľadu rôznych výsledkov jednotlivých meraní. Existujú dva typy opisu distribučných zákonov: integrálne A diferenciál.
integrálny zákon, alebo funkcia rozdelenia pravdepodobnostiF( D ) náhodná chyba Di Vi-tý skúsenosť, volajú funkciu, ktorej hodnota pre každé D je pravdepodobnosť udalosti R(D), ktorá spočíva v tom, že náhodná chyba Di nadobúda hodnoty menšie ako nejaká hodnota D, t.j. funkciu F( D ) = P[ Di < D ]. Táto funkcia, keď sa D zmení z -¥ na +¥, nadobúda hodnoty od 0 do 1 a neklesá. Existuje pre všetky náhodné premenné, diskrétne aj spojité (obrázok 4.3 a).
Ak F(D) symetrické okolo bodu A, zodpovedajúca pravdepodobnosť 0,5, potom bude rozdelenie výsledkov pozorovania symetrické vzhľadom na skutočnú hodnotu A. V tomto prípade je vhodné F(D) posun pozdĺž úsečky o hodnotu DA, t.j. vylúčiť systematickú zložku chyby (DA =Dc) a získajte distribučnú funkciu náhodnej zložky chyby D=(obr. 4.3 b). Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti chýb D sa od funkcie rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej zložky chyby líši len posunom pozdĺž osi x o hodnotu systematickej zložky chyby DC.
diferenciálneho zákona rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú chybu so spojitou a diferencovateľnou distribučnou funkciou F(D) zavolajte funkciu . Táto závislosť je hustota rozdelenia pravdepodobnosti. Graf hustoty pravdepodobnosti môže mať iný tvar v závislosti od zákona o rozdelení chýb. Pre F(D) znázornené na obr. 4,3 b, distribučná krivka f(D) má tvar blízky tvaru zvonu (obr. 4.3 c).
Pravdepodobnosť výskytu náhodných chýb je určená oblasťou ohraničenou krivkou f(D) alebo jeho časť a os x (obr. 4.3 c). V závislosti od uvažovaného intervalu chýb .

Význam f(D)dD existuje prvok pravdepodobnosti rovný ploche obdĺžnika so základňou dD aúsečka D1,D2, nazývané kvantily. Pretože F(+¥)= 1, potom rovnosť ,
tie. oblasť pod krivkou f(D) podľa normalizačného pravidla sa rovná jednej a odráža pravdepodobnosť všetkých možných udalostí.
V praxi elektrických meraní je jedným z najbežnejších distribučných zákonov pre náhodné chyby normálny zákon(Gauss).
matematický výraz normálny zákon má formu
,
Kde f(D)- hustota pravdepodobnosti náhodnej chyby D = aja-A; s - smerodajná odchýlka. Smerodajná odchýlka môže byť vyjadrená ako náhodné odchýlky výsledkov pozorovania Di (pozri vzorec (4.1)):
.
Charakter kriviek opísaných touto rovnicou pre dve hodnoty s je znázornený na obr. 4.4. Z týchto kriviek je vidieť, že čím menšie s, tým častejšie sa vyskytujú malé náhodné chyby, t.j. tým presnejšie sú merania. V praxi meraní existujú ďalšie distribučné zákony, ktoré sa dajú stanoviť na základe štatistického spracovania.

experimentálne údaje. Niektoré z najbežnejších distribučných zákonov sú uvedené v GOST 8.011-84 "Ukazovatele presnosti merania a formy prezentácie výsledkov merania."
Hlavnými charakteristikami distribučných zákonov sú očakávaná hodnota A disperzia.
Matematické očakávanie náhodnej premennej je jeho hodnota, okolo ktorej sú zoskupené výsledky jednotlivých pozorovaní. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej M[X] je definovaný ako súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej pravdepodobnosťou týchto hodnôt .
Pre spojité náhodné premenné sa treba uchýliť k integrácii, pre ktorú je potrebné poznať závislosť hustoty pravdepodobnosti od X, t.j. f(x), Kde x=D. Potom .
Tento výraz znamená, že matematické očakávanie sa rovná súčtu nekonečného počtu produktov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej X nad nekonečne malými plochami f(x)dx, Kde f(x) - ordináty pre každého X, a dx - elementárne segmenty osi x.
Ak existuje normálne rozdelenie náhodných chýb, potom je matematické očakávanie náhodnej chyby nulové (obr. 4.4). Ak uvažujeme normálne rozdelenie výsledkov, potom matematické očakávanie bude zodpovedať skutočnej hodnote meranej veličiny, ktorú označíme A.
Systematickou chybou je v tomto prípade odchýlka matematické očakávanie pozorovacie výsledky zo skutočnej hodnoty A meraná hodnota: DC = M[X]-A a náhodná chyba je rozdiel medzi výsledkom jedného pozorovania a matematickým očakávaním: .
Rozptyl série pozorovaní charakterizuje stupeň rozptylu (rozptyl) výsledkov jednotlivých pozorovaní okolo matematického očakávania:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Čím menší rozptyl, tým menší rozptyl jednotlivých výsledkov, tým presnejšie merania. Disperzia sa však vyjadruje v jednotkách na štvorec meranej veličiny. Preto sa ako charakteristika presnosti série pozorovaní najčastejšie používa štandardná odchýlka (RMS), rovná koreňu na druhú mocninu rozptylu: .
Uvažované normálne rozdelenie náhodných premenných, vrátane náhodných chýb, je teoretické, preto treba popísané normálne rozdelenie považovať za „ideálne“, t.j. teoretický základštudovať náhodné chyby a ich vplyv na výsledok merania.
Ďalej sú načrtnuté spôsoby aplikácie tohto rozdelenia v praxi s rôznym stupňom priblíženia. Uvažuje sa aj o inom rozdelení (Studentovo rozdelenie), ktoré sa používa pre malé počty pozorovaní.
Odhady chýb vo výsledkoch priamych meraní. Nech sa drží P priame merania rovnakej veličiny. Vo všeobecnom prípade bude chyba pri každom meracom úkone iná:
Di =ai-A,
kde Di je chyba i-tého merania; ai- výsledok i-teho merania.
Keďže skutočná hodnota meranej veličiny A je neznáma, náhodnú absolútnu chybu nemožno vypočítať priamo. V praktických výpočtoch namiesto A použiť jeho skóre. Zvyčajne sa predpokladá, že skutočná hodnota je aritmetický priemer série meraní:
. (4.2)
Kde Aja- výsledky jednotlivých meraní; P - počet meraní.
Teraz, podobne ako vo výraze (4.1), môžeme určiť odchýlku výsledku každého merania od priemernej hodnoty :
(4.3)
Kde v i- odchýlka výsledku jednotlivého merania od priemernej hodnoty. Treba pripomenúť, že súčet odchýlok výsledku merania od strednej hodnoty je nulový a súčet ich štvorcov je minimálny, t.j.
a min.
Tieto vlastnosti sa využívajú pri spracovaní výsledkov meraní na kontrolu správnosti výpočtov.
Potom vypočítajte odhad hodnoty stredná kvadratická chyba pre danú sériu meraní

. (4.4)
Podľa teórie pravdepodobnosti je pre dostatočne veľký počet meraní s nezávislými náhodnými chybami odhad S konverguje v pravdepodobnosti k s. teda

. (4.5)
Od aritmetického priemeru je tiež náhodná premenná, koncept smerodajnej odchýlky aritmetického priemeru dáva zmysel. Táto hodnota bude označená symbolom sav. Dá sa ukázať, že pre nezávislé chyby
. (4.6)
Hodnota sav charakterizuje stupeň rozptylu . Ako je uvedené vyššie, pôsobí ako odhad skutočnej hodnoty nameranej hodnoty, t.j. je konečný výsledok vykonaných meraní. Preto sa sav nazýva aj stredná kvadratická chyba výsledku merania.
V praxi sa hodnota s vypočítaná vzorcom (4.5) používa, ak je potrebné charakterizovať presnosť použitej metódy merania: ak je metóda presná, potom je rozptyl výsledkov jednotlivých meraní malý, t.j. malá s hodnota . Hodnota sp , vypočítaná podľa (4.6) slúži na charakterizáciu presnosti výsledku merania určitej veličiny, t.j. výsledok získaný matematickým spracovaním výsledkov množstva jednotlivých priamych meraní.
Pri vyhodnocovaní výsledkov meraní sa niekedy používa pojem maximálne alebo najväčšia dovolená chyba, ktorých hodnota je určená v podieloch s alebo S . V súčasnosti existuje rôzne kritériá stanovenie maximálnej chyby, t. j. hraníc tolerančného poľa ± D, do ktorých sa musia zmestiť náhodné chyby. Definícia maximálnej chyby D = 3s (alebo 3 S). IN V poslednej dobe založené informačnej teórie merania, profesor P. V. Novitsky odporúča použiť hodnotu D = 2s.
Teraz uvádzame dôležité pojmy úroveň sebavedomia A interval spoľahlivosti. Ako je uvedené vyššie, aritmetický priemer , získaný ako výsledok niektorých sérií meraní je odhadom skutočnej hodnoty A a spravidla sa s ním nezhoduje, ale líši sa hodnotou chyby. Nechaj Rd je tu možnosť, že sa líši od A najviac D, t.j. R(-D< A< + D)=Rd. Pravdepodobnosť Rd volal pravdepodobnosť spoľahlivosti, a rozsah hodnôt nameranej hodnoty od - D až + D- interval spoľahlivosti.
Vyššie uvedené nerovnosti znamenajú, že s pravdepodobnosťou Rd interval spoľahlivosti od - D až + D obsahuje skutočný význam A. Aby sme teda náhodnú chybu celkom úplne charakterizovali, je potrebné mať dve čísla – pravdepodobnosť spoľahlivosti a jej zodpovedajúci interval spoľahlivosti. Ak je známy zákon rozdelenia pravdepodobností chýb, potom možno z danej pravdepodobnosti spoľahlivosti určiť interval spoľahlivosti. Najmä pre dostatočne veľký počet meraní je často opodstatnené použiť normálny zákon, zatiaľ čo pre malý počet meraní (P< 20), ktorých výsledky patria do normálneho rozdelenia, treba použiť Študentovo rozdelenie. Toto rozdelenie má hustotu pravdepodobnosti, ktorá sa prakticky zhoduje s normálnou pre veľké P, ale výrazne odlišné od normálneho pri malom P.
V tabuľke. 4.1 ukazuje takzvané kvantily Studentovho rozdelenia ½ t(n)½ Rd pre počet meraní P= 2 - 20 a pravdepodobnosti spoľahlivosti R = 0,5 - 0,999.
Upozorňujeme však, že zvyčajne nie sú uvedené študentské tabuľky rozdelenia hodnôt P A Rd, a pre hodnoty m =n-1 A a \u003d 1 - Rd,čo treba zvážiť pri ich používaní. Na určenie intervalu spoľahlivosti je potrebné pre údaje P A Rd nájdite kvantil ½ t(n)½Rd a vypočítajte hodnoty An = - sp× ½ t(n)½ Rdi Av = + sp× ½ t(n)½Rd, čo bude spodná a horná hranica intervalu spoľahlivosti.

Po zistení intervalov spoľahlivosti pre danú pravdepodobnosť spoľahlivosti podľa vyššie uvedenej metodiky sa výsledok merania zaznamená do formulára ; D=Dн¸ Dv; Rd,
Kde - posúdenie skutočnej hodnoty výsledku merania v jednotkách nameranej hodnoty; D - chyba merania; Dv = + sp× ½ t(n)½Рд a Dн = - sp× ½ t(n)½Rd - horná a dolná hranica chyby merania; Rd - pravdepodobnosť spoľahlivosti.

Tabuľka 4.1

Odhad chýb vo výsledkoch nepriamych meraní. Pri nepriamych meraniach požadovaná hodnota A funkčne súvisiace s jednou alebo viacerými priamo meranými veličinami: X,r,..., t. Uvažujme o najjednoduchšom prípade určenia chyby pre jednu premennú, kedy A= F(X). Označuje absolútnu chybu merania veličiny X cez ±Dx dostaneme A+ D A= F(x± D X).
Rozšírením pravej strany tejto rovnosti do Taylorovho radu a zanedbaním expanzných členov obsahujúcich Dx na mocninu vyššiu ako prvý dostaneme
A+DA » F(x) ± Dx alebo DA » ± Dx.
Relatívna chyba merania funkcie sa určí z výrazu
.
Ak je nameraná hodnota A je funkciou niekoľkých premenných: A=F(X,y,...,t), potom absolútna chyba výsledku nepriamych meraní
.
Čiastočné relatívne chyby nepriameho merania sú určené vzorcami ; atď. Relatívna chyba výsledku merania
.
Zastavme sa aj pri vlastnostiach odhadu výsledku nepriameho merania za prítomnosti náhodnej chyby.
Odhadnúť náhodnú chybu výsledkov nepriamych meraní veličiny A budeme predpokladať, že systematické chyby v meraniach veličín x, y,…, t sú vylúčené a náhodné chyby pri meraní rovnakých veličín navzájom nezávisia.
Pri nepriamych meraniach sa hodnota meranej veličiny zistí podľa vzorca ,
kde sú priemerné alebo vážené priemerné hodnoty veličín x, y,…, t .
Na výpočet smerodajnej odchýlky nameranej hodnoty A odporúča sa použiť štandardné odchýlky získané počas meraní x, y,…, t .
IN všeobecný pohľad na určenie smerodajnej odchýlky s nepriameho merania sa používa tento vzorec:
, (4.7)
Kde Dx ;D Y ;…;Dt- takzvané čiastkové chyby nepriameho merania ; ; …; ; ; ; … ; — parciálne deriváty A Autor: x, y,..., t;sx; sy,…,st,…— smerodajné odchýlky výsledkov meraní x, y,…, t .
Uvažujme o niektorých špeciálnych prípadoch aplikácie rovnice (4.7), keď je funkčná závislosť medzi nepriamo a priamo meranými veličinami vyjadrená vzorcom A=k× Xa× rb× zg , Kde k-číselný koeficient (bezrozmerný).
V tomto prípade má vzorec (4.7) nasledujúcu formu:
.
Ak a =b=g = 1 A A=k× X× r× z, potom sa vzorec relatívnej chyby zjednoduší do formulára .
Tento vzorec je použiteľný napríklad na výpočet štandardnej odchýlky merania objemu od meraní výšky, šírky a hĺbky kvádrovej nádrže.

4.5. Pravidlá pre sčítanie náhodných a systematických chýb
Chyba zložitých meracích prístrojov závisí od chýb ich jednotlivých uzlov (blokov). Chyby sú zhrnuté podľa určitých pravidiel.
Nech sa napríklad merací prístroj skladá z m bloky, z ktorých každý má nezávislé náhodné chyby. Zároveň absolútne hodnoty odmocniny sk alebo maximum Mk chyba pre každý blok.
Aritmetický súčet alebo udáva maximálnu chybu zariadenia, ktorá má zanedbateľnú pravdepodobnosť, a preto sa zriedka používa na posúdenie presnosti zariadenia ako celku. Podľa teórie chýb je výsledná chyba sres and Mrez určuje sa kvadratickým sčítaním alebo .
Výsledná relatívna chyba merania sa určí podobne: . (4.8)
Vzťahom (4.8) možno určiť dovolené chyby jednotlivých blokov vyvíjaných zariadení s danou celkovou chybou merania. Pri navrhovaní zariadenia sa zvyčajne uvádzajú rovnaké chyby pre jednotlivé bloky, ktoré sú v ňom zahrnuté. Ak existuje niekoľko zdrojov chýb, ktoré ovplyvňujú konečný výsledok merania odlišne (alebo zariadenie pozostáva z niekoľkých blokov s rôznymi chybami), do vzorca (4.8) by sa mali zaviesť váhové koeficienty. ki :
, (4.9)
kde d1, d2, …, dm sú relatívne chyby jednotlivých uzlov (blokov) merací prístroj; k1,k2, …,km- koeficienty, ktoré zohľadňujú mieru vplyvu náhodnej chyby tohto bloku na výsledok merania.
Ak má meracie zariadenie (alebo jeho bloky) aj systematické chyby, celková chyba je určená ich súčtom: Rovnaký prístup platí pre viac komponentov.
Pri hodnotení vplyvu čiastkových chýb treba brať do úvahy, že presnosť meraní závisí najmä od chýb, ktoré sú veľké v absolútnej hodnote a niektoré najmenšie chyby možno vôbec ignorovať. Čiastková chyba sa odhaduje na základe tzv kritérium zanedbateľnej chyby,čo je nasledovné. Predpokladajme, že celková chyba dres je určená vzorcom (4.8) so zohľadnením všetkých mčiastkové chyby, medzi ktorými má niektorá chyba di malú hodnotu. Ak sa celková chyba d¢res, vypočítaná bez zohľadnenia chyby di, nelíši od dresu o viac ako 5 %, t.j. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезV praxi technických výpočtov sa často používa menej prísne kritérium - do týchto vzorcov sa zavádza koeficient 0,4.

4.6. Formy prezentácie výsledkov meraní

Výsledok merania je cenný len vtedy, keď sa dá odhadnúť jeho interval neistoty, t.j. stupeň spoľahlivosti. Preto výsledok merania musí obsahovať hodnotu meranej veličiny a charakteristiku presnosti tejto hodnoty, ktorou sú systematické a náhodné chyby. Kvantitatívne ukazovatele chýb, spôsoby ich vyjadrenia, ako aj formy prezentácie výsledkov meraní upravuje GOST 8.011-72 "Ukazovatele presnosti merania a formy prezentácie výsledkov merania". Pozrime sa na hlavné formy prezentácie výsledkov meraní.
Chyba výsledku priameho jednotlivého merania závisí od mnohých faktorov, ale je primárne určená chybou použitých meracích prístrojov. Preto pri prvej aproximácii môže byť chyba výsledku merania považovaná za rovnakú
chyba, ktorá v danom bode meracieho rozsahu charakterizuje použitý merací prístroj.
Chyby meracích prístrojov sa líšia v rozsahu meraní. Preto je v každom prípade pre každé meranie potrebné vypočítať chybu výsledku merania pomocou vzorcov (3.19) - (3.21) normalizácie chyby zodpovedajúceho meracieho prístroja. Mali by sa vypočítať absolútne aj relatívne chyby výsledku merania, pretože prvá z nich je potrebná na zaokrúhlenie výsledku a jeho správne zaznamenanie a druhá na jednoznačnú porovnávaciu charakteristiku jeho presnosti.
Pre rôzne charakteristiky normalizácie chýb SI sa tieto výpočty vykonávajú rôznymi spôsobmi, preto zvážime tri typické prípady.
1. Trieda zariadenia sa uvádza ako jedno číslo q, uzavretý v kruhu. Potom relatívna chyba výsledku (v percentách) g = q, a jeho absolútna chyba D x =q× X/ 100.
2. Trieda zariadenia je označená jedným číslom p(bez kruhu). Potom absolútna chyba výsledku merania D x =p× xk / 100 kde Xk- limit merania, pri ktorom sa vykonalo, a relatívna chyba merania (v percentách) sa zistí podľa vzorca ,
teda v tomto prípade pri meraní, okrem odčítania nameranej hodnoty X musí byť pevne stanovená a hranica meraní Xk , v opačnom prípade nebude možné neskôr vypočítať chybu výsledku.
3. Trieda zariadenia je vo formulári označená dvoma číslami c/d. V tomto prípade je vhodnejšie vypočítať relatívnu chybu d výsledok podľa vzorca (3.21), a až potom nájsť absolútnu chybu ako Dx=d× x/100.
Po vykonaní výpočtov chyby sa použije jeden z formulárov na prezentáciu výsledku merania v tejto forme: X;± D A d, Kde X- meraná hodnota; D- absolútna chyba merania; d-relatívna chyba merania. Urobí sa napríklad nasledujúci záznam: „Meranie bolo vykonané s relatívnou chybou d= … %. meraná hodnota x = (A± D), Kde A- výsledok merania.
Jednoznačnejšie je však uviesť hranice intervalu neistoty nameranej hodnoty v tvare: x = (A-D)¸(A+D) alebo (A-D)< х < (A+D) s uvedením merných jednotiek.
Iná forma prezentácie výsledku merania je nastavená takto: X; D od Dн predtým Dv; R, Kde X- výsledok merania v jednotkách nameranej hodnoty; D,Dн,Dv- chyba merania s jej dolnou a hornou hranicou v rovnakých jednotkách; R- pravdepodobnosť, s ktorou je chyba merania v rámci týchto limitov.
GOST 8.011-72 umožňuje aj iné formy prezentácie výsledkov merania, ktoré sa líšia od vyššie uvedených foriem tým, že oddelene označujú charakteristiky systematickej a náhodnej zložky chyby merania. Zároveň sú pre systematickú chybu uvedené jej pravdepodobnostné charakteristiky. V tomto prípade sú hlavnými charakteristikami systematickej chyby matematické očakávanie M [ Dxc], smerodajná odchýlka s[ Dxc] a jeho interval spoľahlivosti. Priradenie systematických a náhodných zložiek chyby je vhodné, ak sa výsledok merania použije pri ďalšom spracovaní údajov, napríklad pri určovaní výsledku nepriamych meraní a posudzovaní jeho presnosti, pri sčítavaní chýb atď.

Akákoľvek z foriem prezentácie výsledku merania podľa GOST 8.011-72 musí obsahovať potrebné údaje, na základe ktorých možno určiť interval spoľahlivosti pre chybu výsledku merania. Vo všeobecnom prípade možno interval spoľahlivosti stanoviť, ak je známa forma zákona o rozdelení chýb a hlavné numerické charakteristiky tohto zákona.

Hlavnou kvalitatívnou charakteristikou akéhokoľvek prístrojového snímača je chyba merania kontrolovaného parametra. Chyba merania prístroja je veľkosť nesúladu medzi tým, čo prístrojový senzor ukázal (nameral) a tým, čo v skutočnosti je. Chyba merania pre každý konkrétny typ snímača je uvedená v sprievodnej dokumentácii (pas, návod na obsluhu, postup overenia), ktorá je dodávaná s týmto snímačom.

Podľa formy prezentácie sa chyby delia na absolútne, príbuzný A daný chyby.

Absolútna chyba- je to rozdiel medzi hodnotou Hism nameranou senzorom a skutočnou hodnotou Xd tejto hodnoty.

Skutočná hodnota Xd meranej veličiny je experimentálne zistená hodnota meranej veličiny čo najbližšie k jej skutočnej hodnote. Zjednodušene povedané, skutočná hodnota Xd je hodnota nameraná referenčným prístrojom alebo vygenerovaná kalibrátorom alebo vysoko presnou nastavenou hodnotou. Absolútna chyba je vyjadrená v rovnakých jednotkách ako nameraná hodnota (napr. m3/h, mA, MPa atď.). Keďže nameraná hodnota môže byť väčšia alebo menšia ako jej skutočná hodnota, chyba merania môže byť buď so znamienkom plus (hodnoty prístroja sú príliš vysoké) alebo so znamienkom mínus (prístroj je podhodnotený).

Relatívna chyba je pomer absolútnej chyby merania Δ k skutočnej hodnote Xd meranej veličiny.

Relatívna chyba je vyjadrená v percentách alebo je to bezrozmerná veličina a môže nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty.

Znížená chyba je pomer absolútnej chyby merania Δ k normalizačnej hodnote Xn, ktorá je konštantná v celom rozsahu merania alebo v jeho časti.

Normalizačná hodnota Xn závisí od typu stupnice snímača prístrojového vybavenia:

1. Ak je mierka snímača jednostranná a spodná hranica merania je nula (napríklad mierka snímača je od 0 do 150 m3/h), potom sa Xn považuje za rovné hornej hranici merania (v našom prípade Xn = 150 m3/h).
2. Ak je stupnica snímača jednostranná, ale spodná hranica merania sa nerovná nule (napríklad mierka snímača je od 30 do 150 m3/h), potom sa Xn rovná rozdielu medzi horným a dolným meraním. limity (v našom prípade Xn = 150-30 = 120 m3/h ).
3. Ak je stupnica snímača obojstranná (napríklad od -50 do +150 ˚С), potom sa Хn rovná šírke rozsahu merania snímača (v našom prípade Хn = 50+150 = 200 ˚С).

Daná chyba je vyjadrená v percentách alebo ide o bezrozmernú hodnotu a môže mať aj kladné aj záporné hodnoty.

Pomerne často je v popise konkrétneho senzora uvedený nielen rozsah merania, napríklad od 0 do 50 mg/m3, ale aj rozsah čítania, napríklad od 0 do 100 mg/m3. Daná chyba sa v tomto prípade normalizuje na koniec meracieho rozsahu, teda na 50 mg/m3 a v rozsahu indikácií od 50 do 100 mg/m3 sa chyba merania snímača vôbec neurčuje. - v skutočnosti môže snímač ukázať čokoľvek a mať akúkoľvek chybu merania. Merací rozsah snímača je možné rozdeliť do niekoľkých meracích čiastkových rozsahov, pre každý z nich je možné určiť jeho vlastnú chybu ako vo veľkosti, tak aj vo forme znázornenia. Zároveň je možné pri kalibrácii takýchto snímačov pre každý podrozsah použiť ich vlastné vzorové meracie prístroje, ktorých zoznam je uvedený v overovacom postupe pre toto zariadenie.

Pri niektorých zariadeniach v pasoch sa namiesto chyby merania uvádza trieda presnosti. Medzi takéto prístroje patria mechanické tlakomery indikujúce bimetalové teplomery, termostaty, prietokomery, ručičkové ampérmetre a voltmetre pre montáž na panel atď. Trieda presnosti je zovšeobecnená charakteristika meracích prístrojov, určená hranicami prípustných základných a dodatočných chýb, ako aj množstvom ďalších vlastností, ktoré ovplyvňujú presnosť meraní vykonávaných s ich pomocou. Trieda presnosti zároveň nie je priamou charakteristikou presnosti meraní vykonávaných týmto zariadením, len indikuje možnú prístrojovú zložku chyby merania. Trieda presnosti zariadenia sa aplikuje na jeho stupnicu alebo puzdro v súlade s GOST 8.401-80.

Pri priraďovaní triedy presnosti k zariadeniu sa volí z rozsahu 1·10 n ; 1,5 10n; (1,6 10n); 210n; 2,5 10n; (310n); 410n; 5 10n; 6 10n; (kde n = 1, 0, -1, -2, atď.). Hodnoty tried presnosti uvedené v zátvorkách nie sú stanovené pre novo vyvinuté meradlá.

Zisťovanie chyby merania snímačov sa vykonáva napríklad pri ich periodickom overovaní a kalibrácii. Pomocou rôznych nastavovačov a kalibrátorov sa s vysokou presnosťou generujú určité hodnoty konkrétnej fyzikálnej veličiny a hodnoty overeného snímača sa porovnávajú s hodnotami vzorového meracieho prístroja, ktorému je rovnaká hodnota fyzikálnej veličiny sa dodáva. Okrem toho je chyba merania snímača kontrolovaná ako pri doprednom zdvihu (zvýšenie meranej fyzikálnej veličiny z minima na maximum stupnice), tak aj pri spätnom zdvihu (pokles nameranej hodnoty z maxima na minimum stupnica). Je to spôsobené tým, že vzhľadom na elastické vlastnosti citlivého prvku snímača (membrána tlakového snímača), rôznu intenzitu chemických reakcií (elektrochemický snímač), tepelnú zotrvačnosť atď. hodnoty snímača sa budú líšiť v závislosti od toho, ako sa mení fyzikálna veličina pôsobiaca na snímač: klesá alebo stúpa.

Pomerne často sa v súlade s postupom overovania musí odčítanie hodnôt snímača pri overovaní vykonávať nie podľa jeho zobrazenia alebo stupnice, ale podľa hodnoty výstupného signálu, napríklad podľa hodnoty výstupného prúdu. prúdového výstupu 4 ... 20 mA.

Pre kalibrovaný snímač tlaku so stupnicou merania od 0 do 250 mbar je hlavná relatívna chyba merania v celom rozsahu merania 5 %. Snímač má prúdový výstup 4…20 mA. Kalibrátor aplikoval na snímač tlak 125 mbar, pričom jeho výstupný signál je 12,62 mA. Je potrebné určiť, či sú hodnoty snímača v prijateľných medziach.

Najprv je potrebné vypočítať, aký by mal byť výstupný prúd snímača Iout.t pri tlaku Pt = 125 mbar.

Ish.t \u003d Ish.out.min + ((Ish.out.max – Ish.out.min) / (Rsh.max – Rsh.min)) * Pt

kde Iout.t je výstupný prúd snímača pri danom tlaku 125 mbar, mA.

Ish.out.min – minimálny výstupný prúd snímača, mA. Pre snímač s výstupom 4…20 mA Ish.out.min = 4 mA, pre senzor s výstupom 0…5 alebo 0…20 mA Ish.out.min = 0.

Ish.out.max - maximálny výstupný prúd snímača, mA. Pre snímač s výstupom 0…20 alebo 4…20 mA, Ish.out.max = 20 mA, pre senzor s výstupom 0…5 mA, Ish.out.max = 5 mA.

Psh.max - maximálna stupnica snímača tlaku, mbar. Rsh.max = 250 mbar.

Psh.min - stupnica snímača minimálneho tlaku, mbar. Rsh.min = 0 mbar.

Pt je tlak dodávaný z kalibrátora do snímača, mbar. RT = 125 mbar.

Nahradením známych hodnôt dostaneme:

Iout.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA

To znamená, že pri tlaku 125 mbar aplikovanom na snímač by jeho prúdový výstup mal byť 12 mA. Zvažujeme, v akých medziach sa môže meniť vypočítaná hodnota výstupného prúdu, vzhľadom na to, že hlavná relatívna chyba merania je ± 5 %.

ΔIout.t \u003d 12 ± (12 * 5 %) / 100 % \u003d (12 ± 0,6) mA

To znamená, že pri tlaku 125 mbar aplikovanom na snímač by výstupný signál na jeho aktuálnom výstupe mal byť v rozsahu od 11,40 do 12,60 mA. Podľa stavu problému máme výstupný signál 12,62 mA, čo znamená, že náš snímač sa nezmestil do výrobcom udávanej chyby merania a vyžaduje úpravu.

Hlavná relatívna chyba merania nášho senzora je:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100 % = 5,17 %

Overenie a kalibrácia prístrojových nástrojov by sa mala vykonávať za normálnych podmienok prostredia pre atmosférický tlak, vlhkosť a teplotu a pri menovitom napájacom napätí snímača, pretože vyššia alebo nižšia teplota a napájacie napätie môžu viesť k dodatočným chybám merania. Podmienky overovania sú uvedené v postupe overovania. Prístroje, ktorých chyba merania nezapadala do rámca stanoveného overovacím postupom, sa buď znovu nastavia a nastavia, potom sa prekalibrujú, alebo ak úprava nepriniesla výsledky napr. starnutie alebo nadmerná deformácia snímača, sú opravené. Ak oprava nie je možná, zariadenia sú odmietnuté a vyradené z prevádzky.

Ak boli napriek tomu zariadenia opravené, potom už nepodliehajú periodickému, ale primárnemu overovaniu so splnením všetkých bodov uvedených v postupe overovania pre tento typ overovania. V niektorých prípadoch je zariadenie špeciálne podrobené drobným opravám (), pretože podľa metódy overovania je oveľa jednoduchšie a lacnejšie vykonať primárne overenie ako periodické overenie, a to z dôvodu rozdielov v súbore vzorových meracích prístrojov, ktoré sa používajú v periodické a primárne overovanie.

Na upevnenie a otestovanie získaných vedomostí odporúčam urobiť.