Najjednoduchšie skúšobné rovnice. Úloha jednotnej štátnej skúšky: riešenie jednoduchých rovníc

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy, ktoré potrebujete úspešné ukončenie Jednotná štátna skúška z matematiky za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetky potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, úskalia a tajomstvá jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné triky riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Základ riešenia komplexné úlohy 2 časti jednotnej štátnej skúšky.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby v súlade so zákonom súdne konanie, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných dopytov alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Rovnice, časť $C$

Rovnosť obsahujúca neznáme číslo, označená písmenom, sa nazýva rovnica. Výraz naľavo od znamienka rovnosti sa nazýva ľavá strana rovnice a výraz napravo sa nazýva pravá strana rovnice.

Schéma riešenia zložitých rovníc:

Pred riešením rovnice je potrebné zapísať rozsah prípustných hodnôt (ADV) pre ňu.
Vyriešte rovnicu.
Zo získaných koreňov rovnice vyberte tie, ktoré spĺňajú ODZ.

ODZ rôznych výrazov (výrazom rozumieme alfanumerický zápis):

1. Výraz v menovateli sa nesmie rovnať nule.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Radikálny výraz nesmie byť negatívny.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Radikálny výraz v menovateli musí byť kladný.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Pre logaritmus: sublogaritmický výraz musí byť kladný; základ musí byť pozitívny; Základ sa nemôže rovnať jednej.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmické rovnice

Logaritmické rovnice sú rovnice v tvare $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kde $a$ je kladné číslo odlišné od $1$, a rovnice, ktoré sa redukujú na tento tvar.

Na riešenie logaritmických rovníc potrebujete poznať vlastnosti logaritmov: zvážime všetky vlastnosti logaritmov pre $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – akékoľvek reálne číslo.

1. Pre akékoľvek reálne čísla$m$ a $n$ majú nasledujúce rovnosti:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmus produktu rovná súčtu logaritmy na rovnakú základňu z každého faktora.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami čitateľa a menovateľa pri použití rovnakého základu

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Pri násobení dvoch logaritmov môžete zameniť ich základy

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ak $a, b, c$ a $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kde $a, b, c > 0, a≠1$

6. Vzorec pre prechod na novú základňu

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Najmä ak je potrebné zameniť základný a sublogaritmický výraz

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Existuje niekoľko hlavných typov logaritmických rovníc:

Najjednoduchšie logaritmické rovnice: $log_(a)x=b$. Riešenie tohto typu rovnice vyplýva z definície logaritmu, t.j. $x=a^b$ a $x > 0$

Predstavme obe strany rovnice ako logaritmus na základ $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Ak sú logaritmy s rovnakým základom rovnaké, potom sú rovnaké aj sublogaritmické výrazy.

Odpoveď: x $ = 8 $

Rovnice tvaru: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy a berieme do úvahy ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy

Presuňme všetky termíny na ľavá strana rovníc a prezentovať podobné pojmy

Skontrolujme nájdené korene podľa podmienok $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Pri dosadzovaní do druhej nerovnosti koreň $x=4$ nespĺňa podmienku, ide teda o cudzí koreň

Odpoveď: $x=-3$

Variabilná metóda výmeny.

Pri tejto metóde potrebujete:

Zapíšte si rovnice ODZ.
Pomocou vlastností logaritmov sa uistite, že rovnice vytvárajú identické logaritmy.
Nahraďte $log_(a)f(x)$ ľubovoľnou premennou.
Vyriešte rovnicu pre novú premennú.
Vráťte sa na krok 3, nahraďte hodnotu premennej a získajte najjednoduchšiu rovnicu v tvare: $log_(a)x=b$
Vyriešte najjednoduchšiu rovnicu.
Po nájdení koreňov logaritmickej rovnice ich musíte vložiť do kroku 1 a skontrolovať stav ODZ.

Vyriešte rovnicu $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Zapíšme si rovnicu ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"pretože je pod znamienkom koreňa a logaritmu";\ √x≠1→x≠1;$

2. Urobme logaritmy na základ $2$, na to použijeme pravidlo pre prechod na nový základ v druhom termíne:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Poďme na zlomok - racionálna rovnica vzhľadom na premennú t

Zredukujme všetky pojmy na spoločného menovateľa $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Vyriešime výsledok kvadratická rovnica podľa Vietovej vety:

6. Vráťme sa ku kroku 3, urobme opačnú substitúciu a získame dve jednoduché logaritmické rovnice:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Logaritmujeme pravé strany rovníc

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Dajme rovnítko medzi sublogaritmické výrazy

$√x=2$, $√x=4$

Aby sme sa zbavili koreňa, odmocnime obe strany rovnice

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Dosaďte korene logaritmickej rovnice v kroku 1 a skontrolujte podmienku ODZ.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1; $

Prvý koreň spĺňa ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Druhý koreň tiež spĺňa ODZ.

Odpoveď: 4 doláre; 16 dolárov

Rovnice v tvare $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Takéto rovnice sa riešia zavedením novej premennej a prechodom na obyčajnú kvadratickú rovnicu. Po nájdení koreňov rovnice sa musia vybrať s prihliadnutím na ODZ.

Zlomkové racionálne rovnice

Ak je zlomok nula, potom je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.
Ak aspoň jedna časť racionálnej rovnice obsahuje zlomok, potom sa rovnica nazýva zlomková-racionálna.

Ak chcete vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu, musíte:

Nájdite hodnoty premennej, pri ktorých rovnica nedáva zmysel (ODZ)
Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici;
Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom;
Vyriešte výslednú celú rovnicu;
Vylúčiť z jej koreňov tie, ktoré nespĺňajú podmienku ODZ.

Ak rovnica obsahuje dva zlomky a čitatelia sú ich rovnakými výrazmi, potom je možné menovateľov priradiť k sebe a výslednú rovnicu je možné vyriešiť bez toho, aby sme venovali pozornosť čitateľom. ALE pri zohľadnení ODZ celej pôvodnej rovnice.

Exponenciálne rovnice

Exponenciálne rovnice sú tie, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú vlastnosti mocnín, pripomeňme si niektoré z nich:

1. Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ rovnaký a exponenty sa sčítavajú.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Pri delení stupňov s rovnakými základmi zostáva základ rovnaký a exponenty sa odčítajú

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor zvýši na túto hodnotu

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Pri umocnení zlomku na mocninu sa čitateľ a menovateľ zvýši na túto mocninu

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Keď sa ktorýkoľvek základ zvýši na nulový exponent, výsledok sa rovná jednej

7. Základ v akomkoľvek zápornom exponente môže byť reprezentovaný ako základ v rovnakom kladnom exponente zmenou polohy základne vzhľadom na ťah zlomku.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikál (koreň) možno znázorniť ako mocninu so zlomkovým exponentom

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Typy exponenciálnych rovníc:

1. Jednoduché exponenciálne rovnice:

a) Tvar $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a >0, a≠1, x$ nie je známy. Na riešenie takýchto rovníc využívame vlastnosť mocnín: mocniny s rovnakým základom ($a >0, a≠1$) sú rovnaké len vtedy, ak sú ich exponenty rovnaké.

b) Rovnica tvaru $a^(f(x))=b, b>0$

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebné obe strany zobrať logaritmicky k základu $a$

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metóda vyrovnávania základne.

3. Metóda faktorizácie a náhrady premenných.

Pre túto metódu v celej rovnici je podľa vlastnosti mocnin potrebné transformovať mocniny do jedného tvaru $a^(f(x))$.
Vykonajte zmenu premennej $a^(f(x))=t, t > 0$.
Získame racionálnu rovnicu, ktorú je potrebné vyriešiť faktorizáciou výrazu.
Robíme spätné substitúcie s prihliadnutím na skutočnosť, že $t >

Vyriešte rovnicu $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Pomocou vlastnosti mocnin výraz transformujeme tak, aby sme dostali mocninu 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Zmeňme premennú $2^x=t; t>0 $

Získame kubickú rovnicu tvaru

$t^3-(7t^2)/(2)+(7t)/(2)-1=0$

Vynásobte celú rovnicu 2 $, aby ste sa zbavili menovateľov

$2t^3-7t^2+7t-2=0$

Rozšírme ľavú stranu rovnice pomocou metódy zoskupenia

$(2t^3-2)-(7t^2-7t)=0$

Vyberme spoločný faktor $ 2 $ z prvej zátvorky a $ 7 t $ z druhej

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Okrem toho v prvej zátvorke vidíme rozdiel vo vzorci kociek

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Poďme vyriešiť prvú rovnicu

Vyriešme druhú rovnicu cez diskriminant

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2 = -1; x_3=1$

Odpoveď: $-1; 0; 1 dolár

4. Metóda prevodu kvadratickej rovnice

Máme rovnicu v tvare $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, kde $A, B$ a $C$ sú koeficienty.
Urobíme náhradu $a^(f(x))=t, t > 0$.
Výsledkom je kvadratická rovnica v tvare $A·t^2+B·t+С=0$. Vyriešime výslednú rovnicu.
Robíme opačnú substitúciu s prihliadnutím na skutočnosť, že $t > 0$. Dostaneme to najjednoduchšie exponenciálna rovnica$a^(f(x))=t$, vyriešte a výsledok napíšte do odpovede.

Faktorizačné metódy:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Ak chcete rozdeliť polynóm vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek, musíte:

Určte spoločný faktor.
Vydeľte ním daný polynóm.
Zapíšte súčin spoločného činiteľa a výsledného podielu (tento podiel vložte do zátvoriek).

Faktor polynómu: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Spoločným faktorom tohto polynómu je $2a$, pretože všetky členy sú deliteľné $2$ a „a“. Ďalej nájdeme kvocient vydelenia pôvodného polynómu „2a“, dostaneme:

10 $a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Toto je konečný výsledok faktorizácie.

Používanie skrátených vzorcov na násobenie

1. Druhá mocnina súčtu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla plus dvojnásobok súčinu prvého a druhého čísla a plus druhú mocninu druhého čísla.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Druhá mocnina rozdielu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého čísla a druhého a plus druhej mocniny druhého čísla.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Rozdiel druhých mocnín sa rozloží na súčin rozdielu čísel a ich súčtu.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Kocka súčtu sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého s druhým číslom plus trojnásobok súčinu prvého štvorcom druhého čísla plus kocky druhého čísla. číslo.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Kocka rozdielu sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobný súčin druhej mocniny prvého čísla druhým číslom plus trojnásobný súčin prvého štvorca druhého čísla a mínus tretia mocnina druhé číslo.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu čísel a parciálnej druhej mocniny rozdielu.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu čísel a neúplnej druhej mocniny súčtu.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metóda zoskupovania

Metódu zoskupovania je vhodné použiť, keď je potrebné faktorizovať polynóm s párnym počtom členov. IN túto metódu je potrebné zhromaždiť pojmy do skupín a z každej skupiny vybrať spoločný činiteľ. Po ich umiestnení do zátvoriek by niekoľko skupín malo dostať rovnaké výrazy, potom túto zátvorku prevezmeme ako spoločný faktor a vynásobíme ju zátvorkou výsledného kvocientu.

Faktor polynóm $2a^3-a^2+4a-2$

Na rozklad tohto polynómu použijeme metódu zoskupovania členov, prvé dva a posledné dva členy zoskupíme a je dôležité správne umiestniť znamienko pred druhé zoskupenie; podpísať a preto napíšte pojmy s ich znakmi v zátvorkách.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Po odstránení spoločných faktorov sme dostali pár rovnakých zátvoriek. Teraz túto zátvorku vyjmeme ako spoločný faktor.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Súčin týchto zátvoriek je konečným výsledkom faktorizácie.

Použitie kvadratického trinomického vzorca.

Ak je k dispozícii kvadratická trojčlenka tvaru $ax^2+bx+c$, potom môže byť rozšírený podľa vzorca

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratického trinomu