Celkový diferenciál funkcie. Celkový diferenciál funkcie viacerých premenných Celkový diferenciál v bode

Ako vidíte, aby ste našli diferenciál, musíte deriváciu vynásobiť dx. To vám umožní okamžite zapísať zodpovedajúcu tabuľku pre diferenciály z tabuľky vzorcov pre derivácie.

Celkový diferenciál pre funkciu dvoch premenných:

Celkový diferenciál pre funkciu troch premenných sa rovná súčtu parciálnych diferenciálov: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definícia . Funkcia y=f(x) sa nazýva diferencovateľná v bode x 0, ak jej prírastok v tomto bode možno znázorniť ako ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, kde A je konštanta a α(∆ x) je nekonečne malý ako ∆x → 0.
Požiadavka, aby bola funkcia v bode diferencovateľná, je ekvivalentná existencii derivácie v tomto bode s A=f'(x 0).

Nech f(x) je diferencovateľné v bode x 0 a f "(x 0)≠0 , potom ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, kde α= α(∆x) →0 ako ∆x → 0. Veličina ∆y a každý člen na pravej strane sú nekonečne malé hodnoty ako ∆x→0. Porovnajme ich: , to znamená, že α(∆x)∆x je nekonečne malý vyšší rád ako f’(x 0)∆x.
, teda ∆y~f’(x 0)∆x. Preto je f’(x 0)∆x hlavná a zároveň lineárna vzhľadom na ∆x časť prírastku ∆y (lineárny priemer obsahujúci ∆x do prvého stupňa). Tento výraz sa nazýva diferenciál funkcie y \u003d f (x) v bode x 0 a označuje sa dy (x 0) alebo df (x 0). Takže pre ľubovoľné x
dy=f′(x)∆x. (jeden)
Nech je teda dx=∆x
dy=f'(x)dx. (2)

Príklad. Nájdite derivácie a diferenciály týchto funkcií.
a) y=4tg2x
rozhodnutie:

rozdiel:
b)
rozhodnutie:

rozdiel:
c) y=arcsin 2 (lnx)
rozhodnutie:

rozdiel:
G)
rozhodnutie:
=
rozdiel:

Príklad. Pre funkciu y=x 3 nájdite výraz pre ∆y a dy pre niektoré hodnoty x a ∆x.
rozhodnutie. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (vzali sme hlavnú lineárnu časť ∆y vzhľadom na ∆x). V tomto prípade α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Definícia: Celkový diferenciál funkcie niekoľko premenných sa nazýva súčet všetkých jeho parciálnych diferenciálov:

Príklad 1: .

rozhodnutie:

Pretože parciálne derivácie tejto funkcie sú rovnaké:

Potom môžeme okamžite zapísať parciálne diferenciály týchto funkcií:

, ,

Potom bude celkový diferenciál funkcie vyzerať takto:

Príklad 2 Nájdite úplný diferenciál funkcie

rozhodnutie:

Táto funkcia je komplexná, t.j. možno si predstaviť ako

Nájdeme parciálne deriváty:

Úplný diferenciál:

Analytický význam totálneho diferenciálu je, že celkový diferenciál funkcie niekoľkých premenných je hlavnou časťou celkového prírastku tejto funkcie, to znamená, že existuje približná rovnosť: ∆z≈dz.

Treba si však uvedomiť, že tieto približné rovnosti platia len pre malé diferenciály dx a dy argumentov funkcie z=f(x,y).

Použitie celkového diferenciálu v približných výpočtoch je založené na použití vzorca ∆z≈dz.

V skutočnosti, ak v tomto vzorci je prírastok ∆z funkcie reprezentovaný ako a celkový diferenciál ako , potom dostaneme:

≈ ,

Výsledný vzorec možno použiť na približné nájdenie „novej“ hodnoty funkcie dvoch premenných, ktorú naberá s dostatočne malými prírastkami oboch svojich argumentov.

Príklad. Nájdite približnú hodnotu funkcie , s nasledujúcimi hodnotami jeho argumentov: 1.01, .

rozhodnutie.

Nahradením parciálnych derivácií funkcií, ktoré sa nachádzajú skôr vo vzorci, dostaneme:

Pri dosadení hodnôt x=1, ∆x=0,01, y=2, ∆y=0,02 dostaneme:

skalárne pole.

Ak je v každom bode nejakej oblasti priestoru D daná funkcia U(p)=U(x,y,z), potom sa hovorí, že v oblasti D je dané skalárne pole.

Ak napríklad U(x, y, z) označuje teplotu v bode M(x, y, z), potom hovoríme, že je dané skalárne teplotné pole. Ak je oblasť D naplnená kvapalinou alebo plynom a U(x,y,z) označuje tlak, potom existuje skalárne tlakové pole. Ak je usporiadanie nábojov alebo masívnych telies dané v priestore, potom sa hovorí o potenciálnom poli.

Skalárne pole je tzv stacionárny, ak sa funkcia U(x,y,z) s časom nemení: U(x,y,z) ≠ f(t).

Každé stacionárne pole je charakterizované:

1) rovný povrch skalárneho poľa

2) rýchlosť zmeny poľa v danom smere.

Rovný povrch skalárne pole je ťažisko bodov, v ktorých funkcia U(x,y,z) nadobúda konštantnú hodnotu, teda U(x,y,z) = konšt. Zber týchto bodov tvorí určitý povrch. Ak vezmeme ďalšiu konštantu, dostaneme ďalšiu plochu.

Príklad: Nech je dané skalárne pole. Príkladom takéhoto poľa je pole elektrického potenciálu bodového elektrického náboja (+q). Tu sú rovné plochy ekvipotenciálnymi plochami , teda gule, v strede ktorých je náboj, ktorý vytvára pole.

Smer najväčšieho nárastu skalárnej funkcie je daný vektorom tzv gradient a označuje sa symbolom (alebo ).

Gradient funkcie sa nachádza v zmysle parciálnych derivácií tejto funkcie a je vždy kolmý na rovný povrch skalárneho poľa v danom bode:

, kde

Jednotkové vektory pozdĺž osí OX, OY, OZ

Derivácia funkcie U(x,y,z) v akomkoľvek inom smere (λ) je určená vzorcom:

, kde

α, β, γ sú uhly medzi súradnicovými osami OX, OY, OZ a smer.

Každá čiastočná derivácia (nad X a podľa r) funkcie dvoch premenných je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej s pevnou hodnotou druhej premennej:

(kde r= konštanta),

(kde X= konštanta).

Preto sa parciálne deriváty počítajú z vzorce a pravidlá na výpočet derivácií funkcií jednej premennej, pričom druhú premennú považujeme za konštantu (konštantu).

Ak nepotrebujete analýzu príkladov a na to potrebnú minimálnu teóriu, ale potrebujete iba riešenie svojho problému, pokračujte online kalkulačka parciálnych derivácií .

Ak je ťažké zamerať sa na sledovanie toho, kde je konštanta vo funkcii, potom môžete nahradiť akékoľvek číslo v návrhu riešenia príkladu namiesto premennej pevnou hodnotou - potom môžete rýchlo vypočítať parciálnu deriváciu ako obyčajnú derivácia funkcie jednej premennej. Len je potrebné nezabudnúť pri dokončovaní vrátiť konštantu (premennú s pevnou hodnotou) na jej miesto.

Vyššie opísaná vlastnosť parciálnych derivácií vyplýva z definície parciálnej derivácie, ktorú možno nájsť v skúšobných otázkach. Preto, aby ste sa zoznámili s definíciou uvedenou nižšie, môžete otvoriť teoretickú referenciu.

Koncept spojitosti funkcie z= f(X, r) v bode je definovaný podobne ako tento pojem pre funkciu jednej premennej.

Funkcia z = f(X, r) sa nazýva spojitý v bode, ak

Rozdiel (2) sa nazýva celkový prírastok funkcie z(získa sa zvýšením oboch argumentov).

Nechajte funkciu z= f(X, r) a bodka

Ak sa funkcia zmení z nastane, keď sa zmení iba jeden z argumentov, napr. X s pevnou hodnotou druhého argumentu r, potom sa funkcia zvýši

nazývaný čiastočný prírastok funkcie f(X, r) zapnuté X.

Vzhľadom na zmenu funkcie z v závislosti od zmeny len jedného z argumentov vlastne prechádzame na funkciu jednej premennej.

Ak existuje konečný limit

potom sa nazýva parciálna derivácia funkcie f(X, r) argumentom X a je označený jedným zo symbolov

(4)

Čiastočný prírastok je definovaný podobne z na r:

a čiastočná derivácia f(X, r) zapnuté r:

(6)

Príklad 1

rozhodnutie. Nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na premennú "x":

(r pevné);

Nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na premennú "y":

(X pevné).

Ako vidíte, nezáleží na tom, do akej miery je premenná pevná: v tomto prípade je to len nejaké číslo, ktoré je súčiniteľom (ako v prípade obvyklej derivácie) s premennou, pomocou ktorej nájdeme čiastočnú derivát. Ak sa pevná premenná nevynásobí premennou, vzhľadom na ktorú nájdeme parciálnu deriváciu, potom táto osamelá konštanta, bez ohľadu na to, do akej miery, ako v prípade obvyklej derivácie, zaniká.

Príklad 2 Daná funkcia

Nájdite čiastočné deriváty

(x) a (by y) a vypočítajte ich hodnoty v bode ALE (1; 2).

rozhodnutie. Pri pevnom r derivácia prvého člena sa nachádza ako derivácia mocninovej funkcie ( tabuľka derivačných funkcií jednej premennej):

Pri pevnom X derivácia prvého člena sa nachádza ako derivácia exponenciálnej funkcie a druhá - ako derivácia konštanty:

Teraz vypočítame hodnoty týchto parciálnych derivácií v bode ALE (1; 2):

Riešenie úloh s parciálnymi deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Príklad 3 Nájdite čiastočné deriváty funkcií

rozhodnutie. V jednom kroku nájdeme

(r X, ako keby argument sínus bol 5 X: rovnakým spôsobom sa pred znakom funkcie objaví 5);

(X je pevná a je v tomto prípade faktorom r).

Riešenie úloh s parciálnymi deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Parciálne derivácie funkcie troch alebo viacerých premenných sú definované podobne.

Ak každá množina hodnôt ( X; r; ...; t) nezávislé premenné z množiny D zodpovedá jednej konkrétnej hodnote u od mnohých E, potom u sa nazýva funkcia premenných X, r, ..., t a označujú u= f(X, r, ..., t).

Pre funkcie troch alebo viacerých premenných neexistuje žiadna geometrická interpretácia.

Parciálne derivácie funkcie viacerých premenných sú tiež definované a vypočítané za predpokladu, že sa mení iba jedna z nezávislých premenných, zatiaľ čo ostatné sú pevné.

Príklad 4 Nájdite čiastočné deriváty funkcií

rozhodnutie. r a z opravené:

X a z opravené:

X a r opravené:

Nájdite parciálne deriváty sami a potom si pozrite riešenia

Príklad 5

Príklad 6 Nájdite parciálne derivácie funkcie.

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných má to isté mechanický význam ako derivácia funkcie jednej premennej, je rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na zmenu jedného z argumentov.

Príklad 8 prietokové množstvo P cestujúcich na železnici možno vyjadriť ako funkciu

kde P- počet cestujúcich, N- počet obyvateľov príslušných bodov, R- vzdialenosť medzi bodmi.

Parciálna derivácia funkcie P na R rovná

ukazuje, že pokles toku cestujúcich je nepriamo úmerný druhej mocnine vzdialenosti medzi zodpovedajúcimi bodmi pre rovnaký počet obyvateľov v bodoch.

Čiastočná derivácia P na N rovná

ukazuje, že nárast toku cestujúcich je úmerný dvojnásobnému počtu obyvateľov sídiel s rovnakou vzdialenosťou medzi bodmi.

Riešenie úloh s parciálnymi deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Úplný diferenciál

Súčin parciálnej derivácie a prírastku príslušnej nezávislej premennej sa nazýva parciálny diferenciál. Čiastočné rozdiely sú označené takto:

Súčet parciálnych diferenciálov nad všetkými nezávislými premennými dáva celkový diferenciál. Pre funkciu dvoch nezávislých premenných je celkový diferenciál vyjadrený rovnosťou

(7)

Príklad 9 Nájdite úplný diferenciál funkcie

rozhodnutie. Výsledok použitia vzorca (7):

Funkcia, ktorá má totálny diferenciál v každom bode určitej oblasti, sa v tejto oblasti nazýva diferencovateľná.

Nájdite celkový rozdiel sami a potom si pozrite riešenie

Rovnako ako v prípade funkcie jednej premennej, diferencovateľnosť funkcie v určitom regióne implikuje jej kontinuitu v tomto regióne, ale nie naopak.

Formulujme bez dôkazu dostatočnú podmienku diferencovateľnosti funkcie.

Veta. Ak je funkcia z= f(X, r) má spojité parciálne derivácie

v danom regióne, potom je v tomto regióne diferencovateľný a jeho diferenciál je vyjadrený vzorcom (7).

Dá sa ukázať, že tak ako v prípade funkcie jednej premennej je diferenciál funkcie hlavnou lineárnou časťou prírastku funkcie, tak aj v prípade funkcie viacerých premenných je celkový diferenciál hlavná, lineárna vzhľadom na prírastky nezávisle premenných, časť celkového prírastku funkcie.

Pre funkciu dvoch premenných má celkový prírastok funkcie tvar

(8)

kde α a β sú nekonečne malé pre a .

Parciálne deriváty vyšších rádov

Parciálne derivácie a funkcie f(X, r) sú samy osebe niektorými funkciami tých istých premenných a naopak môžu mať derivácie vzhľadom na rôzne premenné, ktoré sa nazývajú parciálne derivácie vyšších rádov.

Uvažujme funkciu dvoch premenných z=f(x, y) a jeho celkový prírastok v bode M 0 (x 0, y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Definícia. Ak existujú čísla P a Q tak, že celkový prírastok môže byť vyjadrený ako

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

kde a ε→ 0 pri Δρ→ 0 , potom výraz PΔx + QΔy sa nazýva celkový diferenciál funkcie z=f(x,y) v bode M0 (x0,y0).

V tomto prípade sa úplný prírastok funkcie skladá z dvoch častí: z prvej časti PΔx + QΔy je lineárny vzhľadom na Δx a Δy, druhý je nekonečne malý vyšší rád v porovnaní s .

Celkový diferenciál funkcie z=f(x,y) označené dz, t.j

dz = PΔx+QΔy.

Funkcia, ktorá má v danom bode totálny diferenciál, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná.

Veta. Ak u=f(M) v určitom bode rozlíšiteľné M0, potom je v ňom spojitá.

Komentujte. Spojitosť funkcie dvoch premenných neznamená jej diferencovateľnosť.

Príklad. nepretržitý v (0,0) , ale nemá parciálnu deriváciu – neexistuje. Podobne neexistuje žiadna čiastočná derivácia vzhľadom na r. Preto funkcia nie je diferencovateľná.

Veta [nevyhnutná podmienka diferencovateľnosti]. Ak z=f(x,y) v určitom bode rozlíšiteľné M0, potom má čiastočné deriváty vzhľadom na X a r a

f'x (x 0, y 0) = P, f'y (x 0, y 0) = Q.

Komentujte. Diferencovateľnosť nevyplýva z existencie parciálnych derivátov. Príklad:

Máme , ale funkcia nie je spojitá, preto nie je diferencovateľná.

Veta [dostatočná podmienka diferencovateľnosti]. Ak prvé parciálne derivácie funkcií z=f(x,y) sú definované v niektorom okolí bodu M0 (x0,y0) a nepretržité v bode M0, potom má daná funkcia v tomto bode totálny diferenciál.

Komentujte. Máme

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

kde ε→ 0 pri Δρ→ 0 . teda

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0, y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0, y 0) + f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y.

Tento vzorec sa používa pri približných výpočtoch.

Pri pevnom Δx a Δy celkový diferenciál je funkciou premenných X a r:

Položme dx=Δx, dy=Δy a nazývame tieto veličiny diferenciálmi nezávislých premenných.

Potom dostaneme vzorec

to znamená, že celkový diferenciál funkcie sa rovná súčtu súčinov prvých parciálnych derivácií a zodpovedajúcich diferenciálov argumentov.

Celkový diferenciál funkcie troch premenných je definovaný a vyjadrený podobne. Ak u=f(x, y, z) a sú tam čísla P, Q, R také že

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 pri δρ→ 0 ,

potom celkový diferenciál je výraz

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Ak sú prvé parciálne derivácie tejto funkcie spojité, potom

kde dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Definícia. Celkový diferenciál druhého rádu nejakej funkcie je celkovým diferenciálom jej celkového diferenciálu.

Ak z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, potom

Dotyková rovina a normála povrchu

Zvážte povrch S, daný rovnicou

z=f(x, y).

Nechať byť f(x, y) má v nejakej doméne parciálne deriváty. Zvážte M 0 (x 0, y 0).

- sklon dotyčnice v bode M0 na rez plochy rovinou y=y0, teda do čiary z=f(x,y 0). Dotyčnica k tejto čiare je:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Podobne aj rez rovinou x=x0 dáva rovnicu

z-z 0 = f′ y (x 0, y 0) (y-y 0), x=x 0.

Rovina obsahujúca obe tieto priamky má rovnicu

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0) + f′ y (x 0, y 0) (y-y 0)

a nazýva sa dotyková rovina k povrchu S v bode P 0 (x 0, y 0, z 0).

Všimnite si, že rovnicu dotyčnicovej roviny možno prepísať ako

z-z 0 = df.

Geometrický význam totálneho diferenciálu je teda: diferenciál v bode M0 pre prírastok (x-x 0, y-y 0) je prírastok aplikačného bodu dotykovej roviny k povrchu z=f(x,y) v bode (x0, y0) pre rovnaké prírastky.

Dotyková rovina má v bode normálový vektor (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0, y 0), f′ y (x 0, y 0), -1). Čiara prechádzajúca bodom P0 a majúci smerový vektor \vec(n), sa nazýva normála k povrchu z=f(x,y) v tomto bode. Jej rovnice sú: