Plne diferenciálna funkcia. Celkový diferenciál funkcie viacerých premenných Celkový diferenciál v bode

Ako vidíte, na nájdenie diferenciálu musíte deriváciu vynásobiť dx. To vám umožní okamžite zapísať zodpovedajúcu tabuľku pre diferenciály z tabuľky vzorcov pre deriváty.

Celkový diferenciál pre funkciu dvoch premenných:

Celkový diferenciál pre funkciu troch premenných sa rovná súčtu parciálnych diferenciálov: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definícia . Funkcia y=f(x) sa nazýva diferencovateľná v bode x 0, ak jej prírastok v tomto bode možno znázorniť ako ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, kde A je konštanta a α(∆ x) – nekonečne malé ako ∆x → 0.
Požiadavka, aby bola funkcia diferencovateľná v bode, je ekvivalentná existencii derivácie v tomto bode a A = f'(x 0).

Nech f(x) je diferencovateľné v bode x 0 a f "(x 0)≠0, potom ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, kde α= α(∆x) →0 v ∆x →0 Veličina ∆y a každý člen na pravej strane sú nekonečne malé veličiny pre ∆x→0. , to znamená, že α(∆x)∆x je infinitezimálom vyššieho rádu ako f’(x 0)∆x.
, teda ∆y~f’(x 0)∆x. V dôsledku toho f’(x 0)∆x predstavuje hlavnú a zároveň lineárnu časť ∆x prírastku ∆y (lineárnu, čo znamená, že obsahuje ∆x k prvej mocnine). Tento člen sa nazýva diferenciál funkcie y=f(x) v bode x 0 a označuje sa dy(x 0) alebo df(x 0). Takže pre ľubovoľné hodnoty x
dy=f′(x)∆x. (1)
Potom nastavte dx=∆x
dy=f'(x)dx. (2)

Príklad. Nájdite derivácie a diferenciály týchto funkcií.
a) y = 4 tan2 x
Riešenie:

rozdiel:
b)
Riešenie:

rozdiel:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Riešenie:

rozdiel:
G)
Riešenie:
=
rozdiel:

Príklad. Pre funkciu y=x 3 nájdite výraz pre ∆y a dy pre niektoré hodnoty x a ∆x.
Riešenie. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (vzali sme hlavnú lineárnu časť ∆y vo vzťahu k ∆x). V tomto prípade α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.

Definícia: Plne diferenciálna funkcia niekoľko premenných je súčtom všetkých jeho parciálnych diferenciálov:

Príklad 1: .

Riešenie:

Pretože parciálne derivácie tejto funkcie sa rovnajú:

Potom môžeme okamžite zapísať parciálne diferenciály týchto funkcií:

, ,

Potom bude úplný diferenciál funkcie vyzerať takto:

Príklad 2 Nájdite úplný diferenciál funkcie

Riešenie:

Táto funkcia je komplexná, t.j. môže byť reprezentovaný ako

Nájdenie parciálnych derivátov:

Úplný diferenciál:

Analytický význam celkového diferenciálu je taký, že celkový diferenciál funkcie viacerých premenných predstavuje hlavnú časť celkového prírastku tejto funkcie, to znamená, že existuje približná rovnosť: ∆z≈dz.

Treba si však uvedomiť, že tieto približné rovnosti platia len pre malé diferenciály dx a dy argumentov funkcie z=f(x,y).

Použitie celkového diferenciálu v približných výpočtoch je založené na použití vzorca ∆z≈dz.

Ak je totiž v tomto vzorci prírastok ∆z funkcie reprezentovaný v tvare a celkový diferenciál v tvare , potom dostaneme:

≈ ,

Výsledný vzorec možno použiť na približné nájdenie „novej“ hodnoty funkcie dvoch premenných, ktorú berie na dostatočne malé prírastky oboch svojich argumentov.

Príklad. Nájdite približnú hodnotu funkcie , s nasledujúcimi hodnotami jeho argumentov: 1.01, .

Riešenie.

Nahradením parciálnych derivácií funkcií, ktoré sme našli skôr vo vzorci, dostaneme:

Pri dosadení hodnôt x=1, ∆х=0,01, y=2, ∆у=0,02 dostaneme:

Skalárne pole.

Ak je v každom bode určitej oblasti priestoru D špecifikovaná funkcia U(p)=U(x,y,z), potom hovoria, že v oblasti D je špecifikované skalárne pole.

Ak napríklad U(x,y,z) označuje teplotu v bode M(x,y,z), potom hovoria, že je špecifikované skalárne teplotné pole. Ak je oblasť D naplnená kvapalinou alebo plynom a U(x,y,z) označuje tlak, potom existuje skalárne tlakové pole. Ak je daná poloha nábojov alebo masívnych telies v priestore, potom hovoríme o potenciálnom poli.

Skalárne pole je tzv stacionárny, ak sa funkcia U(x,y,z) časom nemení: U(x,y,z) ≠ f(t).

Každé stacionárne pole je charakterizované:

1) rovný povrch skalárneho poľa

2) rýchlosť zmeny poľa v danom smere.

Rovný povrch skalárne pole je geometrické miesto bodov, v ktorých funkcia U(x,y,z) nadobúda konštantnú hodnotu, teda U(x,y,z) = konšt. Zber týchto bodov tvorí určitý povrch. Ak vezmeme inú konštantu, dostaneme iný povrch.

Príklad: Nech je dané skalárne pole. Príkladom takéhoto poľa je pole elektrického potenciálu bodového elektrického náboja (+q). Tu budú rovné plochy ekvipotenciálnymi plochami , teda gule, v strede ktorých je náboj, ktorý vytvára pole.

Smer najväčšieho nárastu skalárnej funkcie je daný vektorom tzv gradient a je označené symbolom (alebo ).

Gradient funkcie sa nachádza prostredníctvom parciálnych derivácií tejto funkcie a je vždy kolmý na rovný povrch skalárneho poľa v danom bode:

, Kde

Jednotkové vektory pozdĺž osí OX, OY, OZ

Derivácia funkcie U(x,y,z) v akomkoľvek inom smere (λ) je určená vzorcom:

, Kde

α, β, γ sú uhly medzi súradnicovými osami OX, OY, OZ a smerom.

Každá čiastočná derivácia (podľa X a podľa r) funkcie dvoch premenných je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej pre pevnú hodnotu druhej premennej:

(Kde r= konštanta),

(Kde X= konštanta).

Preto sa parciálne deriváty počítajú pomocou vzorce a pravidlá na výpočet derivácií funkcií jednej premennej pri zohľadnení konštanty druhej premennej.

Ak nepotrebujete analýzu príkladov a minimálnu teóriu potrebnú na to, ale potrebujete len riešenie svojho problému, prejdite na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Ak je ťažké sústrediť sa na sledovanie toho, kde je konštanta vo funkcii, potom v koncepte riešenia príkladu môžete namiesto premennej s pevnou hodnotou nahradiť ľubovoľné číslo - potom môžete rýchlo vypočítať parciálnu deriváciu ako obyčajná derivácia funkcie jednej premennej. Musíte len pamätať na to, aby ste pri dokončovaní konečného návrhu vrátili konštantu (premennú s pevnou hodnotou) na jej miesto.

Vyššie opísaná vlastnosť parciálnych derivácií vyplýva z definície parciálnej derivácie, ktorá sa môže objaviť v skúšobných otázkach. Preto, aby ste sa oboznámili s definíciou uvedenou nižšie, môžete otvoriť teoretickú referenciu.

Koncept spojitosti funkcie z= f(X, r) v bode je definovaný podobne ako tento pojem pre funkciu jednej premennej.

Funkcia z = f(X, r) sa nazýva spojitý v bode, ak

Rozdiel (2) sa nazýva celkový prírastok funkcie z(získa sa ako výsledok prírastkov oboch argumentov).

Nech je funkcia daná z= f(X, r) a bod

Ak sa funkcia zmení z nastane, keď sa zmení iba jeden z argumentov, napr. X, s pevnou hodnotou iného argumentu r, potom funkcia dostane prírastok

nazývaný čiastočný prírastok funkcie f(X, r) Podľa X.

Zvažujeme zmenu funkcie z v závislosti od zmeny iba jedného z argumentov sa efektívne zmeníme na funkciu jednej premennej.

Ak existuje konečný limit

potom sa nazýva parciálna derivácia funkcie f(X, r) argumentom X a je označený jedným zo symbolov

(4)

Čiastočný prírastok sa určí podobne z Autor: r:

a čiastočná derivácia f(X, r) Podľa r:

(6)

Príklad 1

Riešenie. Nájdite čiastočnú deriváciu vzhľadom na premennú "x":

(r pevné);

Nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na premennú "y":

(X pevné).

Ako vidíte, nezáleží na tom, do akej miery je premenná pevná: v tomto prípade je to jednoducho určité číslo, ktoré je faktorom (ako v prípade obyčajnej derivácie) premennej, s ktorou nájdeme parciálnu deriváciu. . Ak sa pevná premenná nevynásobí premennou, s ktorou nájdeme parciálnu deriváciu, potom táto osamelá konštanta, bez ohľadu na to, do akej miery, ako v prípade obyčajnej derivácie, zaniká.

Príklad 2 Daná funkcia

Nájdite parciálne derivácie

(podľa X) a (podľa Y) a vypočítajte ich hodnoty v bode A (1; 2).

Riešenie. Pri pevnom r derivácia prvého člena sa nachádza ako derivácia mocninovej funkcie ( tabuľka derivačných funkcií jednej premennej):

Pri pevnom X derivácia prvého člena sa nachádza ako derivácia exponenciálnej funkcie a druhá ako derivácia konštanty:

Teraz vypočítajme hodnoty týchto parciálnych derivácií v bode A (1; 2):

Riešenie problémov s čiastočnými deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Príklad 3 Nájdite parciálne derivácie funkcie

Riešenie. V jednom kroku nájdeme

(r X, ako keby argument sínus bol 5 X: rovnakým spôsobom sa pred znakom funkcie zobrazí 5);

(X je pevná a je v tomto prípade násobiteľom pri r).

Riešenie problémov s čiastočnými deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Parciálne derivácie funkcie troch alebo viacerých premenných sú definované podobne.

Ak každá sada hodnôt ( X; r; ...; t) nezávislé premenné z množiny D zodpovedá jednej konkrétnej hodnote u od mnohých E, To u nazývaná funkcia premenných X, r, ..., t a označujú u= f(X, r, ..., t).

Pre funkcie troch alebo viacerých premenných neexistuje žiadna geometrická interpretácia.

Parciálne derivácie funkcie viacerých premenných sú tiež určené a vypočítané za predpokladu, že iba jedna z nezávislých premenných sa mení, zatiaľ čo ostatné sú fixné.

Príklad 4. Nájdite parciálne derivácie funkcie

Riešenie. r A z opravené:

X A z opravené:

X A r opravené:

Nájdite parciálne deriváty sami a potom sa pozrite na riešenia

Príklad 5.

Príklad 6. Nájdite parciálne derivácie funkcie.

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných má to isté mechanický význam je rovnaký ako derivácia funkcie jednej premennej, je rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na zmenu jedného z argumentov.

Príklad 8. Kvantitatívna hodnota prietoku Pželezničných cestujúcich možno vyjadriť funkciou

Kde P- počet cestujúcich, N– počet obyvateľov korešpondenčných miest, R- vzdialenosť medzi bodmi.

Parciálna derivácia funkcie P Autor: R, rovná

ukazuje, že pokles toku cestujúcich je nepriamo úmerný druhej mocnine vzdialenosti medzi zodpovedajúcimi bodmi s rovnakým počtom obyvateľov v bodoch.

Čiastočná derivácia P Autor: N, rovná

ukazuje, že nárast toku cestujúcich je úmerný dvojnásobnému počtu obyvateľov osád v rovnakej vzdialenosti medzi bodmi.

Riešenie problémov s čiastočnými deriváciami si môžete skontrolovať na online kalkulačka parciálnych derivácií .

Úplný diferenciál

Súčin parciálnej derivácie a prírastku príslušnej nezávislej premennej sa nazýva parciálny diferenciál. Čiastočné rozdiely sú označené takto:

Súčet parciálnych diferenciálov pre všetky nezávislé premenné dáva celkový diferenciál. Pre funkciu dvoch nezávislých premenných je celkový diferenciál vyjadrený rovnosťou

(7)

Príklad 9. Nájdite úplný diferenciál funkcie

Riešenie. Výsledok použitia vzorca (7):

O funkcii, ktorá má totálny diferenciál v každom bode určitej oblasti, sa hovorí, že je v tejto oblasti diferencovateľná.

Nájdite celkový diferenciál sami a potom sa pozrite na riešenie

Rovnako ako v prípade funkcie jednej premennej, diferencovateľnosť funkcie v určitom obore implikuje jej kontinuitu v tomto obore, ale nie naopak.

Formulujme bez dôkazu dostatočnú podmienku diferencovateľnosti funkcie.

Veta. Ak je funkcia z= f(X, r) má spojité parciálne derivácie

v danom regióne, potom je v tomto regióne diferencovateľný a jeho diferenciál je vyjadrený vzorcom (7).

Dá sa ukázať, že tak ako v prípade funkcie jednej premennej je diferenciál funkcie hlavnou lineárnou časťou prírastku funkcie, tak aj v prípade funkcie viacerých premenných je celkový diferenciál hlavná, lineárna vzhľadom na prírastky nezávisle premenných, časť celkového prírastku funkcie.

Pre funkciu dvoch premenných má celkový prírastok funkcie tvar

(8)

kde α a β sú nekonečne malé pri a .

Parciálne deriváty vyššieho rádu

Parciálne derivácie a funkcie f(X, r) samotné sú niektorými funkciami tých istých premenných a naopak môžu mať derivácie vzhľadom na rôzne premenné, ktoré sa nazývajú parciálne derivácie vyšších rádov.

Uvažujme funkciu dvoch premenných z=f(x, y) a jeho celkový prírastok v bode M 0 (x 0, y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0, y 0).

Definícia. Ak existujú čísla P A Q tak, že celkový prírastok môže byť reprezentovaný ako

Δz = PΔx + QΔ y + ε Δρ,

kde a ε→ 0 pri Δρ→ 0 , potom výraz PΔ x + QΔ y sa nazýva celkový diferenciál funkcie z=f(x,y) v bode M 0 (x 0, y 0).

V tomto prípade sa úplný prírastok funkcie skladá z dvoch častí: z prvej časti PΔ x + QΔ y je lineárny vzhľadom na Δ x A Δy, druhý je nekonečne malý vyššieho rádu v porovnaní s .

Plne diferenciálna funkcia z=f(x,y) označené dz, teda

dz = PΔ x+QΔ y.

O funkcii, ktorá má v danom bode totálny diferenciál, sa hovorí, že je v tomto bode diferencovateľná.

Veta. Ak u=f(M) v bode rozlíšiteľné M0, potom je v ňom spojitá.

Komentujte. Spojitosť funkcie dvoch premenných neznamená jej diferencovateľnosť.

Príklad. nepretržitý v (0,0) , ale nemá čiastočnú deriváciu - neexistuje. Podobne neexistuje žiadna čiastočná derivácia vzhľadom na r. Preto funkcia nie je diferencovateľná.

Veta [nevyhnutná podmienka diferencovateľnosti]. Ak z=f(x,y) v bode rozlíšiteľné M0, potom v tomto bode má parciálne deriváty vzhľadom na X A r, a

f'x (x 0, y 0) = P, f'y (x 0, y 0) = Q.

Komentujte. Diferencovateľnosť nevyplýva z existencie parciálnych derivátov. Príklad:

Máme , ale funkcia nie je spojitá, preto nie je diferencovateľná.

Veta [dostatočná podmienka diferencovateľnosti]. Ak prvé parciálne derivácie funkcie z=f(x,y) definované v niektorom okolí bodu M 0 (x 0, y 0) a sú súvislé v samotnom bode M0, potom má táto funkcia v tomto bode totálny diferenciál.

Komentujte. Máme

Δ z = f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

Kde ε→ 0 pri Δρ→ 0 . teda

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0, y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0, y 0) + f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y.

Tento vzorec sa používa pri približných výpočtoch.

Pri pevnom Δ x A Δy celkový diferenciál je funkciou premenných X A r:

Položme dx=Δx, dy=Δy a nazvime tieto veličiny diferenciály nezávislých premenných.

Potom dostaneme vzorec

to znamená, že celkový diferenciál funkcie sa rovná súčtu súčinov prvých parciálnych derivácií a zodpovedajúcich diferenciálov argumentov.

Celkový diferenciál funkcie troch premenných je definovaný a vyjadrený podobne. Ak u=f(x, y, z) a sú tam čísla P, Q, R také že

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 pri δρ→ 0 ,

potom celkový diferenciál je výraz

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Ak sú prvé parciálne derivácie tejto funkcie spojité, potom

Kde dx=Δx, dz=Δ z, dz=Δ z.

Definícia. Celkový diferenciál funkcie druhého rádu je celkovým diferenciálom jej celkového diferenciálu.

Ak z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, To

Dotyková rovina a normála povrchu

Zvážte povrch S, daný rovnicou

z=f(x, y).

Nechaj f(x, y) má v niektorom regióne parciálne deriváty. Uvažujme M 0 (x 0, y 0).

- uhlový koeficient dotyčnice v bode M0 na rez plochy rovinou y=y 0, teda do čiary z=f(x,y 0). Dotyčnica k tejto priamke má tvar:

z-z 0 = f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Podobne rovinný rez x = x 0 dáva rovnicu

z-z 0 = f′ y (x 0, y 0) (y-y 0), x=x 0.

Rovina obsahujúca obe tieto priamky má rovnicu

z-z 0 = f′ x (x 0, y 0) (x-x 0) + f′ y (x 0, y 0) (y-y 0)

a nazýva sa dotyková rovina k povrchu S v bode P 0 (x 0, y 0, z 0).

Všimnite si, že rovnicu dotyčnicovej roviny možno prepísať ako

z-z 0 = df.

Geometrický význam totálneho diferenciálu je teda: diferenciál v bode M0 pre prírastok (x-x 0, y-y 0) je prírastok aplikačného bodu dotykovej roviny k povrchu z=f(x,y) v bode (x 0, y 0) pre rovnaké prírastky.

Dotyková rovina má v bode normálový vektor (x 0, y 0, z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0, y 0), f′ y (x 0, y 0), -1). Čiara prechádzajúca bodom P0 a majúci smerový vektor \vec(n), sa nazýva normála povrchu z=f(x,y) v tomto bode. Jej rovnice sú: