Parametrická rovnica priamky. Parametrická rovnica priamky v priestore

Tento odsek si určite prečítajte! Parametrické rovnice, samozrejme, nie sú alfou a omegou priestorovej geometrie, ale pracovným mravcom mnohých problémov. Navyše, tento typ rovníc sa často aplikuje nečakane a povedal by som, že elegantne.

Ak je známy bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom sú parametrické rovnice tejto priamky dané systémom:

O samotnom koncepte parametrických rovníc som hovoril na hodinách Rovnica priamky na rovine a Derivácia parametricky definovanej funkcie.

Všetko je jednoduchšie ako dusená repa, takže úlohu musíte okoreniť:

Príklad 7

rozhodnutie: Priamky sú dané kanonickými rovnicami a v prvej fáze treba nájsť nejaký bod patriaci priamke a jej smerový vektor.

a) Odstráňte bod a smerový vektor z rovníc: . Môžete si vybrať iný bod (ako to urobiť je popísané vyššie), ale je lepšie vziať ten najzrejmejší. Mimochodom, aby ste sa vyhli chybám, vždy dosaďte do rovníc jeho súradnice.

Zostavme parametrické rovnice tejto priamky:

Výhodou parametrických rovníc je, že s ich pomocou je veľmi ľahké nájsť ďalšie body priamky. Nájdime napríklad bod, ktorého súradnice povedzme zodpovedajú hodnote parametra:

takto:

b) Zvážte kanonické rovnice. Výber bodu je tu jednoduchý, no zákerný: (pozor, nepomýliť si súradnice!!!). Ako vytiahnuť vodiaci vektor? Môžete polemizovať, s čím je táto priamka rovnobežná, alebo môžete použiť jednoduchý formálny trik: pomer je „y“ a „z“, takže napíšeme smerový vektor , a do zvyšného priestoru vložíme nulu: .

Zostavíme parametrické rovnice priamky:

c) Prepíšme rovnice v tvare , čiže „Z“ môže byť čokoľvek. A ak nejaké, tak nech napr. Bod teda patrí do tejto línie. Na nájdenie smerového vektora používame nasledujúcu formálnu techniku: v počiatočných rovniciach sú "x" a "y" a do smerového vektora na týchto miestach píšeme nuly: . Na zostávajúce miesto položíme jednotka: . Namiesto jednotky bude stačiť akékoľvek číslo okrem nuly.

Napíšeme parametrické rovnice priamky:

Na školenie:

Príklad 8

Napíšte parametrické rovnice pre nasledujúce riadky:

Riešenia a odpovede na konci hodiny. Vaše odpovede sa môžu mierne líšiť od mojich, faktom je, že parametrické rovnice je možné písať viacerými spôsobmi. Je dôležité, aby váš a môj smerový vektor boli kolineárne a aby váš bod „sedel“ s mojimi rovnicami (dobre, alebo naopak, môj bod s vašimi rovnicami).

Ako inak môžete definovať priamku v priestore? Chcel by som vymyslieť niečo s normálnym vektorom. Číslo však nebude fungovať, pre medzerník môžu normálne vektory vyzerať úplne inými smermi.

Iná metóda už bola spomenutá v lekcii Rovinná rovnica a na začiatku tohto článku.

V tomto článku sa budeme zaoberať parametrickou rovnicou priamky v rovine. Uveďme príklady zostrojenia parametrickej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a smerový vektor tejto priamky. Uveďme metódy na transformáciu rovnice v parametrickom tvare do kanonických a všeobecných foriem.

Parametrická rovnica priamky L na rovine je reprezentovaný nasledujúcim vzorcom:

kde X 1 , r 1 súradnice nejakého bodu M 1 na priamke L. Vektor q={m, p) je smerový vektor čiary L, t je nejaký parameter.

Všimnite si, že pri písaní rovnice priamky v parametrickom tvare by smerový vektor priamky nemal byť nulový vektor, t.j. aspoň jedna súradnica smerového vektora. q sa musí líšiť od nuly.

Na zostrojenie priamky na rovine v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme danom parametrickou rovnicou (1) stačí nastaviť parameter t dve rôzne hodnoty, vypočítajte X a r a nakreslite priamku cez tieto body. o t=0 máme bod M 1 (X 1 , r 1) pri t= 1, získame bod M 2 (X 1 +m, r 1 +p).

Zostaviť parametrickú rovnicu priamky v rovine L stačí mať bod na čiare L a smerový vektor úsečky, alebo dva body patriace úsečke L. V prvom prípade, ak chcete zostrojiť parametrickú rovnicu priamky, musíte do rovnice (1) vložiť súradnice bodu a smerový vektor. V druhom prípade musíte najskôr nájsť smerový vektor čiary q={m, p), výpočet rozdielov zodpovedajúcich súradníc bodov M 1 a M 2: m=X 2 −X 1 , p=r 2 −r 1 (obr. 1). Ďalej, podobne ako v prvom prípade, dosaďte súradnice jedného z bodov (nezáleží na tom, ktorý) a smerový vektor q priamka v (1).

Príklad 1. Priamka prechádza bodom M=(3,−1) a má smerový vektor q= (-3, 5). Zostrojte parametrickú rovnicu priamky.

rozhodnutie. Na zostavenie parametrickej rovnice priamky dosadíme súradnice bodu a smerového vektora do rovnice (1):

Zjednodušme výslednú rovnicu:

Z výrazov (3) môžeme napísať kanonickú rovnicu priamky na rovine:

Preveďte túto rovnicu priamky do kanonickej podoby.

Riešenie: Vyjadrite parameter t cez premenné X a r:

(5)

Z výrazov (5) môžeme písať.

UHOL MEDZI ROVINAMI

Uvažujme dve roviny α 1 a α 2 dané rovnicami:

Pod uhol medzi dvoma rovinami máme na mysli jeden z uhlov dvojsteny, ktoré tieto roviny zvierajú. Je zrejmé, že uhol medzi normálovými vektormi a rovinami α 1 a α 2 sa rovná jednému z naznačených susedných dihedrických uhlov resp. . Takže . Pretože a , potom

.

Príklad. Určte uhol medzi rovinami X+2r-3z+4 = 0 a 2 X+3r+z+8=0.

Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín.

Dve roviny α 1 a α 2 sú rovnobežné práve vtedy, ak ich normálové vektory a sú rovnobežné, a teda .

Takže dve roviny sú navzájom rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach úmerné:

alebo

Podmienka kolmosti rovín.

Je jasné, že dve roviny sú kolmé práve vtedy, ak sú ich normálové vektory kolmé, a teda alebo .

Teda, .

Príklady.

PRIAMO V PRIESTORU.

VEKTOROVÁ ROVNICE PRIAMA.

PARAMETRICKÉ ROVNICE PRIAME

Poloha priamky v priestore je úplne určená určením ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.

Vektor rovnobežný s priamkou sa nazýva vedenie vektor tejto čiary.

Tak nech rovno l prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1) ležiace na priamke rovnobežnej s vektorom .

Zvážte svojvoľný bod M(x,y,z) na priamke. Z obrázku je vidieť, že .

Vektory a sú kolineárne, takže existuje také číslo t, čo , kde je násobiteľ t môže nadobudnúť akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t sa nazýva parameter. Označenie vektorov polomerov bodov M 1 a M respektíve prostredníctvom a , získame . Táto rovnica sa nazýva vektor priamka rovnica. Ukazuje, že hodnota každého parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M ležiace na priamke.

Túto rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare. Všimni si , a odtiaľto

Výsledné rovnice sú tzv parametrické priamkové rovnice.

Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r a z a bodka M sa pohybuje v priamom smere.

KANONICKÉ ROVNICE PRIAME

Nechať byť M 1 (X 1 , r 1 , z 1) - bod ležiaci na priamke l a je jeho smerový vektor. Opäť vezmite ľubovoľný bod na priamke M(x,y,z) a zvážte vektor .

Je jasné, že vektory a sú kolineárne, takže ich príslušné súradnice musia byť proporcionálne

– kanonický priamkové rovnice.

Poznámka 1. Všimnite si, že kanonické rovnice priamky možno získať z parametrických rovníc odstránením parametra t. V skutočnosti z parametrických rovníc, ktoré získame alebo .

Príklad. Napíšte rovnicu priamky parametrickým spôsobom.

Označiť , teda X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.

Poznámka 2. Nech je čiara kolmá na jednu zo súradnicových osí, napríklad na os Vôl. Potom je smerový vektor priamky kolmý Vôl, teda, m=0. V dôsledku toho nadobúdajú tvar parametrické rovnice priamky

Vylúčenie parametra z rovníc t, dostaneme rovnice priamky v tvare

Aj v tomto prípade však súhlasíme s formálnym zápisom kanonických rovníc priamky do formulára . Ak je teda menovateľ jedného zo zlomkov nula, znamená to, že čiara je kolmá na príslušnú súradnicovú os.

Podobne aj kanonické rovnice zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl a Oj alebo rovnobežná os Oz.

Príklady.

VŠEOBECNÉ ROVNICE PRIAMA ČIARA AKO PRIESTOROVÁ ČIARA DVOCH ROVINEK

Cez každú priamku v priestore prechádza nekonečný počet rovín. Akékoľvek dva z nich, ktoré sa pretínajú, ho definujú v priestore. Preto rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spolu, sú rovnicami tejto priamky.

Vo všeobecnosti akékoľvek dve nerovnobežné roviny dané všeobecnými rovnicami

určiť ich priesečník. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.

Príklady.

Zostrojte priamku danú rovnicami

Na zostrojenie priamky stačí nájsť dva ľubovoľné jej body. Najjednoduchším spôsobom je vybrať priesečníky úsečky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky za predpokladu z= 0:

Pri riešení tohto systému nachádzame pointu M 1 (1;2;0).

Podobne za predpokladu r= 0, dostaneme priesečník priamky s rovinou xOz:

Od všeobecných rovníc priamky možno prejsť k jej kanonickým alebo parametrickým rovniciam. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerový vektor priamky.

Súradnice bodu M 1 získame z tejto sústavy rovníc, pričom jednej zo súradníc priradíme ľubovoľnú hodnotu. Ak chcete nájsť smerový vektor, všimnite si, že tento vektor musí byť kolmý na oba normálové vektory a . Preto pre smerový vektor priamky l môžete vziať krížový súčin normálnych vektorov:

.

Príklad. Uveďte všeobecné rovnice priamky na kánonickú formu.

Nájdite bod na priamke. Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľne jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:

Normálne vektory rovín definujúcich priamku majú súradnice Preto bude smerový vektor rovný

. teda l: .

UHOL MEDZI PRÁVAMI

rohu medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvomi priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore dané dve rovné čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi čiarami možno považovať za uhol medzi ich smerovými vektormi a . Vzhľadom k tomu, potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Jednou z podpoložiek témy „Rovnica priamky na rovine“ je problematika zostavovania parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Nasledujúci článok pojednáva o princípe zostavovania takýchto rovníc pre určité známe údaje. Ukážme si, ako prejsť od parametrických rovníc k rovniciam iného tvaru; Poďme analyzovať riešenie typických problémov.

Konkrétnu čiaru je možné definovať zadaním bodu, ktorý k danej čiare patrí, a smerového vektora čiary.

Predpokladajme, že máme obdĺžnikový súradnicový systém O x y . A je daná aj priamka a označujúca na nej ležiaci bod M 1 (x 1, y 1) a smerový vektor danej priamky. a → = (a x, a y) . Uvádzame popis danej priamky a pomocou rovníc.

Použijeme ľubovoľný bod M (x, y) a získame vektor M1M ->; vypočítajte jeho súradnice zo súradníc začiatočného a koncového bodu: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Popíšme výsledok: priamka je daná množinou bodov M (x, y), prechádza bodom M 1 (x 1, y 1) a má smerový vektor. a → = (a x, a y) . Uvedená množina definuje priamku iba vtedy, keď vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) sú kolineárne.

Existuje nevyhnutná a postačujúca podmienka kolinearity vektorov, ktorú v tomto prípade pre vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) môžeme zapísať ako rovnica:

M 1 M → = λ · a → , kde λ je nejaké reálne číslo.

Definícia 1

Rovnica M 1 M → = λ · a → sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.

V súradnicovom tvare to vyzerá takto:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Rovnice výslednej sústavy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sa nazývajú parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave. Podstata názvu je nasledovná: súradnice všetkých bodov priamky je možné určiť parametrickými rovnicami v rovine tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ pri iterácii cez všetky reálne hodnoty ​parametra λ

Podľa vyššie uvedeného parametrické rovnice priamky v rovine x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ určujú priamku, ktorá je daná v pravouhlom súradnicovom systéme, prechádza cez bod M 1 (x 1, y 1) a má vodiaci vektor a → = (a x, a y) . Ak sú teda uvedené súradnice určitého bodu priamky a súradnice jej smerového vektora, potom je možné okamžite zapísať parametrické rovnice danej priamky.

Príklad 1

Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme, ak je daný k nej patriaci bod M 1 (2, 3) a jej smerový vektor. a → = (3, 1) .

rozhodnutie

Na základe počiatočných údajov dostaneme: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrické rovnice budú vyzerať takto:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Ukážme si to jasne:

Odpoveď: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Treba poznamenať: ak vektor a → = (a x , a y) slúži ako smerový vektor priamky a a do tejto priamky patria body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), potom ju možno určiť nastavením parametrických rovníc tvaru : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , ako aj túto možnosť: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Napríklad dostaneme smerový vektor priamky a → \u003d (2, - 1), ako aj body M 1 (1, - 2) a M 2 (3, - 3) patriace do tejto čiary. Potom je priamka určená parametrickými rovnicami: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ alebo x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Pozor si treba dať aj na nasledujúcu skutočnosť: ak a → = (a x, a y) je smerový vektor priamky a , potom ktorýkoľvek z vektorov bude tiež jeho smerovým vektorom μ a → = (μ a x, μ a y), kde μ ϵ R, μ ≠ 0 .

Teda priamku a v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme možno definovať parametrickými rovnicami: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pre akúkoľvek hodnotu μ, ktorá je odlišná od nuly.

Predpokladajme, že priamka a je daná parametrickými rovnicami x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Potom a → = (2 , - 5) - smerový vektor tejto čiary. A tiež ktorýkoľvek z vektorov μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 sa stane smerovým vektorom pre danú priamku. Pre názornosť uvažujme konkrétny vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , zodpovedá hodnote μ = - 2 . V tomto prípade možno danú priamku určiť aj parametrickými rovnicami x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Prechod z parametrických rovníc priamky na rovine k iným rovniciach danej priamky a naopak

Pri riešení niektorých problémov nie je použitie parametrických rovníc najoptimálnejšou možnosťou, potom je potrebné preložiť parametrické rovnice priamky na rovnice priamky iného typu. Pozrime sa, ako na to.

Parametrické rovnice priamky x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ budú zodpovedať kanonickej rovnici priamky v rovine x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Každú z parametrických rovníc vyriešime vzhľadom na parameter λ, prirovnáme pravé časti získaných rovníc a získame kanonickú rovnicu danej priamky:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

V tomto prípade by nemalo byť trápne, ak sa x alebo a y budú rovnať nule.

Príklad 2

Je potrebné vykonať prechod z parametrických rovníc priamky x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanonickú rovnicu.

rozhodnutie

Uvedené parametrické rovnice zapíšeme v tomto tvare: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Parameter λ vyjadríme v každej z rovníc: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Vyrovnáme správne časti sústavy rovníc a získame požadovanú kanonickú rovnicu priamky v rovine:

x - 30 = y + 2 - 4

odpoveď: x - 30 = y + 2 - 4

V prípade, že je potrebné zapísať rovnicu priamky tvaru A x + B y + C = 0 , pričom sú dané parametrické rovnice priamky v rovine, je potrebné najskôr vyhotoviť prechod na kanonickú rovnicu a potom na všeobecnú rovnicu priamky. Zapíšme si celú postupnosť akcií:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 3

Všeobecnú rovnicu priamky je potrebné zapísať, ak sú dané parametrické rovnice, ktoré ju definujú: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

rozhodnutie

Najprv urobme prechod na kanonickú rovnicu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Výsledný podiel je zhodný s rovnosťou - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorme zátvorky a získajme všeobecnú rovnicu priamky: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Odpoveď: 3x + 2 roky + 3 = 0

Podľa vyššie uvedenej logiky činností, aby sa získala rovnica priamky so sklonom, rovnica priamky v segmentoch alebo normálna rovnica priamky, je potrebné získať všeobecnú rovnicu priamky. a z nej vykonať ďalší prechod.

Teraz zvážte opačnú akciu: písanie parametrických rovníc priamky pre iný daný tvar rovníc tejto priamky.

Najjednoduchší prechod: od kanonickej rovnice k parametrickým. Nech je daná kanonická rovnica tvaru: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Každý zo vzťahov tejto rovnosti považujeme za rovný parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Vyriešme výsledné rovnice pre premenné x a y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Príklad 4

Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať, ak je známa kanonická rovnica priamky v rovine: x - 2 5 = y - 2 2

rozhodnutie

Prirovnajme časti známej rovnice k parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Zo získanej rovnosti získame parametrické rovnice priamky: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Odpoveď: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Keď je potrebné z danej všeobecnej rovnice priamky, rovnice priamky so sklonom alebo rovnice priamky v segmentoch prejsť na parametrické rovnice, je potrebné uviesť pôvodnú rovnicu do kanonickú a potom vykonajte prechod na parametrické rovnice.

Príklad 5

Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať známou všeobecnou rovnicou tejto priamky: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

rozhodnutie

Danú všeobecnú rovnicu transformujeme na rovnicu kanonického tvaru:

4 x - 3 r - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 r + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 r + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Obe časti rovnosti prirovnáme k parametru λ a získame požadované parametrické rovnice priamky:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

odpoveď: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Príklady a úlohy s parametrickými rovnicami priamky v rovine

Uvažujme o najbežnejších typoch problémov pomocou parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme.

1. V úlohách prvého typu sú uvedené súradnice bodov, či už patria alebo nepatria k priamke opísanej parametrickými rovnicami.

Riešenie takýchto úloh je založené na nasledujúcej skutočnosti: čísla (x, y) určené z parametrických rovníc x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pre nejakú reálnu hodnotu λ sú súradnice a bod patriaci do priamky, ktorý je popísaný týmito parametrickými rovnicami.

Príklad 6

Je potrebné určiť súradnice bodu, ktorý leží na priamke danej parametrickými rovnicami x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pre λ = 3 .

rozhodnutie

Známu hodnotu λ = 3 dosadíme do daných parametrických rovníc a vypočítame požadované súradnice: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

odpoveď: 1 1 2 , 5

Možný je aj nasledujúci problém: nech je daný nejaký bod M 0 (x 0, y 0) na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme a je potrebné určiť, či tento bod patrí do priamky opísanej parametrickými rovnicami x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ.

Na vyriešenie takéhoto problému je potrebné dosadiť súradnice daného bodu do známych parametrických rovníc priamky. Ak sa zistí, že je možná taká hodnota parametra λ = λ 0, v ktorej platia obe parametrické rovnice, potom daný bod patrí danej priamke.

Príklad 7

Uvedené sú body M 0 (4, - 2) a N 0 (- 2, 1). Je potrebné určiť, či patria do priamky definovanej parametrickými rovnicami x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

rozhodnutie

Súradnice bodu M 0 (4, - 2) dosadíme do daných parametrických rovníc:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Dospejeme k záveru, že bod M 0 patrí danej priamke, pretože zodpovedá hodnote λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Je zrejmé, že neexistuje taký parameter λ, ktorému bude zodpovedať bod N 0. Inými slovami, daná čiara neprechádza bodom N 0 (- 2 , 1) .

odpoveď: bod M 0 patrí danej priamke; bod N 0 nepatrí do danej priamky.

1. V úlohách druhého typu sa vyžaduje zostavenie parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Najjednoduchší príklad takéhoto problému (so známymi súradnicami bodu priamky a smerového vektora) sme uvažovali vyššie. Teraz sa pozrime na príklady, v ktorých musíte najskôr nájsť súradnice smerového vektora a potom zapísať parametrické rovnice.

Bod M 1 1 2 , 2 3 je daný. Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom a rovnobežnej priamky x 2 \u003d y - 3 - 1.

rozhodnutie

Podľa stavu problému je priamka, ktorej rovnicu musíme predbehnúť, rovnobežná s priamkou x 2 \u003d y - 3 - 1. Potom ako smerový vektor priamky prechádzajúcej daným bodom je možné použiť smerovací vektor priamky x 2 = y - 3 - 1, ktorý zapíšeme v tvare: a → = (2, - 1). Teraz sú známe všetky potrebné údaje na zostavenie požadovaných parametrických rovníc:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

odpoveď: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.

Príklad 9

Bod M 1 (0, - 7) je daný. Je potrebné napísať parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom kolmo na priamku 3 x – 2 y – 5 = 0 .

rozhodnutie

Ako smerový vektor priamky, ktorej rovnicu treba zostaviť, je možné vziať normálový vektor priamky 3 x - 2 y - 5 = 0 . Jeho súradnice sú (3 , - 2) . Napíšeme požadované parametrické rovnice priamky:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

odpoveď: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. V úlohách tretieho typu sa vyžaduje prechod od parametrických rovníc danej priamky k iným typom rovníc, ktoré ju určujú. Riešenie takýchto príkladov sme zvážili vyššie, dáme ešte jeden.

Daná je priamka na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom parametrickými rovnicami x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Je potrebné nájsť súradnice nejakého normálového vektora tejto priamky.

rozhodnutie

Aby sme určili požadované súradnice normálneho vektora, prejdeme z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficienty premenných x a y nám dávajú požadované súradnice normálového vektora. Normálový vektor priamky x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ má teda súradnice 1 , 3 4 .

odpoveď: 1 , 3 4 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nechať byť l- nejaká línia priestoru. Rovnako ako v planimetrii, akýkoľvek vektor

a =/= 0, kolineárna priamka l, sa volá vodiaci vektor túto priamku.

Poloha priamky v priestore je úplne určená určením smerového vektora a bodu prislúchajúceho k priamke.

Nechajte linku l s vodiacim vektorom a prechádza bodom M 0 a M je ľubovoľný bod v priestore. Je zrejmé, že bod M (obr. 197) patrí priamke l vtedy a len vtedy, ak je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolineárny s vektorom a , t.j.

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)

Ak sú body M a M 0 dané ich vektormi polomerov r a r 0 (obr. 198) vzhľadom na nejaký bod O priestoru, potom \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 a rovnica (1) má tvar

r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)

Nazývajú sa rovnice (1) a (2). vektorovo-parametrické rovnice priamky. Variabilné t vo vektorovo-parametrických rovniciach sa nazýva priamka parameter.

Nech bod M 0 je priamka l a smerový vektor a sú dané ich súradnicami:

M 0 ( X 0 ; pri 0 , z 0), a = (a 1 ; a 2 ; a 3).

Potom ak ( X; y; z) - súradnice ľubovoľného bodu M priamky l, potom

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; u - u 0 ; z - z 0)

a vektorová rovnica (1) je ekvivalentná nasledujúcim trom rovniciam:

x - x 0 = ta 1 , u - u 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \začiatok(prípady) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\v R\koniec (prípady) (3)$$

Rovnice (3) sa nazývajú parametrické rovnice priamky vo vesmíre.

Úloha 1. Napíšte parametrické rovnice priamky prechádzajúcej bodom

M 0 (-3; 2; 4) a majúci smerový vektor a = (2; -5; 3).

V tomto prípade X 0 = -3, pri 0 = 2, z 0 = 4; a 1 = 2; a 2 = -5; a 3 = 3. Nahradením týchto hodnôt do vzorcov (3) získame parametrické rovnice tejto priamky

$$ \začiatok(prípady) x = -3 - 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = 4 + 3 t, ​​\;\;t\v R\koniec (prípady) $$

Vylúčte parameter t z rovníc (3). To sa dá urobiť, pretože a =/= 0, a teda jedna zo súradníc vektora a očividne odlišné od nuly.

Najprv nech sú všetky súradnice odlišné od nuly. Potom

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

a preto

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4) $$

Tieto rovnice sa nazývajú kanonické rovnice priamky .

Všimnite si, že rovnice (4) tvoria systém dvoch rovníc s tromi premennými x, y a z.

Ak je v rovniciach (3) jedna zo súradníc vektora a , Napríklad a 1 sa rovná nule, teda bez parametra t, opäť dostaneme sústavu dvoch rovníc s tromi premennými x, y a z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Tieto rovnice sa tiež nazývajú kanonické rovnice priamky. Pre jednotnosť sa podmienečne píšu aj v tvare (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

ak vezmeme do úvahy, že ak sa menovateľ rovná nule, potom sa zodpovedajúci čitateľ rovná nule. Tieto rovnice sú rovnice priamky prechádzajúcej bodom M 0 ( X 0 ; pri 0 , z 0) rovnobežne s rovinou súradníc yOz, pretože táto rovina je rovnobežná s jej smerovým vektorom (0; a 2 ; a 3).

Nakoniec, ak v rovniciach (3) dve súradnice vektora a , Napríklad a 1 a a 2 sa rovnajú nule, potom tieto rovnice nadobudnú tvar

X = X 0 , r = pri 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.

Sú to rovnice priamky prechádzajúcej bodom M 0 ( X 0 ; pri 0 ; z 0) rovnobežne s osou Oz. Za taký priamy X = X 0 , r = pri 0, a z- ľubovoľné číslo. A v tomto prípade, kvôli jednotnosti, môžu byť rovnice priamky napísané (s rovnakou výhradou) vo forme (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Pre ktorúkoľvek čiaru v priestore je teda možné napísať kanonické rovnice (4), a naopak, akúkoľvek rovnicu tvaru (4) za predpokladu, že aspoň jeden z koeficientov a 1 , a 2 , a 3 sa nerovná nule, vymedzuje nejaký riadok priestoru.

Úloha 2. Napíšte kanonické rovnice priamky prechádzajúcej bodom M 0 (- 1; 1, 7) rovnobežným s vektorom a = (1; 2; 3).

Rovnice (4) sú v tomto prípade napísané takto:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Odvoďme rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body M 1 ( X 1 ; pri 1 ; z 1) a

M2( X 2 ; pri 2 ; z 2). Je zrejmé, že smerový vektor tejto priamky možno považovať za vektor a = (X 2 - X 1 ; pri 2 - pri 1 ; z 2 - z 1), ale za bodom M 0, ktorým priamka prechádza, napríklad bodom M 1 . Potom rovnice (4) budú napísané takto:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Toto sú rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body M 1 ( X 1 ; pri 1 ; z 1) a

M2( X 2 ; pri 2 ;z 2).

Úloha 3. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (-4; 1; -3) a M 2 (-5; 0; 3).

V tomto prípade X 1 = -4, pri 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, pri 2 = 0, z 2 = 3. Nahradením týchto hodnôt do vzorcov (5) dostaneme

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Úloha 4. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (3; -2; 1) a

M2 (5; -2; 1/2).

Po dosadení súradníc bodov M 1 a M 2 do rovníc (5) dostaneme

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)