Definícia susedného. Priľahlé a vertikálne uhly

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia presná veda, ktorá sa povinne študuje na školách, vysokých školách, ústavoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy položené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť zložité úlohy, no rodičia mu nevedia pomôcť, pretože niektoré veci z matematiky jednoducho zabudli. Napríklad, ako nájsť susedný uhol na základe veľkosti hlavného uhla atď. Problém je jednoduchý, ale môže spôsobiť ťažkosti pri riešení kvôli neznalosti toho, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Pozrime sa bližšie na definíciu a vlastnosti priľahlé rohy, ako aj spôsob ich výpočtu z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných uhlov

Dva lúče vychádzajúce z jedného bodu vytvárajú obrazec nazývaný „rovinný uhol“. V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak pokračujete v jednom z lúčov za počiatočný bod v priamke, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

• Susedné uhly majú spoločný vrchol a jednu stranu;
• Súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom alebo číslu Pi, ak sa výpočet vykonáva v radiánoch;
• Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
• Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť susedné uhly

Na nájdenie veľkosti susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty problémov

• Udáva sa hodnota hlavného uhla;
• Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
• Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Pozrime sa na ne.

Udáva sa hodnota hlavného uhla

Ak problém špecifikuje hodnotu hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Ak to chcete urobiť, stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto riešenie je založené na vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom.

Ak je hodnota hlavného uhla udávaná v radiánoch a problém vyžaduje nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla

Problém môže dať pomer hlavného a susedného uhla namiesto stupňov a radiánov hlavného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

1. Podiel hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
2. Zlomok súvisiaci so susedným uhlom je označený ako premenná „X“.
3. Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, bude označený napríklad „a“.
4. Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
5. Spoločný faktor rovnice „a“ nájdeme pomocou vzorca a=180/(X+Y).
6. Potom vynásobíme výslednú hodnotu spoločného faktora „a“ zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom jednoducho musíte previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch Pi a rozdeľte všetko o 180 stupňov. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Udáva sa hodnota zvislého uhla

Ak úloha neudáva hodnotu hlavného uhla, ale je daná hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla.

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, ale smeruje presne opačným smerom. Tak sa ukazuje zrkadlový odraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte vertikálnu hodnotu od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si prečítať aj náš užitočné články A .

Čo je susedný uhol

Rohový- Toto geometrický obrazec(obr. 1), tvorené dvoma lúčmi OA a OB (strany uhla), vychádzajúcich z jedného bodu O (vrcholu uhla).

PRIľahlé ROHY- dva uhly, ktorých súčet je 180°. Každý z týchto uhlov dopĺňa druhý do plného uhla.

Susedné uhly- (Agles adjacets) tie, ktoré majú spoločný vrchol a spoločnú stranu. Väčšinou sa tento názov vzťahuje na uhly, ktorých zvyšné dve strany ležia v opačných smeroch jednej priamky pretiahnutej.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.

ryža. 2

Na obrázku 2 sú uhly a1b a a2b priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a1, a2 sú ďalšie polpriamky.

ryža. 3

Obrázok 3 znázorňuje priamku AB, bod C sa nachádza medzi bodmi A a B. Bod D je bod, ktorý neleží na priamke AB. Ukazuje sa, že uhly BCD a ACD spolu susedia. Majú spoločnú stranu CD a strany CA a CB sú ďalšie polpriamky priamky AB, pretože body A, B sú oddelené začiatočným bodom C.

Veta o susednom uhle

Veta: súčet susedných uhlov je 180°

dôkaz:
Uhly a1b a a2b susedia (pozri obr. 2). Lúč b prechádza medzi stranami a1 a a2 rozvinutého uhla. Preto sa súčet uhlov a1b a a2b rovná rozvinutému uhlu, teda 180°. Veta bola dokázaná.

Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je tiež pravý uhol. Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý a uhol väčší ako 90° sa nazýva tupý. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, potom uhol susediaci s ostrý uhol- Tupý uhol. Uhol susediaci s tupým uhlom je ostrý uhol.

Susedné uhly- dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je 180°.

Definícia 1. Uhol je časť roviny ohraničená dvoma lúčmi so spoločným pôvodom.

Definícia 1.1. Uhol je útvar pozostávajúci z bodu – vrcholu uhla – a dvoch rôznych polpriamok vychádzajúcich z tohto bodu – strán uhla.
Napríklad uhol BOC na Obr. 1 Uvažujme najprv dve pretínajúce sa priamky. Keď sa priamky pretínajú, tvoria uhly. Existujú špeciálne prípady:

Definícia 2. Ak sú strany uhla ďalšími polpriamkami jednej priamky, potom sa uhol nazýva rozvinutý.

Definícia 3. Pravý uhol je uhol merajúci 90 stupňov.

Definícia 4. Uhol menší ako 90 stupňov sa nazýva ostrý uhol.

Definícia 5. Uhol väčší ako 90 stupňov a menší ako 180 stupňov sa nazýva tupý uhol.
pretínajúce sa čiary.

Definícia 6. Dva uhly, z ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany ležia na rovnakej priamke, sa nazývajú susedné.

Definícia 7. Uhly, ktorých strany navzájom pokračujú, sa nazývajú vertikálne uhly.
Na obrázku 1:
susedné: 1 a 2; 2 a 3; 3 a 4; 4 a 1
vertikálne: 1 a 3; 2 a 4
Veta 1. Súčet susedných uhlov je 180 stupňov.
Pre dôkaz zvážte na obr. 4 susedné uhly AOB a BOC. Ich súčet je rozvinutý uhol AOC. Preto je súčet týchto susedných uhlov 180 stupňov.

ryža. 4

Spojenie medzi matematikou a hudbou

„Zamýšľajúc sa nad umením a vedou, o ich vzájomných súvislostiach a rozporoch som dospel k záveru, že matematika a hudba sú na extrémnych póloch ľudského ducha, že všetka tvorivá duchovná činnosť človeka je limitovaná a determinovaná týmito dvoma protinožcami a že všetko leží medzi nimi, čo ľudstvo vytvorilo na poli vedy a umenia.“
G. Neuhaus
Zdalo by sa, že umenie je od matematiky veľmi abstraktná oblasť. Spojenie medzi matematikou a hudbou je však determinované historicky aj vnútorne, napriek tomu, že matematika je najabstraktnejšia z vied a hudba je najabstraktnejšia forma umenia.
Súzvuk určuje príjemný zvuk struny
Tento hudobný systém bol založený na dvoch zákonoch, ktoré nesú mená dvoch veľkých vedcov – Pytagoras a Archytas. Toto sú zákony:
1. Dve znejúce struny určujú súzvuk, ak ich dĺžky súvisia ako celé čísla tvoriace trojuholníkové číslo 10=1+2+3+4, t.j. napríklad 1:2, 2:3, 3:4. Navyše, čím menšie je číslo n v pomere n:(n+1) (n=1,2,3), tým je výsledný interval súhlasnejší.
2. Frekvencia kmitania w znejúcej struny je nepriamo úmerná jej dĺžke l.
w = a:l,
kde a je koeficient charakterizujúci fyzikálne vlastnosti struny.

Ponúknem vám aj vtipnú paródiu na hádku dvoch matematikov =)

Geometria okolo nás

Geometria v našom živote nemá malý význam. Vzhľadom na to, že keď sa pozriete okolo seba, nebude ťažké si všimnúť, že sme obklopení rôznymi geometrickými tvarmi. Stretávame sa s nimi všade: na ulici, v triede, doma, v parku, v telocvični, v školskej jedálni, v podstate kdekoľvek sme. Ale témou dnešnej lekcie sú susedné uhlíky. Pozrime sa teda okolo seba a skúsme nájsť uhly v tomto prostredí. Ak sa pozriete pozorne na okno, môžete vidieť, že niektoré vetvy stromov tvoria priľahlé rohy a v priečkach na bráne môžete vidieť veľa vertikálnych uhlov. Uveďte vlastné príklady susedných uhlov, ktoré pozorujete vo svojom okolí.

Cvičenie 1.

1. Na stole na stojane na knihy je kniha. Aký uhol tvorí?
2. Ale študent pracuje na notebooku. Aký uhol tu vidíš?
3. Aký uhol zviera fotorámik na stojane?
4. Myslíte si, že je možné, aby dva susedné uhly boli rovnaké?

Úloha 2.

Pred vami je geometrický obrazec. Čo je to za postavu, pomenujte ju? Teraz pomenujte všetky susedné uhly, ktoré môžete vidieť na tomto geometrickom obrazci.

Úloha 3.

Tu je obrázok kresby a maľby. Pozorne si ich prezrite a povedzte mi, aké druhy rýb vidíte na obrázku a aké uhly vidíte na obrázku.

Riešenie problémov

Matematický diktát na zopakovanie predtým naučeného učiva

Riešiť problémy:

1. Môže sa súčet 3 uhlov vytvorených priesečníkom 2 priamok rovnať 100°? 370°?
2. Na obrázku nájdite všetky dvojice susedných uhlov. A teraz vertikálne uhly. Pomenujte tieto uhly.

3. Musíte nájsť uhol, keď je trikrát väčší ako susedný uhol.
4. Dve rovné čiary sa navzájom pretínali. V dôsledku tohto priesečníka vznikli štyri rohy. Určte hodnotu ktorejkoľvek z nich za predpokladu, že:

a) súčet 2 uhlov zo štyroch je 84°;
b) rozdiel medzi 2 uhlami je 45°;
c) jeden uhol je 4-krát menší ako druhý;
d) súčet troch z týchto uhlov je 290°.

Zhrnutie lekcie

1. vymenuj uhly, ktoré vzniknú, keď sa pretnú 2 priamky?
2. Pomenujte všetky možné dvojice uhlov na obrázku a určte ich typ.

Domáca úloha:

1. Nájdite pomer mierových mier susedných uhlov, keď je jeden z nich o 54° väčší ako druhý.
2. Nájdite uhly, ktoré vzniknú, keď sa pretnú 2 priame čiary za predpokladu, že jeden z uhlov sa rovná súčtu 2 ďalších susedných uhlov.
3. Je potrebné nájsť susedné uhly, keď os jedného z nich zviera so stranou druhého uhol o 60° väčší ako druhý uhol.
4. Rozdiel medzi 2 susednými uhlami sa rovná tretine súčtu týchto dvoch uhlov. Určte hodnoty 2 susedných uhlov.
5. Rozdiel a súčet 2 susedných uhlov sú v pomere 1:5. Nájdite susedné uhly.
6. Rozdiel medzi dvoma susednými je 25% z ich súčtu. Ako súvisia hodnoty 2 susedných uhlov? Určte hodnoty 2 susedných uhlov.

otázky:

1. čo je uhol?
2. Aké typy uhlov existujú?
3. Aká je vlastnosť susedných uhlov?

Dva uhly umiestnené na rovnakej priamke a majúce rovnaký vrchol sa nazývajú susedné.

V opačnom prípade, ak sa súčet dvoch uhlov na jednej priamke rovná 180 stupňom a majú jednu stranu spoločnú, ide o susedné uhly.

1 susedný uhol + 1 susedný uhol = 180 stupňov.

Susedné uhly sú dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ostatné dve strany vo všeobecnosti tvoria priamku.

Súčet dvoch susedných uhlov je vždy 180 stupňov. Napríklad, ak je jeden uhol 60 stupňov, potom druhý bude nevyhnutne rovný 120 stupňom (180-60).

Uhly AOC a BOC sú susedné uhly, pretože sú splnené všetky podmienky pre charakteristiky susedných uhlov:

1.OS - spoločná strana dvoch rohov

2.AO - strana rohu AOS, OB - strana rohu BOS. Tieto strany spolu tvoria priamku AOB.

3. Existujú dva uhly a ich súčet je 180 stupňov.

Keď si pamätáme kurz školskej geometrie, môžeme o susedných uhloch povedať nasledovné:

susedné uhly majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany patria k tej istej priamke, to znamená, že sú na tej istej priamke. Ak podľa obrázku, potom uhly SOV a BOA sú susedné uhly, ktorých súčet sa vždy rovná 180, pretože delia priamy uhol a priamy uhol sa vždy rovná 180.



Susedné uhly sú v geometrii jednoduchým konceptom. Susedné uhly, uhol plus uhol, tvoria spolu 180 stupňov.

Dva susedné uhly budú jedným rozvinutým uhlom.

Existuje niekoľko ďalších nehnuteľností. So susednými uhlami sa problémy ľahko riešia a vety sa dajú ľahko dokázať.

Susedné uhly sa vytvárajú nakreslením lúča z ľubovoľného bodu na priamke. Potom sa tento ľubovoľný bod ukáže ako vrchol uhla, lúč je spoločnou stranou susedných uhlov a priamka, z ktorej je lúč nakreslený, sú dve zostávajúce strany susedných uhlov. Susedné uhly môžu byť rovnaké v prípade kolmice, alebo rôzne v prípade nakloneného nosníka. Je ľahké pochopiť, že súčet susedných uhlov sa rovná 180 stupňom alebo jednoducho priamke. Ďalší spôsob, ako vysvetliť tento uhol, je jednoduchý príklad- najprv ste išli jedným smerom po priamke, potom ste si to rozmysleli, rozhodli ste sa vrátiť a po otočení o 180 stupňov ste sa vydali po tej istej priamke opačným smerom.



Čo je teda susedný uhol? Definícia:

Dva uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou sa nazývajú susedné a ďalšie dve strany týchto uhlov ležia na rovnakej priamke.



A krátke video lekcia, kde sa rozumne ukazuje o susedných uhloch, vertikálnych uhloch plus o kolmých čiarach, ktoré sú špeciálnym prípadom susedných a vertikálnych uhlov

Susedné uhly sú uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a druhá je jedna čiara.

Susedné uhly sú uhly, ktoré na sebe závisia. To znamená, že ak je spoločná strana mierne otočená, potom sa jeden uhol zníži o niekoľko stupňov a automaticky sa druhý uhol zväčší o rovnaký počet stupňov. Táto vlastnosť susedných uhlov nám umožňuje riešiť v geometrii rôzne úlohy a vykonávať dôkazy rôznych teorémov.

Celkový súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.



Z kurzu geometrie, (pokiaľ si pamätám v 6. ročníku), sa dva uhly nazývajú susedné, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany sú dodatočné lúče, súčet susedných uhlov je 180. Každý z týchto dvoch priľahlé uhly dopĺňajú ostatné k rozšírenému uhlu. Príklad susedných uhlov:



Susedné uhly sú dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov. Vo všeobecnosti sa to všetko dá veľmi ľahko nájsť v Google alebo v učebnici geometrie.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú, a ostatné strany týchto uhlov sú komplementárne lúče. Na obrázku 20 sú uhly AOB a BOC priľahlé.

Súčet susedných uhlov je 180°

Veta 1. Súčet susedných uhlov je 180°.

Dôkaz. Lúč OB (pozri obr. 1) prechádza medzi stranami rozvinutého uhla. Preto ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Z vety 1 vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.

Vertikálne uhly sú rovnaké

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú komplementárnymi lúčmi strán druhého uhla. Uhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvorené v priesečníku dvoch priamok, sú vertikálne (obr. 2).

Veta 2. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Dôkaz. Uvažujme vertikálne uhly AOB a COD (pozri obr. 2). Uhol BOD susedí s každým z uhlov AOB a COD. Podľa vety 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Z toho usudzujeme, že ∠ AOB = ∠ COD.

Dôsledok 1. Uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.

Uvažujme dve pretínajúce sa priamky AC a BD (obr. 3). Tvoria štyri rohy. Ak je jeden z nich rovný (uhol 1 na obr. 3), potom sú aj ostatné uhly pravé (uhly 1 a 2, 1 a 4 susedia, uhly 1 a 3 sú vertikálne). V tomto prípade hovoria, že tieto čiary sa pretínajú v pravom uhle a nazývajú sa kolmé (alebo vzájomne kolmé). Kolmosť priamok AC a BD je označená nasledovne: AC ⊥ BD.

Osa kolmica na segment je priamka kolmá na tento segment a prechádzajúca jeho stredom.

AN - kolmá na priamku

Uvažujme priamku a a bod A, ktorý na nej neleží (obr. 4). Spojme bod A úsečkou s bodom H s priamkou a. Úsek AN sa nazýva kolmica vedená z bodu A k priamke a, ak sú priamky AN a a kolmé. Bod H sa nazýva základňa kolmice.

Kreslenie štvorca

Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 3. Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na priamke, je možné nakresliť na túto priamku kolmicu a navyše iba jednu.

Na nakreslenie kolmice z bodu na priamku na výkrese použite kresliaci štvorec (obr. 5).

Komentujte. Formulácia vety sa zvyčajne skladá z dvoch častí. Jedna časť hovorí o tom, čo je dané. Táto časť sa nazýva podmienka vety. Druhá časť hovorí o tom, čo treba dokázať. Táto časť sa nazýva záver vety. Napríklad podmienkou vety 2 je, že uhly sú vertikálne; záver - tieto uhly sú rovnaké.

Akákoľvek veta môže byť podrobne vyjadrená slovami tak, že jej podmienka začína slovom „ak“ a jej záver slovom „potom“. Napríklad veta 2 môže byť podrobne vyjadrená takto: "Ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké."

Príklad 1 Jeden zo susedných uhlov je 44°. Čomu sa rovná ten druhý?

Riešenie. Označme mieru stupňa iného uhla x, potom podľa vety 1.
44° + x = 180°.
Vyriešením výslednej rovnice zistíme, že x = 136°. Preto je druhý uhol 136°.

Príklad 2 Nech je uhol CHSK na obrázku 21 45°. Aké sú uhly AOB a AOC?

Riešenie. Uhly COD a AOB sú vertikálne, preto sú podľa vety 1.2 rovnaké, t.j. ∠ AOB = 45°. Uhol AOC susedí s uhlom COD, čo znamená podľa vety 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CHSK = 180° - 45° = 135°.

Príklad 3 Nájdite susedné uhly, ak je jeden z nich 3-krát väčší ako druhý.

Riešenie. Mieru stupňa menšieho uhla označme x. Potom miera stupňa väčší uhol bude Zx. Keďže súčet susedných uhlov je rovný 180° (Veta 1), potom x + 3x = 180°, odkiaľ x = 45°.
To znamená, že susedné uhly sú 45° a 135°.

Príklad 4. Súčet dvoch vertikálnych uhlov je 100°. Nájdite veľkosť každého zo štyroch uhlov.

Riešenie. Nech podmienky úlohy zodpovedajú obrázku 2. Vertikálne uhly COD k AOB sú rovnaké (Veta 2), čo znamená, že aj ich miery sú rovnaké. Preto ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (ich súčet podľa podmienky je 100°). Uhol BOD (tiež uhol AOC) susedí s uhlom COD, a preto podľa vety 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.
Na obrázku 31 sú uhly (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a 1 a a 2 sú dodatočné polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180°.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180°.
Dôkaz. Nech sú uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) dané susednými uhlami (pozri obr. 31). Lúč b prechádza medzi stranami a 1 a a 2 priameho uhla. Preto sa súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovná rozvinutému uhlu, teda 180°. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.
Odpoveď.

Z vety 2.1 Z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, ich susedné uhly sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180°. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180° a c 1 d + c 2 d = 180°. Preto a2b = 180° - a1b a c2d = 180° - c1d. Keďže uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Z vlastnosti tranzitivity znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (akútny, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Otázka 6. Aké uhly sa nazývajú vertikálne?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú zvislé, ak strany jedného uhla sú doplnkovými polpriamkami strán druhého uhla.

Otázka 7. Dokážte, že vertikálne uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú dané vertikálne uhly (obr. 34). Uhol (a 1 b 2) susedí s uhlom (a 1 b 1) a s uhlom (a 2 b 2). Odtiaľto pomocou vety o súčte susedných uhlov usúdime, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) na 180°, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak sa dve priamky pretínajú, jeden z uhlov je pravý, potom sú pravé aj ostatné tri uhly.
Odpoveď. Predpokladajme, že sa priamky AB a CD pretínajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90°. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, dostaneme, že AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Uhol COB je zvislý na uhol AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90°. Uhol COA je zvislý od uhla BSK, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol BSK = 90°. Všetky uhly sa teda rovnajú 90°, to znamená, že všetky sú pravé. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamienko sa používa na označenie kolmosti čiar?
Odpoveď. Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená znamienkom \(\perp\). Záznam \(a\perp b\) znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b."

Otázka 10. Dokážte, že cez ktorýkoľvek bod na priamke môžete nakresliť priamku kolmú na ňu, a to iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Cez každú čiaru môžete nakresliť čiaru kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná priamka a A daný bod na nej. Označme a 1 jednu z polpriamok priamky a s počiatočným bodom A (obr. 38). Od polpriamky a 1 odčítajme uhol (a 1 b 1) rovný 90°. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. Označme c 1 polpriamku tejto priamky ležiacej v rovnakej polrovine s lúčom b 1 .
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovný 90°, sú položené v jednej polrovine od polpriamky a 1. Ale z polpriamky 1 možno do danej polroviny umiestniť iba jeden uhol rovný 90°. Preto nemôže byť ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta bola dokázaná.

Otázka 11.Čo je kolmé na priamku?
Odpoveď. Kolmica na danú priamku je úsek priamky kolmý na danú priamku, ktorý má jeden zo svojich koncov v ich priesečníku. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, z čoho pozostáva dôkaz protirečením.
Odpoveď. Metóda dôkazu, ktorú sme použili vo vete 2.3, sa nazýva dôkaz kontradikciou. Táto metóda dôkazu pozostáva z prvého predpokladu opačného k tomu, čo uvádza veta. Potom uvažovaním, spoliehajúc sa na axiómy a dokázané vety, dospejeme k záveru, ktorý je v rozpore buď s podmienkami vety, alebo s jednou z axióm, alebo s predtým dokázanou vetou. Na základe toho sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, a preto je tvrdenie vety pravdivé.

Otázka 13. Aká je osnica uhla?
Odpoveď. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu.