Definícia lineárneho dihedrálneho uhla. Dihedrálne uhly a vzorec na ich výpočet

Dihedrálny uhol. Lineárny dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol je útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré nepatria do tej istej roviny a majú spoločnú hranicu - priamku a. Polroviny, ktoré zvierajú uhol dvojsteny, sa nazývajú jeho steny a spoločná hranica týchto polrovín sa nazýva hrana uhla dvojsteny. Lineárny uhol dihedrálneho uhla je uhol, ktorého strany sú lúče, pozdĺž ktorých sú plochy dihedrálneho uhla pretínané rovinou kolmou na hranu dihedrálneho uhla. Každý dihedrálny uhol má ľubovoľný počet lineárnych uhlov: cez každý bod hrany možno nakresliť rovinu kolmú na túto hranu; Lúče, pozdĺž ktorých táto rovina pretína plochy dihedrálneho uhla, tvoria lineárne uhly.

Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné. Dokážme, že ak sú uhly klenby, ktoré zviera rovina podstavy pyramídy CABC, a roviny jej bočných stien rovnaké, potom základňa kolmice vedenej z vrcholu K je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka ABC.

Dôkaz. Najprv zostrojme lineárne uhly s rovnakými dihedrálnymi uhlami. Podľa definície musí byť rovina lineárneho uhla kolmá na hranu dihedrálneho uhla. Preto musí byť okraj dihedrálneho uhla kolmý na strany lineárneho uhla. Ak je KO kolmé na základnú rovinu, potom môžeme nakresliť ALEBO kolmicu AC, ALEBO kolmicu SV, OQ kolmicu AB a potom spojiť body P, Q, R S bodom K. Zostrojíme teda priemet naklonených RK, QK. , RK tak, aby hrany AC, NE, AB boli kolmé na tieto výbežky. V dôsledku toho sú tieto hrany kolmé na samotné naklonené hrany. A preto sú roviny trojuholníkov ROK, QOK, ROK kolmé na zodpovedajúce hrany dihedrálneho uhla a tvoria tie rovnaké lineárne uhly, ktoré sú uvedené v podmienke. Pravouhlé trojuholníky ROK, QOK, ROK sú zhodné (keďže majú spoločnú vetvu OK a uhly protiľahlé k tejto vetve sú rovnaké). Preto OR = OR = OQ. Ak nakreslíme kružnicu so stredom O a polomerom OP, tak strany trojuholníka ABC sú kolmé na polomery OP, OR a OQ, a preto sa dotýkajú tejto kružnice.

Kolmosť rovín. Roviny alfa a beta sa nazývajú kolmé, ak je lineárny uhol jedného z uhlov klinu vytvorený v ich priesečníku rovný 90.“ Znaky kolmosti dvoch rovín Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Na obrázku je znázornený pravouhlý rovnobežnosten. Jeho základňami sú obdĺžniky ABCD a A1B1C1D1. A bočné rebrá AA1 BB1, CC1, DD1 sú kolmé na základne. Z toho vyplýva, že AA1 je kolmá na AB, t.j. bočná plocha je obdĺžnik. Môžeme teda zdôvodniť vlastnosti pravouhlého rovnobežnostena: V pravouhlom rovnobežnostene je všetkých šesť plôch obdĺžnikmi. V pravouhlom rovnobežnostene je všetkých šesť plôch obdĺžniky. Všetky dihedrálne uhly pravouhlého rovnobežnostena sú pravé uhly. Všetky dihedrálne uhly pravouhlého rovnobežnostena sú pravé uhly.

Veta Štvorec uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena rovná súčtuštvorce jeho troch rozmerov. Vráťme sa opäť k obrázku a dokážme, že AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Keďže hrana CC1 je kolmá na základňu ABCD, uhol ACC1 je pravý. Z pravouhlého trojuholníka ACC1 pomocou Pytagorovej vety získame AC12 = AC2 + CC12. Ale AC je uhlopriečka obdĺžnika ABCD, takže AC2 = AB2 + AD2. Okrem toho CC1 = AA1. Preto AC12= AB2+AD2+AA12 Veta je dokázaná.

Účel lekcie: zavedenie pojmu dihedrálny uhol a jeho lineárny uhol.

Úlohy:

Vzdelávacie: zvážiť úlohy týkajúce sa aplikácie týchto konceptov, rozvíjať konštruktívnu zručnosť hľadania uhla medzi rovinami;

vývojové: rozvoj kreatívne mysleniežiakov, osobnostný sebarozvoj žiakov, rozvoj reči žiakov;

Vzdelávacie: kultúrne vzdelávanie duševná práca, komunikatívna kultúra, reflexívna kultúra.

Typ lekcie: lekciu osvojovania si nových vedomostí

Vyučovacie metódy: vysvetľujúce a názorné

Vybavenie: počítač, interaktívna tabuľa.

Literatúra:

Geometria. Ročníky 10-11: učebnica. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.] - 18. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2009. – 255 s.

Plán lekcie:

Organizačný moment (2 min)

Aktualizácia vedomostí (5 min)

Učenie sa nového materiálu (12 min.)

Upevnenie naučeného materiálu (21 min)

domáca úloha (2 minúty)

Zhrnutie (3 minúty)

Počas tried:

1. Organizačný moment.

Zahŕňa pozdrav učiteľa s triedou, prípravu miestnosti na hodinu a kontrolu neprítomných.

2. Aktualizácia základných vedomostí.

učiteľ: V poslednej lekcii, ktorú si napísal samostatná práca. Vo všeobecnosti bola práca napísaná dobre. Teraz si to trochu zopakujme. Ako sa nazýva uhol v rovine?

študent: Uhol na rovine je obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi čiarami v priestore?

študent: Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami v priestore je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú lúče týchto čiar s vrcholom v bode ich priesečníka.

študent: Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami, respektíve rovnobežnými s údajmi.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi priamkou a rovinou?

študent: Uhol medzi priamkou a rovinouAkýkoľvek uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny sa nazýva.

3. Štúdium nového materiálu.

učiteľ: V stereometrii sa spolu s takýmito uhlami zvažuje aj iný typ uhla - dihedrálne uhly. Pravdepodobne ste už uhádli, aká je téma dnešnej hodiny, tak si otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny.

Napíšte na tabuľu a do zošitov:

10.12.14.

Dihedrálny uhol.

učiteľ : Aby sme zaviedli pojem dihedrálneho uhla, treba pripomenúť, že akákoľvek priamka nakreslená v danej rovine rozdeľuje túto rovinu na dve polroviny.(Obr. 1, a)

učiteľ : Predstavme si, že sme rovinu ohli pozdĺž priamky tak, že dve polroviny s hranicou už neležia v tej istej rovine (obr. 1, b). Výsledný údaj je dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny. Polroviny, ktoré zvierajú dihedrálny uhol, sa nazývajú jeho steny. Dihedrálny uhol má dve strany, preto sa nazýva dihedrálny uhol. Priamka - spoločná hranica polrovín - sa nazýva hrana dihedrálneho uhla. Napíšte definíciu do zošita.

Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny.

učiteľ : V bežnom živote sa často stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar dihedrálneho uhla. Uveďte príklady.

Študent : Napoly otvorený priečinok.

Študent : Stena miestnosti je spolu s podlahou.

Študent : Sedlové strechy budov.

učiteľ : Správny. A takýchto príkladov je obrovské množstvo.

učiteľ : Ako viete, uhly v rovine sa merajú v stupňoch. Pravdepodobne máte otázku, ako sa merajú dihedrálne uhly? Toto sa robí nasledovne.Označme nejaký bod na hrane dihedrálneho uhla a nakreslíme lúč kolmý na hranu z tohto bodu na každej ploche. Uhol tvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla. Urobte si kresbu do svojich zošitov.

Píšte na tabuľu a do zošitov.

O ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- dihedrálny uhol,∠ AOB– lineárny uhol dihedrálneho uhla.

učiteľ : Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú rovnaké. Urobte si ďalšiu takúto kresbu.

učiteľ : Poďme to dokázať. Zvážte dva lineárne uhly AOB aPQR. Lúče OA aQPležia na rovnakej tvári a sú kolméOQ, čo znamená, že sú v spoločnej réžii. Podobne aj lúče OB aQRspolurežírovaný. znamená,∠ AOB= ∠ PQR(ako uhly so zarovnanými stranami).

učiteľ : Nuž, odpoveďou na našu otázku je, ako sa meria uhol klinu.Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa jeho lineárneho uhla. Prekreslite obrázky ostrého, pravého a tupého dihedrálneho uhla z učebnice na strane 48.

4. Konsolidácia študovaného materiálu.

učiteľ : Vytvorte nákresy pre úlohy.

№ 1 . Vzhľadom na to: ΔABC, AC = BC, AB leží v rovineα, CD ⊥ a, C∉ α. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaCABD.

Študent : Riešenie:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - vyhľadávaný.

№ 2. Vzhľadom na to: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leží v rovineα, JSC⊥ α, A∈ α.

Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaABCO.

Študent : Riešenie:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC znamená OS⊥ Slnko.∠ ACO - vyhľadávaný.

№ 3 . Vzhľadom na to: ΔABC, ∠ C = 90°, AB leží v rovineα, CD⊥ a, C∉ α. Stavaťlineárny dihedrálny uholDABC.

Študent : Riešenie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB znamená∠ DKC - vyhľadávaný.

№ 4 . Vzhľadom na to:DABC- štvorsten,DO⊥ ABC.Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaA B C D.

Študent : Riešenie:DM ⊥ slnko,DO ⊥ VS znamená OM⊥ Slnko;∠ OMD - vyhľadávaný.

5. Zhrnutie.

učiteľ: Čo nové ste sa dnes na hodine naučili?

Študenti : Čo sa nazýva dihedrálny uhol, lineárny uhol, ako sa meria dihedrálny uhol.

učiteľ : Čo opakovali?

Študenti : Čo sa nazýva uhol na rovine; uhol medzi priamymi čiarami.

6.Domáca úloha.

Napíšte na tabuľu a do denníka: paragraf 22, č.167, č.170.

Koncept dihedrálneho uhla

Aby sme predstavili pojem dihedrálneho uhla, pripomeňme si najprv jednu z axióm stereometrie.

Ľubovoľnú rovinu možno rozdeliť na dve polroviny priamky $a$ ležiacej v tejto rovine. V tomto prípade body ležiace v rovnakej polrovine ležia na jednej strane priamky $a$ a body ležiace v rôznych polrovinách sú na tej istej strane. rôzne strany od priamky $a$ (obr. 1).

Obrázok 1.

Na tejto axióme je založený princíp konštrukcie dihedrálneho uhla.

Definícia 1

Postava sa volá dihedrálny uhol, ak sa skladá z priamky a dvoch polrovín tejto priamky, ktoré nepatria do tej istej roviny.

V tomto prípade sa nazývajú polroviny dihedrálneho uhla hrany, a priamka oddeľujúca polroviny je dihedrálny okraj(obr. 1).

Obrázok 2. Dihedrálny uhol

Miera stupňa dihedrálneho uhla

Definícia 2

Vyberme si ľubovoľný bod $A$ na hrane. Uhol medzi dvoma priamkami ležiacimi v rôznych polrovinách, kolmých na hranu a pretínajúcimi sa v bode $A$, sa nazýva lineárny dihedrálny uhol(obr. 3).

Obrázok 3.

Je zrejmé, že každý dihedrálny uhol má nekonečný počet lineárnych uhlov.

Veta 1

Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.

Dôkaz.

Uvažujme dva lineárne uhly $AOB$ a $A_1(OB)_1$ (obr. 4).

Obrázok 4.

Keďže lúče $OA$ a $(OA)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\alpha $ a sú kolmé na tú istú priamku, potom sú kosmerné. Keďže lúče $OB$ a $(OB)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\beta $ a sú kolmé na tú istú priamku, sú kosmerné. Preto

\[\uhol AOB=\uhol A_1(OB)_1\]

Vzhľadom na svojvoľnosť výberu lineárnych uhlov. Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.

Veta bola dokázaná.

Definícia 3

Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa lineárneho uhla dihedrálneho uhla.

Vzorové problémy

Príklad 1

Dajme nám dve nekolmé roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $m$. Bod $A$ patrí rovine $\beta$. $AB$ je kolmé na čiaru $m$. $AC$ je kolmá na rovinu $\alpha $ (bod $C$ patrí $\alpha $). Dokážte, že uhol $ABC$ je lineárnym uhlom dihedrálneho uhla.

Dôkaz.

Nakreslíme obrázok podľa podmienok úlohy (obr. 5).

Obrázok 5.

Aby ste to dokázali, spomeňte si na nasledujúcu vetu

Veta 2: Priamka prechádzajúca základňou naklonenej je na ňu kolmá, kolmá na jej priemet.

Pretože $AC$ je kolmý na rovinu $\alpha $, potom bod $C$ je priemetom bodu $A$ do roviny $\alpha $. Preto je $BC$ projekciou šikmého $AB$. Podľa vety 2 je $BC$ kolmý na hranu dihedrálneho uhla.

Potom uhol $ABC$ spĺňa všetky požiadavky na definovanie lineárneho dihedrálneho uhla.

Príklad 2

Dihedrálny uhol je $30^\circ$. Na jednej z plôch leží bod $A$, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti $4$ cm od druhej plochy Nájdite vzdialenosť od bodu $A$ k hrane dihedrálneho uhla.

Riešenie.

Pozrime sa na obrázok 5.

Podľa podmienky máme $AC=4\cm$.

Podľa definície stupňovej miery dihedrálneho uhla máme, že uhol $ABC$ sa rovná $30^\circ$.

Trojuholník $ABC$ je správny trojuholník. Podľa definície sínusu ostrého uhla

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Táto lekcia je určená pre samoštúdium téma "Dihedral Angle". V tejto lekcii sa študenti zoznámia s jedným z najdôležitejších geometrických tvarov, uhlom vodorovnej osi. V lekcii sa tiež naučíme, ako určiť lineárny uhol uvažovaného geometrický obrazec a aký je dihedrálny uhol pri základni obrázku.

Zopakujme si, čo je uhol na rovine a ako sa meria.

Ryža. 1. Lietadlo

Uvažujme rovinu α (obr. 1). Z bodu O vyžarujú dva lúče - OB A OA.

Definícia. Obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu sa nazýva uhol.

Uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.

Pripomeňme si, čo je radián.

Ryža. 2. Radian

Ak máme stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru, potom sa takýto stredový uhol nazýva uhol 1 radián. ,∠ AOB= 1 rad (obr. 2).

Vzťah medzi radiánmi a stupňami.

rád.

Chápeme, som rád. (). potom

Definícia. Dihedrálny uhol obrazec tvorený priamkou sa nazýva A a dve polroviny so spoločnou hranicou A, ktoré nepatria do tej istej roviny.

Ryža. 3. Polroviny

Uvažujme dve polroviny α a β (obr. 3). Ich spoločná hranica je A. Tento údaj sa nazýva dihedrálny uhol.

Terminológia

Polroviny α a β sú plochy dihedrálneho uhla.

Rovno A je hrana dihedrálneho uhla.

Na spoločnom okraji A dihedrálny uhol, vyberte ľubovoľný bod O(obr. 4). V polrovine α od bodu O obnoviť kolmicu OA na priamku A. Z toho istého bodu O v druhej polrovine β zostrojíme kolmicu OB na okraj A. Mám uhol AOB, ktorý sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Ryža. 4. Meranie dihedrálneho uhla

Dokážme rovnosť všetkých lineárnych uhlov pre daný dihedrálny uhol.

Majme dihedrálny uhol (obr. 5). Vyberme si bod O a bodka O 1 na priamke A. Zostrojme lineárny uhol zodpovedajúci bodu O, teda nakreslíme dve kolmice OA A OB v rovinách α a β k hrane A. Získame uhol AOB- lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Ryža. 5. Ilustrácia dôkazu

Z bodu O 1 nakreslíme dve kolmice OA 1 A OB 1 na okraj A v rovinách α a β a získame druhý lineárny uhol A101B1.

Lúče O 1 A 1 A OA kosmerné, pretože ležia v rovnakej polrovine a sú navzájom rovnobežné ako dve kolmice na tú istú priamku A.

Rovnako aj lúče Približne 1 v 1 A OB sú v spoločnej réžii, čo znamená ∠ AOB =∠ A101B1 ako uhly s kodirectnými stranami, čo bolo potrebné dokázať.

Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.

dokázať: A ⊥ AOB.

Ryža. 6. Ilustrácia dôkazu

Dôkaz:

OA ⊥ A podľa konštrukcie, OB ⊥ A konštrukciou (obr. 6).

Zistili sme, že riadok A kolmo na dve pretínajúce sa čiary OA A OB mimo lietadla AOB, čo znamená, že je rovný A kolmo na rovinu OAV, čo bolo potrebné dokázať.

Dihedrálny uhol sa meria jeho lineárnym uhlom. To znamená, že koľko stupňov radiánov je obsiahnutých v lineárnom uhle, rovnaký počet stupňov radiánov je obsiahnutých v jeho dihedrálnom uhle. V súlade s tým sa rozlišujú nasledujúce typy dihedrálnych uhlov.

Akútne (obr. 6)

Dihedrálny uhol je ostrý, ak je jeho lineárny uhol ostrý, t.j. .

Rovné (obr. 7)

Dihedrálny uhol je pravý, keď je jeho lineárny uhol 90° - tupý (obr. 8)

Dihedrálny uhol je tupý, keď je jeho lineárny uhol tupý, t.j. .

Ryža. 7. Pravý uhol

Ryža. 8. Tupý uhol

Príklady konštrukcie lineárnych uhlov v reálnych obrazcoch

ABCD- štvorsten.

1. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AB.

Ryža. 9. Ilustrácia problému

Stavebníctvo:

Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý tvorí hrana AB a hrany ABD A ABC(obr. 9).

Urobme direkt DN kolmo na rovinu ABC, N- základňa kolmice. Nakreslíme naklonenú DM kolmo na priamku AB,M- naklonená základňa. Podľa vety o troch kolmiciach usudzujeme, že premietanie šikmej NM aj kolmo na čiaru AB.

Teda od pointy M sú obnovené dve kolmice na okraj AB na dvoch stranách ABD A ABC. Dostali sme lineárny uhol DMN.

Všimni si AB, hrana dihedrálneho uhla, kolmá na rovinu lineárneho uhla, t.j. rovinu DMN. Problém je vyriešený.

Komentujte. Dihedrálny uhol možno označiť takto: DABC, Kde

AB- okraj a hroty D A S ležať na rôznych stranách uhla.

2. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AC.

Nakreslíme kolmicu DN do lietadla ABC a naklonený DN kolmo na priamku AC. Pomocou vety o troch kolmých to zistíme НN- šikmé premietanie DN do lietadla ABC, aj kolmo na čiaru AC.DNH- lineárny uhol dihedrálneho uhla s okrajom AC.

V štvorstene DABC všetky okraje sú rovnaké. Bodka M- stred rebra AC. Dokážte, že uhol DMV- lineárny dihedrálny uhol VYD t.j. uhol dvojsteny s hranou AC. Jedna z jeho tvárí je ACD, druhý - DIA(obr. 10).

Ryža. 10. Ilustrácia problému

Riešenie:

Trojuholník ADC- rovnostranný, DM- medián, a teda výška. znamená, DM ⊥ AC. Rovnako aj trojuholník AINC- rovnostranný, INM- medián, a teda výška. znamená, VM ⊥ AC.

Teda z pointy M rebrá AC dihedrálny uhol obnovený dve kolmice DM A VM k tejto hrane v čelách dihedrálneho uhla.

Takže, ∠ DMIN je lineárny uhol dihedrálneho uhla, čo je potrebné dokázať.

Takže sme definovali uhol klinu, lineárny uhol dihedrálneho uhla.

V nasledujúcej lekcii sa pozrieme na kolmosť čiar a rovín, potom sa dozvieme, aký je uhol vzpriamenia v základni obrazcov.

Zoznam odkazov na tému "Dihedrálny uhol", "Dihedrálny uhol na základni geometrických útvarov"

1. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill.
2. Geometria. 10. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s prehlbovacím a špecializačným štúdiom matematiky /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Domáca úloha na tému "Komorový uhol", určenie uhla klenby v základni obrazcov

Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (základný a špecializovaný stupeň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a rozšírené - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Úlohy 2, 3 s.

Čo je lineárny dihedrálny uhol? Ako ho postaviť?

ABCD- štvorsten. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou:

A) IND b) DS.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla A 1 ABC s rebrom AB. Určte jeho mieru miery.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie: zaviesť pojem dihedrálneho uhla a jeho lineárneho uhla;

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny, formulujte ciele hodiny.

II. Aktualizácia vedomostí žiakov (snímka 2, 3).

1. Príprava na štúdium nového materiálu.

Ako sa nazýva uhol v rovine?

Ako sa nazýva uhol medzi čiarami v priestore?

Ako sa nazýva uhol medzi priamkou a rovinou?

Povedzte vetu o troch kolmých

III. Učenie sa nového materiálu.

• Koncept dihedrálneho uhla.

Útvar tvorený dvoma polrovinami prechádzajúcimi priamkou MN sa nazýva dihedrálny uhol (snímka 4).

Polroviny sú plochy, priamka MN je hrana dihedrálneho uhla.

Aké predmety v každodennom živote majú tvar uholníka? (Snímka 5)

• Uhol medzi rovinami АСН a СНD je dihedrálny uhol АСНD, kde СН je hrana. Body A a D ležia na čelných stranách tohto uhla. Uhol AFD je lineárny uhol dihedrálneho uhla ACHD (snímka 6).

• Algoritmus na zostavenie lineárneho uhla (snímka 7).

1 spôsob. Na hrane zoberte ľubovoľný bod O a nakreslite kolmice k tomuto bodu (PO DE, KO DE), aby ste získali uhol ROK - lineárny.

Metóda 2. V jednej polrovine vezmite bod K a pustite z neho dve kolmice na ďalšiu polrovinu a hranu (KO a KR), potom inverznou TTP vetou PODE

• Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú rovnaké (snímka 8). Dôkaz: lúče OA a O 1 A 1 sú smerované v rovnakom smere, lúče OB a O 1 B 1 sú tiež smerované spolu, uhly BOA a B 1 O 1 A 1 sú rovnaké ako uhly so spolunasmerovanými stranami.

• Miera stupňa dihedrálneho uhla je mierou stupňa jeho lineárneho uhla (snímka 9).

IV. Konsolidácia študovaného materiálu.

• Riešenie problémov (ústne pomocou hotových výkresov). (Snímky 10-12)

1. RAVS – pyramída; uhol ACB sa rovná 90°, priamka PB je kolmá na rovinu ABC. Dokážte, že uhol RSV je lineárny uhol dihedrálneho uhla s

2. RAVS - pyramída; AB = BC, D je stred úsečky AC, priamka PB je kolmá na rovinu ABC. Dokážte, že uhol PDB je lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AC.

3. PABCD – pyramída; priamka PB je kolmá na rovinu ABC, BC je kolmá na DC. Dokážte, že uhol RKB je lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou CD.

• Problémy s konštrukciou lineárneho uhla (snímky 13-14).

1. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AC, ak v ihlane RABC je stenou ABC pravidelný trojuholník, O je priesečník stredníc, priamka PO je kolmá na rovinu ABC.

2. Daný kosoštvorec ABCD Priamka RS je kolmá na rovinu ABCD.

Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou ВD a lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AD.

• Výpočtová úloha. (Snímka 15)

V rovnobežníku ABCD sa uhol ADC rovná 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, priamka RS je kolmá na rovinu ABC, RS = 9 cm.

Nájdite veľkosť dihedrálneho uhla s hranou AD a plochou rovnobežníka.

V. Domáca úloha (snímka 16).

S. 22, č. 168, 171.

Použité knihy:

1. Geometria 10-11 L.S.Atanasyan.
2. Systém úloh na tému „Dihedrálne uhly“ od M.V. Sevostyanovej (Murmansk), časopis Matematika v škole 198...