Ako faktorizovať kvadratický trinom: vzorec. Štvorcový trojčlen a jeho korene

Medzi rôzne výrazy, ktoré sa berú do úvahy v algebre, patria dôležité miesto zaberajú súčty monomiálov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2\)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Predstavme si všetky pojmy vo forme monomílov štandardný pohľad:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka \(12a^2b - 7b\) má teda tretí stupeň a trojčlenka \(2b^2 -7b + 6\) druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad \((a + b)^2 \) samozrejme nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b . Druhá mocnina súčtu a a b sa však spravidla nevyskytuje, namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojeného súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavé časti pravostrannými v transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Polynóm je algebraická konštrukcia, ktorá predstavuje súčet alebo rozdiel prvkov. Mnoho hotových vzorcov sa týka binomických výrazov, ale je ťažšie odvodiť nové pre konštrukcie vysoký poriadok nie je veľký problém. Je dovolené povedzme stavať trojčlenný V námestie .

Inštrukcie

1. Polynóm je základná reprezentácia pre riešenie algebraických rovníc a reprezentujúca mocenskú, rozumnú a iné funkcie. Táto štruktúra zahŕňa predmet, ktorý je obzvlášť bežný v školskom kurze: námestie nová rovnica.

2. Často, keď sa masívny výraz stáva ľahším, je potrebné ho konštruovať trojčlenný V námestie. Neexistuje na to žiadny hotový vzorec, ale existuje niekoľko spôsobov. Povedzme si predstaviť námestie trojčlenný a vo forme súčinu 2 rovnakých výrazov.

3. Zvážte príklad: zabudovanie námestie trojčlenný 3 x? + 4 x – 8.

4. Zmeniť zápis (3 x? + 4 x – 8)? o (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) a použite pravidlo na násobenie polynómov, ktoré pozostáva zo sekvenčného výpočtu súčinov. Najprv vynásobte prvú zložku prvej zátvorky každým členom 2., potom urobte to isté s druhým a nakoniec s tretím: (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) = 3 x ? (3 x? + 4 x – 8) + 4 x (3 x? + 4 x – 8) – 8 (3 x? + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x? - 24x? + 12 x? + 16 x? – 32 x – 24 x? – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x? - 32 x? – 64 x + 64.

5. K rovnakému výsledku môžete dospieť, ak si zapamätáte, že výsledok vynásobenia 2 trojčlenný Zostáva súčet šiestich prvkov, z ktorých tri sú námestie ami každého termínu a ostatné tri - ich všetky možné párové produkty v zdvojenej forme. Tento elementárny vzorec vyzerá jednoducho takto: (a + b + c)? = a? +b? +c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Aplikujte to na svoj príklad: (3 x? + 4 x – 8)? = (3 x? + 4 x + (-8))? = (3x?)? + (4x)? + (-8)? + 2 (3 x?) (4 x) + 2 (3 x?) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x? + 64 + 24 x? - 48 x? – 64 x = 9 x^4 + 24 x? - 32 x? – 64 x + 64.

7. Ako vidíte, výsledok bol rovnaký, ale bolo potrebné menej manipulácie. Toto je obzvlášť dôležité, keď sú samotné monomiály zložité konštrukcie. Táto metóda použiteľné pre trojčlenný a každý stupeň a každý počet premenných.

Pri riešení aritmetických a algebraických úloh je občas potrebné konštruovať zlomok V námestie. Pre každého je to jednoduchšie, keď zlomok desiatková je celkom obyčajná kalkulačka. Ak však zlomok obyčajné alebo zmiešané, potom keď sa takéto číslo zvýši na námestie Môžu sa vyskytnúť určité ťažkosti.

Budete potrebovať

kalkulačka, počítač, aplikácia Excel.

Inštrukcie

1. Zostrojiť desatinné číslo zlomok V námestie vezmite si inžiniersku kalkulačku, napíšte na ňu konštrukčnú hodnotu námestie zlomok a stlačte zvýšenie na druhý vypínač. Na väčšine kalkulačiek je toto tlačidlo označené ako „x?“. Na štandardnej kalkulačke Windows je funkcia zvýšenia na námestie vyzerá ako "x^2". Povedzme námestie desatinný zlomok 3,14 sa bude rovnať: 3,14? = 9,8596.

2. Aby bolo možné zabudovať námestie desiatkový zlomok na obyčajnej (účtovnej) kalkulačke toto číslo vynásobte samo sebou. Mimochodom, niektoré modely kalkulačiek poskytujú možnosť zvýšiť počet na námestie aj pri absencii špeciálneho tlačidla. Prečítajte si preto vopred návod na konkrétnu kalkulačku. Príležitostne sú príklady „zložitého“ umocňovania uvedené na zadnom obale alebo na krabici kalkulačky. Napríklad na mnohých kalkulačkách na zvýšenie čísla námestie Stačí stlačiť tlačidlá „x“ a „=“.

3. Na výstavbu v námestie spoločný zlomok(pozostávajúci z čitateľa a menovateľa), zvýšiť na námestie oddelene čitateľ a menovateľ tohto zlomku. To znamená, že použite ďalšie pravidlo: (h/z)? = h? / z?, kde h je čitateľ zlomku, z je menovateľ zlomku Príklad: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Ak je zabudovaný námestie zlomok– zmiešané (pozostáva z celočíselnej časti a obyčajného zlomku), potom ho vopred priveďte do obvyklej podoby. To znamená, že použite nasledujúci vzorec: (c h/z)? = ((c*z+h)/z)? = (ts*z+h)? / z?, kde c je celočíselná časť zmiešaného zlomku Príklad: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Ak je zabudovaný námestie bežné (nie desatinné) zlomky sa pridávajú priebežne, potom použite MS Excel. Za týmto účelom zadajte do jednej z buniek tabuľky nasledujúci vzorec: = STUPEŇ(A2;2) kde A2 je adresa bunky, do ktorej sa zadá zvýšená hodnota námestie zlomok.Informovať program, že so zadaným číslom sa má zaobchádzať ako s obyčajným zlomok yu (t. j. nekonvertujte ho na desatinné číslo), zadajte predtým zlomokčíslo „0“ a znak „medzera“. To znamená, že ak chcete zadať, povedzme, zlomok 2/3, musíte zadať: „0 2/3“ (a stlačte Enter). V tomto prípade sa vo vstupnom riadku zobrazí desatinné znázornenie zadaného zlomku. Význam a znázornenie zlomku sa v bunke zachová v pôvodnej podobe. Okrem toho, ak používate matematické funkcie, ktorých argumenty sú obyčajné zlomky, výsledok bude tiež prezentovaný ako obyčajný zlomok. V dôsledku toho námestie zlomok 2/3 bude reprezentovaný ako 4/9.

Matematické hádanky sú niekedy také fascinujúce, že sa chcete naučiť, ako ich vytvárať, a nie len riešiť. Pravdepodobne najzaujímavejšou vecou pre začiatočníkov je vytvorenie magického štvorca, štvorca s rozmermi strán nxn, do ktorého sú vpísané reálne čísla od 1 do n2 tak, že súčet čísel pozdĺž vodorovných, zvislých a diagonálnych čiar štvorec je rovnaký a rovná sa jednému číslu.

Inštrukcie

1. Pred vytvorením štvorca si uvedomte, že neexistujú žiadne magické štvorce druhého rádu. V skutočnosti existuje iba jeden magický štvorec tretieho rádu, zvyšok jeho derivátov sa získa otáčaním alebo odrazom hlavného štvorca pozdĺž osi symetrie. Čím väčší je poriadok, tým väčší je počet prípustných magických štvorcov tohto rádu.

2. Naučte sa základy konštrukcie. Pravidlá pre vytváranie rôznych magických štvorcov sú rozdelené do troch skupín podľa poradia štvorca, a to, že môže byť nepárne, rovné dvojnásobku alebo štvornásobku nepárneho čísla. V súčasnosti neexistuje univerzálna metodika na zostavenie všetkých štvorcov, hoci sa široko používajú rôzne schémy.

3. Využite výhody počítačový program. Stiahnite si požadovanú aplikáciu a zadajte požadované štvorcové hodnoty (2-3), program sám vygeneruje potrebné digitálne kombinácie.

4. Postavte štvorec nezávisle. Vezmite maticu n x n, v ktorej zostrojte stupňovitý kosoštvorec. V ňom vyplňte všetky štvorce vľavo a hore pozdĺž každej uhlopriečky postupnosťou nepárnych čísel.

5. Určte hodnotu centrálnej bunky O. Do rohov magického štvorca umiestnite nasledujúce čísla: horná pravá bunka je O-1, dolná ľavá bunka je O+1, spodná pravá bunka je O-n a horná ľavá bunka je O+n. Vyplňte prázdne bunky v rohových trojuholníkoch pomerne primitívnymi pravidlami: v riadkoch zľava doprava sa čísla zvýšia o n + 1 a v stĺpcoch zhora nadol sa čísla zvýšia o n-1.

6. Všetky štvorce s poradím rovným n je možné nájsť len pre n\le 4, preto sú zaujímavé samostatné postupy na zostrojenie magických štvorcov s n > 4 objednať. Použite špeciálny vzorec, kde jednoducho musíte zadať potrebné údaje na získanie požadovaného výsledku. Povedzme konštantu štvorca zostrojeného podľa schémy na obr. 1, sa vypočíta podľa vzorca: S = 6a1 +105b, kde a1 je 1. člen progresie, b je rozdiel progresie.

7. Pre štvorec znázornený na obr. 2, vzorec: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Okrem toho existujú algoritmy na vytváranie pandiagonálnych štvorcov a dokonalých magických štvorcov. Na zostavenie týchto modelov použite špeciálne programy.

Poznámka!
Magické alebo magické štvorce priťahovali matematikov už od staroveku, ale dodnes neexistuje žiadna prezentácia všetkých prípustných štvorcov. Najjednoduchší magický štvorec podľa staroveku Čínska legenda na chrbte bola vyobrazená veľká posvätná korytnačka.

„Rovnica“ v matematike je záznam, ktorý obsahuje niektoré matematické alebo algebraické operácie a určite obsahuje znamienko rovnosti. Častejšie však toto zobrazenie neoznačuje identitu ako celok, ale iba jej ľavú stranu. V dôsledku toho úloha konštrukcie rovníc V námestie Skôr sa predpokladá, že každý použije túto operáciu iba na monomiáli alebo polynóme na ľavej strane rovnosti.

Inštrukcie

1. Vynásobte rovnicu sama o sebe - toto je operácia zvýšenia na druhú mocninu, teda na námestie. Ak počiatočný výraz v akejkoľvek miere obsahuje premenné, potom by mal byť exponent zdvojnásobený. Povedzme (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Ak nie je možné vynásobiť číselné ukazovatele prítomné v rovnici vo vašej hlave, použite kalkulačku, online kalkulačku alebo to urobte na papieri, „v stĺpci“.

2. Ak počiatočný výraz obsahuje niekoľko sčítaných alebo odčítaných premenných s číselnými exponentmi (to znamená, že ide o polynóm), potom bude potrebné vykonať operáciu násobenia podľa príslušných pravidiel. To znamená, že by ste mali vynásobiť celý výraz rovníc- násobiteľné celým výrazom rovníc-faktor a následne zjednodušiť výsledný výraz. Skutočnosť, že vo vašom prípade obaja rovníc sú totožné, nemení nič na tomto pravidle. Povedzme, že ak zabudujete námestie je potrebná rovnica x?+4-3*x, potom je možné celú operáciu zapísať v tomto tvare: (x?+4-3*x)? = (xa+4-3*x)*(xa+4-3*x) = xa+4*xa-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Výsledný výraz by sa mal zjednodušiť a ak je to prípustné, mocniny by mali byť usporiadané v zostupnom poradí exponentu: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? = x? - 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Vzorce na zvýšenie na námestie Niektoré obzvlášť často sa vyskytujúce výrazy je lepšie si zapamätať naspamäť. V škole sú zvyčajne zahrnuté do zoznamu nazývaného „skrátené vzorce násobenia“. Zahŕňa najmä vzorce na zvýšenie súčtu 2 premenných (x+y) na druhú mocninu? = x?+2*x*y+y?, ich rozdiely (x-y)? = x?-2*x*y+y?, súčet 3 členov (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z a rozdiel 3 členov (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Video k téme

Metóda kvadratúry binomu sa používa na zjednodušenie masívnych výrazov, ako aj na riešenie kvadratických rovníc. V praxi sa zvyčajne kombinuje s inými technikami, vrátane faktorizácie, zoskupovania atď.

Inštrukcie

1. Metóda na izoláciu úplného štvorca dvojčlenu je založená na použití 2 vzorcov na skrátené násobenie mnohočlenov. Tieto vzorce sú špeciálnymi prípadmi Newtonovho binomu pre 2. stupeň a umožňujú nám zjednodušiť požadovaný výraz tak, aby bolo možné vykonať ďalšiu redukciu alebo faktorizáciu: (m + n)² = m² + 2 m n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Podľa tejto metódy je potrebné z počiatočného polynómu extrahovať druhé mocniny 2 monomérov a súčet/rozdiel ich dvojitého súčinu. Použitie tejto metódy má zmysel, ak najvyšší stupeň členov nie je menší ako 2. Predstavte si, že máte za úlohu rozdeliť nasledujúci výraz na faktory s klesajúcim stupňom: 4 y^4 + z^4

3. Na vyriešenie problému musíte použiť metódu izolácie úplného štvorca. Ukazuje sa, že výraz pozostáva z 2 monomiálií s premennými párneho stupňa. V dôsledku toho je možné každý z nich označiť m a n: m = 2·y²; n = z².

4. Teraz musíme zredukovať počiatočný výraz na tvar (m + n)². Už obsahuje druhé mocniny týchto výrazov, ale chýba dvojitý súčin. Musíte to neprirodzene sčítať a potom odčítať: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² – 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² – 4 y² z².

5. Vo výslednom výraze môžete vidieť vzorec pre rozdiel štvorcov: (2 y² + z²)² – (2 y z)² = (2 y² + z² – 2 y z) (2 y² + z² + 2 y z).

6. Ukazuje sa, že metóda pozostáva z 2 etáp: izolácia monomilov dokonalého štvorca ma n, sčítanie a odčítanie ich dvojitého produktu. Metódu izolácie úplného štvorca binomu možno použiť nielen samostatne, ale aj v kombinácii s inými metódami: odstránenie univerzálneho faktora zo zátvoriek, nahradenie premennej, zoskupenie pojmov atď.

7. Príklad 2. Vyberte dokonalý štvorec vo výraze: 4 y² + 2 y z + z² Riešenie: 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z)² – 2·y·z. = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Metóda sa používa pri hľadaní koreňov kvadratická rovnica. Ľavá strana rovnica je trojčlen v tvare a·y? + b·y + c, kde a, b a c sú nejaké čísla a a ? 0. a·y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4a?)) + c – b?/(4a) = a (y + b/(2a))? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Tieto výpočty vedú k znázorneniu diskriminantu, ktorý sa rovná (b? – 4·a·c)/(4·a) a korene rovnice sa rovnajú: y_1,2 = ±(b/( 2 a)) ± ? ((b? – 4a c)/(4a)).

Riešení je viacero námestie rovníc, najmä tej známej - vyberte si z trojčlennýštvorec dvojčlenky. Táto metóda vedie k výpočtu diskriminantu a zabezpečuje súčasné hľadanie oboch koreňov.

Inštrukcie

1. Algebraická rovnica 2. stupňa sa nazýva kvadratická. Klasický tvar ľavej strany tejto rovnice je polynóm a x? + b x + c. Ak chcete odvodiť vzorec pre riešenie, musíte izolovať z trojčlennýštvorec dvojčlenky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Preneste bezplatného člena z do pravá strana so znamienkom mínus:a x? + b x = -c.

2. Vynásobte obe strany rovnice číslom 4 a:4 a? X? + 4 a b x = -4 a c.

3. Pridajte výraz b?:4 a? X? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Zdá sa, že vľavo je rozšírená forma štvorcového binomického celku pozostávajúca z členov 2 a x a b. Zložiť daný trojčlen na dokonalý štvorec: (2 a x + b)? = b? – 4 a.c. 2 a x + b = ±? (b? – 4 a c)

5. Od: x1,2 = (-b ± ?(b? – 4 a c))/2 a Rozdiel pod znamienkom odmocniny sa nazýva diskriminant a vzorec je dobre známy na riešenie podobných rovníc.

6. 2. metóda zahŕňa izoláciu dvojitého súčinu prvkov z monomiálu prvého stupňa. Tie. z výrazu b x musíte určiť, ktoré faktory možno použiť pre úplný štvorec. Táto metóda Lepšie je to vidieť na príklade: x? + 4 x + 13 = 0

7. Pozrite sa na monomial 4 x. Zrejme môže byť zastúpený v tvare 2 (2 x), t.j. dvojnásobok súčinu x a 2. Následne je potrebné izolovať druhú mocninu súčtu (x + 2). Pre dokreslenie chýba pojem 4, ktorý možno prevziať z voľného pojmu: x? + 4 x + 4 – 9 ? (x + 2)? = 9

8. Vezmite druhú odmocninu: x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Metóda kvadratúry binomu je široko používaná na uľahčenie masívneho algebraické výrazy na rovnakej úrovni ako iné metódy: zoskupenie, nahradenie premennej, umiestnenie univerzálneho faktora mimo zátvorky atď. Dokonalý štvorec je jedným zo skrátených vzorcov na násobenie a špeciálnym prípadom Newtonovho binomu.

Schopnosť počítať druhé mocniny čísel v hlave môže byť užitočná v rôznych životných situáciách, napríklad na rýchle posúdenie investičných transakcií, na výpočet plôch a objemov a v mnohých ďalších prípadoch. Navyše, vedieť počítať štvorčeky v hlave môže slúžiť ako ukážka vašich intelektuálnych schopností. Tento článok popisuje metódy a algoritmy, ktoré vám umožňujú naučiť sa túto zručnosť.

Druhý mocninový súčet a druhý mocninový rozdiel

Jeden z najjednoduchších spôsobov stavania dvojciferné čísla na druhú je technika založená na použití vzorcov druhej mocniny súčtu a druhej mocniny rozdielu:

Ak chcete použiť túto metódu, musíte rozložiť dvojciferné číslo na súčet násobku 10 a čísla menšieho ako 10. Napríklad:

37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Takmer všetky techniky umocnenia (ktoré sú popísané nižšie) sú založené na vzorcoch štvorcového súčtu a štvorcového rozdielu. Tieto vzorce umožnili identifikovať množstvo algoritmov, ktoré v niektorých špeciálnych prípadoch zjednodušujú kvadratúru.

Námestie v blízkosti známeho námestia

Ak sa číslo na druhú moc blíži číslu, ktorého druhú mocninu poznáme, môžeme použiť jednu zo štyroch techník pre zjednodušenú mentálnu aritmetiku:

ešte 1:

Metodológia: na druhú mocninu o číslo menej pripočítame samotné číslo a o číslo menej.

31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

o 1 menej:

Metodológia: Od druhej mocniny čísla, ktoré je o jedno viac, odčítame samotné číslo a číslo, ktoré je o jedno viac.

19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 ďalšie

Metodológia: k druhej mocnine čísla o 2 menej pripočítame dvojnásobok súčtu samotného čísla a čísla o 2 menej.

22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 menej

Metodológia: Od druhej mocniny čísla 2 odčítajte dvojnásobok súčtu samotného čísla a čísla 2 navyše.

48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Všetky tieto techniky možno ľahko dokázať odvodením algoritmov zo vzorcov štvorcového súčtu a štvorcového rozdielu (uvedených vyššie).

Druhá mocnina čísel končiacich na 5

Odmocniť čísla končiace na 5. Algoritmus je jednoduchý. Číslo do posledných piatich vynásobte rovnakým číslom plus jedna. K zvyšnému číslu pridáme 25.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

To platí aj pre zložitejšie príklady:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Štvorec čísel blízkych 50

Spočítajte druhú mocninu čísel, ktoré sú v rozsah od 40 do 60, môžete veľmi jednoduchým spôsobom. Algoritmus je nasledovný: k 25 pripočítame (alebo odčítame), koľko je číslo väčšie (alebo menšie) ako 50. Tento súčet (alebo rozdiel) vynásobíme 100. K tomuto súčinu pripočítame druhú mocninu rozdielu medzi číslo na druhú a päťdesiat. Pozrite si algoritmus v akcii pomocou príkladov:

44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Štvorec trojciferných čísel

Umocnenie trojciferných čísel možno vykonať pomocou jedného zo skrátených vzorcov na násobenie:

Nedá sa povedať, že tento spôsob je vhodný na ústne počítanie, ale najmä ťažké prípady môžete ho použiť:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Školenie

Ak chcete zlepšiť svoje zručnosti na tému tejto lekcie, môžete použiť nasledujúcu hru. Body, ktoré získate, sú ovplyvnené správnosťou vašich odpovedí a časom stráveným na dokončení. Upozorňujeme, že čísla sú zakaždým iné.

Uvažujme teraz o druhej mocnine binomu a z aritmetického hľadiska budeme hovoriť o druhej mocnine súčtu, t.j. (a + b)², a druhej mocnine rozdielu dvoch čísel, t.j. (a – b)².

Keďže (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

potom nájdeme: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², t.j.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Je užitočné zapamätať si tento výsledok ako vo forme vyššie opísanej rovnosti, tak aj slovami: druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus súčinu dvoch prvého a druhého čísla. číslo plus druhá mocnina druhého čísla.

Keď poznáme tento výsledok, môžeme okamžite napísať napríklad:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Pozrime sa na druhý z týchto príkladov. Potrebujeme odmocniť súčet dvoch čísel: prvé číslo je 3ab, druhé 1. Výsledok by mal byť: 1) druhá mocnina prvého čísla, t.j. (3ab)², čo sa rovná 9a²b²; 2) súčin dvoch prvým a druhým číslom, t.j. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) druhá mocnina 2. čísla, t.j. 1² = 1 – všetky tieto tri pojmy treba spočítať.

Získame tiež vzorec na umocnenie rozdielu dvoch čísel, t. j. pre (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

t.j. druhá mocnina rozdielu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus súčin dvoch prvým a druhým číslom plus druhá mocnina druhého čísla.

Keď poznáme tento výsledok, môžeme okamžite vykonať kvadratúru dvojčlenov, ktoré z aritmetického hľadiska predstavujú rozdiel dvoch čísel.

(m – n)² = m² – 2 mil. + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 atď.

Vysvetlime si 2. príklad. Tu máme v zátvorkách rozdiel dvoch čísel: prvé číslo je 5ab 3 a druhé číslo je 3a 2 b. Výsledok by mal byť: 1) druhá mocnina prvého čísla, t.j. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) súčin dvoch 1. a 2. čísla, t.j. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 a 3) druhá mocnina druhého čísla, t. j. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Prvý a tretí výraz treba brať s plusom a druhý s mínusom, dostaneme 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Na vysvetlenie 4. príkladu si len všimneme, že 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... exponent je potrebné vynásobiť 2 a 2) súčin dvoch 1. číslom a 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Ak vezmeme hľadisko algebry, potom obe rovnosti: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² a 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² vyjadrujú to isté, a to: druhá mocnina dvojčlenu sa rovná druhej mocnine prvého člena plus súčin čísla (+2) prvého a druhého člena plus druhá mocnina druhého člena. Je to jasné, pretože naše rovnosti možno prepísať takto:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

V niektorých prípadoch je vhodné interpretovať výsledné rovnosti týmto spôsobom:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Tu odmocníme dvojčlen, ktorého prvý člen = –4a a druhý = –3b. Ďalej dostaneme (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² a nakoniec:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Bolo by tiež možné získať a zapamätať si vzorec na umocnenie trinómu, kvadrinomu alebo akéhokoľvek polynómu vo všeobecnosti. To však neurobíme, pretože tieto vzorce potrebujeme používať len zriedka, a ak potrebujeme odmocniť akýkoľvek polynóm (okrem binomu), zredukujeme záležitosť na násobenie. Napríklad:

31. Aplikujme získané 3 rovnosti, a to:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

na aritmetiku.

Nech je 41 ∙ 39. Potom to môžeme znázorniť vo forme (40 + 1) (40 – 1) a zredukovať hmotu na prvú rovnosť – dostaneme 40² – 1 alebo 1600 – 1 = 1599. Vďaka tomu je ľahké vykonávať násobenia ako 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 atď.

Nech je to 41 ∙ 41; je to rovnaké ako 41² alebo (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Tiež 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ak potrebujete 37, 37 potom sa to rovná (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Takéto násobenia (alebo umocnenie dvojciferných čísel) sa s určitou zručnosťou ľahko vykonáva v hlave.

Pri riešení aritmetických a algebraických úloh je niekedy potrebné konštruovať zlomok V námestie. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je keď zlomok desatinná - stačí obyčajná kalkulačka. Ak však zlomok obyčajné alebo zmiešané, potom pri zvýšení takého počtu na námestie Môžu sa vyskytnúť určité ťažkosti.

Budete potrebovať

kalkulačka, počítač, aplikácia Excel.

Inštrukcie

Na zvýšenie desatinnej čiarky zlomok V námestie, vezmite si inžiniersky, napíšte naň, čo sa stavia námestie zlomok a stlačte zvýšenie na druhý vypínač. Na väčšine kalkulačiek je toto tlačidlo označené ako „x²“. Na štandardnej kalkulačke Windows je funkcia zvýšenia na námestie vyzerá ako "x^2". Napríklad, námestie desatinný zlomok 3,14 sa bude rovnať: 3,14² = 9,8596.

Zabudovať do námestie desiatkový zlomok na bežnej (účtovnej) kalkulačke toto číslo vynásobte samo sebou. Mimochodom, niektoré modely kalkulačiek poskytujú možnosť zvýšiť číslo na námestie aj pri absencii špeciálneho tlačidla. Preto si najprv prečítajte návod na vašu konkrétnu kalkulačku. Niekedy sú na zadnom obale alebo na kalkulačke uvedené "zložité" umocnenia. Napríklad na mnohých kalkulačkách zvýšiť číslo na námestie Stačí stlačiť tlačidlá „x“ a „=“.

Na výstavbu v námestie spoločný zlomok (pozostávajúci z čitateľa a menovateľa), zvýšiť na námestie oddelene čitateľ a menovateľ tohto zlomku. To znamená, že použite nasledujúce pravidlo: (h / z)² = h² / z², kde h je čitateľ zlomku, z je menovateľ zlomku Príklad: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

Ak je zabudovaný námestie zlomok– zmiešané (pozostáva z celočíselnej časti a obyčajného zlomku), potom ho najskôr zredukujte na obyčajný vzhľad. To znamená, že použite nasledujúci vzorec: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², kde c je celá časť zmiešaného zlomku. Príklad: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Ak v námestie(nie ) zlomky sa vyskytujú neustále, potom použite MS Excel. Za týmto účelom zadajte do jednej z tabuliek nasledujúci vzorec: = STUPEŇ (A2;2) kde A2 je adresa bunky, do ktorej sa zadá zvýšená hodnota námestie zlomok.Povedať programu, že so vstupným číslom sa má zaobchádzať ako s zlomok yu (t. j. nekonvertujte ho na desatinné číslo), zadajte predtým zlomokčíslo „0“ a znak „medzera“. To znamená, že ak chcete zadať napríklad zlomok 2/3, musíte zadať: „0 2/3“ (a stlačte Enter). V tomto prípade sa vo vstupnom riadku zobrazí desatinné znázornenie zadaného zlomku. Hodnota a znázornenie samotného zlomku sa uloží v pôvodnej podobe. Okrem toho, ak používate matematické funkcie, ktorých argumenty sú obyčajné zlomky, výsledok bude tiež prezentovaný ako obyčajný zlomok. Preto námestie zlomok 2/3 bude reprezentovaný ako 4/9.