Ako zostrojiť dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol, kolmý na rovinu
"Dihedrálny uhol" - Nájdite vzdialenosť od bodu B k rovine. Uhol C je ostrý. Trojuholník ABC je tupý trojuholník. Uhol C je tupý. Vzdialenosť od bodu k čiare. V štvorstene DABC sú všetky hrany rovnaké. Uhol medzi svahmi. Vzdialenosť medzi základňami nakloneného. Lineárne uhly dihedrálneho uhla sú rovnaké. Algoritmus na zostavenie lineárneho uhla.
"Geometria dihedrálneho uhla" - uhol RSV - lineárny pre uhol klinu s hranou AC. Nájdite (pozrite) hranu a plochy dihedrálneho uhla. Model môže byť trojrozmerný aj skladací. Rez dihedrálneho uhla rovinou kolmou na hranu. Fazety. priamka CP je kolmá na hranu CA (podľa vety o troch kolmičkách). uhol RKV - lineárny pre dihedrálny uhol s RSAV.
"Trojstenný uhol" - Znaky rovnosti trojstenných uhlov. Dané: Оabc – trojstenný uhol; a(b; c) = ?; a (a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcia 6 1) Na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou platí vzorec: Vzorec troch kosínusov. . Daný trojstenný uhol Oabc. trojuholníkový uhol. Veta. V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je plochý uhol na vrchole menší ako 120°.
"Trojstenné a mnohostenné uhly" - Trojstenné uhly dvanástnika. Trojstenné a štvorstenné uhly kosoštvorcového dvanástnika. Tetraedrické rohy osemstenu. Trojstenné rohy štvorstenu. Meranie polyedrických uhlov. Úloha. Mnohostranné rohy. Päťstranné uhly dvadsaťstenu. Vertikálne polyedrické uhly. Trojstenný roh pyramídy. Nech SA1...An je konvexný n-čelný uhol.
"Uhol medzi priamkou a rovinou" - V pravidelnom 6. hranole A ... F1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite uhol medzi priamkou AC1 a rovinou ADE1. V správnom 6. hranole A…F1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite uhol medzi priamkou AA1 a rovinou ACE1. Uhol medzi čiarou a rovinou. V pravidelnom 6. hranole A…F1, ktorého hrany sú rovné 1, nájdite uhol medzi priamkou AB1 a rovinou ADE1.
"Polyedrický uhol" - Konvexné mnohostenné uhly. Mnohostranné rohy. V závislosti od počtu stien sú mnohostenné uhly trojstenné, štvorstenné, päťstenné atď. B) dvadsaťsten. Dva rovinné uhly trojstenného uhla sú 70° a 80°. Preto, ? ASB+? BSC+? ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.
Celkovo je v téme 9 prezentácií
V geometrii, na štúdium tvarov, dva dôležité vlastnosti: dĺžky strán a uhly medzi nimi. V prípade priestorových figúrok sa k týmto charakteristikám pridávajú dihedrálne uhly. Pozrime sa, čo to je, a tiež opíšme metódu určenia týchto uhlov pomocou príkladu pyramídy.
Koncept dihedrálneho uhla
Každý vie, že dve pretínajúce sa čiary zvierajú s vrcholom uhol v bode ich priesečníka. Tento uhol je možné merať pomocou uhlomeru alebo môžete použiť goniometrické funkcie vypočítať to. Uhol tvorený dvoma pravými uhlami sa nazýva lineárny uhol.
Teraz si to predstavme v trojrozmerný priestor Existujú dve roviny, ktoré sa pretínajú v priamke. Sú zobrazené na obrázku.
Dihedrálny uhol je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami. Rovnako ako lineárne, meria sa v stupňoch alebo radiánoch. Ak k akémukoľvek bodu priamky, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, obnovte dve kolmice ležiace v týchto rovinách, potom uhol medzi nimi bude požadovaný dihedral. Najjednoduchší spôsob, ako určiť tento uhol, je použiť rovnice rovín v všeobecný pohľad.
Rovnica rovín a vzorec pre uhol medzi nimi
Rovnica akejkoľvek roviny vo vesmíre je vo všeobecnosti napísaná takto:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Tu x, y, z sú súradnice bodov patriacich do roviny, koeficienty A, B, C, D sú nejaké známe čísla. Výhodou tejto rovnosti na výpočet dihedrálnych uhlov je, že explicitne obsahuje súradnice smerového vektora roviny. Označíme ho n¯. potom:
Vektor n¯ je kolmý na rovinu. Uhol medzi dvoma rovinami rovný uhlu medzi ich n 1 ¯ a n 2 ¯. Z matematiky je známe, že uhol tvorený dvoma vektormi je jednoznačne určený z ich skalárneho súčinu. To vám umožní napísať vzorec na výpočet dihedrálneho uhla medzi dvoma rovinami:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).
Ak dosadíme súradnice vektorov, vzorec bude napísaný explicitne:
φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √ (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).
Znamienko modulo v čitateli sa používa iba na určenie ostrý roh, pretože dihedrálny uhol je vždy menší alebo rovný 90 o.
Pyramída a jej rohy
Pyramída je obrazec, ktorý je tvorený jedným n-uholníkom a n trojuholníkmi. Tu n je celé číslo rovné počtu strán mnohouholníka, ktorý je základňou pyramídy. Tento priestorový obrazec je mnohosten alebo mnohosten, pretože pozostáva z plochých plôch (strany).
Pyramídové mnohosteny môžu byť dvoch typov:
- medzi základňou a stranou (trojuholník);
- medzi oboma stranami.
Ak je pyramída považovaná za správnu, potom nie je ťažké určiť pre ňu pomenované uhly. Aby ste to dosiahli, podľa súradníc troch známych bodov by sa mala zostaviť rovnica rovín a potom použiť vzorec uvedený v odseku vyššie pre uhol φ.
Nižšie uvádzame príklad, v ktorom ukážeme, ako nájsť dihedrálne uhly na základni štvorhrannej pravidelnej pyramídy.
Štvoruholník a uhol pri jeho základni
Predpokladajme, že máme pravidelnú pyramídu so štvorcovou základňou. Dĺžka strany štvorca je a, výška postavy je h. Nájdite uhol medzi základňou pyramídy a jej stranou.
Počiatok súradnicového systému umiestnime do stredu štvorca. Potom súradnice bodov A, B, C, D zobrazené na obrázku sa budú rovnať:
A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);
Zoberme si roviny ACB a ADB. Je zrejmé, že smerový vektor n 1 ¯ pre rovinu ACB sa bude rovnať:
Pri určení smerového vektora n 2 ¯ roviny ADB postupujeme takto: nájdeme ľubovoľné dva k nej patriace vektory, napríklad AD¯ a AB¯, potom vypočítame ich krížový súčin. Jeho výsledkom budú súradnice n 2 ¯. Máme:
AD3 = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n2 = = [(-a/2; a/2; h) x (0; a; 0)] = (-a x h; 0; -a2/2).
Keďže násobenie a delenie vektora číslom nemení jeho smer, transformujeme výsledné n 2 ¯, delením jeho súradníc -a dostaneme:
Definovali sme smerové vektory n 1 ¯ a n 2 ¯ pre základné roviny ACB a bočnú stranu ADB. Zostáva použiť vzorec pre uhol φ:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).
Transformujme výsledný výraz a prepíšme ho takto:
φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).
Získali sme vzorec pre dihedrálny uhol v základni pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu. Keď poznáte výšku postavy a dĺžku jej strany, môžete vypočítať uhol φ. Napríklad pre Cheopsovu pyramídu, ktorej strana základne je 230,4 metra a počiatočná výška bola 146,5 metra, bude uhol φ rovný 51,8 o.
Pomocou geometrickej metódy môžete určiť aj dihedrálny uhol pre štvoruholníkový pravidelný ihlan. Na to stačí zvážiť pravouhlý trojuholník tvorený výškou h, polovicou dĺžky základne a/2 a apotémou rovnoramenného trojuholníka.
Dihedrálny uhol. Lineárny uhol dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol je útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré nepatria do tej istej roviny a majú spoločnú hranicu - priamku a. Polroviny, ktoré zvierajú dihedrálny uhol, sa nazývajú jeho steny a spoločná hranica týchto polrovín sa nazýva hrana dihedrálneho uhla. Lineárny uhol dihedrálneho uhla je uhol, ktorého strany sú lúče, pozdĺž ktorých sa strany dihedrálneho uhla pretínajú s rovinou kolmou na hranu dihedrálneho uhla. Každý dihedrálny uhol má ľubovoľný počet lineárnych uhlov: cez každý bod hrany možno nakresliť rovinu kolmú na túto hranu; lúče, pozdĺž ktorých táto rovina pretína plochy dihedrálneho uhla, a tvoria lineárne uhly.
Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné. Dokážme, že ak sú uhly klenby, ktoré zviera rovina základne pyramídy KABC a roviny jej bočných plôch rovnaké, potom základňa kolmice vedenej z vrcholu K je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka. ABC.
Dôkaz. Najprv zostrojíme lineárne uhly s rovnakými dihedrálnymi uhlami. Podľa definície musí byť rovina lineárneho uhla kolmá na hranu dihedrálneho uhla. Preto musí byť okraj dihedrálneho uhla kolmý na strany lineárneho uhla. Ak je KO kolmé na rovinu podstavy, potom môžeme nakresliť OP kolmo na AC, OR kolmo na CB, OQ na kolmicu AB a potom spojiť body P, Q, R s bodom K. Zostrojíme teda priemet šikmých RK, QK, RK tak, aby hrany AC, CB, AB boli kolmé na tieto výstupky. V dôsledku toho sú tieto hrany tiež kolmé na šikmé. A preto sú roviny trojuholníkov ROK, QOK, ROK kolmé na zodpovedajúce hrany dihedrálneho uhla a tvoria tie rovnaké lineárne uhly, ktoré sú uvedené v podmienke. Pravouhlé trojuholníky ROK, QOK, ROK sú rovnaké (keďže majú spoločnú nohu OK a uhly protiľahlé k tejto vetve sú rovnaké). Preto OR = OR = OQ. Ak nakreslíme kružnicu so stredom O a polomerom OP, tak strany trojuholníka ABC sú kolmé na polomery OP, OR a OQ, a preto sa dotýkajú tejto kružnice.
Kolmosť roviny. Roviny alfa a beta sa nazývajú kolmé, ak lineárny uhol jedného z uhlov klenby vytvorených v ich priesečníku je 90". Znaky kolmosti dvoch rovín Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom tieto roviny sú kolmé.
Na obrázku je znázornený pravouhlý rovnobežnosten. Jeho základňami sú obdĺžniky ABCD a A1B1C1D1. A bočné hrany AA1 BB1, CC1, DD1 sú kolmé na základne. Z toho vyplýva, že AA1 je kolmá na AB, t.j. bočná plocha je obdĺžnik. Je teda možné doložiť vlastnosti kvádra: V kvádri je všetkých šesť stien obdĺžniky. V kvádri je všetkých šesť plôch obdĺžniky. Všetky dihedrálne uhly kvádra sú pravé. Všetky dihedrálne uhly kvádra sú pravé.
Veta Druhá mocnina uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov. Vráťme sa znova k obrázku a dokážeme, že AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Keďže hrana CC1 je kolmá na základňu ABCD, uhol AC1 je správny. Od správny trojuholník ACC1 podľa Pytagorovej vety dostaneme AC12=AC2+CC12. Ale AC je uhlopriečka obdĺžnika ABCD, takže AC2 = AB2+AD2. Tiež CC1 = AA1. Preto AC12=AB2+AD2+AA12 Veta je dokázaná.
Koncept dihedrálneho uhla
Aby sme predstavili pojem dihedrálneho uhla, najprv si pripomenieme jednu z axióm stereometrie.
Ľubovoľnú rovinu možno rozdeliť na dve polroviny priamky $a$ ležiacej v tejto rovine. V tomto prípade sú body ležiace v tej istej polrovine na tej istej strane priamky $a$ a body ležiace v rôznych polrovinách sú na tej istej strane. rôzne strany od priamky $a$ (obr. 1).
Obrázok 1.
Na tejto axióme je založený princíp konštrukcie dihedrálneho uhla.
Definícia 1
Postava sa volá dihedrálny uhol ak sa skladá z priamky a dvoch polrovín tejto priamky, ktoré nepatria do tej istej roviny.
V tomto prípade sa nazývajú polroviny dihedrálneho uhla tváre a priamka oddeľujúca polroviny - dihedrálny okraj(obr. 1).
Obrázok 2. Dihedrálny uhol
Miera stupňa dihedrálneho uhla
Definícia 2
Zvolíme si ľubovoľný bod $A$ na hrane. Uhol medzi dvoma priamkami ležiacimi v rôznych polrovinách, kolmých na hranu a pretínajúcimi sa v bode $A$, sa nazýva lineárny uhol dihedrálny uhol(obr. 3).
Obrázok 3
Je zrejmé, že každý dihedrálny uhol má nekonečný počet lineárnych uhlov.
Veta 1
Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.
Dôkaz.
Uvažujme dva lineárne uhly $AOB$ a $A_1(OB)_1$ (obr. 4).
Obrázok 4
Keďže lúče $OA$ a $(OA)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\alpha $ a sú kolmé na jednu priamku, sú kosmerné. Keďže lúče $OB$ a $(OB)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\beta $ a sú kolmé na jednu priamku, sú kosmerné. Preto
\[\uhol AOB=\uhol A_1(OB)_1\]
Vzhľadom na svojvoľnosť výberu lineárnych uhlov. Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.
Veta bola dokázaná.
Definícia 3
Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa lineárneho uhla dihedrálneho uhla.
Príklady úloh
Príklad 1
Dajme nám dve nekolmé roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $m$. Bod $A$ patrí rovine $\beta $. $AB$ je kolmica na priamku $m$. $AC$ je kolmý na rovinu $\alpha $ (bod $C$ patrí $\alpha $). Dokážte, že uhol $ABC$ je lineárnym uhlom dihedrálneho uhla.
Dôkaz.
Nakreslíme obrázok podľa stavu problému (obr. 5).
Obrázok 5
Aby sme to dokázali, pripomíname si nasledujúcu vetu
Veta 2: Priamka prechádzajúca základňou naklonenej, kolmá na ňu, je kolmá na jej priemet.
Pretože $AC$ je kolmica na rovinu $\alpha $, potom bod $C$ je priemetom bodu $A$ do roviny $\alpha $. Preto $BC$ je projekcia šikmej $AB$. Podľa vety 2 je $BC$ kolmý na hranu dihedrálneho uhla.
Potom uhol $ABC$ spĺňa všetky požiadavky na definovanie lineárneho uhla dihedrálneho uhla.
Príklad 2
Dihedrálny uhol je $30^\circ$. Na jednej z plôch leží bod $A$, ktorý je od druhej plochy vo vzdialenosti $4$ cm. Nájdite vzdialenosť od bodu $A$ k okraju uhla klinu.
Riešenie.
Pozrime sa na obrázok 5.
Podľa predpokladu máme $AC=4\ cm$.
Podľa definície stupňovej miery dihedrálneho uhla máme, že uhol $ABC$ sa rovná $30^\circ$.
Trojuholník $ABC$ je pravouhlý trojuholník. Podľa definície sínusu ostrého uhla
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:
V planimetrii sú hlavnými objektmi čiary, segmenty, lúče a body. Lúče vychádzajúce z jedného bodu tvoria jeden z ich geometrických tvarov – uhol.
Vieme, že lineárny uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.
V stereometrii sa k objektom pridáva rovina. Útvar tvorený priamkou a a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou a, ktoré geometriou nepatria do rovnakej roviny, sa nazýva dihedrálny uhol. Polovičné roviny sú plochy dihedrálneho uhla. Priamka a je hrana dihedrálneho uhla.
Dihedrálny uhol, podobne ako lineárny uhol, možno pomenovať, zmerať, postaviť. Toto sa dozvieme v tejto lekcii.
Nájdite dihedrálny uhol na modeli štvorstenu ABCD.
Dihedrálny uhol s hranou AB sa nazýva CABD, kde body C a D patria rôznym stranám uhla a hrana AB sa nazýva v strede.
Okolo nás je veľa predmetov s prvkami v tvare dihedrálneho uhla.
V mnohých mestách sú v parkoch inštalované špeciálne lavičky na zmierenie. Lavička je vyrobená vo forme dvoch naklonených rovín zbiehajúcich sa smerom k stredu.
Pri stavbe domov sa používa tzv sedlová strecha. Strecha tohto domu je vyrobená vo forme šikmého uhla 90 stupňov.
Dihedrálny uhol sa tiež meria v stupňoch alebo radiánoch, ale ako ho merať.
Zaujímavosťou je, že strechy domov ležia na krokve. A prepravka krokiev tvorí dva strešné svahy pod daným uhlom.
Prenesieme obrázok na výkres. Na nákrese sa na nájdenie uhlu klinu vyznačí na jeho okraji bod B. Z tohto bodu sa kolmo na hranu uhla nakreslia dva nosníky BA a BC. Uhol ABC vytvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla.
Miera stupňa dihedrálneho uhla sa rovná miere stupňa jeho lineárneho uhla.
Zmeriame uhol AOB.
Miera stupňa daného dihedrálneho uhla je šesťdesiat stupňov.
Lineárne uhly pre dihedrálny uhol môžu byť nakreslené v nekonečnom počte, je dôležité vedieť, že sú všetky rovnaké.
Zvážte dva lineárne uhly AOB a A1O1B1. Lúče OA a O1A1 ležia v rovnakej ploche a sú kolmé na priamku OO1, takže sú spolu nasmerované. Lúče OB a O1B1 sú tiež spoluriadené. Preto sa uhol AOB rovná uhlu A101B1 ako uhol so súosmernými stranami.
Takže dihedrálny uhol je charakterizovaný lineárnym uhlom a lineárne uhly sú ostré, tupé a pravé. Zvážte modely dihedrálnych uhlov.
Tupý uhol je taký, ktorého lineárny uhol je medzi 90 a 180 stupňami.
Pravý uhol, ak je jeho lineárny uhol 90 stupňov.
Ostrý uhol, ak je jeho lineárny uhol medzi 0 a 90 stupňami.
Dokážme jednu z dôležitých vlastností lineárneho uhla.
Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.
Nech uhol AOB je lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Podľa konštrukcie sú lúče AO a OB kolmé na priamku a.
Rovina AOB prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami AO a OB podľa vety: Rovina prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami a navyše iba jednou.
Priamka a je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine, čo znamená, že znamienkom kolmosti priamky a roviny je priamka a kolmá na rovinu AOB.
Na riešenie problémov je dôležité vedieť zostaviť lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AB pre štvorsten ABCD.
Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý je tvorený jednak hranou AB, jednou fazetou ABD, druhou fazetou ABC.
Tu je jeden spôsob, ako stavať.
Z bodu D nakreslíme kolmicu na rovinu ABC, bod M označíme ako základňu kolmice. Pripomeňme, že v štvorstene sa základňa kolmice zhoduje so stredom vpísanej kružnice v základni štvorstenu.
Nakreslite sklon z bodu D kolmo na hranu AB, označte bod N ako základňu svahu.
V trojuholníku DMN bude úsečka NM priemety šikmej DN do roviny ABC. Podľa vety o troch kolmičkách bude hrana AB kolmá na priemet NM.
To znamená, že strany uhla DNM sú kolmé na hranu AB, čo znamená, že zostrojený uhol DNM je požadovaný lineárny uhol.
Zvážte príklad riešenia problému výpočtu dihedrálneho uhla.
Rovnoramenný trojuholník ABC a pravidelný trojuholník ADB neležia v rovnakej rovine. Úsek CD je kolmý na rovinu ADB. Nájdite dihedrálny uhol DABC, ak AC=CB=2cm, AB=4cm.
Dihedrálny uhol DABC sa rovná jeho lineárnemu uhlu. Postavme tento roh.
Narysujme si šikmý SM kolmo na hranu AB, keďže trojuholník ACB je rovnoramenný, potom sa bod M bude zhodovať so stredom hrany AB.
Priamka CD je kolmá na rovinu ADB, čo znamená, že je kolmá na priamku DM ležiacu v tejto rovine. A segment MD je priemetom šikmého SM do roviny ADB.
Priamka AB je konštrukciou kolmá na šikmú CM, čo znamená, že podľa vety o troch kolmičkách je kolmá na priemet MD.
Na hranu AB teda nájdeme dve kolmice CM a DM. Tak tvoria lineárny uhol СMD dihedrálneho uhla DABC. A zostáva nám to nájsť z pravouhlého trojuholníka СDM.
Keďže úsečka SM je stred a výška rovnoramenného trojuholníka ASV, potom podľa Pytagorovej vety je noha SM 4 cm.
Z pravouhlého trojuholníka DMB sa podľa Pytagorovej vety noha DM rovná dvom koreňom z troch.
Kosínus uhla z pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru susednej vetvy MD k prepone CM a rovná sa trom odmocninám tri krát dva. Takže uhol CMD je 30 stupňov.
