Výskumná práca: "História vzniku kvadratických rovníc." Z histórie vzniku kvadratických rovníc

Z histórie kvadratických rovníc Autor: študent 9. triedy "A" Radchenko Svetlana Vedúci: Alabugina I.A. učiteľ matematiky MBOU “Stredná škola č. 5 v Guryevsku” v regióne Kemerovo Oblasť prezentácie: matematika Vyrobené na pomoc učiteľovi Celkom 20 snímok Obsah Úvod……………………………………………………… ………… …………………3 Z histórie vzniku kvadratické rovnice Kvadratické rovnice v starovekom Babylone……………………………………….4 Kvadratické rovnice v Indii………………………………………………………………... 5 kvadratických rovníc v Al-Khorezme………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………..7 Kvadratické rovnice v Európe XII – XVII storočia………………………………………...8 3. Kvadratické rovnice dnes……………………………………………………… …….10 Metódy na štúdium kvadratických rovníc…………… ………………………11 10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc………………………………………….12 Algoritmus na riešenie neúplných kvadratické rovnice……………………………………………………………………………………………… 13 Algoritmus na riešenie úplných štvorcových rovníc……………… …………..14 Riešenie vyššie uvedených kvadratických rovníc………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………… ………………………….16 5. Záver. ………………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Zoznam použitej literatúry………………………… … ………………….19 2 Úvod Považovať za nešťastný ten deň alebo hodinu, v ktorej ste sa nenaučili nič nové, nepridalo nič k vášmu vzdelaniu. Jan Amos Comenius 3 Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna stavba algebry. Sú široko používané pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Kvadratické rovnice v školskom kurze algebry zaujímajú popredné miesto. Veľa školského času v matematike sa venuje ich štúdiu. Kvadratické rovnice v podstate slúžia na špecifické praktické účely. Väčšina problémov o priestorových formách a kvantitatívnych vzťahoch reálneho sveta sa rieši rôzne druhy rovníc vrátane kvadratických. Osvojením si spôsobov ich riešenia ľudia nachádzajú odpovede na rôzne otázky z vedy a techniky. Z histórie vzniku kvadratických rovníc Staroveký Babylon: už asi 2000 rokov pred naším letopočtom Babylončania vedeli, ako riešiť kvadratické rovnice. Boli známe metódy riešenia úplných aj neúplných kvadratických rovníc. Napríklad v starovekom Babylone boli vyriešené tieto kvadratické rovnice: 4 India Problémy vyriešené pomocou kvadratických rovníc sa nachádzajú v pojednaní o astronómii „Aryabhattiam“, ktoré napísal indický astronóm a matematik Aryabhata v roku 499 nl. Ďalší indický vedec, Brahmagupta, načrtol univerzálne pravidlo na riešenie kvadratickej rovnice zredukovanej na kanonickú formu: ax2+bx=c; navyše sa predpokladalo, že všetky koeficienty v ňom okrem „a“ môžu byť záporné. Pravidlo formulované vedcom sa v podstate zhoduje s tým moderným. 5 Al-Khwarizmiho kvadratické rovnice: Al-Khwarizmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc, pričom ich vyjadruje takto: „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 = bx.; "Štvorce sa rovnajú číslu", t.j. ax2 = c; "Korene sa rovnajú číslu", t.j. sekera \u003d c; „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax2 + c = bx; "Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu", t.j. ax2 + bx = c; "Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom", t.j. bx + c = ax2. 6 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice: Jedným z najzvláštnejších starovekých gréckych matematikov bol Diophantus Alexandrijský. Doteraz nebol objasnený ani rok narodenia, ani dátum Diofantovej smrti; Predpokladá sa, že žil v 3. storočí. AD Z diel Diofanta je najdôležitejšia Aritmetika, z ktorej sa do dnešného dňa zachovalo iba 6 kníh. Diophantusova „Aritmetika“ neobsahuje systematický výklad algebry, ale obsahuje množstvo problémov, sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa. Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie. 7 Kvadratické rovnice v Európe XII-XVII storočia: Taliansky matematik Leonard Fibonacci nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jeden kanonický tvar x2 + bx = c so všetkými možnými kombináciami znakov a koeficientov b, c sformuloval v Európe v roku 1544 Michael Stiefel. 8 François Viet Francúzsky matematik F. Viet (1540-1603), zaviedol systém algebraických symbolov, vyvinul základy elementárnej algebry. Bol jedným z prvých, ktorí začali označovať čísla písmenami, čím sa výrazne rozvinula teória rovníc. Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice v všeobecný pohľad Viet má, ale Viet uznával len pozitívne korene. 9 Kvadratické rovnice dnes Schopnosť riešiť kvadratické rovnice slúži ako základ pre riešenie iných rovníc a ich sústav. Učenie sa riešiť rovnice začína ich najjednoduchšími typmi a program spôsobuje postupné hromadenie oboch ich typov a „fondu“ identických a ekvivalentných transformácií, pomocou ktorých môžete ľubovoľnú rovnicu priviesť k najjednoduchším. V tomto smere by sa mal budovať aj proces formovania zovšeobecnených metód riešenia rovníc v školskom kurze algebry. Na stredoškolskom kurze matematiky sa študenti stretávajú s novými triedami rovníc, systémov alebo s hĺbkovým štúdiom už známych rovníc. Táto téma sa vyznačuje veľkou hĺbkou prezentácie a bohatosťou súvislostí vytvorených s jej pomocou pri učení, logickou platnosťou prezentácie. Preto zaujíma výnimočné postavenie v rade rovníc a nerovníc. Dôležitým bodom pri štúdiu kvadratických rovníc je úvaha o Vietovej vete, ktorá hovorí o existencii vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi redukovanej kvadratickej rovnice. Náročnosť zvládnutia Vieta vety je spojená s viacerými okolnosťami. V prvom rade je potrebné vziať do úvahy rozdiel medzi priamymi a inverznými vetami. 11 10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc: Faktorizácia ľavej strany rovnice. Metóda výberu plného štvorca. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca. Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety. Riešenie rovníc metódou "prenosu" Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice. Grafické riešenie kvadratickej rovnice. Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka. 12 Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu. Geometrický spôsob riešenia kvadratických rovníc. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc 1) ak má rovnica tvar ax2 = 0, potom má jeden koreň x = 0; 2) ak má rovnica tvar ax2 + bx = 0, potom sa použije faktorizačná metóda: x (ax + b) = 0; takže buď x = 0 alebo ax + b = 0. Výsledkom sú dva korene: x1 = 0; x2 \u003d 3) ak má rovnica tvar ax2 + c \u003d 0, potom sa prevedie na tvar ax2 \u003d - c a potom x2. = V prípade, keď -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, t.j. - \u003d m, kde m>0, rovnica x2 \u003d m má dva korene. Neúplná kvadratická rovnica teda môže mať dva korene, jeden koreň, žiadny koreň. 13 Algoritmus na riešenie úplnej kvadratickej rovnice. Sú to rovnice v tvare ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c sú dané čísla a ≠ 0, x je neznáma. Akákoľvek úplná kvadratická rovnica môže byť prevedená do tvaru s cieľom určiť počet koreňov kvadratickej rovnice a nájsť tieto korene. Uvažujú sa tieto prípady riešenia úplných kvadratických rovníc: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ak D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, potom kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 má dva korene, ktoré nájdeme podľa vzorcov: ; 14 Riešenie redukovaných kvadratických rovníc Veta F. Vietu: Súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Inými slovami, ak x1 a x2 sú koreňmi rovnice x2 +px + q = 0, potom x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Premeňte vetu na Vietovu vetu: Ak sú vzorce (*) platné pre čísla x1, x2, p, q, potom x1 a x2 sú koreňmi rovnice x2 + px + q = 0. 15 Praktické aplikácie kvadratické rovnice na riešenie aplikovaných Bhaskarových problémov (1114-1185) - najväčší indický matematik a astronóm 12. storočia. Viedol astronomické observatórium v ​​Ujjaine. Bhaskara napísal pojednanie „Siddhanta-shiromani“ („Koruna učenia“), pozostávajúce zo štyroch častí: „Lilavati“ sa venuje aritmetike, „Bizhdaganita“ – algebre, „Goladhaya“ – sfére, „Granhaganita“ – k teórii pohybu planét. Bhaskara dostal negatívne korene rovníc, hoci pochyboval o ich význame. Vlastní jeden z prvých projektov s trvalým pohybom. 16 Jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskara: Bhaskarovo riešenie naznačuje, že autor si bol vedomý dvojakej hodnoty koreňov kvadratických rovníc. 17 Záver Vývoj vedy o riešení kvadratických rovníc prešiel dlhou a tŕnistou cestou. Až po prácach Stiefela, Vietu, Tartaglia, Cardana, Bombelliho, Girarda, Descarta, Newtona prijala veda o riešení kvadratických rovníc moderný vzhľad. Hodnota kvadratických rovníc nespočíva len v elegancii a stručnosti riešenia problémov, aj keď je to veľmi dôležité. Nemenej dôležitá je skutočnosť, že v dôsledku používania kvadratických rovníc pri riešení úloh sa často objavujú nové detaily, dajú sa robiť zaujímavé zovšeobecnenia a spresnenia, ktoré sú vyvolané analýzou získaných vzorcov a vzťahov. Pri štúdiu literatúry a internetových zdrojov súvisiacich s históriou vývoja kvadratických rovníc som si položil otázku: „Čo motivovalo vedcov, ktorí žili v takej ťažkej dobe, aby robili vedu, dokonca aj pod hrozbou smrti? Pravdepodobne je to predovšetkým zvedavosť ľudskej mysle, ktorá je kľúčom k rozvoju vedy. Otázky o podstate Sveta, o mieste človeka na tomto svete prenasledujú v každej dobe premýšľajúcich, zvedavých, rozumných ľudí. Ľudia sa vždy snažili pochopiť sami seba, svoje miesto vo svete. Pozri sa aj do seba, možno trpí tvoja prirodzená zvedavosť, lebo si podľahol všednosti, lenivosti? Osud mnohých vedcov – 18 príkladov, ktoré treba nasledovať. Nie všetky mená sú známe a obľúbené. Zamyslite sa: čím som pre ľudí okolo mňa? Najdôležitejšie však je, aký mám zo seba pocit, zaslúžim si rešpekt? Premýšľajte o tom... Referencie 1. Zvavich L.I. “Algebra Grade 8”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ encyklopedický slovník mladý matematik“, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev „Algebra Grade 8“, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Ďakujem za pozornosť 20

Predstavitelia rôznych civilizácií: staroveký Egypt, Staroveký Babylon, Staroveké Grécko, starovekej Indii, Staroveká Čína, Stredoveký východ, Európa ovládali techniky riešenia kvadratických rovníc.

Matematici starovekého Egypta boli prvýkrát schopní vyriešiť kvadratickú rovnicu. Jeden z matematických papyrusov obsahuje problém:

"Nájdite strany poľa, ktoré má tvar obdĺžnika, ak jeho plocha je 12, a - dĺžky sa rovnajú šírke." "Dĺžka poľa je 4," hovorí papyrus.

Prešli tisícročia, záporné čísla vstúpili do algebry. Vyriešením rovnice x² = 16 dostaneme dve čísla: 4, -4.

Samozrejme, v egyptskom probléme by sme brali X = 4, pretože dĺžka poľa môže byť iba kladná hodnota.

Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci vlastnili niektoré všeobecné metódy na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Pravidlo na riešenie kvadratických rovníc, uvedené v babylonských textoch, je v podstate rovnaké ako to moderné, ale nie je známe, ako Babylončania „došli k tomuto bodu“. Ale takmer vo všetkých nájdených papyrusoch a klinových textoch sú uvedené len problémy s riešeniami. Autori len príležitostne doplnili svoje numerické výpočty zlými komentármi ako: "Pozri sa!", "Urob to!", "Našli ste to správne!".

Grécky matematik Diophantus napísal a vyriešil kvadratické rovnice. Jeho „Aritmetika“ neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Úlohy na zostavenie kvadratických rovníc sa už nachádzajú v astronomickom pojednaní „Aria-bhatiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Ariabhatta.

Ďalší indický učenec Brahmagupta (7. storočie) načrtol všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc v tvare ax² + bx = c.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh o takýchto súťažiach sa hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vedec človek zatieniť slávu iného ľudové zhromaždenia navrhovanie a riešenie algebraických problémov“. Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika XII. Bhaskara:

Kŕdeľ vtipných opíc

Dobre jesť, baviť sa.

Ôsma časť z nich na námestí sa zabávala na čistinke.

A dvanásť pozdĺž viniča ... začalo skákať, visieť ...​

Koľko bolo opíc

Povieš mi, v tomto stáde?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel o dvojakej hodnote koreňov kvadratických rovníc.

Najstaršie čínske matematické texty, ktoré sa k nám dostali, sa datujú do konca 1. storočia pred naším letopočtom. BC. V II storočí. BC. Bola napísaná Matematika v deviatich knihách. Neskôr, v 7. storočí, bola zaradená do zbierky „Desať klasických traktátov“, ktorá bola študovaná po mnoho storočí. Traktát „Matematika v deviatich knihách“ vysvetľuje, ako extrahovať Odmocnina pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.

Metóda sa nazývala "tian-yuan" (doslova - " nebeský prvok“) - takto Číňania označili neznáme množstvo.​

Prvým návodom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym, bola práca bagdadského učenca z 9. storočia. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Slovo „al-jabr“ sa časom zmenilo na známe slovo „algebra“ a samotná práca al-Khwarizmiho sa stala východiskom vo vývoji vedy o riešení rovníc. Al-Khorezmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza šesť typov rovníc a vyjadruje ich takto:

-druhé mocniny rovnaké korene, to je ach ² = bx;

-štvorce rovnaký počet, to je ach ² = c;

-korene sa rovnajú číslu, to znamená ax = c;

-štvorce a čísla sa rovnajú koreňom, to je ach ²+ c \u003d bx;

-druhé mocniny a odmocniny sa rovnajú číslu, to je ach ² + bx \u003d c;

-korene a čísla sú štvorcové t.j. bx + c = ax ²;

Traktát al-Khwarizmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a v ktorej je systematicky prezentovaná klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z Knihy počítadla boli zahrnuté takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. – 17. storočia. a časť 18. storočia.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jedinú kanonickú formu x ² + bx \u003d c, so všetkými možnými kombináciami znakov koeficientov b a c, sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Vieta má všeobecné odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, no uznával aj len kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. brať do úvahy okrem pozitívnych aj negatívnych koreňov. Až v 17. storočí vďaka prácam Girarda, Descarta, Newtona a ďalších vedcov nadobudol spôsob riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

​

​

Kvadratické rovnice v starovekom Babylone zemné práce vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Babylončania vedeli riešiť kvadratické rovnice asi 2000 rokov pred našou vierou. Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice: pravidlá. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia. Napriek tomu vysoký stupeň rozvoj algebry v Babylonii, v klinopisných textoch neexistuje pojem záporného čísla a bežné metódy riešenia kvadratických rovníc.

Ako Diophantus zostavil a vyriešil kvadratické rovnice „Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a súčin je 96“ Diophantus argumentuje takto: z podmienky problému vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, pretože ak by sa rovnali, ich súčin by nebol 96, ale 100. Jeden z nich by teda bol viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10+X, druhý je menší, t.j. 10-X. Rozdiel medzi nimi je 2X, teda X=2. Jedno z požadovaných čísel je 12, druhé 8. Riešenie X = -2 pre Diofanta neexistuje, keďže grécka matematika poznala iba kladné čísla. ROVNICE: alebo inak:

Kvadratické rovnice v Indii Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú aj v astronomickom pojednaní „Aryabhattam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta, načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jednu kanonickú formu: ax ² +bx=c, a>0 Ôsma časť z nich na námestí som sa zabával na čistinke. A dvanásť pozdĺž viniča ... Začali skákať visiac ... Koľko opíc bolo, povedzte mi, v tomto kŕdli?. Rovnica zodpovedajúca problému: Baskara píše pod zámienkou: Doplnené ľavá strana na námestie 0 Jeden z problémov slávneho indického matematika z 12. storočia Bhaskaru Kŕdeľ šantivých opíc Potom, čo sa dosýta najedli, zabávali sa. Ôsma časť z nich na námestí som sa zabával na čistinke. A dvanásť pozdĺž viniča ... Začali skákať visiac ... Koľko opíc bolo, povedzte mi, v tomto kŕdli?. Rovnica zodpovedajúca problému: Baskara píše pod rúškom: Doplnil ľavú stranu na štvorec, ">

Kvadratické rovnice v starovekej Ázii Takto vyriešil túto rovnicu stredoázijský vedec al-Khwarizmi: Napísal: „Pravidlo je toto: zdvojnásobte počet koreňov, x = 2x 5, dostanete päť v tomto probléme, vynásobte 5 týmto rovným dielom. k tomu bude dvadsaťpäť, 5 5=25 toto pripočítaj k tridsiatim deviatim, bude to šesťdesiatštyri, 64 odmocni z toho, bude osem, 8 a odpočítaj od toho polovicu počtu koreňov, t.j. päť, 8-5 zostane 3 toto bude odmocnina zo štvorca, ktorú ste hľadali." A čo druhý koreň? Druhý koreň sa nenašiel, pretože záporné čísla neboli známe. x x = 39

Kvadratické rovnice v Európe XIII-XVII storočia. Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jediný kanonický tvar x2 + in + c = 0 sformuloval v Európe až Stiefel v roku 1544. Vzorce na riešenie kvadratických rovníc v Európe prvýkrát uviedol v roku 1202 taliansky matematik Leonard Fibonacci. Vieta má všeobecnú deriváciu vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladné korene. Až v 17. storočí vďaka prácam Descarta, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu

O vete Vieta sa rovná D. Pre pochopenie Viety treba pripomenúť, že A, ako každá hláska, znamenalo neznáme (naše x), kým hlásky B, D sú koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Viety znamená: Ak má daná kvadratická rovnica x 2 +px + q \u003d 0 reálne korene, ich súčet sa rovná -p a súčin sa rovná q, teda je, x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná na voľný termín).

Faktorizačná metóda má priniesť všeobecnú kvadratickú rovnicu do tvaru: A(x)·B(x)=0, kde A(x) a B(x) sú polynómy vzhľadom na x. Účel: Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek; Používanie skrátených vzorcov na násobenie; metóda zoskupovania. Spôsoby: Príklad:

Korene kvadratickej rovnice: Ak D>0, Ak D 0, Ak D"> 0, Ak D"> 0, Ak D" title=" Kvadratické korene: Ak D>0, Ak D"> title="Korene kvadratickej rovnice: Ak D>0, Ak D"> !}

X 1 a x 2 sú korene rovnice Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, čo znamená, že korene majú rôzne znamenia X 1 + X 2 \u003d - 3, čo znamená, že koreň je väčší v absolútnej hodnote - záporný Výberom nájdeme korene: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Napríklad:

0, podľa vety konvertujúcej k Vietovej vete získame korene: 5, 6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovnice "title="(! LANG: Riešte rovnicu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Koeficient 2 prenesieme na voľný člen y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, podľa k vete, inverznej k Vietovej vete, dostaneme korene: 5;6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovnice" class="link_thumb"> 14 !} Vyriešte rovnicu: 2x x +15 \u003d 0. Preneste koeficient 2 na voľný člen y y +30 \u003d 0. D> 0, podľa vety, inverznej k vete Vieta, dostaneme korene: 5 6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2, 5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovníc metódou "prenosu" 0, podľa vety konvertujúcej k Vietovej vete získame korene: 5, 6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešením rovnice "\u003e 0, podľa vety, inverznej k Vietovej vete, dostaneme korene: 5; 6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5 3. Riešením rovníc metódou "prenosu" > 0, podľa vety opačne k Vietovej vete získame korene: 5;6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovnice "title="(! LANG: Riešte rovnicu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Koeficient 2 prenesieme na voľný člen y 2 - 11y +30 = 0. D> 0, podľa k vete, inverznej k Vietovej vete, dostaneme korene: 5;6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodnej rovnice: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovnice"> title="Vyriešte rovnicu: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Preneste koeficient 2 na voľný člen y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, podľa vety, inverznej k Vietovej vete, získajte korene: 5; 6, potom sa vrátime ku koreňom pôvodných rovníc: 2,5; 3. Odpoveď: 2,5; 3. Riešenie rovnice"> !}

Ak v kvadratickej rovnici a + b + c \u003d 0, potom sa jeden z koreňov rovná 1 a druhý podľa Vietovej vety sa rovná druhému podľa Vietovej vety Ak v kvadratickej rovnici a + c \u003d b, potom sa jeden z koreňov rovná (-1) a druhý sa podľa Vietovej vety rovná Príklad: Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice 137x x - 157 = 0. a = 137 b = 20, c = a + b + c = -157 = 0. x 1 = 1, odpoveď: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, odpoveď: 1;

Grafický spôsob riešenia kvadratickej rovnice Kvadratickú rovnicu možno vyriešiť bez použitia vzorcov graficky. Poďme vyriešiť rovnicu Aby sme to urobili, zostavíme dva grafy: X Y X 01 Y012 Odpoveď: Úsečky priesečníkov grafov a budú koreňmi rovnice. Ak sa grafy pretínajú v dvoch bodoch, potom má rovnica dva korene. Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom má rovnica jeden koreň. Ak sa grafy nepretínajú, potom rovnica nemá korene. 1)y=x2 2)y=x+1

Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu Toto je starý a nezaslúžene zabudnutý spôsob riešenia kvadratických rovníc, umiestnený na strane 83 „Štvorhodnotové matematické tabuľky“ Bradis V.M. Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovnice Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice jej koeficientmi. Pre rovnicu nomogram udáva korene

Geometrický spôsob riešenia kvadratických rovníc V staroveku, keď bola geometria rozvinutejšia ako algebra, sa kvadratické rovnice riešili nie algebraicky, ale geometricky. A tu napríklad, ako starí Gréci riešili rovnicu: alebo Výrazy a geometricky poskytujú rovnaký štvorec a pôvodná rovnica je rovnaká rovnica. Odkiaľ čo získame, príp

Záver Tieto rozhodovacie metódy si zaslúžia pozornosť, keďže nie všetky sa odrážajú v školských učebniciach matematiky; zvládnutie týchto techník pomôže študentom ušetriť čas a efektívne riešiť rovnice; potrebovať v rýchle rozhodnutie z dôvodu použitia testovacieho systému prijímacích skúšok;

a) Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola vyvolaná potrebou riešenia problémov súvisiacich s hľadaním plôch pozemkov a zemných prác vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice boli schopné vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. Babylončania. Ak použijeme modernú algebraickú notáciu, môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Pravidlo na riešenie týchto rovníc, uvedené v babylonských textoch, sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Úloha 2. "Nájdi dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96."

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienky problému vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by boli rovnaké, ich súčin by nebol 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovica ich súčet, t.j. 0,10 + x. Druhá je menšia, t.j. 10 - x. Rozdiel medzi nimi je 2x. Preto rovnica:

(10+x)(10-x)=96,

alebo

Preto x = 2. Jedno z požadovaných čísel je 12, druhé je 8. Riešenie x = - 2 pre Diofanta neexistuje, keďže grécka matematika poznala iba kladné čísla.

Ak vyriešime tento problém a vyberieme jedno z neznámych čísel ako neznáme, môžeme prísť k riešeniu rovnice:

Je jasné, že Diophantus zjednodušuje riešenie výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice.
b) Kvadratické rovnice v Indii.

Problémy pre kvadratické rovnice sa už nachádzajú v astronomickom trakte „Aryabhattayam“, ktorý v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabahatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu

Oh 2 + bx = c, a > 0

V rovnici sú koeficienty okrem A, môže byť negatívny. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

V Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vzdelaný človek zažiari slávu na verejných stretnutiach, pri navrhovaní a riešení algebraických problémov.“ Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika XII. Bhaskara.

Úloha 3.

Rovnica zodpovedajúca problému 3 je:

Bhaskara píše pod zámienkou:

x 2 - 64 x = - 768

a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice k štvorcu pridajte 32 2 na obe strany, čím získate:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmiho kvadratické rovnice

Al-Khwarizmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1. 
   „Štvorce sa rovnajú koreňom“, to znamená os 2 \u003d bx.
2. 
   "Štvorce sa rovnajú číslu", t.j. ax 2 = c.
3. 
   "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ax = c.
4. 
   "Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom", t.j. ax 2 + c \u003d bx.
5. 
   "Štvorce a korene sa rovnajú číslu", t.j. ax 2 + bx \u003d c.
6. 
   „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c == ax 2.

Vezmime si príklad.

Úloha 4. „Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 koreňom. Nájdite koreň "(čo znamená koreň rovnice x 2 + 21 \u003d 10x).

Riešenie: vydeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5, od súčinu odčítajte 21, zostávajú 4. Vezmite odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5, dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čím získate 7, to je tiež koreň.

Al-Khwarizmiho pojednanie je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala, v ktorej je systematicky prezentovaná klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

d) Kvadratické rovnice v Európe XIII-XVII storočia.

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v „Knihe počítadla“, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu a starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z Knihy Abacus prešli takmer do všetkých európskych učebníc 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jeden kanonický tvar

x 2 + bx \u003d c,

pre všetky možné kombinácie znamienok koeficientov b, S sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Vieta má všeobecnú deriváciu vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Zohľadnite okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. vďaka prácam Girarda, Descarta, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

Počiatky algebraických metód riešenia praktických problémov súvisia s vedou staroveký svet. Ako je známe z dejín matematiky, významná časť problémov matematického charakteru, ktoré riešili egyptskí, sumerskí, babylonskí pisári-počítači (XX-VI storočia pred Kristom), mala vypočítaný charakter. Avšak aj vtedy sa z času na čas vyskytli problémy, v ktorých bola požadovaná hodnota veličiny stanovená nejakými nepriamymi podmienkami, vyžadujúcimi z nášho moderného pohľadu formuláciu rovnice alebo sústavy rovníc. Spočiatku sa na riešenie takýchto problémov používali aritmetické metódy. Neskôr sa začali formovať počiatky algebraických reprezentácií. Napríklad babylonské kalkulačky dokázali vyriešiť problémy, ktoré sa dajú zredukovať z hľadiska moderná klasifikácia na rovnice druhého stupňa. Vznikla metóda riešenia textových úloh, ktorá neskôr slúžila ako základ pre zvýraznenie algebraickej zložky a jej samostatné štúdium.

Táto štúdia bola vykonaná už v inej ére, najskôr arabskými matematikmi (VI-X storočia nl), ktorí určili charakteristické činnosti, pomocou ktorých boli rovnice zredukované na štandardný pohľad redukcia podobných členov, prenos členov z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamienka. A potom európski matematici renesancie, ako výsledok dlhého hľadania, vytvorili jazyk modernej algebry, používanie písmen, zavedenie symbolov pre aritmetické operácie, zátvorky atď. Na prelome 16. 17. storočia. algebra ako špecifická časť matematiky, ktorá má svoj predmet, metódu, aplikačné oblasti, sa už sformovala. Jeho ďalší rozvoj až do našej doby spočíval v zdokonaľovaní metód, rozširovaní možností použitia, objasňovaní pojmov a ich súvislostí s pojmami iných odvetví matematiky.

Takže vzhľadom na dôležitosť a rozsiahlosť materiálu spojeného s pojmom rovnica, jeho štúdium v moderná metodika s matematikou sa spájajú tri hlavné oblasti jej vzniku a fungovania.