Iracionálne čísla - Hypermarket vedomostí. Iracionálne čísla: čo sú a na čo sa používajú? 17 veta o iracionálnom čísle s dôkazom

Príklad:
$4$ je racionálne číslo, pretože ho možno zapísať ako $\frac(4)(1)$ ;
$0.0157304$ je tiež racionálne, pretože sa dá napísať ako $\frac(157304)(10000000)$ ;
$0,333(3)…$ - a toto je racionálne číslo: môže byť reprezentované ako $\frac(1)(3)$ ;
$\sqrt(\frac(3)(12))$ je racionálne, pretože môže byť reprezentované ako $\frac(1)(2)$ . V skutočnosti môžeme vykonať reťaz transformácií $\sqrt(\frac(3)(12))$ $=$$\sqrt(\frac(1)(4))$ $= $ \ (\frac(1)(2)\)

iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno zapísať ako zlomok s celočíselným čitateľom a menovateľom.

Nemožné, pretože nekonečné zlomky, a to aj neperiodické. Neexistujú teda celé čísla, ktoré by po vzájomnom delení dali iracionálne číslo.

Príklad:
$\sqrt(2)≈1,414213562…$ je iracionálne číslo;
$π≈3,1415926… $ je iracionálne číslo;
$\log_(2)(5)≈2,321928…$ je iracionálne číslo.

Príklad (Úloha od OGE). Hodnota ktorého z výrazov je racionálne číslo?
1) $\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)$;
2)$(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))$;
3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))$;
4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)$.

rozhodnutie:

1) $\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)$ tiež nie je možné reprezentovať číslo ako zlomok s celými číslami , preto je číslo iracionálne.

2) $(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5$ - nezostali žiadne korene, číslo sa dá ľahko znázorniť ako zlomok, napríklad $\frac(-5)(1)$ , takže je to racionálne.

3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) $ - koreň nemožno extrahovať - číslo je iracionálne.

4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)$ je tiež iracionálne.

Porozumenie číslam, najmä prirodzeným, je jednou z najstarších matematických „zručností“. Mnohé civilizácie, dokonca aj tie moderné, pripisovali číslam niektoré mystické vlastnosti kvôli ich veľkému významu pri opise prírody. Hoci moderná veda a matematika tieto „magické“ vlastnosti nepotvrdzujú, význam teórie čísel je nepopierateľný.

Historicky sa najprv objavilo veľa prirodzených čísel, potom sa k nim pomerne skoro pridali zlomky a kladné iracionálne čísla. Po týchto podmnožinách množiny reálnych čísel boli zavedené nulové a záporné čísla. Posledná množina, množina komplexných čísel, sa objavila až s rozvojom modernej vedy.

V modernej matematike sa čísla nezavádzajú v historickom poradí, aj keď v pomerne blízkom poradí.

Prirodzené čísla $\mathbb(N)$

Množina prirodzených čísel sa často označuje ako $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ a často je doplnená nulou na označenie $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definuje operácie sčítania (+) a násobenia ($\cdot$) s nasledujúcimi vlastnosťami pre ľubovoľné $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ je množina $\mathbb(N)$ uzavretá pri sčítaní a násobení
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativita
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativita
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivita
5. $a\cdot 1=a$ je neutrálny prvok pre násobenie

Keďže množina $\mathbb(N)$ obsahuje neutrálny prvok na násobenie, ale nie na sčítanie, pridanie nuly k tejto množine zabezpečí, že bude obsahovať neutrálny prvok na sčítanie.

Okrem týchto dvoch operácií sú na množine $\mathbb(N)$ vzťahy „menšie ako“ ($

1. $a b$ trichotómia
2. ak $a\leq b$ a $b\leq a$, potom $a=b$ je antisymetria
3. ak $a\leq b$ a $b\leq c$, potom $a\leq c$ je tranzitívne
4. ak $a\leq b$, potom $a+c\leq b+c$
5. ak $a\leq b$, potom $a\cdot c\leq b\cdot c$

Celé čísla $\mathbb(Z)$

Príklady celých čísel:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Riešenie rovnice $a+x=b$, kde $a$ a $b$ sú známe prirodzené čísla a $x$ je neznáme prirodzené číslo, si vyžaduje zavedenie novej operácie - odčítanie(-). Ak existuje prirodzené číslo $x$, ktoré spĺňa túto rovnicu, potom $x=b-a$. Táto konkrétna rovnica však nemusí mať nevyhnutne riešenie na množine $\mathbb(N)$, takže praktické úvahy vyžadujú rozšírenie množiny prirodzených čísel takým spôsobom, aby zahŕňala riešenia takejto rovnice. To vedie k zavedeniu množiny celých čísel: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Keďže $\mathbb(N)\podmnožina \mathbb(Z)$, je logické predpokladať, že predtým zavedené operácie $+$ a $\cdot$ a vzťah $ 1. $0+a=a+0=a$ existuje neutrálny prvok pre doplnky
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ existuje opačné číslo $-a$ pre $a$

5. Nehnuteľnosť:
5. ak $0\leq a$ a $0\leq b$, potom $0\leq a\cdot b$

Množina $\mathbb(Z) $ je tiež uzavretá pri odčítaní, teda $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionálne čísla $\mathbb(Q)$

Príklady racionálnych čísel:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Teraz zvážte rovnice tvaru $a\cdot x=b$, kde $a$ a $b$ sú známe celé čísla a $x$ je neznáme. Aby bolo riešenie možné, je potrebné zaviesť operáciu delenia ($:$) a riešením sa stáva $x=b:a$, teda $x=\frac(b)(a)$. Opäť nastáva problém, že $x$ nie vždy patrí do $\mathbb(Z)$, takže množina celých čísel musí byť rozšírená. Zavedieme teda množinu racionálnych čísel $\mathbb(Q)$ s prvkami $\frac(p)(q)$, kde $p\in \mathbb(Z)$ a $q\in \mathbb(N) $. Množina $\mathbb(Z)$ je podmnožina, v ktorej každý prvok $q=1$, teda $\mathbb(Z)\podmnožina \mathbb(Q)$ a operácie sčítania a násobenia platia aj pre túto množinu podľa na nasledujúce pravidlá, ktoré zachovávajú všetky vyššie uvedené vlastnosti aj na množine $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Rozdelenie sa zadáva takto:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Na množine $\mathbb(Q)$ má rovnica $a\cdot x=b$ jedinečné riešenie pre každé $a\neq 0$ (nie je definované žiadne delenie nulou). To znamená, že existuje inverzný prvok $\frac(1)(a)$ alebo $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\existuje \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Poradie množiny $\mathbb(Q)$ môže byť rozšírené týmto spôsobom:
$\frac(p_1)(q_1)

Množina $\mathbb(Q)$ má jednu dôležitú vlastnosť: medzi akýmikoľvek dvoma racionálnymi číslami je nekonečne veľa iných racionálnych čísel, preto neexistujú dve susediace racionálne čísla, na rozdiel od množín prirodzených a celých čísel.

Iracionálne čísla $\mathbb(I)$

Príklady iracionálnych čísel:
$\sqrt(2) \približne 1,41422135...$
$\pi \približne 3,1415926535...$

Keďže medzi akýmikoľvek dvoma racionálnymi číslami je nekonečne veľa iných racionálnych čísel, je ľahké mylne dospieť k záveru, že množina racionálnych čísel je taká hustá, že nie je potrebné ju ďalej rozširovať. Aj Pytagoras raz urobil takúto chybu. Tento záver však už jeho súčasníci vyvrátili pri štúdiu riešení rovnice $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na množine racionálnych čísel. Na vyriešenie takejto rovnice je potrebné zaviesť pojem odmocniny a potom má riešenie tejto rovnice tvar $x=\sqrt(2)$. Rovnica typu $x^2=a$, kde $a$ je známe racionálne číslo a $x$ je neznáme, nemá vždy riešenie na množine racionálnych čísel a opäť je tu potreba na rozšírenie zostavy. Vzniká množina iracionálnych čísel a čísla ako $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... patria do tejto množiny.

Reálne čísla $\mathbb(R)$

Spojenie množín racionálnych a iracionálnych čísel je množinou reálnych čísel. Keďže $\mathbb(Q)\podmnožina \mathbb(R)$, je opäť logické predpokladať, že zavedené aritmetické operácie a vzťahy si zachovajú svoje vlastnosti na novej množine. Formálne dokazovanie je veľmi ťažké, preto sa vyššie uvedené vlastnosti aritmetických operácií a vzťahov na množine reálnych čísel uvádzajú ako axiómy. V algebre sa takýto objekt nazýva pole, takže množina reálnych čísel je usporiadané pole.

Aby bola definícia množiny reálnych čísel úplná, je potrebné zaviesť dodatočnú axiómu, ktorá rozlišuje množiny $\mathbb(Q)$ a $\mathbb(R)$. Predpokladajme, že $S$ je neprázdna podmnožina množiny reálnych čísel. Prvok $b\in \mathbb(R)$ sa nazýva horná hranica $S$, ak $\forall x\in S$ spĺňa $x\leq b$. Potom sa hovorí, že množina $S$ je ohraničená zhora. Najmenšia horná hranica množiny $S$ sa nazýva supremum a označuje sa ako $\sup S$. Pojmy dolná hranica, množina ohraničená nižšie a infinum $\inf S$ sú zavedené podobne. Teraz je chýbajúca axióma formulovaná takto:

Akákoľvek neprázdna a zhora ohraničená podmnožina množiny reálnych čísel má supremum.
Dá sa tiež dokázať, že vyššie definované pole reálnych čísel je jedinečné.

Komplexné čísla$\mathbb(C)$

Príklady komplexných čísel:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kde $i = \sqrt(-1)$ alebo $i^2 = -1$

Množina komplexných čísel sú všetky usporiadané dvojice reálnych čísel, t.j. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na ktorých sa vykonávajú operácie sčítania a násobenie sú definované takto:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Existuje niekoľko spôsobov, ako zapísať komplexné čísla, z ktorých najbežnejší je $z=a+ib$, kde $(a,b)$ je pár reálnych čísel a číslo $i=(0,1)$ sa nazýva imaginárna jednotka.

Je ľahké ukázať, že $i^2=-1$. Rozšírenie množiny $\mathbb(R)$ na množinu $\mathbb(C)$ umožňuje určiť druhú odmocninu záporných čísel, čo bolo dôvodom zavedenia množiny komplexných čísel. Je tiež ľahké ukázať, že podmnožina množiny $\mathbb(C)$ zadaná ako $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ spĺňa všetky axiómy pre reálne čísla, teda $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, alebo $R\subset\mathbb(C)$.

Algebraická štruktúra množiny $\mathbb(C)$ s ohľadom na operácie sčítania a násobenia má nasledujúce vlastnosti:
1. komutatívnosť sčítania a násobenia
2. asociativita sčítania a násobenia
3. $0+i0$ - neutrálny prvok na sčítanie
4. $1+i0$ - neutrálny prvok pre násobenie
5. násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie
6. Existuje jeden inverzný prvok pre sčítanie aj násobenie.

Samotný pojem iracionálneho čísla je usporiadaný tak, že je definovaný prostredníctvom negácie vlastnosti „byť racionálny“, takže dôkaz protirečením je tu najprirodzenejší. Je však možné uviesť nasledujúce odôvodnenie.

Ako sa zásadne racionálne čísla líšia od iracionálnych? Obidve môžu byť aproximované racionálnymi číslami s akoukoľvek danou presnosťou, ale pre racionálne čísla existuje aproximácia s "nulovou" presnosťou (samotné číslo), ale pre iracionálne čísla to už neplatí. Skúsme sa s tým pohrať.

V prvom rade si všimneme taký jednoduchý fakt. Nech $%\alpha$%, $%\beta$% sú dve kladné čísla, ktoré sa navzájom aproximujú s presnosťou $%\varepsilon$%, t.j. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Čo sa stane, ak otočíme čísla? Ako to zmení presnosť? Je ľahké vidieť, že $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$, čo bude striktne menej ako $%\varepsilon$% pre $%\alpha\beta>1$%. Toto tvrdenie možno považovať za nezávislú lemu.

Teraz dajme $%x=\sqrt(2)$% a $%q\in(\mathbb Q)$% je racionálna aproximácia $%x$% s presnosťou $%\varepsilon$%. Vieme, že $%x>1$%, a čo sa týka aproximácie $%q$%, požadujeme, aby bola splnená nerovnosť $%q\ge1$%. Pre všetky čísla menšie ako $%1$% bude presnosť aproximácie horšia ako presnosť samotného $%1$%, a preto ich nebudeme brať do úvahy.

Pridajme $%1$% ku každému z čísel $%x$%, $%q$%. Je zrejmé, že presnosť aproximácie zostane rovnaká. Teraz máme čísla $%\alpha=x+1$% a $%\beta=q+1$%. Keď prejdeme na recipročné hodnoty a použijeme „lemu“, dôjdeme k záveru, že naša presnosť aproximácie sa zlepšila a je striktne nižšia ako $%\varepsilon$%. Požadovaná podmienka $%\alpha\beta>1$% je splnená aj s rezervou: v skutočnosti vieme, že $%\alpha>2$% a $%\beta\ge2$%, z čoho môžeme usúdiť, že presnosť sa zlepšila aspoň o $%4$% krát, t.j. nepresahuje $%\varepsilon/4$%.

A tu je hlavný bod: podľa podmienky $%x^2=2$%, teda $%x^2-1=1$%, čo znamená, že $%(x+1)(x- 1) =1$%, to znamená, že čísla $%x+1$% a $%x-1$% sú navzájom inverzné. A to znamená, že $%\alpha^(-1)=x-1$% bude aproximáciou k (racionálnemu) číslu $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% s presnosť striktne menšia ako $%\varepsilon$%. K týmto číslam zostáva pridať $%1$% a ukáže sa, že číslo $%x$%, teda $%\sqrt(2)$%, má novú racionálnu aproximáciu rovnajúcu sa $%\beta ^(- 1)+1$%, t.j. $%(q+2)/(q+1)$%, s "vylepšenou" presnosťou. Tým je dôkaz dokončený, keďže racionálne čísla, ako sme uviedli vyššie, majú „absolútne presnú“ racionálnu aproximáciu s presnosťou $%\varepsilon=0$%, pričom presnosť sa v zásade nedá zlepšiť. A podarilo sa nám to, čo hovorí o iracionalite nášho čísla.

V skutočnosti tento argument ukazuje, ako vytvoriť konkrétne racionálne aproximácie pre $%\sqrt(2)$% so stále sa zlepšujúcou presnosťou. Najprv musíme vziať aproximáciu $%q=1$% a potom použiť rovnaký náhradný vzorec: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Tento proces vytvára nasledovné: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ atď.

1. Dôkazy sú príklady deduktívneho uvažovania a líšia sa od induktívnych alebo empirických argumentov. Dôkaz musí preukázať, že tvrdenie, ktoré sa dokazuje, je vždy pravdivé, niekedy vymenovaním všetkých možných prípadov a preukázaním, že tvrdenie platí v každom z nich. Dôkaz môže byť založený na zjavných alebo všeobecne akceptovaných javoch alebo prípadoch, známych ako axiómy. Na rozdiel od toho je dokázaná iracionalita „druhej odmocniny z dvoch“.
2. Zásah topológie sa tu vysvetľuje samotnou podstatou vecí, čo znamená, že neexistuje žiadny čisto algebraický spôsob, ako dokázať iracionalitu, najmä na základe racionálnych čísel. Tu je príklad, výber je na vás: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 alebo 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ak vezmete 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, čo sa považuje za „algebraický“ prístup, potom nie je vôbec ťažké dokázať, že existuje n/m ∈ ℚ, ktoré na nekonečná postupnosť, je iracionálna a konečné číslo. To naznačuje, že iracionálne čísla sú uzáverom poľa ℚ, ale to sa týka topologickej singularity.
Takže pre Fibonacciho čísla F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
To len ukazuje, že existuje súvislý homomorfizmus ℚ → I a možno dôsledne preukázať, že existencia takéhoto izomorfizmu nie je logickým dôsledkom algebraických axióm.