Iracionálne čísla: čo sú a na čo sa používajú? Iracionálne čísla, definícia, príklady Je koreň 1 6 iracionálny.

Čo sú to iracionálne čísla? Prečo sa tak volajú? Kde sa používajú a aké sú? Len málokto dokáže na tieto otázky odpovedať bez váhania. Ale v skutočnosti sú odpovede na ne celkom jednoduché, hoci nie každý ich potrebuje a vo veľmi zriedkavých situáciách.

Esencia a označenie

Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické Potreba zaviesť tento pojem je daná tým, že na riešenie nových vznikajúcich problémov už predtým existujúce pojmy reálnych alebo reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel nestačili. Napríklad, ak chcete vypočítať druhú mocninu 2, musíte použiť neopakujúce sa nekonečné desatinné miesta. Navyše mnohé z najjednoduchších rovníc tiež nemajú riešenie bez zavedenia konceptu iracionálneho čísla.

Táto množina je označená ako I. A ako je už jasné, tieto hodnoty nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, v čitateľovi ktorého bude celé číslo a v menovateli -

Prvýkrát, tak či onak, sa indickí matematici s týmto javom stretli v 7. storočí, keď sa zistilo, že odmocniny niektorých veličín nemožno výslovne uviesť. A prvý dôkaz existencie takýchto čísel sa pripisuje pytagorejskému Hippasovi, ktorý to urobil v procese štúdia rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Vážny príspevok k štúdiu tohto súboru urobili niektorí ďalší vedci, ktorí žili pred naším letopočtom. Zavedenie konceptu iracionálnych čísel si vyžiadalo revíziu existujúceho matematického systému, a preto sú také dôležité.

pôvod mena

Ak je pomer v latinčine „zlomok“, „pomer“, potom predpona „ir“
dáva slovu opačný význam. Názov množiny týchto čísel teda naznačuje, že ich nemožno korelovať s celým číslom alebo zlomkom, majú samostatné miesto. Vyplýva to z ich povahy.

Miesto vo všeobecnej klasifikácii

Iracionálne čísla patria spolu s racionálnymi do skupiny reálnych alebo reálnych čísel, ktoré sú zase zložité. Neexistujú žiadne podmnožiny, existujú však algebraické a transcendentálne odrody, o ktorých sa bude diskutovať nižšie.

Vlastnosti

Keďže iracionálne čísla sú súčasťou množiny reálnych čísel, platia pre ne všetky ich vlastnosti, ktoré sa študujú v aritmetike (nazývajú sa aj základné algebraické zákony).

a + b = b + a (komutativita);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);

a + (-a) = 0 (existencia opačného čísla);

ab = ba (zákon o posune);

(ab)c = a(bc) (distributívnosť);

a(b+c) = ab + ac (distributívny zákon);

a x 1/a = 1 (existencia inverzného čísla);

Porovnanie sa vykonáva aj v súlade so všeobecnými zákonmi a zásadami:

Ak a > b a b > c, potom a > c (tranzitivita vzťahu) a. atď.

Samozrejme, všetky iracionálne čísla možno previesť pomocou základnej aritmetiky. Neexistujú na to žiadne špeciálne pravidlá.

Okrem toho sa pôsobenie axiómy Archimedes rozširuje na iracionálne čísla. Hovorí, že pre ľubovoľné dve veličiny a a b platí tvrdenie, že ak vezmete a ako výraz dostatočne veľakrát, môžete poraziť b.

Použitie

Napriek tomu, že v bežnom živote ich často nemusíte riešiť, iracionálne čísla sa nedajú spočítať. Je ich veľa, no takmer ich nevidno. Všade sme obklopení iracionálnymi číslami. Všetkým známym príkladom je číslo pi, ktoré sa rovná 3,1415926..., alebo e, ktoré je v podstate základom prirodzeného logaritmu, 2,718281828... V algebre, trigonometrii a geometrii sa musia používať stále. Mimochodom, slávny význam „zlatého rezu“, teda pomer väčšej časti k menšej a naopak, tiež

patrí do tejto sady. Menej známe "striebro" - tiež.

Na číselnej osi sú umiestnené veľmi husto, takže medzi akýmikoľvek dvoma veličinami súvisiacimi s množinou racionálnych sa určite vyskytne jedna iracionálna.

S touto súpravou je spojených ešte veľa nevyriešených problémov. Existujú také kritériá ako miera iracionality a normalita čísla. Matematici pokračujú v skúmaní najvýznamnejších príkladov ich príslušnosti k tej či onej skupine. Napríklad sa verí, že e je normálne číslo, to znamená, že pravdepodobnosť výskytu rôznych číslic v jeho zázname je rovnaká. Pokiaľ ide o pí, stále prebiehajú výskumy týkajúce sa toho. Miera iracionality je hodnota, ktorá ukazuje, ako dobre možno konkrétne číslo aproximovať racionálnymi číslami.

Algebraické a transcendentálne

Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla sú podmienene rozdelené na algebraické a transcendentálne. Podmienečne, pretože, prísne vzaté, táto klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.

Pod týmto označením sa skrývajú komplexné čísla, ktoré zahŕňajú reálne alebo reálne čísla.

Algebraická hodnota je teda hodnota, ktorá je koreňom polynómu, ktorý nie je identicky rovný nule. Napríklad druhá odmocnina z 2 by bola v tejto kategórii, pretože je riešením rovnice x 2 - 2 = 0.

Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. K tejto odrode patria aj najznámejšie a už spomínané príklady - číslo pí a základ prirodzeného logaritmu e.

Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé nebolo pôvodne odvodené matematikmi v tejto funkcii, ich iracionalita a transcendencia bola preukázaná až mnoho rokov po ich objave. Pre pí bol dôkaz uvedený v roku 1882 a zjednodušený v roku 1894, čím sa ukončila 2500-ročná polemika o probléme kvadratúry kruhu. Stále to nie je úplne pochopené, takže moderní matematici majú na čom pracovať. Mimochodom, prvý dostatočne presný výpočet tejto hodnoty vykonal Archimedes. Pred ním boli všetky výpočty príliš približné.

Pre e (Eulerovo alebo Napierovo číslo) sa v roku 1873 našiel dôkaz o jeho transcendencii. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.

Medzi ďalšie príklady patria sínusové, kosínusové a tangensové hodnoty pre akékoľvek algebraické nenulové hodnoty.

Aké čísla sú iracionálne? iracionálne číslo nie je racionálne reálne číslo, t.j. nemožno ho reprezentovať ako zlomok (ako podiel dvoch celých čísel), kde m je celé číslo, n- prirodzené číslo . iracionálne číslo môže byť reprezentovaný ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

iracionálne číslo nemôže byť presný. Len vo formáte 3.333333…. napríklad, druhá odmocnina z dvoch - je iracionálne číslo.

Čo je to iracionálne číslo? Iracionálne číslo(na rozdiel od racionálnych) sa nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok.

Veľa iracionálnych číselčasto označené veľkým latinským písmenom tučným písmom bez tieňovania. To.:

Tie. množina iracionálnych čísel je rozdiel medzi množinami reálnych a racionálnych čísel.

Vlastnosti iracionálnych čísel.

• Súčet 2 nezáporných iracionálnych čísel môže byť racionálnym číslom.
• Iracionálne čísla definujú Dedekindove úseky v množine racionálnych čísel, v nižšej triede ktorých nie je najväčšie číslo a vo vyššej triede nie je menšie číslo.
• Každé skutočné transcendentálne číslo je iracionálne číslo.
• Všetky iracionálne čísla sú buď algebraické alebo transcendentné.
• Množina iracionálnych čísel je na číselnej osi všade hustá: medzi každou dvojicou čísel je jedno iracionálne číslo.
• Poradie na množine iracionálnych čísel je izomorfné s poradím na množine reálnych transcendentálnych čísel.
• Množina iracionálnych čísel je nekonečná, je množinou 2. kategórie.
• Výsledkom každej aritmetickej operácie s racionálnymi číslami (okrem delenia 0) je racionálne číslo. Výsledkom aritmetických operácií na iracionálnych číslach môže byť racionálne alebo iracionálne číslo.
• Súčet racionálneho a iracionálneho čísla bude vždy iracionálnym číslom.
• Súčet iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo. Napríklad, nechať byť X iracionálne teda y=x*(-1) aj iracionálne; x+y=0, a číslo 0 racionálne (ak napríklad sčítame odmocninu ľubovoľného stupňa 7 a mínus odmocninu toho istého stupňa sedem, dostaneme racionálne číslo 0).

Iracionálne čísla, príklady.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

A svoje korene odvodzovali z latinského slova „ratio“, čo znamená „dôvod“. Na základe doslovného prekladu:

• Racionálne číslo je „rozumné číslo“.
• Iracionálne číslo je „nerozumné číslo“.

Všeobecný pojem racionálneho čísla

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno zapísať ako:

1. Obyčajný kladný zlomok.
2. Záporný spoločný zlomok.
3. Nula (0) ako číslo.

Inými slovami, nasledujúce definície budú zodpovedať racionálnemu číslu:

• Každé prirodzené číslo je vo svojej podstate racionálne, pretože každé prirodzené číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok.
• Akékoľvek celé číslo vrátane čísla nula, pretože akékoľvek celé číslo možno zapísať ako kladný obyčajný zlomok, ako záporný obyčajný zlomok a ako číslo nula.
• Akýkoľvek obyčajný zlomok, a tu nezáleží na tom, či je kladný alebo záporný, sa tiež priamo približuje definícii racionálneho čísla.
• Do definície možno zahrnúť aj zmiešané číslo, konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický zlomok.

Príklady racionálnych čísel

Zvážte príklady racionálnych čísel:

• Prirodzené čísla - "4", "202", "200".
• Celé čísla - "-36", "0", "42".
• Obyčajné zlomky.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že racionálne čísla môžu byť kladné aj záporné. Prirodzene, číslo 0 (nula), ktoré je tiež racionálnym číslom, zároveň nepatrí do kategórie kladného ani záporného čísla.

Preto by som rád pripomenul všeobecný vzdelávací program s použitím nasledujúcej definície: „Racionálne čísla“ sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok x / y, kde x (čitateľ) je celé číslo a y (menovateľ) je prirodzené číslo.

Všeobecný pojem a definícia iracionálneho čísla

Okrem „racionálnych čísel“ poznáme aj takzvané „iracionálne čísla“. Skúsme v krátkosti definovať tieto čísla.

Dokonca aj starí matematici, ktorí chceli vypočítať uhlopriečku štvorca pozdĺž jeho strán, sa dozvedeli o existencii iracionálneho čísla.
Na základe definície racionálnych čísel môžete zostaviť logický reťazec a definovať iracionálne číslo.
Takže v skutočnosti tie reálne čísla, ktoré nie sú racionálne, sú v podstate iracionálne čísla.
Desatinné zlomky, vyjadrujúce iracionálne čísla, nie sú periodické a nekonečné.

Príklady iracionálneho čísla

Zvážte pre jasnosť malý príklad iracionálneho čísla. Ako sme už pochopili, nekonečné desatinné neperiodické zlomky sa nazývajú iracionálne, napríklad:

• Číslo "-5.020020002 ... (je jasne vidieť, že dvojky sú oddelené sekvenciou jedna, dve, tri atď. núl)
• Číslo „7.040044000444 ... (tu je zrejmé, že počet štvoriek a počet núl sa zakaždým v reťazci zvýši o jednotku).
• Každý pozná číslo Pi (3,1415 ...). Áno, áno – je to aj iracionálne.

Vo všeobecnosti sú všetky reálne čísla racionálne aj iracionálne. Zjednodušene povedané, iracionálne číslo nemožno reprezentovať ako obyčajný zlomok x / y.

Všeobecný záver a krátke porovnanie medzi číslami

Zvažovali sme každé číslo samostatne, rozdiel medzi racionálnym a iracionálnym číslom zostáva:

1. Iracionálne číslo nastáva pri odmocnení, pri delení kruhu priemerom atď.
2. Racionálne číslo predstavuje obyčajný zlomok.

Náš článok uzatvárame niekoľkými definíciami:

• Aritmetická operácia vykonaná na racionálnom čísle okrem delenia 0 (nulou) povedie v konečnom výsledku aj k racionálnemu číslu.
• Konečný výsledok pri vykonávaní aritmetickej operácie na iracionálnom čísle môže viesť k racionálnej aj iracionálnej hodnote.
• Ak sa aritmetickej operácie zúčastňujú obe čísla (okrem delenia alebo násobenia nulou), výsledok nám dá iracionálne číslo.

S úsečkou jednotkovej dĺžky to vedeli už starovekí matematici: poznali napríklad nesúmerateľnosť uhlopriečky a strany štvorca, čo sa rovná iracionalite čísla.

Iracionálne sú:

Príklady dôkazu iracionality

Koreň z 2

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný ako neredukovateľný zlomok, kde a sú celé čísla. Vyrovnajme predpokladanú rovnosť:

Z toho vyplýva, že párne, teda párne a . Nech je to celé. Potom

Preto, preto, dokonca a . Získali sme to a sú párne, čo je v rozpore s neredukovateľnosťou zlomku . Pôvodný predpoklad bol teda nesprávny a ide o iracionálne číslo.

Binárny logaritmus čísla 3

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný ako zlomok, kde a sú celé čísla. Od , a môžu byť prijaté pozitívne. Potom

Ale to je jasné, je to zvláštne. Dostávame rozpor.

e

Príbeh

Koncept iracionálnych čísel implicitne prijali indickí matematici v 7. storočí pred Kristom, keď Manawa (asi 750 pred Kristom - asi 690 pred Kristom) zistil, že odmocniny niektorých prirodzených čísel, ako napríklad 2 a 61, nemožno explicitne vyjadriť.

Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metapontu (asi 500 pred Kr.), Pytagorejcovi, ktorý tento dôkaz našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. V dobe Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná jednotka dĺžky, dostatočne malá a nedeliteľná, čo je celé číslo, koľkokrát je zahrnuté v akomkoľvek segmente. Hippus však tvrdil, že neexistuje jednotná jednotka dĺžky, pretože predpoklad jej existencie vedie k rozporu. Ukázal, že ak prepona rovnoramenného pravouhlého trojuholníka obsahuje celé číslo jednotkových segmentov, potom toto číslo musí byť párne aj nepárne zároveň. Dôkaz vyzeral takto:

• Pomer dĺžky prepony k dĺžke ramena rovnoramenného pravouhlého trojuholníka možno vyjadriť ako a:b, kde a a b vybrané ako najmenšie možné.
• Podľa Pytagorovej vety: a² = 2 b².
• Ako a² párne, a musí byť párne (keďže druhá mocnina nepárneho čísla by bola nepárna).
• Pokiaľ ide o a:b neredukovateľné b musí byť nepárne.
• Ako a dokonca, označovať a = 2r.
• Potom a² = 4 r² = 2 b².
• b² = 2 r² teda b je teda párny b dokonca.
• Je však dokázané, že b zvláštny. Rozpor.

Grécki matematici nazývali tento pomer nesúmerateľných veličín alogos(nevyjadrené), ale podľa legiend sa Hippusovi nevenovala náležitá úcta. Existuje legenda, že Hippus urobil objav na námornej plavbe a bol hodený cez palubu inými Pytagorejcami „za vytvorenie prvku vesmíru, čo popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre možno redukovať na celé čísla a ich pomery. " Objav Hippusa predstavoval pre pytagorovskú matematiku vážny problém, pretože zničil predpoklad, ktorý je základom celej teórie, že čísla a geometrické objekty sú jedno a neoddeliteľné.

pozri tiež

Poznámky

1. Dôkazy sú príklady deduktívneho uvažovania a líšia sa od induktívnych alebo empirických argumentov. Dôkaz musí preukázať, že tvrdenie, ktoré sa dokazuje, je vždy pravdivé, niekedy vymenovaním všetkých možných prípadov a preukázaním, že tvrdenie platí v každom z nich. Dôkaz môže byť založený na zjavných alebo všeobecne akceptovaných javoch alebo prípadoch, známych ako axiómy. Na rozdiel od toho je dokázaná iracionalita „druhej odmocniny z dvoch“.
2. Zásah topológie sa tu vysvetľuje samotnou podstatou vecí, čo znamená, že neexistuje žiadny čisto algebraický spôsob, ako dokázať iracionalitu, najmä na základe racionálnych čísel. Tu je príklad, výber je na vás: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 alebo 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ak vezmete 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, čo sa považuje za „algebraický“ prístup, potom nie je vôbec ťažké dokázať, že existuje n/m ∈ ℚ, ktoré na nekonečná postupnosť, je iracionálna a konečné číslo. To naznačuje, že iracionálne čísla sú uzáverom poľa ℚ, ale to sa týka topologickej singularity.
Takže pre Fibonacciho čísla F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
To len ukazuje, že existuje súvislý homomorfizmus ℚ → I a možno dôsledne preukázať, že existencia takéhoto izomorfizmu nie je logickým dôsledkom algebraických axióm.