Graf funkcie logaritmu so základnou 2. Čo je to logaritmus? Riešenie logaritmov

Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz vlastne definícia logaritmu:

Základ a logaritmus x je mocnina, na ktorú a musí byť zvýšená, aby dostal x.

Zápis: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čomu sa v skutočnosti rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmizácia. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na intervale. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si najskôr mätie, kde je základ a kde je argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, stačí sa pozrieť na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to základňa, ktorá je vyvýšená na mocninu - na obrázku je zvýraznená červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Hneď na prvej hodine poviem svojim študentom toto úžasné pravidlo – a nevznikne zmätok.

Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.
2. Základ musí byť odlišný od jedného, ​​pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv rozsah prijateľných hodnôt(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu). Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori problémov zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz sa pozrime na všeobecnú schému výpočtu logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Je to rovnaké s desatinnými zlomkami: ak ich okamžite prevediete na obyčajné, bude oveľa menej chýb.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Dostali sme odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dostali sme odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dostali sme odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemožno reprezentovať ako mocninu siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. A ak takéto faktory nemožno zhromaždiť do mocnín s rovnakými exponentmi, potom pôvodné číslo nie je presná mocnina.

Úloha. Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;

Všimnite si tiež, že samotné prvočísla sú vždy presné mocniny samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.

Desatinný logaritmus x je logaritmus so základom 10, t.j. Mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sme získali číslo x. Označenie: lg x.

Napríklad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Hovoríme o prirodzenom logaritme.

Prirodzený logaritmus x je logaritmus so základom e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .

Mnohí sa budú pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presná hodnota sa nedá nájsť a zapísať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti je prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálneho čísla iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Okrem toho základom logaritmu musí byť kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Napríklad, ak odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základný logaritmus -2 zo 4 sa rovná do 2.

Základná logaritmická identita

Je dôležité, aby rozsah definície pravej a ľavej strany tohto vzorca bol odlišný. Ľavá strana je definovaná len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá strana je definovaná pre ľubovoľné b a vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene OD.

Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu

Pri zvýšení čísla a na prvú mocninu dostaneme rovnaké číslo a pri zvýšení na nulovú mocninu dostaneme jednotku.

Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovitým používaním týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Pri ich použití „zľava doprava“ sa ODZ zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.

V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f (x) a g (x) obe menšie ako nula.

Premenou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu rozsahu prijateľných hodnôt, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).

Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu

A opäť by som chcel vyzvať na opatrnosť. Zvážte nasledujúci príklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím stupňa z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prijateľných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.

Vzorec na prechod na nový základ

Ten ojedinelý prípad, keď sa ODZ pri transformácii nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nerovná sa 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležitý špeciálny prípad vzorca (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami

Príklad 1. Vypočítajte: log2 + log50.
Riešenie. log2 + log50 = log100 = 2. Použili sme vzorec súčtu logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.

Príklad 2. Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Použili sme vzorec na prechod na nový základ (8).

Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami

(z gréčtiny λόγος – „slovo“, „vzťah“ a ἀριθμός – „číslo“) b založené na a(log α b) sa nazýva také číslo c, A b= a c, teda záznamy log α b=c A b=ac sú rovnocenné. Logaritmus má zmysel, ak a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Inými slovami logaritmusčísla b založené na A formulovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x= log α b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x =b.

Napríklad:

log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 .

Zdôraznime, že uvedená formulácia logaritmu umožňuje okamžite určiť logaritmickú hodnotu, keď číslo pod znamienkom logaritmu pôsobí ako určitá mocnina základu. Formulácia logaritmu skutočne umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b založené na a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmov úzko súvisí s témou mocniny čísla.

Výpočet logaritmu je tzv logaritmus. Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov transformuje na súčty členov.

Potencovanie je matematická operácia inverzná k logaritmu. Počas potenciácie sa daná báza zvýši na stupeň expresie, pri ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov transformujú na súčin faktorov.

Pomerne často sa používajú skutočné logaritmy so základňami 2 (binárne), Eulerovým číslom e ≈ 2,718 (prirodzený logaritmus) a 10 (desatinné).

V tejto fáze je vhodné zvážiť vzorky logaritmu denník 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

A položky lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nedávajú zmysel, pretože v prvom z nich je pod znamienkom logaritmu umiestnené záporné číslo, v druhom je záporné číslo v základe a v treťom je záporné číslo pod znamienkom logaritmu a jednotkou v základni.

Podmienky na určenie logaritmu.

Samostatne sa oplatí zvážiť podmienky a > 0, a ≠ 1, b > 0.za ktorých sa dostaneme definícia logaritmu. Pozrime sa, prečo boli prijaté tieto obmedzenia. Pomôže nám k tomu rovnosť tvaru x = log α b, nazývaná základná logaritmická identita, ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.

Zoberme si podmienku a≠1. Keďže jedna ku ktorejkoľvek mocnine sa rovná jednej, potom rovnosť x=log α b môže existovať len vtedy b = 1, ale log 1 1 bude akékoľvek reálne číslo. Aby sme túto nejednoznačnosť odstránili, berieme a≠1.

Dokážme nevyhnutnosť podmienky a>0. O a=0 podľa formulácie logaritmu môže existovať iba vtedy b = 0. A podľa toho potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Táto nejednoznačnosť môže byť eliminovaná podmienkou a≠0. A kedy a<0 museli by sme odmietnuť analýzu racionálnych a iracionálnych hodnôt logaritmu, pretože stupeň s racionálnym a iracionálnym exponentom je definovaný len pre nezáporné základy. Z tohto dôvodu je podmienka stanovená a>0.

A posledná podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0, pretože x=log α b, a hodnotu stupňa s kladným základom a vždy pozitívny.

Vlastnosti logaritmov.

Logaritmy vyznačujúce sa výrazným Vlastnosti, čo viedlo k ich širokému použitiu na výrazné uľahčenie starostlivých výpočtov. Pri prechode „do sveta logaritmov“ sa násobenie premení na oveľa jednoduchšie sčítanie, delenie na odčítanie a umocňovanie a extrakcia odmocniny na násobenie a delenie exponentom.

Formuláciu logaritmov a tabuľku ich hodnôt (pre goniometrické funkcie) prvýkrát publikoval v roku 1614 škótsky matematik John Napier. Logaritmické tabuľky, rozšírené a podrobné inými vedcami, boli široko používané vo vedeckých a technických výpočtoch a zostali relevantné až do použitia elektronických kalkulačiek a počítačov.

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš mi? Dobre. Teraz, len za 10 - 20 minút:

1. Pochopíš čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich nič nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Navyše na to budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako zvýšiť číslo na mocninu...

Mám pocit, že máš pochybnosti... No dobre, poznačte si čas! Choď!

Najprv si v hlave vyriešte túto rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

LOGARITM
číslo, ktoré možno použiť na zjednodušenie mnohých zložitých aritmetických operácií. Používanie logaritmov namiesto čísel vo výpočtoch vám umožňuje nahradiť násobenie jednoduchšou operáciou sčítania, delenia s odčítaním, umocňovania s násobením a extrakcie koreňov s delením. Všeobecný popis. Logaritmus daného čísla je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť ďalšie číslo, nazývané základ logaritmu, aby sa získalo dané číslo. Napríklad základný 10 logaritmus čísla 100 je 2. Inými slovami, 10 musí byť odmocnené, aby sa získalo 100 (102 = 100). Ak n je dané číslo, b je základ a l je logaritmus, potom bl = n. Číslo n sa tiež nazýva základný b antilogaritmus l. Napríklad antilogaritmus 2 k základu 10 sa rovná 100. Dá sa to zapísať ako vzťahy logb n = l a antilogb l = n. Základné vlastnosti logaritmu:

Akékoľvek kladné číslo okrem jednej môže slúžiť ako základ pre logaritmy, ale bohužiaľ sa ukazuje, že ak b a n sú racionálne čísla, potom v zriedkavých prípadoch existuje racionálne číslo l také, že bl = n. Je však možné definovať iracionálne číslo l, napríklad tak, že 10l = 2; toto iracionálne číslo l možno s akoukoľvek požadovanou presnosťou aproximovať racionálnymi číslami. Ukazuje sa, že v uvedenom príklade sa l približne rovná 0,3010 a túto aproximáciu základného 10 logaritmu 2 možno nájsť v štvormiestnych tabuľkách desiatkových logaritmov. Logaritmy so základom 10 (alebo logaritmy so základom 10) sa tak často používajú vo výpočtoch, že sa nazývajú bežné logaritmy a zapisujú sa ako log2 = 0,3010 alebo log2 = 0,3010, pričom sa vynecháva explicitné označenie základu logaritmu. Logaritmy k základu e, transcendentálnemu číslu približne rovnému 2,71828, sa nazývajú prirodzené logaritmy. Nachádzajú sa najmä v prácach o matematickej analýze a jej aplikáciách v rôznych vedách. Prirodzené logaritmy sa tiež píšu bez explicitného označenia základu, ale pomocou špeciálneho zápisu ln: napríklad ln2 = 0,6931, pretože e0,6931 = 2.
pozri tiež NUMBER e. Použitie tabuliek bežných logaritmov. Regulárny logaritmus čísla je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť 10, aby sme získali dané číslo. Keďže 100 = 1, 101 = 10 a 102 = 100, okamžite dostaneme, že log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 atď. pre rastúce celočíselné mocniny 10. Podobne 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 a teda log0,1 = -1, log0,01 = -2 atď. pre všetky záporné celočíselné mocniny 10. Zvyčajné logaritmy zostávajúcich čísel sú uzavreté medzi logaritmy najbližších celých čísel 10; log2 musí byť medzi 0 a 1, log20 medzi 1 a 2 a log0,2 medzi -1 a 0. Logaritmus má teda dve časti, celé číslo a desatinné číslo, medzi 0 a 1. Celá časť sa nazýva charakteristika logaritmus a je určený samotným číslom, zlomková časť sa nazýva mantisa a možno ju nájsť z tabuliek. Tiež log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmus 2 je 0,3010, takže log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Podobne log0,2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Odčítaním dostaneme log0,2 = - 0,6990. Je však vhodnejšie vyjadriť log0,2 ako 0,3010 - 1 alebo ako 9,3010 - 10; Dá sa sformulovať aj všeobecné pravidlo: všetky čísla získané z daného čísla vynásobením mocninou 10 majú zhodné mantisy rovné mantise daného čísla. Väčšina tabuliek zobrazuje mantisy čísel v rozsahu od 1 do 10, pretože mantisy všetkých ostatných čísel možno získať z čísel uvedených v tabuľke. Väčšina tabuliek uvádza logaritmy so štyrmi alebo piatimi desatinnými miestami, hoci existujú aj sedemmiestne tabuľky a tabuľky s ešte väčším počtom desatinných miest. Najjednoduchší spôsob, ako sa naučiť používať takéto tabuľky, sú príklady. Ak chcete nájsť log3.59, v prvom rade si všimnite, že číslo 3,59 je medzi 100 a 101, takže jeho charakteristika je 0. V tabuľke nájdeme číslo 35 (vľavo) a presunieme sa po riadku do stĺpca, ktorý má číslo 9 v hornej časti; priesečník tohto stĺpca a riadku 35 je 5551, takže log3,59 = 0,5551. Ak chcete nájsť mantisu čísla so štyrmi platnými číslicami, musíte použiť interpoláciu. V niektorých tabuľkách je interpolácia uľahčená proporciami uvedenými v posledných deviatich stĺpcoch na pravej strane každej strany tabuliek. Teraz nájdime log736.4; číslo 736,4 leží medzi 102 a 103, takže charakteristika jeho logaritmu je 2. V tabuľke nájdeme riadok naľavo, od ktorého je 73 a stĺpec 6. Na priesečníku tohto radu a tohto stĺpca je číslo 8669. Medzi lineárnymi časťami nájdeme stĺpec 4. Na priesečníku riadku 73 a stĺpca 4 je číslo 2. Pripočítaním 2 k 8669 dostaneme mantisu - rovná sa 8671. Log736,4 = 2,8671.
Prirodzené logaritmy. Tabuľky a vlastnosti prirodzených logaritmov sú podobné tabuľkám a vlastnostiam bežných logaritmov. Hlavný rozdiel medzi oboma je v tom, že celočíselná časť prirodzeného logaritmu nie je podstatná pri určovaní polohy desatinnej čiarky, a preto rozdiel medzi mantisou a charakteristikou nehrá zvláštnu úlohu. Prirodzené logaritmy čísel 5,432; 54,32 a 543,2 sa rovnajú 1,6923; 3,9949 a 6,2975. Vzťah medzi týmito logaritmami bude zrejmý, ak vezmeme do úvahy rozdiely medzi nimi: log543,2 - log54,32 = 6,2975 - 3,9949 = 2,3026; posledné číslo nie je nič iné ako prirodzený logaritmus čísla 10 (napísané takto: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; posledné číslo je 2ln10. Ale 543,2 = 10 * 54,32 = 102 * 5,432. Z prirodzeného logaritmu daného čísla a teda možno nájsť prirodzené logaritmy čísel, ktoré sa rovnajú súčinom čísla a a ľubovoľných mocnín n čísla 10, ak sa ln10 vynásobené n pripočíta k lna, t.j. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Napríklad ln0,005432 = ln(5,432*10-3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3*2,3026) = -5,2155. Preto tabuľky prirodzených logaritmov, podobne ako tabuľky bežných logaritmov, zvyčajne obsahujú iba logaritmy čísel od 1 do 10. V systéme prirodzených logaritmov možno hovoriť o antilogaritmoch, ale častejšie sa hovorí o exponenciálnej funkcii alebo exponente. Ak x = lny, potom y = ex a y sa nazýva exponent x (pre typografickú pohodlnosť často píšeme y = exp x). Exponent hrá úlohu antilogaritmu čísla x. Pomocou tabuliek desiatkových a prirodzených logaritmov môžete vytvárať tabuľky logaritmov v akomkoľvek inom základe ako 10 a e. Ak logb a = x, potom bx = a, a teda logc bx = logc a alebo xlogc b = logc a, alebo x = logc a/logc b = logb a. Preto pomocou tohto inverzného vzorca, z tabuľky logaritmov na základ c, môžete zostaviť tabuľky logaritmov na akúkoľvek inú základňu b. Faktor 1/logc b sa nazýva modul prechodu z bázy c na bázu b. Nič nebráni napríklad použitiu inverzného vzorca alebo prechodu z jedného systému logaritmov do druhého, nájdeniu prirodzených logaritmov z tabuľky bežných logaritmov alebo vykonaniu spätného prechodu. Napríklad log105,432 = loge 5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Číslo 0,4343, ktorým sa musí prirodzený logaritmus daného čísla vynásobiť, aby sa získal obyčajný logaritmus, je modul prechodu do systému obyčajných logaritmov.
Špeciálne stoly. Logaritmy boli pôvodne vynájdené s cieľom využiť ich vlastnosti logab = loga + logb a loga/b = loga - logb na premenu produktov na súčty a podiely na rozdiely. Inými slovami, ak poznáme loga a logb, potom pomocou sčítania a odčítania môžeme ľahko nájsť logaritmus súčinu a kvocientu. V astronómii však často potrebujete nájsť log(a + b) alebo log(a - b) vzhľadom na hodnoty loga a logb. Samozrejme, že je možné najprv nájsť a a b pomocou tabuliek logaritmov, potom vykonať uvedené sčítanie alebo odčítanie a znova sa obrátiť na tabuľky a nájsť požadované logaritmy, ale takýto postup by vyžadoval prístup k tabuľkám trikrát. Z. Leonelli v roku 1802 zverejnil tabuľky tzv. Gaussove logaritmy - logaritmy sčítania súčtov a rozdielov - ktoré umožnili obmedziť sa na jeden prístup k tabuľkám. V roku 1624 I. Kepler navrhol tabuľky proporcionálnych logaritmov, t.j. logaritmy čísel a/x, kde a je nejaká kladná konštantná hodnota. Tieto tabuľky používajú predovšetkým astronómovia a navigátori. Proporcionálne logaritmy s a = 1 sa nazývajú kologaritmy a používajú sa pri výpočtoch pri práci s produktmi a kvocientmi. Logaritmus n sa rovná logaritmu jeho recipročnej hodnoty; tie. kolínska voda = log1/n = - logn. Ak log2 = 0,3010, potom colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Výhodou použitia kologaritmov je, že pri výpočte hodnoty logaritmu výrazov v tvare pq/r je trojnásobný súčet kladných desatinných miest logp + logq + cologr ľahšie nájsť ako zmiešaný súčet a rozdiel logp + logq - logr.
Príbeh. Princíp, ktorý je základom každého systému logaritmov, je známy už veľmi dlho a možno ho vysledovať až do starovekej babylonskej matematiky (približne 2000 pred Kristom). V tých dňoch sa na výpočet zloženého úroku používala interpolácia medzi tabuľkovými hodnotami kladných celočíselných mocnín celých čísel. Oveľa neskôr Archimedes (287-212 pred Kr.) použil mocniny 108, aby našiel hornú hranicu počtu zŕn piesku potrebných na úplné zaplnenie vtedy známeho vesmíru. Archimedes upozornil na vlastnosť exponentov, ktorá je základom účinnosti logaritmov: súčin mocnin zodpovedá súčtu exponentov. Na konci stredoveku a na začiatku novoveku sa matematici čoraz viac začali obracať na vzťah medzi geometrickými a aritmetickými postupmi. M. Stiefel vo svojom diele Aritmetika celých čísel (1544) uviedol tabuľku kladných a záporných mocnín čísla 2:

Stiefel si všimol, že súčet dvoch čísel v prvom rade (riadok s exponentmi) sa rovná exponentu dvoch zodpovedajúcich súčinu dvoch zodpovedajúcich čísel v spodnom riadku (riadok s exponentmi). V súvislosti s touto tabuľkou Stiefel sformuloval štyri pravidlá ekvivalentné štyrom moderným pravidlám pre operácie s exponentmi alebo štyrom pravidlám pre operácie s logaritmami: súčet na hornom riadku zodpovedá súčinu na spodnom riadku; odčítanie na hornom riadku zodpovedá deleniu na spodnom riadku; násobenie na hornom riadku zodpovedá umocňovaniu na spodnom riadku; rozdelenie na hornom riadku zodpovedá zakoreneniu na spodnom riadku. Pravidlá podobné Stiefelovým pravidlám viedli J. Napiera k formálnemu zavedeniu prvého systému logaritmov v diele Description of a amazing table of logaritms, publikovanom v roku 1614. Ale Napierove myšlienky sa zaoberali problémom premeny produktov na sumy od r. viac ako desať rokov pred zverejnením svojej práce dostal Napier správu z Dánska, že na observatóriu Tycha Brahe jeho asistenti mali metódu, ktorá umožňovala previesť produkty na sumy. Metóda diskutovaná v správe, ktorú Napier dostal, bola založená na použití trigonometrických vzorcov ako napr

Preto Napierove tabuľky pozostávali hlavne z logaritmov goniometrických funkcií. Hoci koncept základne nebol explicitne zahrnutý v definícii navrhnutej Napierom, úlohu ekvivalentnú základni systému logaritmov v jeho systéme zohrávalo číslo (1 - 10-7)ґ107, približne rovné 1/e . Nezávisle od Napiera a takmer súčasne s ním vymyslel a vydal v Prahe celkom podobný systém logaritmov J. Bürgi, ktorý v roku 1620 publikoval Tabuľky aritmetických a geometrických progresií. Boli to tabuľky antilogaritmov k základu (1 + 10-4)*10 4, pomerne dobrá aproximácia čísla e. V systéme Napier sa logaritmus čísla 107 považoval za nulu a keď čísla klesali, logaritmy sa zvyšovali. Keď G. Briggs (1561-1631) navštívil Napier, obaja sa zhodli, že by bolo pohodlnejšie použiť ako základ číslo 10 a logaritmus jednotky považovať za nulu. Potom, ako sa čísla zvýšili, ich logaritmy sa zvýšili. Tak sme získali moderný systém desiatkových logaritmov, ktorého tabuľku publikoval Briggs vo svojom diele Logaritmická aritmetika (1620). Logaritmy so základňou e, aj keď nie presne tie, ktoré zaviedol Napier, sa často nazývajú non-Pierove logaritmy. Pojmy "charakteristika" a "mantisa" navrhol Briggs. Prvé logaritmy z historických dôvodov používali aproximácie k číslam 1/e a e. O niečo neskôr sa myšlienka prirodzených logaritmov začala spájať so štúdiom oblastí pod hyperbolou xy = 1 (obr. 1). V 17. storočí ukázalo sa, že oblasť ohraničená touto krivkou, osou x a ordinátami x = 1 a x = a (na obr. 1 je táto oblasť pokrytá hrubšími a zriedkavejšími bodmi) sa zvyšuje v aritmetickej progresii, keď sa zvyšuje geometrická progresia . Práve táto závislosť vzniká v pravidlách pre operácie s exponentmi a logaritmami. To viedlo k tomu, že sa neperské logaritmy nazývali „hyperbolické logaritmy“.

Logaritmická funkcia. Boli časy, keď sa logaritmy považovali len za výpočtový prostriedok, ale v 18. storočí sa najmä vďaka Eulerovmu dielu vytvoril koncept logaritmickej funkcie. Graf takejto funkcie y = lnx, ktorej ordináty sa zväčšujú v aritmetickej progresii, zatiaľ čo úsečky rastú v geometrickej progresii, je znázornený na obr. 2, a. Graf inverznej alebo exponenciálnej (exponenciálnej) funkcie y = ex, ktorej ordináty sa zväčšujú v geometrickej progresii a úsečky - v aritmetickej progresii, je uvedený na obr. 2, b. (Krivky y = logx a y = 10x majú podobný tvar ako krivky y = lnx a y = ex.) Boli tiež navrhnuté alternatívne definície logaritmickej funkcie, napr.

Vďaka Eulerovej práci sa stali známymi vzťahy medzi logaritmami a goniometrickými funkciami v komplexnej rovine. Na základe identity eix = cos x + i sin x (kde sa uhol x meria v radiánoch), Euler dospel k záveru, že každé nenulové reálne číslo má nekonečne veľa prirodzených logaritmov; všetky sú zložité v prípade záporných čísel a všetky okrem jedného sú zložité v prípade kladných čísel. Keďže eix = 1 nielen pre x = 0, ale aj pre x = ± 2 kp, kde k je akékoľvek kladné celé číslo, ľubovoľné z čísel 0 ± 2 kpi možno považovať za prirodzený logaritmus čísla 1; a podobne prirodzené logaritmy -1 sú komplexné čísla tvaru (2k + 1)pi, kde k je celé číslo. Podobné tvrdenia platia pre všeobecné logaritmy alebo iné systémy logaritmov. Okrem toho, definícia logaritmov môže byť zovšeobecnená pomocou Eulerových identít tak, aby zahŕňala komplexné logaritmy komplexných čísel. Alternatívnu definíciu logaritmickej funkcie poskytuje funkčná analýza. Ak f(x) je spojitá funkcia reálneho čísla x, ktoré má tieto tri vlastnosti: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), potom f(x) je definované ako logaritmus x k základu b. Táto definícia má oproti definícii uvedenej na začiatku tohto článku množstvo výhod.
Aplikácie. Logaritmy sa pôvodne používali výlučne na zjednodušenie výpočtov a táto aplikácia je stále jednou z ich najdôležitejších. Výpočet súčinov, kvocientov, mocnín a koreňov uľahčuje nielen široká dostupnosť publikovaných tabuliek logaritmov, ale aj použitie tzv. logaritmické pravítko - výpočtový nástroj, ktorého princíp fungovania je založený na vlastnostiach logaritmov. Pravítko je vybavené logaritmickými stupnicami, t.j. vzdialenosť od čísla 1 k ľubovoľnému číslu x je zvolená tak, aby sa rovnala log x; Posunutím jednej stupnice voči druhej je možné vykresliť súčty alebo rozdiely logaritmov, čo umožňuje čítať priamo zo stupnice súčiny alebo podiely zodpovedajúcich čísel. Môžete tiež využiť výhody reprezentácie čísel v logaritmickej forme. logaritmický papier na vykresľovanie grafov (papier s logaritmickými stupnicami vytlačenými na oboch súradnicových osiach). Ak funkcia spĺňa mocninový zákon v tvare y = kxn, potom jej logaritmický graf vyzerá ako priamka, pretože log y = log k + n log x - rovnica lineárna v log y a log x. Naopak, ak logaritmický graf nejakej funkčnej závislosti vyzerá ako priamka, potom je táto závislosť mocninou. Semi-log papier (kde os y má logaritmickú mierku a os x má jednotnú mierku) je užitočný, keď potrebujete identifikovať exponenciálne funkcie. Rovnice v tvare y = kbrx vznikajú vždy, keď sa množstvo, napríklad počet obyvateľov, množstvo rádioaktívneho materiálu alebo bankový zostatok, znižuje alebo zvyšuje rýchlosťou úmernou množstvu obyvateľstva, rádioaktívneho materiálu alebo peňazí, ktoré sú v súčasnosti k dispozícii. Ak sa takáto závislosť nakreslí na semilogaritmický papier, graf bude vyzerať ako priamka. Logaritmická funkcia vzniká v spojení so širokou škálou prírodných foriem. Kvety v súkvetiach slnečnice sú usporiadané do logaritmických špirál, lastúry mäkkýšov Nautilus, rohy horských oviec a zobáky papagájov sú skrútené. Všetky tieto prirodzené tvary sú príkladmi krivky známej ako logaritmická špirála, pretože v polárnom súradnicovom systéme je jej rovnica r = aebq alebo lnr = lna + bq. Takáto krivka je opísaná pohyblivým bodom, ktorého vzdialenosť od pólu sa geometrickým postupom zväčšuje a uhol opísaný jeho vektorom polomeru sa zväčšuje v aritmetickom postupe. Všadeprítomnosť takejto krivky, a teda aj logaritmickej funkcie, dobre ilustruje skutočnosť, že sa vyskytuje v takých vzdialených a úplne odlišných oblastiach, ako je obrys excentrickej vačky a trajektória nejakého hmyzu letiaceho smerom k svetlu.

Collierova encyklopédia. - Otvorená spoločnosť. 2000 .

Pozrite sa, čo je „LOGARITHM“ v iných slovníkoch:

- (grécky, zo vzťahu logos a aritmózne číslo). Aritmetické progresívne číslo zodpovedajúce geometrickému progresívnemu číslu. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. LOGARITM grécky, od logos, vzťah,... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Dané číslo N v základe a je exponent mocniny y, na ktorú sa musí číslo a zvýšiť, aby sa získalo N; teda N = ay. Logaritmus sa zvyčajne označuje logaN. Logaritmus so základom e? 2.718... sa nazýva prírodný a označuje sa lnN.… … Veľký encyklopedický slovník

- (z gréckeho pomeru loga a aritmózneho čísla) čísla N na základ a (O ... Moderná encyklopédia