Funkcia sa volá ohraničená zdola if. Obmedzenie funkcie

Pretože uvedené oblasti sú v tomto poradí rovnaké

S∆OAC=0,5∙OC∙OA hriech α= 0,5 sinα, S sekta. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC = 0,5 tga.

teda

sinα< α < tg α.

Všetky členy nerovnosti delíme sin α > 0: .

Ale . Preto na základe 4. vety o limitách usudzujeme, že odvodený vzorec sa nazýva prvá pozoruhodná limita.

Prvá pozoruhodná hranica teda slúži na odhalenie neistoty. Upozorňujeme, že výsledný vzorec by sa nemal zamieňať s limitmi Príklady.

11. Limit a súvisiace limity.

DRUHÝ VÝZNAMNÝ LIMIT

Druhá pozoruhodná hranica slúži na odhalenie neistoty 1 ∞ a vyzerá takto

Venujme pozornosť tomu, že vo vzorci pre druhú pozoruhodnú limitu musí exponent obsahovať výraz, ktorý je opačný ako ten, ktorý sa pridáva k jednotke v základe (keďže v tomto prípade je možné zaviesť zmenu premenných a znížiť požadovanú hranicu na druhú pozoruhodnú hranicu)

Príklady.

1. Funkcia f(x)=(X-1) 2 je nekonečne malý pre X→1, keďže (pozri obr.).

2. Funkcia f(x)=tg X je nekonečne malý X→0.

3. f(x)= log(1+ X) je nekonečne malý X→0.

4. f(x) = 1/X je nekonečne malý X→∞.

Stanovme si nasledujúci dôležitý vzťah:

Veta. Ak funkcia y=f(x) zastupiteľné pri x→a ako súčet konštantného čísla b a nekonečne malý α(x): f(x)=b+ α(x) To .

Naopak, ak , tak f(x)=b+α(x), Kde a(x) je nekonečne malý x→a.

Dôkaz.

1. Dokážme prvú časť tvrdenia. Z rovnosti f(x)=b+α(x) by mal |f(x) – b|=| a|. Ale odvtedy a(x) je nekonečne malé, potom pre ľubovoľné ε existuje δ, okolie bodu a, pre všetkých X z ktorých, hodnoty a(x) uspokojiť vzťah |α(x)|< ε. Potom |f(x) – b|< ε. A to znamená, že.

2. Ak , potom pre ľubovoľné ε >0 pre všetkých X od nejakého δ je okolie bodu a bude |f(x) – b|< ε. Ale ak označíme f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, čo znamená, že a- nekonečne malý.

Uvažujme o hlavných vlastnostiach infinitezimálnych funkcií.

Veta 1. Algebraický súčet dve, tri a vo všeobecnosti akýkoľvek konečný počet infinitezimálov je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Dajme dôkaz na dve obdobia. Nechaj f(x)=α(x)+β(x), kde a . Musíme dokázať, že pre ľubovoľne malé ε > 0 tam δ> 0, takže pre X uspokojenie nerovnosti |x- a|<δ , vykonané |f(x)|< ε.

Stanovíme teda ľubovoľné číslo ε > 0. Keďže podľa hypotézy vety, α(x) je infinitezimálna funkcia, potom existuje δ 1 > 0, ktorá pri |x – a|< δ 1 máme |α(x)|< ε / 2. Rovnako tak od r β(x) je nekonečne malé, potom existuje také δ 2 > 0, ktorá pri |x – a|< δ 2 máme | β(x)|< ε / 2.

Vezmime δ=min(δ1 , δ2 } .Potom v susedstve bodu a polomer δ každá z nerovností bude uspokojená |α(x)|< ε / 2 a | β(x)|< ε / 2. Preto v tejto štvrti bude

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, čo sa malo dokázať.

Veta 2. Súčin infinitezimálnej funkcie a(x) pre obmedzenú funkciu f(x) pri x→a(alebo kedy x→∞) je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Od funkcie f(x) je obmedzená, potom je ich množstvo M také, že pre všetky hodnoty X z nejakého okolia bodu a|f(x)|≤M. Okrem toho od r a(x) je nekonečne malá funkcia pre x→a, potom pre ľubovoľné ε > 0 je okolie bodu a, v ktorom je nerovnosť |α(x)|< ε /M. Potom v menšej z týchto štvrtí máme | αf|< ε /M= ε. A to znamená, že af- nekonečne malý. Pre prípad x→∞ dokazovanie sa vykonáva obdobným spôsobom.

Z dokázanej vety vyplýva:

Dôsledok 1. Ak a potom

Dôsledok 2. Ak c= const, teda .

Veta 3. Pomer infinitezimálnej funkcie α(x) za funkciu f(x), ktorej limita je nenulová, je infinitezimálna funkcia.

Dôkaz. Nechajte . Potom 1 /f(x) je tam obmedzená funkcia. Preto je zlomok súčinom infinitezimálnej funkcie a ohraničenej funkcie, t.j. funkcia je nekonečne malá.

Príklady.

1. Je jasné, že za x→+∞ funkciu y = x 2 + 1 je nekonečný. Ale potom, podľa vety formulovanej vyššie, funkcia je nekonečne malá x→+∞, t.j. .

Dá sa dokázať aj opačná veta.

Veta 2. Ak funkcia f(x)- nekonečne malý pri x→a(alebo x→∞) a potom nezmizne y= 1/f(x) je nekonečná funkcia.

Dokážte vetu sami.

Príklady.

3. , keďže funkcie a sú nekonečne malé pre x→+∞, potom ako súčet infinitezimálnych funkcií je nekonečne malá funkcia. Funkcia je súčet konštantného čísla a nekonečne malej funkcie. Preto podľa vety 1 pre infinitezimálne funkcie získame požadovanú rovnosť.

Najjednoduchšie vlastnosti nekonečne malých a nekonečne veľkých funkcií možno teda zapísať pomocou nasledujúcich podmienených vzťahov: A≠ 0

13. Nekonečne malé funkcie rovnakého rádu, ekvivalentné nekonečne malé.

Nekonečne malé funkcie a nazývajú sa nekonečne malé rovnakého rádu maličkosti, ak , označujú . A nakoniec, ak neexistuje, potom nekonečne malé funkcie a sú neporovnateľné.

PRÍKLAD 2. Porovnanie infinitezimálnych funkcií

Ekvivalentné infinitezimálne funkcie.

Ak , potom sa volajú infinitezimálne funkcie a ekvivalent, označujú ~ .

Lokálne ekvivalentné funkcie:

Kedy ak

Niektoré ekvivalencie(na ):

Jednostranné limity.

Doteraz sme uvažovali o definícii limity funkcie kedy x→a svojvoľne, t.j. limit funkcie nezávisel od toho, ako X smerom k a, naľavo alebo napravo od a. Je však celkom bežné nájsť funkcie, ktoré za tejto podmienky nemajú limit, ale majú limit if x→a, zostávajúci na jednej strane A, vľavo alebo vpravo (pozri obr.). Preto sa zavádza pojem jednostranné limity.

Ak f(x) inklinuje k limitu b pri X snaha o nejaké číslo a Takže X berie len hodnoty menšie ako a, potom píšte a volajte blimit funkcie f(x) v bode a vľavo.

Takže číslo b sa nazýva limita funkcie y=f(x) pri x→a vľavo, ak je nejaké kladné číslo ε, je tam číslo δ (menšie ako a

Podobne, ak x→a a nadobúda veľké hodnoty a, potom píšte a volajte b limit funkcie v bode A napravo. Tie. číslo b volal limita funkcie y=f(x) v x→a vpravo, ak existuje nejaké kladné číslo ε, existuje také číslo δ (väčšie ako A) že nerovnosť platí pre všetkých .

Všimnite si, že ak sú limity v určitom bode vľavo a vpravo a pre funkciu f(x) nezhodujú, potom funkcia nemá v bode žiadne (obojstranné) obmedzenie A.

Príklady.

1. Zvážte funkciu y=f(x), definovaný na segmente nasledovne

Poďme nájsť limity funkcie f(x) pri x→ 3. Je zrejmé, že a

Inými slovami, pre ľubovoľne malý počet epsilonov existuje taká delta v závislosti od epsilonov, že zo skutočnosti, že pre ľubovoľné x spĺňajúce nerovnosť vyplýva, že rozdiel v hodnotách funkcie v týchto bodoch bude byť svojvoľne malý.

Kritérium spojitosti funkcie v bode:

Funkcia bude nepretržitý v bode A práve vtedy, ak je spojitý v bode A vpravo aj vľavo, t.j. aby v bode A existovali dve jednostranné limity, sú si navzájom rovné a rovné hodnote funkcia v bode A.

Definícia 2: Funkcia je nepretržitá na množine, ak je spojitá vo všetkých bodoch tejto množiny.

Derivácia funkcie v bode

Nech je dané byť definované v okolí . Zvážte

Ak táto hranica existuje, potom sa nazýva derivácia funkcie f v bode .

Derivácia funkcie- hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď je argument inkrementovaný.

Operácia výpočtu alebo nájdenia derivácie v bode sa nazýva diferenciácie .

Pravidlá diferenciácie.

derivát funkcie f(x) v bode x = x 0 je pomer prírastku funkcie v tomto bode k prírastku argumentu, keďže ten má tendenciu k nule. Nájdenie derivácie sa nazýva diferenciácie. Derivácia funkcie sa vypočíta podľa všeobecné pravidlo diferenciácia: Označiť f(x) = u, g(x) = v- funkcie diferencovateľné v bode X. Základné pravidlá diferenciácie 1) (derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií) 2) (z toho najmä vyplýva, že derivácia súčinu funkcie a konštanty sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie konštantou) 3) Derivácia kvocientu: ak g  0 4) Derivácia komplexnej funkcie: 5) Ak je funkcia nastavená parametricky: , tak

Príklady.

1. r = X a je mocninová funkcia s ľubovoľným exponentom.

Implicitná funkcia

Ak je funkcia daná rovnicou y=ƒ(x) vyriešenou vzhľadom na y, potom je funkcia daná explicitne (explicitná funkcia).

Pod implicitné zadanie funkcie rozumejú priradenie funkcie v tvare rovnice F(x;y)=0, neprípustné vzhľadom na y.

Akákoľvek explicitne daná funkcia y=ƒ(x) môže byť zapísaná ako implicitne daná rovnicou ƒ(x)-y=0, ale nie naopak.

Nie je vždy ľahké a niekedy nemožné vyriešiť rovnicu pre y (napríklad y+2x+cozy-1=0 alebo 2y-x+y=0).

Ak je implicitná funkcia daná rovnicou F(x; y)=0, potom na nájdenie derivácie y vzhľadom na x nie je potrebné riešiť rovnicu vzhľadom na y: stačí túto rovnicu diferencovať vzhľadom na x, pričom y považujeme za funkciu x, a potom vyriešiť výslednú rovnicu vzhľadom na y“.

Derivácia implicitnej funkcie je vyjadrená pomocou argumentu x a funkcie y.

Príklad:

Nájdite deriváciu funkcie y danej rovnicou x 3 +y 3 -3xy=0.

Riešenie: Funkcia y je implicitne definovaná. Diferencujte vzhľadom na x rovnosť x 3 +y 3 -3xy=0. Z výsledného pomeru

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

z toho vyplýva, že y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, t.j. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Deriváty vyšších rádov

Je jasné, že derivát

funkcie y=f(x) je tam aj funkcia od X:

y"=f" (x)

Ak je funkcia f"(x) je diferencovateľný, potom sa jeho derivát označí symbolom y""=f""(x) x dvakrát.
Derivát druhého derivátu, t.j. funkcie y""=f""(x), sa volá tretia derivácia funkcie y=f(x) alebo derivácia funkcie f(x) tretieho rádu a je symbolizovaný

Vôbec n-i odvodený alebo odvodený n funkcia -tého rádu y=f(x) označené symbolmi

F-la Leibniz:

Predpokladajme, že funkcie a sú diferencovateľné spolu s ich deriváciami až do n-tého rádu vrátane. Aplikovaním pravidla diferenciácie súčinu dvoch funkcií získame

Porovnajme tieto výrazy s mocnosťami dvojčlenky:

Zarážajúce je pravidlo korešpondencie: ak chcete získať vzorec pre deriváciu 1., 2. alebo 3. rádu zo súčinu funkcií a , musíte nahradiť stupne a vo výraze pre (kde n= 1,2,3) deriváty zodpovedajúcich rádov. Okrem toho by sa nulové mocniny a mali nahradiť derivátmi nultého rádu, čo znamená funkcie a:

Zovšeobecnenie tohto pravidla na prípad derivátu ľubovoľného príkazu n, dostaneme Leibnizov vzorec,

kde sú binomické koeficienty:

Rolleho veta.

Táto veta nám umožňuje nájsť kritických bodov a potom pomocou dostatočných podmienok vyšetriť f-tu na extrémy.

Nech 1) f-ta f(x) je definovaná a spojitá na nejakom uzavretom intervale ; 2) existuje konečná derivácia, aspoň v otvorenom intervale (a;b); 3) na koncoch intervalu f-i nadobúda rovnaké hodnoty f(a) = f(b). Potom medzi bodmi a a b je taký bod c, že ​​derivácia v tomto bode bude = 0.

Podľa vety o vlastnosti f-tín, ktoré sú spojité na segmente, f-ta f(x) nadobúda na tomto segmente svoje maximálne a minimálne hodnoty.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ; x 2 О

1) Nech M = m, t.j. m £ f(x) £ M

Þ f-tá f(x) nadobudne interval od a do b konštantných hodnôt a Þ jej derivácia sa bude rovnať nule. f'(x)=0

2) Nech M>m

Pretože podľa podmienok vety je f(a) = f(b) z jej najmenší resp najvyššia hodnota f-i nebude na koncoch segmentu a Þ vezme M alebo m vo vnútornom bode tohto segmentu. Potom podľa Fermatovej vety f'(c)=0.

Lagrangeova veta.

Vzorec konečného prírastku alebo Lagrangeova veta o strednej hodnote uvádza, že ak funkcia f súvislé na segmente [ a;b] a diferencovateľné v intervale ( a;b), potom je tu taký bod, že

Cauchyho veta.

Ak sú funkcie f(x) a g(x) spojité na intervale a diferencovateľné na intervale (a, b) a g¢(x) ¹ 0 na intervale (a, b), potom existuje aspoň jeden bod e, a< e < b, такая, что

Tie. pomer prírastkov funkcií na danom segmente sa rovná pomeru derivácií v bode e. Príklady riešenia problémov priebeh prednášok Výpočet objemu tela podľa slávnych námestí jeho paralelné úseky Integrálny počet

Príklady popravy ročníková práca elektrotechnika

Na dokázanie tejto vety je na prvý pohľad veľmi vhodné použiť Lagrangeovu vetu. Napíšte vzorec konečného rozdielu pre každú funkciu a potom ich navzájom vydeľte. Tento názor je však mylný, pretože bod e pre každú z funkcií je vo všeobecnosti iný. Samozrejme, v niektorých konkrétnych prípadoch sa tento bod intervalu môže ukázať ako rovnaký pre obe funkcie, ale je to veľmi zriedkavá zhoda okolností, nie pravidlo, a preto sa nedá použiť na dokázanie vety.

Dôkaz. Zvážte funkciu pomocníka

Keď x→x 0, hodnota c má tiež tendenciu k x 0; prejdime v predchádzajúcej rovnosti na limit:

Pretože , To .

Preto

(limita pomeru dvoch infinitezimál sa rovná limite pomeru ich derivátov, ak druhý existuje)

L'Hopitalovo pravidlo pri ∞ / ∞.

Všimnite si, že všetky definície obsahujú číselnú množinu X, ktorá je súčasťou domény funkcie: X s D(f). V praxi sa najčastejšie vyskytujú prípady, keď X je číselný interval (segment, interval, lúč atď.).

Definícia 1.

Funkcia y \u003d f (x) sa nazýva rastúca na množine X s D (f), ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 množiny X tak, že x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definícia 2.

Funkcia y \u003d f (x) sa nazýva klesajúca na množine X s D (f), ak pre akúkoľvek monotónnosť dvoch bodov x 1 a x 2 množiny X tak, že x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

V praxi je vhodnejšie použiť nasledujúce formulácie: funkcia sa zvyšuje, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie; funkcia je klesajúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

V 7. a 8. ročníku sme použili nasledujúcu geometrickú interpretáciu pojmov rastúcich alebo klesajúcich funkcií: pohybom po grafe rastúcej funkcie zľava doprava akosi stúpame do kopca (obr. 55); pohybom po grafe klesajúcej funkcie zľava doprava, ako keby sme išli z kopca (obr. 56).
Zvyčajne sa kombinujú pojmy „zvyšujúca sa funkcia“, „znižujúca sa funkcia“. spoločný názov monotónna funkcia a štúdium funkcie na zvýšenie alebo zníženie sa nazýva štúdium funkcie na monotónnosť.

Všimnime si ešte jednu okolnosť: ak funkcia rastie (alebo klesá) vo svojom prirodzenom obore, potom sa zvyčajne hovorí, že funkcia rastie (alebo klesá) - bez uvedenia číselnej množiny X.

Príklad 1

Preskúmajte monotónnosť funkcie:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Riešenie:

a) Vezmite ľubovoľné hodnoty argumentu x 1 a x 2 a nechajte x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Posledná nerovnosť znamená, že f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Takže od 1x< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), čo znamená, že daná funkcia je klesajúca (na celej číselnej osi).

Definícia 3.

Funkcia y - f(x) sa nazýva ohraničená zdola na množine X s D (f), ak sú všetky hodnoty funkcie na množine X väčšie ako určité číslo (inými slovami, ak existuje číslo m také, že pre ľubovoľnú hodnotu x є X je nerovnosť f( x) >m).

Definícia 4.

Funkcia y \u003d f (x) sa nazýva ohraničená zhora na množine X s D (f), ak sú všetky hodnoty funkcie menšie ako určité číslo (inými slovami, ak existuje číslo M také, že pre akúkoľvek hodnotu x є X nerovnosť f (x)< М).

Ak množina X nie je špecifikovaná, potom sa predpokladá, že rozprávame sa o obmedzenosti funkcie zdola alebo zhora v celej oblasti definície.

Ak je funkcia ohraničená zdola aj zhora, potom sa nazýva ohraničená.

Ohraničenosť funkcie sa dá ľahko prečítať z jej grafu: ak je funkcia ohraničená zdola, potom je jej graf celý umiestnený nad nejakou vodorovnou čiarou y \u003d m (obr. 57); ak je funkcia ohraničená zhora, potom je jej graf úplne umiestnený pod vodorovnou čiarou y \u003d M (obr. 58).

Príklad 2 Preskúmajte funkciu pre ohraničenosť
Riešenie. Na jednej strane je nerovnosť celkom zrejmá (podľa definície odmocnina To znamená, že funkcia je ohraničená zdola. Na druhej strane máme a preto
To znamená, že funkcia je ohraničená zhora. Teraz sa pozrite na graf danej funkcie (obr. 52 z predchádzajúceho odseku). Ohraničenosť funkcie zhora aj zdola sa dá z grafu vyčítať celkom jednoducho.

Definícia 5.

Číslo m sa nazýva najmenšia hodnota funkcie y \u003d f (x) na množine X C D (f), ak:

1) v X je taký bod x 0, že f(x 0) = m;

2) pre všetky x z X je splnená nerovnosť m>f(х 0).

Definícia 6.

Číslo M sa nazýva najväčšia hodnota funkcie y \u003d f (x) na množine X C D (f), ak:
1) v X je taký bod x 0, že f(x 0) = M;
2) pre všetky x z X, nerovnosť
Najmenšiu hodnotu funkcie sme v 7. aj 8. ročníku označovali symbolom y a najväčšiu hodnotu symbolom y.

Ak množina X nie je špecifikovaná, potom sa rozumie, že hovoríme o nájdení najmenšej alebo najväčšej hodnoty funkcie v celom definičnom obore.

Nasledujúce užitočné vyhlásenia sú celkom zrejmé:

1) Ak má funkcia Y, potom je ohraničená zdola.
2) Ak má funkcia Y, potom je zhora ohraničená.
3) Ak funkcia nie je ohraničená nižšie, potom Y neexistuje.
4) Ak funkcia nie je zhora ohraničená, potom Y neexistuje.

Príklad 3

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie
Riešenie.

Je celkom zrejmé, najmä ak sa uchýlite ku grafu funkcie (obr. 52), že = 0 (funkcia dosiahne túto hodnotu v bodoch x = -3 a x = 3), a = 3 (funkcia dosiahne táto hodnota v bode x = 0.
V 7. a 8. ročníku sme spomenuli ešte dve vlastnosti funkcií. Prvá sa nazývala vlastnosť konvexnosti funkcie. Predpokladá sa, že funkcia je konvexná smerom nadol na intervale X, ak spojením ľubovoľných dvoch bodov jej grafu (s úsečkami z X) s úsečkou priamky zistíme, že zodpovedajúca časť grafu leží pod nakreslenou úsečkou ( Obr. 59). spojitosť Funkcia je konvexná smerom nahor na intervale X, ak spojením ľubovoľných dvoch bodov jej grafu (s úsečkami z X) priamkou úsečkou zistíme, že zodpovedajúca časť grafu leží nad nakreslenou úsečkou (obr. 60). ).

Druhá vlastnosť – spojitosť funkcie na intervale X – znamená, že graf funkcie na intervale X je spojitý, t.j. nemá žiadne vpichy a skoky.

Komentujte.

V skutočnosti je v matematike všetko, ako sa hovorí, „presne naopak“: graf funkcie je znázornený ako plná čiara(bez vpichov a skokov) až vtedy, keď je preukázaná kontinuita funkcie. Formálna definícia kontinuity funkcie, ktorá je pomerne zložitá a jemná, je však zatiaľ nad naše sily. To isté možno povedať o konvexnosti funkcie. Pri diskusii o týchto dvoch vlastnostiach funkcií sa budeme naďalej spoliehať na vizuálne intuitívne reprezentácie.

Teraz si zopakujme naše vedomosti. Pri spomienke na funkcie, ktoré sme študovali v 7. a 8. ročníku, si objasníme, ako vyzerajú ich grafy a vymenujeme vlastnosti funkcie, dodržujúc určité poradie, napr.: doména definície; monotónna; obmedzenie; , ; kontinuita; rozsah hodnôt; konvexné.

Následne sa objavia nové vlastnosti funkcií a podľa toho sa zmení aj zoznam vlastností.

1. Konštantná funkcia y \u003d C

Graf funkcie y \u003d C je znázornený na obr. 61 - priamka, rovnobežná s osou x. Ide o tak nezaujímavú funkciu, že nemá zmysel uvádzať jej vlastnosti.

Graf funkcie y \u003d kx + m je priamka (obr. 62, 63).

Vlastnosti funkcie y \u003d kx + m:

1)
2) rastie, ak k > 0 (obr. 62), klesá, ak k< 0 (рис. 63);

4) neexistujú ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty;
5) funkcia je spojitá;
6)
7) nemá zmysel hovoriť o konvexnosti.

Graf funkcie y \u003d kx 2 je parabola s vrcholom v počiatku a s vetvami smerujúcimi nahor, ak k\u003e O (obr. 64), a nadol, ak k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Vlastnosti funkcie y - kx 2:

Pre prípad k > 0 (obr. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = neexistuje;
5) kontinuálne;
6) Е(f) = funkcia klesá a na intervale klesá na lúči;
7) konvexné smerom nahor.

Graf funkcie y \u003d f (x) je zostavený bod po bode; čím viac bodov formulára (x; f (x)) vezmeme, tým presnejšiu predstavu o grafe získame. Ak vezmeme veľa týchto bodov, potom bude myšlienka grafu úplnejšia. Práve v tomto prípade nám intuícia hovorí, že graf by mal byť nakreslený ako plná čiara (v tomto prípade ako parabola). A potom pri čítaní grafu vyvodíme závery o spojitosti funkcie, o jej konvexnosti smerom nadol alebo nahor, o rozsahu funkcie. Musíte pochopiť, že z uvedených siedmich vlastností sú len vlastnosti 1), 2), 3), 4) „legitímne“ v tom zmysle, že ich vieme podložiť presnými definíciami. O zostávajúcich vlastnostiach máme len vizuálne-intuitívne znázornenia. Mimochodom, nie je na tom nič zlé. Z histórie rozvoja matematiky je známe, že ju ľudstvo často a oddávna využívalo rôzne vlastnosti určité predmety bez toho, aby o tom vedeli presné definície. Potom, keď sa dali sformulovať takéto definície, všetko do seba zapadlo.

Grafom funkcie je hyperbola, súradnicové osi slúžia ako asymptoty hyperboly (obr. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ak k > 0, potom funkcia klesá na otvorenom lúči (-oo, 0) a na otvorenom lúči (0, +oo) (obr. 66); ak do< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nie je obmedzený ani zdola, ani zhora;
4) neexistujú ani najmenšie, ani najväčšie hodnoty;
5) funkcia je spojitá na otvorenom lúči (-oo, 0) a na otvorenom lúči (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ak k > 0, potom je funkcia konvexná smerom nahor v bode x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, t.j. na otvorenom nosníku (0, +oo) (obr. 66). Ak do< 0, то функция выпукла вверх при х >o a konvexné nadol na x< О (рис. 67).
Grafom funkcie je vetva paraboly (obr. 68). Vlastnosti funkcie:
1) D(f) = , narastá na lúči. Na tomto segmente $16-x^2≤16$ alebo $\sqrt(16-x^2)≤4$, ale to znamená ohraničenosť zhora.
Odpoveď: naša funkcia je obmedzená dvoma riadkami $y=0$ a $y=4$.

Najvyššia a najnižšia hodnota

Najmenšia hodnota funkcie y= f(x) na množine Х⊂D(f) je nejaké číslo m, takže:

b) Pre ľubovoľné xϵX platí $f(x)≥f(x0)$.

Najväčšia hodnota funkcie y=f(x) na množine Х⊂D(f) je nejaké číslo m, takže:
a) Existuje nejaké x0 také, že $f(x0)=m$.
b) Pre ľubovoľné xϵX je $f(x)≤f(x0)$ splnené.

Najväčšia a najmenšia hodnota sa zvyčajne označuje y max. a y meno. .

Pojmy ohraničenosť a najväčšia s najmenšou hodnotou funkcie spolu úzko súvisia. Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:
a) Ak existuje najmenšia hodnota funkcie, potom je ohraničená zdola.
b) Ak existuje maximálna hodnota funkcie, potom je zhora ohraničená.
c) Ak funkcia nie je zhora ohraničená, potom neexistuje maximálna hodnota.
d) Ak funkcia nie je ohraničená nižšie, potom najmenšia hodnota neexistuje.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Riešenie: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 $.
Pre $x=4$ $f(4)=5$, pre všetky ostatné hodnoty má funkcia menšie hodnoty alebo neexistuje, to znamená, že toto je najväčšia hodnota funkcie.
Podľa definície: 9-4x^2+16x≥0$. Poďme nájsť korene štvorcový trojčlen$(2x+1)(2x-9)≥0$. Pri $x=-0.5$ a $x=4.5$ funkcia zmizne, vo všetkých ostatných bodoch je väčšia ako nula. Potom je podľa definície najmenšia hodnota funkcie nula.
Odpoveď: y max. = 5 a y min. =0.

Chlapci, študovali sme aj koncepty konvexnosti funkcie. Pri riešení niektorých problémov môžeme túto vlastnosť potrebovať. Táto vlastnosť sa dá ľahko určiť aj pomocou grafov.

Funkcia je konvexná nadol, ak sú spojené ľubovoľné dva body grafu pôvodnej funkcie a graf funkcie je pod čiarou spájajúcou body.

Funkcia je konvexná smerom nahor, ak sú spojené ľubovoľné dva body grafu pôvodnej funkcie a graf funkcie je nad čiarou spájajúcou body.

Funkcia je spojitá, ak graf našej funkcie nemá žiadne nespojitosti, ako napríklad graf funkcie vyššie.

Ak chcete nájsť vlastnosti funkcie, postupnosť vyhľadávania vlastností je nasledovná:
a) Oblasť definície.
b) Monotónnosť.
c) obmedzenie.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota.
e) Kontinuita.
f) Rozsah hodnôt.

Nájdite vlastnosti funkcie $y=-2x+5$.
Riešenie.
a) Definičná oblasť D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotónnosť. Skontrolujeme akékoľvek hodnoty x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Pretože x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) obmedzenie. Je zrejmé, že funkcia nie je obmedzená.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota. Keďže funkcia nie je ohraničená, neexistuje žiadna maximálna ani minimálna hodnota.
e) Kontinuita. Graf našej funkcie nemá žiadne medzery, potom je funkcia spojitá.
f) Rozsah hodnôt. E(y)=(-∞;+∞).

Úlohy o vlastnostiach funkcie pre samostatné riešenie

Veta o limite monotónnej funkcie. Dôkaz vety sa podáva dvoma spôsobmi. Uvádzajú sa aj definície prísne rastúcich, neklesajúcich, prísne klesajúcich a nezvyšujúcich sa funkcií. Definícia monotónnej funkcie.

Definície

Definície zvyšujúcich a klesajúcich funkcií
Nech funkcia f (X) je definovaný na nejakej množine reálnych čísel X .
Funkcia sa volá prísne rastúci (prísne klesajúci), ak pre všetky x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
f (X')< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funkcia sa volá neklesajúci (nezvyšujúci sa), ak pre všetky x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

To znamená, že prísne rastúca funkcia je tiež neklesajúca. Striktne klesajúca funkcia je tiež nerastúca.

Definícia monotónnej funkcie
Funkcia sa volá monotónna ak neklesá alebo nerastie.

Ak chcete študovať monotónnosť funkcie na nejakej množine X, musíte nájsť rozdiel jej hodnôt v dvoch ľubovoľných bodoch patriacich do tejto množiny. Ak , potom sa funkcia prísne zvyšuje; ak , potom funkcia neklesne; ak , potom prísne klesá; ak , potom sa nezvyšuje.

Ak je na niektorej množine funkcia kladná: , potom na určenie monotónnosti je možné preskúmať kvocient delenia jej hodnôt v dvoch ľubovoľných bodoch tejto množiny. Ak , potom sa funkcia prísne zvyšuje; ak , potom funkcia neklesne; ak , potom prísne klesá; ak , potom sa nezvyšuje.

Veta
Nech funkcia f (X) počas intervalu neklesá (a,b), Kde .
Ak je zhora ohraničená číslom M : , potom je v bode b : konečná ľavá limita. Ak f (X) nie je ohraničené vyššie, potom .
Ak f (X) je zdola ohraničená číslom m:, potom je v bode a: konečná pravá limita. Ak f (X) nižšie nie je ohraničené, potom .

Ak sú body a a b v nekonečne, potom vo výrazoch medzné znamienka znamenajú, že .
Táto veta môže byť formulovaná kompaktnejšie.

Nech funkcia f (X) počas intervalu neklesá (a,b), Kde . Potom existujú jednostranné limity v bodoch a a b:
;
.

Podobná veta pre nerastúcu funkciu.

Nech sa funkcia nezväčšuje na intervale , kde . Potom sú tu jednostranné limity:
;
.

Dôsledok
Nech je funkcia monotónna na intervale . Potom v ktoromkoľvek bode z tohto intervalu existujú jednostranné konečné limity funkcie:
A .

Dôkaz vety

Funkcia sa neznižuje

b - konečné číslo

Funkcia obmedzená zhora

1.1.1. Nech je funkcia zhora ohraničená číslom M : pre .

.
;
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom
v .
Transformujme poslednú nerovnosť:
;
;
.
Pretože teda. Potom
v .

v .
"Definície jednostranných limitov funkcie v konečnom bode").

Funkcia nie je zhora obmedzená

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.1. Nech je číslo b konečné: .
1.1.2. Nech je funkcia zhora neobmedzená.
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

.

v .

Označme . Potom pre akékoľvek existuje , takže
v .
To znamená, že limita vľavo v bode b je (pozri "Definície jednostranných nekonečných limitov funkcie v koncovom bode").

b skoré plus nekonečno

Funkcia obmedzená zhora

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.2.1. Nech je funkcia zhora ohraničená číslom M : pre .
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia je ohraničená zhora, existuje konečná horná hranica
.
Podľa definície najmenšej hornej hranice sú splnené tieto podmienky:
;
pre každé pozitívum existuje argument, pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom o . Alebo
v .

Takže sme zistili, že pre akékoľvek existuje číslo , takže
v .
"Definície jednostranných limitov v nekonečne").

Funkcia nie je zhora obmedzená

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.2. Nech je číslo b plus nekonečno: .
1.2.2. Nech je funkcia zhora neobmedzená.
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia nie je zhora ohraničená, potom pre ľubovoľné číslo M existuje argument , pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom o .

Takže pre všetky existuje číslo , takže
v .
To znamená, že limit v je (pozri "Definície jednostranných nekonečných limitov v nekonečne").

Funkcia sa nezvýši

Teraz zvážte prípad, keď sa funkcia nezvyšuje. Ako je uvedené vyššie, môžete zvážiť každú možnosť samostatne. Ale hneď ich zakryjeme. Na to používame. Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Zvážte konečnú dolnú hranicu množiny funkčných hodnôt:
.
Tu B môže byť buď konečné číslo, alebo bod v nekonečne. Podľa definície presného infimu sú splnené tieto podmienky:
;
pre akékoľvek okolie bodu B existuje argument, pre ktorý
.
Podľa podmienky vety, . Preto .

Keďže funkcia sa nezvýši, potom pre . Odvtedy
v .
Alebo
v .
Ďalej si všimneme, že nerovnosť definuje ľavé prepichnuté okolie bodu b .

Zistili sme teda, že pre každé okolie bodu existuje také prepichnuté ľavé okolie bodu b, že
v .
To znamená, že limit vľavo v bode b je:

(pozri univerzálnu definíciu limity funkcie podľa Cauchyho).

Limit v bode a

Teraz ukážme, že v bode a je limita a nájdime jej hodnotu.

Uvažujme o funkcii. Podľa podmienky vety je funkcia monotónna pre . Nahraďte premennú x za - x (alebo urobte substitúciu a potom nahraďte premennú t za x ). Potom je funkcia monotónna pre . Násobenie nerovností o -1 a zmenou ich poradia dospejeme k záveru, že funkcia je monotónna pre .

Podobným spôsobom sa dá ľahko ukázať, že ak neklesá, tak nerastie. Potom, podľa toho, čo bolo dokázané vyššie, existuje hranica
.
Ak sa nezvýši, tak sa nezníži. V tomto prípade existuje limit
.

Teraz zostáva ukázať, že ak existuje limita funkcie v , potom existuje limita funkcie v , a tieto limity sú rovnaké:
.

Predstavme si notáciu:
(1) .
Vyjadrime f pomocou g :
.
Vezmite ľubovoľné kladné číslo. Nech existuje epsilon okolie bodu A . Okolie Epsilon je definované pre konečné aj nekonečné hodnoty A (pozri „Okolie bodu“). Keďže existuje limita (1), potom podľa definície limity pre každú existuje taká, že
v .

Nech a je konečné číslo. Vyjadrime ľavé prepichnuté okolie bodu -a pomocou nerovností:
v .
Nahradme x za -x a vezmime do úvahy, že:
v .
Posledné dve nerovnosti definujú prepichnuté pravé okolie bodu a . Potom
v .

Nech a je nekonečné číslo, . Opakujeme diskusiu.
v ;
v ;
v ;
v .

Zistili sme teda, že pre každú existuje taká, že
v .
Znamená to, že
.

Veta bola dokázaná.