Čo je vlastná podmnožina. Ako nájsť všetky podmnožiny množín

veľa nazývaný súbor určitých celkom odlišných predmetov, považovaných za jeden celok.

Súbor je chápaný ako určitý súbor predmetov zjednotených podľa nejakého spoločného znaku.

Jednotlivé predmety tvoriace množinu sa nazývajú prvkov súpravy.

Súprava je označená symbolom A = {X), kde X- všeobecný názov prvkov súpravy A. Sada je často napísaná vo forme A = {a, b, c, ...), kde zložené zátvorky označujú prvky súpravy A. Použijeme označenie:

N- množina všetkých prirodzených čísel;
Z- množina všetkých celých čísel;
Q- množina všetkých racionálnych čísel;
R- množina všetkých reálnych čísel;
C- množina všetkých komplexných čísel;
Z0 je množina všetkých nezáporných celých čísel.

a patrí do sady A.

Zápis (alebo ) znamená, že prvok a nepatrí do sady A.

Podmnožina v teórii množín je koncept časti množiny.

Kopa B, ktorej všetky prvky patria do súpravy A, sa volá podmnožina súpravy A, a zároveň napíšte (alebo )

Vždy, pretože každý prvok súpravy prirodzene patrí A. Prázdna množina, teda množina, ktorá neobsahuje jediný prvok, bude označená symbolom . Každá množina obsahuje prázdnu množinu ako svoju podmnožinu.

Ak potom A a B volal rovnaké sady, pri písaní A = B.

5. Operácie na množinách: spojenie množín, vlastnosti tejto operácie.

Zjednotenie množín A a B je množina pozostávajúca zo všetkých a len tých prvkov, ktoré patria aspoň do jednej z množín A alebo B, t.j. patrí do A alebo patrí do B.

spojenie množín A a B sa nazýva súprava

6. Operácie na množinách: prienik množín, vlastnosti tejto operácie.

Priesečník množín A a B je množina pozostávajúca zo všetkých a len tých prvkov, ktoré patria do množiny A aj do množiny B.

priesečník podmnožiny A a B sa nazýva súprava

7. Prvky kombinatoriky: Permutácie.

Celú škálu kombinatorických vzorcov možno odvodiť z dvoch hlavných tvrdení týkajúcich sa konečných množín − pravidlo súčtu a pravidlo produktu .

Pravidlo súčtu: nech je n párové disjunktné množiny A1, A2, …, A n obsahujúce m 1, m 2, …, m n prvky, resp. Počet spôsobov, ktorými je možné vybrať jeden prvok zo všetkých týchto súborov, je m 1 + m 2 + … + m n .

Príklad . Ak je prvá polica X knihy a na druhej Y , potom si môžete vybrať knihu z prvej alebo druhej police, môžete X + Y spôsoby.

pravidlo produktu: nech je n súpravy A 1 , A 2 , …, A n obsahujúci m 1 , m 2 , …, m n prvkov, resp. Počet spôsobov, ktorými môžete vybrať jeden prvok z každej množiny, t. j. zostaviť n-ticu ( a 1 , a 2 , ..., a n ), kde a ja О ALE i1 ( i = 1, 2, …, č ), rovná sa m 1 m 2 … m n .

Príklad . Ak je na prvej poličke 5 kníh a na druhej 10, potom si môžete vybrať jednu knihu z prvej police a jednu z druhej na 5*10=50 spôsobov.

Faktorový. Toto je názov funkcie, s ktorou sa v praxi často stretávame a ktorá je definovaná pre nezáporné celé čísla. Názov funkcie pochádza z anglického matematického pojmu faktor – „faktor“. Je určená. Pre každé kladné celé číslo sa funkcia rovná súčinu všetkých celých čísel od 1 do . Napríklad: . Pre pohodlie predpokladáme podľa definície . Faktoriál je bežný najmä v kombinatorike. Napríklad počet spôsobov, ako zoradiť školákov do jedného radu, sa rovná

Definícia. Ak sa v určitej množine prvky preusporiadajú, pričom ich počet zostane nezmenený, potom sa zavolá každá takto získaná kombinácia permutácia.

Celkový počet permutácií z m prvky sú označené Pm a vypočítané podľa vzorca:

8. Prvky kombinatoriky: Kombinácie.

Definícia. Ak od t prvky tvoria skupiny podľa P prvky v každom, bez ohľadu na poradie prvkov v skupine, potom sa volajú výsledné kombinácie kombinácie od t prvky podľa P.

Celkový počet kombinácií sa zistí podľa vzorca:

9. Prvky kombinatoriky: Umiestnenia.

Ide o nečíselné množiny. Napríklad sa hovorí o množine uhlopriečok mnohouholníka, o množine bodov na súradnicovej priamke, o množine priamok prechádzajúcich bodom.

Predmety alebo predmety, ktoré tvoria danú množinu, sa nazývajú jej prvky. Napríklad číslo $6$ bude prvkom množiny prirodzených čísel a číslo $0,9$ nebude prvkom množiny prirodzených čísel.

Nastaviť typy

Množiny môžu byť konečné a nekonečné, prázdne.

Definícia 2

konečné množina pozostávajúca z konečného počtu prvkov sa nazýva, ale konečná množina môže mať ľubovoľný počet prvkov.

Medzi konečnými množinami existuje množina, ktorá nemá ani jeden prvok. Takáto množina sa nazýva prázdna množina.

Definícia 3

Množina, ktorá nie je konečná, sa nazýva nekonečné číslo.

Podmnožiny

Ak niektorá sada nie je prázdna, potom sa z nej dajú vybrať ďalšie sady, ktoré budú jej súčasťami.

Napríklad z množiny prirodzených čísel možno vybrať množinu párnych.

V matematike sa časť množiny nazýva - podmnožina. O množine sa hovorí, že je podmnožinou inej, ak každý prvok podmnožiny je tiež prvkom väčšej množiny.

Označenie množín, podmnožín a ich prvkov

Najčastejšie sa sady označujú latinskými písmenami - $A, B, C, D, X, Y, Z, W$ atď.

Prvky množiny sa označujú malými písmenami $a,b,c,d,x,y,z$ atď.

Matematicky je možné zapísať príslušnosť nejakého prvku k nejakej množine, napríklad, že nejaký prvok $a$ bude zahrnutý v množine $A$ takto: $a\in A$. Tento záznam si môžete prečítať ako toto: a patrí do množiny $A$.

Ak niektorý prvok, napríklad $b$ nepatrí do množiny $B$, zapíše sa takto: $b\notin B$. Tento záznam sa číta takto: $b$ nepatrí do množiny $ B $

Napríklad, ak označíme množinu celých čísel $A$, čo potom možno napísať: $3\in A$, $7,5\notin B$

Prázdna množina v matematike je označená takto: $ᴓ$

Na označenie, že množina $B$ je podmnožinou množiny $A$, sa používa zápis: Znak $\podmnožina $ označuje zahrnutie jednej množiny do inej množiny.

Príklad 1

Určte, ktoré prvky z uvedených $12,38,54,79,934$ budú zahrnuté do množiny $A$-čísel deliteľných $3$.

rozhodnutie: Podľa podmienky množina $A$ obsahuje prvky, z ktorých každý musí byť násobkom, t.j. je deliteľné $3.$ Aby sme teda určili, či dané čísla sú prvkami množiny $A$, musíme skontrolovať, ktoré z nich budú bezo zvyšku deliteľné $3$ a ktoré nie.

Spomeňme si test deliteľnosti 3 dolármi: Ak je súčet číslic, ktoré tvoria číslo, deliteľný $3$, potom je číslo bezo zvyšku deliteľné $3$.

$12$ je deliteľné $3$, pretože súčet číslic 12 $ je 3 $

číslo $38$ nebude bezo zvyšku deliteľné $3$, pretože súčet číslic $3+8=11$ nie je bezo zvyšku deliteľný $3$

podobne preto súčet číslic čísla $54$ sa rovná $9$, dokážeme, že je deliteľné $3$, ale číslo $74$ nebude deliteľné $3$, pretože súčet číslic je $11,$

Nájdime súčet číslic čísla $934: 9+3+4=16$, číslo $16$ nie je násobkom $3$, čiže číslo $934$ nemôže byť bezo zvyšku deliteľné $3$

Teraz urobme záver, ktoré čísla budú prvkami množiny $A$:

Spôsoby špecifikácie množín

Existujú dva globálne odlišné spôsoby špecifikácie množín.

najprv je, že množina je definovaná špecifikovaním všetkých jej prvkov. V tomto prípade sa o množine hovorí, že je daná vymenovaním všetkých jej prvkov alebo zoznamom jej prvkov. Vyčíslením prvkov môžete určiť iba konečné množiny a s malým počtom prvkov, ktoré sú v nich zahrnuté

Konečné množiny s niekoľkými prvkami sa zvyčajne píšu v zložených zátvorkách $\left\(a,b,c\right\)$

Pri tomto spôsobe špecifikácie množín hovoríme, že množina je daná vyčíslením jej prvkov.

Druhý spôsob priradenie množín je použiteľné ako pre konečné. a pre nekonečné množiny. Spočíva v tom, že sa označuje vlastnosť, ktorú má každý prvok danej množiny - množina je špecifikovaná popisom, t.j. označujúci jeho charakteristickú vlastnosť, teda vlastnosť, ktorú majú všetky prvky tohto súboru a žiadne iné objekty.

Príklad 2

Napríklad pomocou popisu je možné určiť takú množinu prirodzených čísel od $ 1 $ do $ 9 $ vrátane. Charakteristickou vlastnosťou, teda vlastnosťou, ktorú majú všetky prvky tejto množiny pre tieto prvky, je, že všetky sú prirodzenými číslami a každé z nich nie je menšie ako $1$ a nie viac ako $9$. Enumeráciou možno špecifikovanú množinu špecifikovať takto:

$A=\vľavo\(1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\vpravo\)$

Nastaviť rovnosť

Množiny sú rovnaké, ak sú ich prvky rovnaké. Navyše, ak sa množiny skladajú z rovnakých prvkov, ale sú napísané v inom poradí, potom sú tieto množiny odlišné, hoci sú rovnaké.

Spojenie množín

Z dvoch množín $A$ a $B$ možno vytvoriť novú množinu spojením všetkých prvkov množiny $A$ a všetkých prvkov množiny $B$

Matematicky to možno vyjadriť takto: $\ A\ \cup B$

Zjednotenie množín $A$ a $B$ je nová množina $\ A\ \cup B$, pozostávajúca iba z tých prvkov, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednej z množín $A$ alebo $B$.

Nastaviť rozdiel

Rozdiel dvoch množín $A$ a $B$ je množina, ktorá obsahuje všetky prvky z množiny $A$, ktoré nepatria do množiny $B$.

Sekcia sa používa veľmi jednoducho. Do navrhovaného poľa stačí zadať požadované slovo a my vám poskytneme zoznam jeho významov. Chcel by som poznamenať, že naša stránka poskytuje údaje z rôznych zdrojov - encyklopedických, výkladových, slovotvorných slovníkov. Tu sa môžete zoznámiť aj s príkladmi použitia vami zadaného slova.

Význam slova podmnožina

podmnožinu v slovníku krížoviek

Encyklopedický slovník, 1998

podmnožina

koncept teórie množín. Podmnožinou množiny A je množina B (označená B? A), ktorej každý prvok patrí do A. Napríklad množina všetkých párnych čísel je podmnožinou množiny všetkých celých čísel.

Podmnožina

množiny A (matematické), ľubovoľná množina, ktorej každý prvok patrí do A. Napríklad množina všetkých párnych čísel je P. množina všetkých celých čísel. Ak zahrnieme „prázdnu“ množinu, ktorá neobsahuje vôbec žiadne prvky, potom by sa podľa definície mala považovať za vlastnosť akejkoľvek inej množiny. Samotná množina A a prázdna množina sa niekedy nazývajú nesprávne vlastnosti, zatiaľ čo ostatné vlastnosti sa nazývajú vlastné. Pozri tiež teóriu množín.

Wikipedia

Podmnožina

Podmnožina v teórii množín je to pojem časti množiny.

Príklady použitia slova podmnožina v literatúre.

Môžete tiež zadať ďalšie písmeno, na ktoré chcete prejsť podmnožina všetky možné konce.

Predložený dokument MÔŽE byť buď podmnožina pôvodnú verziu a obsahujú informácie, ktoré v nej neboli uvedené.

Kharmova nula ako množina zahŕňajúca nekonečný rad núl podmnožiny, je svet nekonečna.

Tlačiteľné podmnožiny stránky si vyžaduje filter, ktorý túto situáciu zvládne.

Vytvorenie indexu s pravidlom fragmentácie, ktoré nie je rovnaké ako pravidlo fragmentácie tabuľky, je užitočné, keď rôzne aplikácie vyberajú z tabuľky na základe rôznych podmnožiny jej atribúty.

Lekcia a prezentácia na tému: "Množiny a podmnožiny, príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Multimediálna učebnica pre ročník 9 "Algebra za 10 minút"
Elektronická učebnica pre žiakov 7. – 9. ročníka „Pochopiteľná algebra“

Množiny a podmnožiny

Čo je teda množstvo?
Množiny sa zaoberajú špeciálnym odvetvím matematiky teórie množín. Sada je jedným z hlavných a základných pojmov. Nemá žiadnu definíciu, ale pokúsme sa pochopiť, čo je súbor? Sada je súborom rôznych prvkov, možno ich počítať, zoskupovať. Príkladom množín sú písmená abecedy – množina pozostávajúca z 33 prvkov. Veľa jabĺk na strome - počet jabĺk na strome, samozrejme, a dá sa spočítať a očíslovať. Existuje veľa príkladov zostáv. Skúste prísť na príklad sami.
V matematike sa množina označuje zloženými zátvorkami (,). Napríklad množina prvých piatich písmen anglickej abecedy bude označená takto: (A, B, C, D, E). Ak túto sadu napíšete v inom poradí, nezmení sa.
Matematika je taký zaujímavý predmet, že máme pojem prázdna a nekonečná množina. Prázdna množina je množina, v ktorej nie je ani jeden prvok, je označená bez zátvoriek a používa sa symbol Ø. Nekonečná množina, zrejme už z názvu, je množina, v ktorej je nekonečný počet prvkov, napríklad množina všetkých čísel.
Množiny možno opísať rôznymi slovami, napríklad (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) je množina párnych dvojciferných čísel. Elipsa sa používa vtedy, keď je prvkov veľa a je ťažké ich všetky zapísať, no zároveň musí byť záznam množiny zrozumiteľný a aby sa z neho dalo určiť, o akú množinu to je.
$ \(x|-2

Pre súpravy existujú špeciálne označenia. Napríklad pre množinu prirodzených čísel. Chlapci, pamätáte si, ako sa táto súprava označuje?
Špeciálny znak $ϵ$ sa používa na označenie, že prvok patrí do množiny. Napíšte $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. Znie takto: "Dve patria do množiny párnych čísel."

Príklad.
Nejaká množina pozostáva z koreňov rovnice $x^3+3x^2+2x=0$. Nájdite prvky tejto sady a uveďte všetky možné usporiadania prvkov.

rozhodnutie.
Vyriešme rovnicu, vyberme x zo zátvoriek:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Potom riešenia našej rovnice: $x=0;-2;-1$ - to sú prvky požadovanej množiny.
Zapíšme si možné možnosti usporiadania prvkov:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Príklad.
Opíšte nastavené údaje.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10 \) \\ b) \(1,8,27,64 ... \)$
rozhodnutie.
a) Množina prirodzených čísel od 1 do 10.
b) Množina všetkých hodnôt kociek prirodzených čísel.

Príklad.
Po vyriešení nerovnice napíšte jej riešenia ako číselný interval:

A) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
rozhodnutie.
a) $x^2+1>0$ je väčšie ako nula pre všetky x. Potom sa číselný interval zapíše v tvare: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

Podmnožina

Nezabúdajme, že prázdna množina je zároveň podmnožinou našej množiny. Potom dostaneme, že máme 3+3+1+1=8 podmnožín.

Úlohy na samostatné riešenie

vo vlastníctve $A$, tiež patrí $B$. Formálna definícia:

$(A\; \backslash podmnožina\; B)\; \backslash šípka\; doľava\; doprava\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Šípka\; doprava\; x\; \backslash v\; B).$

Kopa $B$ volal nadmnožina súpravy $A$, ak $A$- podmnožina $B$.

Pre podmnožiny existujú dva symboly:

Oba systémy zápisu používajú symbol $\backslash podmnožina$ rôzne významy, čo môže viesť k zámene. V tomto článku budeme používať najnovšiu notáciu.

Čo $B$ nazývaná supermnožina $A$, často písané $B\; \backslash supset\; A$.

Množina všetkých podmnožín množiny $A$ označené $\backslash mathcal(P)(A)$ a nazýva sa booleovský.

vlastnú podmnožinu

Akákoľvek sada $B$ je vlastnou podmnožinou. Ak chceme vylúčiť $B$ z úvahy používame pojem vlastné

Kopa $A$ je správnou podmnožinou množiny $B$, ak $A\backslash podmnožina\; B$ a $A\; \backslash ne\; B$.

Prázdna množina je podmnožinou ľubovoľnej množiny. Ak navyše chceme vylúčiť z úvahy prázdnu množinu, použijeme pojem netriviálne podmnožinu, ktorá je definovaná takto:

Kopa $A$ je netriviálna podmnožina množiny $B$, ak $A$ je vlastnou podmnožinou $B$ a $A\; \backslash ne\backslash varo\; nič$.

Príklady

• Súpravy $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Súpravy $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; los\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ sú podmnožiny množiny $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; los\; \backslash )$
• Nechať byť $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, potom $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Nechať byť $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Potom $B\; \backslash podmnožina\; A,\backslash ;\; C\backslash nie\backslash podmnožina\; A$.

Vlastnosti

Vzťah podmnožiny má množstvo vlastností.

• Vzťah podmnožiny je vzťah čiastočného poriadku:
  • Vzťah podmnožiny je reflexívny: $B\backslash podmnožina\; B$
  • Vzťah podmnožiny je antisymetrický: $(A\; \backslash podmnožina\; B\; \backslash ;\; \backslash a\; \backslash ;\; B\; \backslash podmnožina\; A)\; \backslash Šípka\; doľava\; doprava\; (A\; =\; B)$
  • Vzťah podmnožiny je tranzitívny: $(A\; \backslash podmnožina\; B\; \backslash ;\backslash \; a\; \backslash ;\; B\; \backslash podmnožina\; C)\; \backslash Šípka\; doprava\; (A\; \backslash podmnožina\; C)$
• Prázdna množina je podmnožinou akejkoľvek inej, takže je to najmenšia množina vzhľadom na vzťah podmnožiny: $\backslash varnothing\; \backslash podmnožina\; B$
• Pre ľubovoľné dve sady $A$ a $B$ nasledujúce vyhlásenia sú ekvivalentné:
  • $A\backslash podmnožinaB.$
  • $A\backslash cap\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash pohár\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash doplnok)\; \backslash podmnožina\; A^(\backslash doplnok).$

Podmnožiny konečných množín

Ak je pôvodná množina konečná, potom má konečný počet podmnožín. Totiž pri $n$-množina prvkov existuje $2^n$ podmnožiny (vrátane prázdnych). Aby sme to overili, stačí poznamenať, že každý prvok môže byť zahrnutý alebo nezaradený do podmnožiny, čo znamená, že celkový počet podmnožín bude $n$-skladať súčin dvoch. Ak vezmeme do úvahy iba podmnožiny $n$-prvková sada z $k\backslash le\; n$ prvkov, potom ich počet vyjadruje binomický koeficient $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Na overenie tejto skutočnosti môžete postupne vyberať prvky podmnožiny. Prvý prvok je možné vybrať $n$ spôsoby, druhý $n-1$ spôsobom a tak ďalej a nakoniec $k$-tý prvok možno vybrať $n-k+1$ spôsobom. Takže dostaneme postupnosť $k$ prvky, a to presne $k!$ takéto sekvencie zodpovedajú jednej podmnožine. Takže tam je všetko $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash bodky(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ takéto podmnožiny.

Napíšte recenziu na článok "Podmnožina"

Poznámky

Literatúra

• Vereshchagin N. K., Shen A. Prednášky z matematickej logiky a teórie algoritmov. Časť 1. Začiatky teórie množín - 3. vydanie, stereotyp. - M .: MTsNMO, 2008. - 128 s. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Výňatok charakterizujúci podmnožinu

Kutuzov ustúpil do Viedne a zničil mosty na riekach Inn (v Braunau) a Traun (v Linzi). 23. októbra ruské jednotky prekročili rieku Enns. Ruské káry, delostrelectvo a kolóny vojsk sa uprostred dňa tiahli mestom Enns po tej a tej strane mosta.