Aké je pravidlo pre sčítanie alebo násobenie ako prvé? Postup pri vykonávaní akcií, pravidlá, príklady

Skladanie výrazu so zátvorkami

1. Z nasledujúcich viet vymyslite výrazy so zátvorkami a vyriešte ich.

Od čísla 16 odčítajte súčet čísel 8 a 6.
Od čísla 34 odčítajte súčet čísel 5 a 8.
Od čísla 39 odčítajte súčet čísel 13 a 5.
Rozdiel medzi číslami 16 a 3 sa pripočíta k číslu 36
Pridajte rozdiel medzi 48 a 28 k 16.

2. Vyriešte problémy tak, že najskôr zostavíte správne výrazy a potom ich postupne vyriešte:

2.1. Otec priniesol z lesa vrece orechov. Kolja vybral z vrecka 25 orechov a zjedol ich. Potom Máša vybrala z vrecka 18 orechov. Mama vybrala z vrecka aj 15 orieškov, ale 7 z nich dala späť. Koľko orechov nakoniec zostane vo vrecúšku, ak ich na začiatku bolo 78?

2.2. Majster opravoval súčiastky. Na začiatku pracovného dňa ich bolo 38. V prvej polovici dňa ich dokázal opraviť 23. Popoludní mu priniesli rovnaké množstvo, aké mali na samom začiatku dňa. V druhej polovici opravil ďalších 35 dielov. Koľko dielov mu zostáva na opravu?

3. Správne vyriešte príklady podľa postupnosti akcií:

45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 - 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 - 12: 4
18: 3 - 5 + 6 * 8

Riešenie výrazov so zátvorkami

1. Vyriešte príklady správnym otvorením zátvoriek:

2. Správne vyriešte príklady podľa postupnosti akcií:

2.1. 36: 3 + 12 * (2 - 1) : 3
2.2. 39 - (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 - 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 - 4

3. Problémy vyriešte tak, že najprv zostavíte správne výrazy a potom ich postupne riešte:

3.1. V sklade bolo 25 balení pracieho prášku. Do jednej predajne bolo odvezených 12 balíkov. Potom sa rovnaké množstvo odnieslo do druhého obchodu. Potom bolo na sklad privezených 3x viac balíkov ako doteraz. Koľko balení prášku je na sklade?

3.2. V hoteli bolo ubytovaných 75 turistov. Prvý deň opustili hotel 3 skupiny po 12 ľudí a prišli 2 skupiny po 15 ľudí. Na druhý deň odišlo ďalších 34 ľudí. Koľko turistov zostalo v hoteli na konci 2 dní?

3.3. Do čistiarne priniesli 2 vrecia oblečenia, v každom vreci 5 kusov. Potom zobrali 8 vecí. Popoludní priniesli ešte 18 kusov vecí na pranie. A zobrali len 5 vypratých vecí. Koľko vecí je v čistiarni na konci dňa, ak ich bolo na začiatku dňa 14?

FI ___________________________________

Ak je v príkladoch otáznik (?), treba ho nahradiť znakom * - násobenie.

1. RIEŠTE VÝRAZY:

35: 5 + 36: 4 - 3
26 + 6 x 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 x 6
9 x 6 – 3 x 6 + 19 – 27:3

2. VYRIEŠTE VÝRAZY:

48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 x 4
17 + 24: 3 x 4 – 27: 3 x 2 6 x 4: 3 + 54: 6: 3 x 6 + 2 x 9
100 – 6 x 2: 3 x 9 – 39 + 7 x 4

3. VYRIEŠTE VÝRAZY:

100 – 27: 3 x 6 + 7 x 4
2 x 4 + 24: 3 + 18: 6 x 9 9 x 3 – 19 + 6 x 7 – 3 x 5
7 x 4 + 35: 7 x 5 – 16: 2: 4 x 3

4. RIEŠTE VÝRAZY:

32: 8 x 6: 3 + 6 x 8 – 17
5 x 8 – 4 x 7 + 13 – 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 x 7
21: 3 – 35: 7 + 9 x 3 + 9 x 5

5. RIEŠTE VÝRAZY:

42: 7 x 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 x 3
6 x 6 + 30: 5: 2 x 7 - 19 90 - 7 x 5 - 24: 3 x 5
6 x 5 – 12: 2 x 3 + 49

6. RIEŠTE VÝRAZY:

32: 8 x 7 + 54: 6: 3 x 5
50 – 45: 5 x 3 + 16: 2 x 5 8 x 6 + 23 – 24: 4 x 3 + 17
48: 6 x 4 + 6 x 9 – 26 + 13

7. RIEŠTE VÝRAZY:

42: 6 + (19 + 6) : 5 – 6 x 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 x 4 + 25 (27 – 19) x 4 + 18: 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74): 2 x 7 + 7 x 4 - (63 – 27): 4
8. RIEŠTE VÝRAZY:

90 – (40 – 24: 3): 4 x 6 + 3 x 5
3 x 4 + 9 x 6 – (27 + 9) : 4 x 5
(50 – 23) : 3 + 8 x 5 – 6 x 5 + (26 + 16) : 6
(5 x 6 – 3 x 4 + 48: 6) + (82 – 78) x 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5

9. RIEŠTE VÝRAZY:

9 x 6 – 6 x 4: (33 – 25) x 7
3 x (12 – 8) : 2 + 6 x 9 - 33 (5 x 9 - 25) : 4 x 8 – 4 x 7 + 13
9 x (2 x 3) – 48: 8 x 3 + 7 x 6 – 34

10. RIEŠTE VÝRAZY:

(8 x 6 – 36:6): 6 x 3 + 5 x 9
7 x 6 + 9 x 4 – (2 x 7 + 54: 6 x 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 x 4
(7 x 4 + 33) – 3 x 6:2

11. RIEŠTE VÝRAZY:

(37 + 7 x 4 – 17) : 6 + 7 x 5 + 33 + 9 x 3 – (85 – 67) : 2 x 5
5 x 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 x 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31) : 6

12. VYRIEŠTE VÝRAZY:

(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 x 5 – (60 – 42) : 3 + 9 x 2
(9 x 7 + 56: 7) – (2 x 6 – 4) x 3 + 54: 9

13. VYRIEŠTE VÝRAZY:

(8 x 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 x 5 + (13 – 5) x 4 + 5 x 4
(7 x 8 – 14:7) + (7 x 4 + 12:6) – 10:5 + 63:9

Test „Poradie aritmetických operácií“ (1 možnosť)
1(1b)
2 ods. 1b
3 ods. 1b
4 ods. 3b
5 ods. 2b
6 ods. 2b
7 ods. 1b
8 ods. 1b
9 ods. 3b
10 ods. 3b
11 ods. 3b
12 ods. 3b

110 – (60 + 40) :10 x 8




a) 800 b) 8 c) 30

a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

3 4 6 5 1 2

5. V ktorom z výrazov je posledné dejové násobenie?
a) 1001:13 x (318 + 466) :22

c) 10 000 – (5 x 9 + 56 x 7) x2
6. V ktorom z výrazov je prvé dejové odčítanie?
a) 2025:5 – (524 – 24:6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90) x 5




Vyber správnu odpoveď:
9. 90 – (50- 40:5) x 2+ 30
a) 56 b) 92 c) 36
10. 100- (2x5+6 - 4x4) x2
a) 100 b) 200 c) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
a) 106 b) 205 c) 0
12. 150: (80 – 60:2) x 3
a) 9 b) 45 c) 1

Test "Poradie aritmetických operácií"
1(1b)
2 ods. 1b
3 ods. 1b
4 ods. 3b
5 ods. 2b
6 ods. 2b
7 ods. 1b
8 ods. 1b
9 ods. 3b
10 ods. 3b
11 ods. 3b
12 ods. 3b
1. Ktorú činnosť vo výraze urobíte ako prvú?
560 – (80+20) :10 x 7
a) sčítanie b) delenie c) odčítanie
2. Akú akciu v tom istom výraze urobíte ako druhú?
a) odčítanie b) delenie c) násobenie
3. Vyberte si správna možnosť odpoveď na tento výraz:
a) 800 b) 490 c) 30
4. Zvoľte správne usporiadanie akcií:
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15) c) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)

3 4 6 5 2 1
b) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
5. V ktorom z výrazov je posledné dejové delenie?
a) 1001:13 x (318 + 466) :22
b) 391 x 37:17 x (2248:8 – 162)
c) 10 000 – (5 x 9 + 56 x 7) x2
6. V ktorom z výrazov je prvé dejové sčítanie?
a) 2025:5 – (524 + 24 x 6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90) x 5
7. Vyberte správne tvrdenie: „Vo výraze bez zátvoriek sa vykonajú akcie:“
a) v poradí b) x a: , potom + a - c) + a -, potom x a:
8. Vyberte správne tvrdenie: „Vo výraze so zátvorkami sa vykonajú akcie:“
a) najskôr v zátvorke b)x a:, potom + a - c) v poradí písania
Vyber správnu odpoveď:
9. 120 – (50- 10:2) x 2+ 30
a) 56 b) 0 c) 60
10. 600- (2x5+8 - 4x4) x2
a) 596 b) 1192 c) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
a) 106 b) 203 c) 0
12. 160: (80 – 80:2) x 3
a) 120 b) 0 c) 1

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles ubehne túto vzdialenosť, korytnačka prejde sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, zatiaľ sa nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy; ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.

Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných meracích jednotiek buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží s konštantná rýchlosť. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale nie je úplné riešenie Problémy. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie rôzne body priestor v jednom časovom bode, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, na výpočty sú stále potrebné ďalšie údaje, pomôže vám trigonometria). Na čo chcem upozorniť Osobitná pozornosť, je, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.

Streda 4. júla 2018

Rozdiely medzi setom a multisetom sú veľmi dobre popísané na Wikipédii. Pozrime sa.

Ako vidíte, „v množine nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v množine rovnaké prvky, takáto množina sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto absurdnú logiku. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, ktoré nemajú inteligenciu od slova „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, v člne pod mostom pri testovaní mosta. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „nezabudnite, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Matematiku sme sa učili výborne a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame výplaty. Matematik si teda k nám príde po svoje peniaze. Odpočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime matematikovi, že zvyšné účty dostane až vtedy, keď dokáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade bude fungovať logika poslancov: "To sa dá použiť na iných, ale nie na mňa!" Potom nás začnú ubezpečovať, že zmenky rovnakej nominálnej hodnoty majú rôzne čísla účtov, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme platy v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Tu si matematik začne horúčkovito pamätať fyziku: na rôznych minciach je rôzne množstvášpina, kryštálová štruktúra a atómové usporiadanie každej mince je jedinečné...

A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje – o všetkom rozhodujú šamani, veda tu ani zďaleka neklame.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plochy polí sú rovnaké – čo znamená, že máme multiset. Ale keď sa pozrieme na názvy tých istých štadiónov, dostaneme ich veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je množina aj multimnožina. Ktoré je správne? A tu matematik-šaman-šarpista vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte si Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, ktorý by sa dal použiť na nájdenie súčtu číslic akéhokoľvek čísla. Veď čísla sú grafické symboly, pomocou ktorého píšeme čísla a v jazyku matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to dokážu ľahko.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Majme teda číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický číselný symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden výsledný obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Pridajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“, ktoré vyučujú šamani, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.

Z matematického hľadiska je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov V kalkulácii sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, pozrime sa na číslo 26 z článku o . Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme sa na každý krok pozerať pod mikroskopom, čo sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla rôzny. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, dostali by ste úplne iné výsledky.

Nula vyzerá rovnako vo všetkých číselných sústavách a nemá žiadny súčet číslic. To je ďalší argument v prospech skutočnosti, že. Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje niečo, čo nie je číslo? Čo, pre matematikov neexistuje nič okrem čísel? Šamanom to môžem dovoliť, ale vedcom nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú k rozdielne výsledky po ich porovnaní to znamená, že to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Tu je výsledok matematická operácia nezávisí od veľkosti čísla, použitej mernej jednotky a toho, kto úkon vykonáva.

Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium nečistej svätosti duší počas ich vzostupu do neba! Halo hore a šípka hore. Aké iné WC?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole sú mužské.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa snažím u kakajúceho človeka (jeden obrázok) vidieť mínus štyri stupne (kompozícia viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nepozná fyziku. Má len silný stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jedno a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v šestnástkovej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.

Keď pracujeme s rôznymi výrazmi, ktoré obsahujú čísla, písmená a premenné, musíme vykonať veľké množstvo aritmetické operácie. Keď robíme konverziu alebo vypočítavame hodnotu, je veľmi dôležité dodržať správne poradie týchto akcií. Inými slovami, aritmetické operácie majú svoje vlastné špeciálne poradie vykonávania.

Yandex.RTB R-A-339285-1

V tomto článku vám povieme, ktoré akcie by ste mali vykonať ako prvé a ktoré potom. Najprv sa pozrime na pár jednoduchých výrazov, ktoré obsahujú len premenné resp číselné hodnoty, ako aj znamienka na delenie, násobenie, odčítanie a sčítanie. Potom si zoberme príklady so zátvorkami a zvážme, v akom poradí by sa mali počítať. V tretej časti uvedieme potrebné poradie transformácií a výpočtov v tých príkladoch, ktoré obsahujú znaky koreňov, mocniny a ďalšie funkcie.

V prípade výrazov bez zátvoriek je poradie akcií určené jednoznačne:

1. Všetky akcie sa vykonávajú zľava doprava.
2. Najprv vykonáme delenie a násobenie a ako druhé odčítanie a sčítanie.

Význam týchto pravidiel je ľahko pochopiteľný. Tradičné poradie zápisu zľava doprava definuje základnú postupnosť výpočtov a nutnosť najskôr násobiť alebo deliť je vysvetlená samotnou podstatou týchto operácií.

Pre názornosť si dáme niekoľko úloh. Použili sme len najjednoduchšie číselné výrazy, aby sa všetky výpočty dali robiť mentálne. Takto si rýchlo zapamätáte požadovanú objednávku a rýchlo skontrolujete výsledky.

Príklad 1

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 7 − 3 + 6 .

Riešenie

V našom výraze nie sú žiadne zátvorky, neexistuje ani násobenie a delenie, takže všetky akcie vykonávame v určenom poradí. Najprv odpočítame tri od siedmich, potom k zvyšku pridáme šesť a dostaneme desať. Tu je prepis celého riešenia:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

odpoveď: 7 − 3 + 6 = 10 .

Príklad 2

podmienka: v akom poradí by sa mali výpočty vykonať vo výraze? 6:2 8:3?

Riešenie

Aby sme odpovedali na túto otázku, znova si prečítajte pravidlo pre výrazy bez zátvoriek, ktoré sme sformulovali skôr. Máme tu len násobenie a delenie, čo znamená, že zachovávame písomné poradie výpočtov a počítame postupne zľava doprava.

odpoveď: Najprv vydelíme šesť dvomi, výsledok vynásobíme ôsmimi a výsledné číslo vydelíme tromi.

Príklad 3

podmienka: vypočítajte, koľko to bude 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Riešenie

Najprv si určme správne poradie operácií, keďže tu máme všetky základné typy aritmetických operácií – sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie. Prvá vec, ktorú musíme urobiť, je deliť a násobiť. Tieto úkony nemajú pred sebou prednosť, preto ich vykonávame v písomnom poradí sprava doľava. To znamená, že 5 je potrebné vynásobiť 6, aby ste dostali 30, a potom 30 vydeliť 3, aby ste dostali 10. Potom vydeľte 4 2, toto je 2. Nahraďte nájdené hodnoty do pôvodného výrazu:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Už tu nie je delenie ani násobenie, takže zvyšné výpočty urobíme v poradí a dostaneme odpoveď:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

odpoveď:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Kým si poradie vykonávania akcií pevne nezapamätáte, môžete nad znaky aritmetických operácií umiestniť čísla označujúce poradie výpočtu. Napríklad pre vyššie uvedený problém by sme to mohli napísať takto:

Ak máme písmenkové výrazy, tak s nimi robíme to isté: najprv násobíme a delíme, potom sčítame a odčítame.

Aké sú akcie prvej a druhej fázy?

Niekedy sú v referenčných knihách všetky aritmetické operácie rozdelené na akcie prvej a druhej fázy. Sformulujme potrebnú definíciu.

Operácie prvej fázy zahŕňajú odčítanie a sčítanie, druhá - násobenie a delenie.

Keď poznáme tieto mená, môžeme napísať vyššie uvedené pravidlo týkajúce sa poradia akcií takto:

Definícia 2

Vo výraze, ktorý neobsahuje zátvorky, musíte najskôr vykonať akcie druhej fázy v smere zľava doprava, potom akcie prvej fázy (v rovnakom smere).

Poradie výpočtov vo výrazoch so zátvorkami

Samotné zátvorky sú znakom, ktorý nám hovorí o želanom poradí akcií. V tomto prípade môže byť požadované pravidlo napísané takto:

Definícia 3

Ak sú vo výraze zátvorky, potom je prvým krokom vykonanie operácie v nich, po ktorej násobíme a delíme a potom pridávame a odčítame zľava doprava.

Pokiaľ ide o samotný zátvorkový výraz, možno ho považovať za integrálnu súčasť hlavného výrazu. Pri výpočte hodnoty výrazu v zátvorke zachovávame rovnaký nám známy postup. Ilustrujme našu predstavu na príklade.

Príklad 4

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Riešenie

V tomto výraze sú zátvorky, tak začnime nimi. Najprv si spočítajme, koľko bude 7 − 2 · 3. Tu musíme vynásobiť 2 x 3 a odpočítať výsledok od 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Výsledok vypočítame v druhej zátvorke. Máme len jednu akciu: 6 − 4 = 2 .

Teraz musíme nahradiť výsledné hodnoty do pôvodného výrazu:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Začnime násobením a delením, potom vykonajte odčítanie a získajte:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Týmto sú výpočty ukončené.

odpoveď: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 6.

Nezľaknite sa, ak naša podmienka obsahuje výraz, v ktorom niektoré zátvorky uzatvárajú iné. Musíme iba dôsledne aplikovať vyššie uvedené pravidlo na všetky výrazy v zátvorkách. Zoberme si tento problém.

Príklad 5

podmienka: vypočítaj, koľko to bude 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Riešenie

Máme zátvorky v zátvorkách. Začíname s 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), konkrétne 2 + 3. Bude 5. Hodnotu bude potrebné nahradiť do výrazu a vypočítať, že 3 + 1 + 4 · 5. Pamätáme si, že najprv musíme vynásobiť a potom sčítať: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Nahradením nájdených hodnôt do pôvodného výrazu vypočítame odpoveď: 4 + 24 = 28 .

odpoveď: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Inými slovami, pri výpočte hodnoty výrazu, ktorý obsahuje zátvorky v zátvorkách, začíname vnútornými zátvorkami a postupujeme k vonkajším.

Povedzme, že potrebujeme zistiť, koľko bude (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Začíname s výrazom vo vnútorných zátvorkách. Keďže 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, pôvodný výraz možno zapísať ako (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Znova sa pozrieme na vnútorné zátvorky: 4 + 1 = 5. Prišli sme k výrazu (4 + 5 − 1) − 1 . Počítame 4 + 5 − 1 = 8 a výsledkom je rozdiel 8 - 1, ktorého výsledok bude 7.

Poradie výpočtu vo výrazoch s mocninami, odmocninami, logaritmami a inými funkciami

Ak naša podmienka obsahuje výraz so stupňom, odmocninou, logaritmom alebo goniometrická funkcia(sínus, kosínus, tangens a kotangens) alebo iné funkcie, potom najskôr vypočítame hodnotu funkcie. Potom konáme podľa pravidiel uvedených v predchádzajúcich odsekoch. Inými slovami, funkcie majú rovnakú dôležitosť ako výraz v zátvorkách.

Pozrime sa na príklad takéhoto výpočtu.

Príklad 6

podmienka: zistite, koľko je (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Riešenie

Máme výraz so stupňom, ktorého hodnotu treba najskôr nájsť. Počítame: 6 2 = 36. Teraz dosadíme výsledok do výrazu, po ktorom bude mať tvar (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

odpoveď: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

V samostatnom článku venovanom výpočtom hodnôt výrazov uvádzame ďalšie, zložitejšie príklady výpočtov v prípade výrazov s odmocninami, stupňami a pod. Odporúčame sa s ním zoznámiť.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Video lekcia „Poradie akcií“ podrobne vysvetľuje dôležitú tému v matematike - postupnosť vykonávania aritmetických operácií pri riešení výrazu. Počas video lekcie sa diskutuje o tom, akú prioritu majú rôzne matematické operácie, ako sa používajú pri výpočte výrazov, uvádzajú sa príklady na zvládnutie látky a získané poznatky sa zovšeobecňujú pri riešení úloh, kde sú prítomné všetky uvažované operácie. Pomocou video lekcie má učiteľ možnosť rýchlo dosiahnuť ciele lekcie a zvýšiť jej efektivitu. Video môže byť použité ako vizuálny materiál na sprievodný výklad učiteľa, ako aj ako samostatná časť hodiny.

Obrazový materiál využíva techniky, ktoré pomáhajú lepšie porozumieť téme, ako aj zapamätať si dôležité pravidlá. Pomocou farby a rôzneho písania sa zvýraznia vlastnosti a vlastnosti operácií a zaznamenajú sa zvláštnosti riešenia príkladov. Animačné efekty pomáhajú zabezpečiť konzistenciu vzdelávací materiál a tiež upútať pozornosť študentov dôležité body. Video je nazvané, preto je doplnené komentármi učiteľa, ktoré pomáhajú študentovi pochopiť a zapamätať si tému.

Video lekcia začína predstavením témy. Potom je potrebné poznamenať, že násobenie a odčítanie sú operácie prvého stupňa, operácie násobenia a delenia sa nazývajú operácie druhého stupňa. Túto definíciu bude potrebné ďalej ovládať, zobraziť na obrazovke a zvýrazniť veľkým farebným písmom. Potom sú uvedené pravidlá, ktoré tvoria poradie operácií. Je odvodené pravidlo prvého rádu, ktoré naznačuje, že ak vo výraze nie sú žiadne zátvorky a existujú akcie rovnakej úrovne, tieto akcie sa musia vykonať v poradí. Pravidlo druhého rádu hovorí, že ak existujú akcie oboch štádií a nie sú žiadne zátvorky, najprv sa vykonajú operácie druhého štádia a potom sa vykonajú operácie prvého štádia. Tretie pravidlo nastavuje poradie operácií pre výrazy, ktoré obsahujú zátvorky. Je potrebné poznamenať, že v tomto prípade sa najskôr vykonajú operácie v zátvorkách. Znenie pravidiel je zvýraznené farebným písmom a odporúča sa na zapamätanie.

Ďalej sa navrhuje pochopiť poradie operácií zvážením príkladov. Je opísané riešenie výrazu obsahujúceho iba operácie sčítania a odčítania. Zaznamenajú sa hlavné vlastnosti, ktoré ovplyvňujú poradie výpočtov - neexistujú žiadne zátvorky, existujú operácie prvej fázy. Nižšie je uvedený popis, ako sa vykonávajú výpočty, najprv odčítanie, potom dvakrát sčítanie a potom odčítanie.

V druhom príklade 780:39·212:156·13 musíte vyhodnotiť výraz a vykonať akcie podľa poradia. Je potrebné poznamenať, že tento výraz obsahuje výlučne operácie druhej fázy bez zátvoriek. IN v tomto príklade všetky akcie sa vykonávajú striktne zľava doprava. Nižšie popisujeme akcie jednu po druhej, postupne sa blížime k odpovedi. Výsledkom výpočtu je číslo 520.

Tretí príklad uvažuje o riešení príkladu, v ktorom sú operácie oboch stupňov. Je potrebné poznamenať, že v tomto výraze nie sú žiadne zátvorky, ale existujú akcie oboch štádií. Podľa poradia operácií sa vykonávajú operácie druhej fázy, po ktorej nasledujú operácie prvej fázy. Nižšie je uvedený podrobný popis riešenia, pri ktorom sa najskôr vykonajú tri operácie – násobenie, delenie a ďalšie delenie. Potom sa vykonajú operácie prvej fázy s nájdenými hodnotami produktu a kvocientov. Počas riešenia sú akcie každého kroku spojené v zložených zátvorkách kvôli prehľadnosti.

Nasledujúci príklad obsahuje zátvorky. Preto je demonštrované, že prvé výpočty sa vykonávajú na výrazoch v zátvorkách. Po nich sa vykonávajú operácie druhej etapy, po ktorej nasleduje prvá.

Nasleduje poznámka o prípadoch, v ktorých pri riešení výrazov nesmiete písať zátvorky. Je potrebné poznamenať, že je to možné len v prípade, keď odstránenie zátvoriek nezmení poradie operácií. Príkladom je výraz so zátvorkami (53-12)+14, ktorý obsahuje iba operácie prvej fázy. Po prepísaní 53-12+14 s odstránením zátvoriek si môžete všimnúť, že poradie vyhľadávania hodnoty sa nezmení - najskôr sa vykoná odčítanie 53-12=41 a potom sčítanie 41+14=55. Nižšie je uvedené, že pri hľadaní riešenia výrazu pomocou vlastností operácií môžete zmeniť poradie operácií.

Na konci video lekcie je preštudovaný materiál zhrnutý v závere, že každý výraz vyžadujúci riešenie špecifikuje špecifický program na výpočet pozostávajúci z príkazov. Príklad takéhoto programu je uvedený v popise riešenia komplexný príklad, čo je podiel (814+36·27) a (101-2052:38). Daný program obsahuje tieto body: 1) nájdite súčin 36 s 27, 2) zistený súčet pripočítajte k 814, 3) vydeľte číslo 2052 číslom 38, 4) odpočítajte výsledok delenia 3 bodov od čísla 101, 5) vydeľte výsledok kroku 2 výsledkom bodu 4.

Na konci video lekcie je zoznam otázok, na ktoré majú študenti odpovedať. Patrí medzi ne schopnosť rozlišovať medzi akciami prvej a druhej fázy, otázky o poradí vykonávania akcií vo výrazoch s akciami rovnakej fázy a rôznych štádiách, o poradí vykonávania akcií v prítomnosti zátvoriek vo výraze. .

Video lekcia „Poradie činností“ sa odporúča použiť na tradičnej školskej hodine, aby sa zvýšila efektívnosť hodiny. Vizuálny materiál bude tiež užitočný pre dištančné vzdelávanie. Ak študent potrebuje ďalšiu lekciu na zvládnutie témy alebo ju študuje samostatne, video možno odporučiť na samostatné štúdium.

Ak porovnávame funkcie sčítanie a odčítanie s násobením a delením, potom sa vždy najprv počíta násobenie a delenie.

V tomto príklade sú dve funkcie, ako je sčítanie a odčítanie, ako aj násobenie a delenie, navzájom ekvivalentné. Poradie vykonávania sa určuje v poradí zľava doprava.

Malo by sa pamätať na to, že akcie v zátvorkách majú v príklade osobitnú prioritu. Takže aj keď je násobenie mimo zátvoriek a sčítanie vo vnútri zátvoriek, mali by ste najskôr sčítať a potom násobiť.

Aby ste pochopili túto tému, môžete zvážiť všetky prípady jeden po druhom.

Okamžite vezmime do úvahy, že naše výrazy nemajú zátvorky.

Ak je teda v príklade prvou akciou násobenie a druhou delenie, potom vykonáme násobenie ako prvé.

Ak je v príklade prvou akciou delenie a druhou násobením, potom najprv vykonáme delenie.

V takýchto príkladoch sa akcie vykonávajú v poradí zľava doprava bez ohľadu na použité čísla.

Ak je v príkladoch okrem násobenia a delenia aj sčítanie a odčítanie, potom sa najskôr vykoná násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie.

V prípade sčítania a odčítania tiež nezáleží na tom, ktorá z týchto akcií sa vykoná ako prvá.

Zvážme rôzne možnosti:

V tomto príklade je prvou akciou, ktorú je potrebné vykonať, násobenie a potom sčítanie.

V tomto prípade najprv hodnoty vynásobíte, potom vydelíte a až potom sčítate.

V tomto prípade musíte najskôr vykonať všetky operácie v zátvorkách a potom vykonať iba násobenie a delenie.

A preto si musíte pamätať, že v každom vzorci sa najskôr vykonávajú operácie ako násobenie a delenie a potom iba odčítanie a sčítanie.

Tiež s číslami, ktoré sú v zátvorkách, ich musíte počítať v zátvorkách a až potom robiť rôzne manipulácie, pričom si pamätajte na vyššie opísanú postupnosť.

Prvé operácie budú: násobenie a delenie.

Až potom sa vykoná sčítanie a odčítanie.

Ak však existuje zátvorka, najprv sa vykonajú akcie, ktoré sú v nich. Aj keď ide o sčítanie a odčítanie.

Napríklad:

V tomto príklade najprv vynásobíme, potom 4 x 5, potom pripočítame 4 k 20. Dostaneme 24.

Ale ak je to takto: (4+5)*4, tak najprv vykonáme sčítanie, dostaneme 9. Potom 9 vynásobíme 4. Dostaneme 36.

Ak príklad obsahuje všetky 4 operácie, tak najprv nasleduje násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie.

Alebo v príklade 3 rôzne akcie, potom prvé bude buď násobenie (alebo delenie), a potom buď sčítanie (alebo odčítanie).

Keď NIE SÚ ŽIADNE ZÁLOŽKY.

Príklad: 4-2*5:10+8=11,

1 akcia 2*5 (10);

2. dejstvo 10:10 (1);

3 akcia 4-1 (3);

4 akcia 3+8 (11).

Všetky 4 operácie možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín, v jednej - sčítanie a odčítanie, v druhej - násobenie a delenie. Prvá bude akcia, ktorá je v príklade prvá, teda tá úplne vľavo.

Príklad: 60-7+9=62, najprv potrebujete 60-7, potom sa stane (53) +9;

Príklad: 5*8:2=20, najprv potrebujete 5*8, potom sa stane (40) :2.

Keď v príklade SÚ ZÁVEREČNÉ zátvorky, najprv sa vykonajú akcie v zátvorke (podľa vyššie uvedených pravidiel) a potom sa ostatné vykonajú ako zvyčajne.

Príklad: 2+(9-8)*10:2=7.

1 akcia 9-8 (1);

2. akcia 1*10 (10);

3. dejstvo 10:2 (5);

4 akcia 2+5 (7).

Záleží na tom, ako je výraz napísaný, pozrime sa na najjednoduchší číselný výraz:

18 - 6:3 + 10x2 =

Najprv vykonáme operácie s delením a násobením, potom postupne zľava doprava s odčítaním a sčítaním: 18-2+20 = 36

Ak ide o výraz so zátvorkami, potom vykonajte operácie v zátvorkách, potom násobenie alebo delenie a nakoniec sčítanie/odčítanie, napríklad:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Všetko je správne: najprv vykonajte násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie.

Ak v príklade nie sú zátvorky, najprv sa vykoná násobenie a delenie v poradí a potom sčítanie a odčítanie v rovnakom poradí.

Ak príklad obsahuje iba násobenie a delenie, akcie sa vykonajú v poradí.

Ak príklad obsahuje iba sčítanie a odčítanie, akcie sa tiež vykonajú v poradí.

V prvom rade sa operácie v zátvorkách vykonávajú podľa rovnakých pravidiel, teda najprv násobenie a delenie a až potom sčítanie a odčítanie.

22-(11+3X2)+14=19

Poradie vykonávania aritmetických operácií je prísne predpísané, aby pri vykonávaní podobných výpočtov nevznikli žiadne nezrovnalosti Iný ľudia. Najprv sa vykoná násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie, ak akcie rovnakého poradia prichádzajú jeden po druhom, potom sa vykonávajú v poradí zľava doprava.

Ak pri nahrávaní matematický výraz Ak sa používajú zátvorky, mali by ste najskôr vykonať kroky uvedené v zátvorkách. Zátvorky pomáhajú zmeniť poradie, keď je potrebné najskôr vykonať sčítanie alebo odčítanie a potom násobenie a delenie.

Akékoľvek zátvorky je možné rozbaliť a poradie vykonávania bude opäť správne:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Lepšie hneď v príkladoch:

• 1+2*3/4-5=?

V tomto prípade najskôr vykonáme násobenie, pretože je naľavo od delenia. Potom rozdelenie. Potom sčítanie, kvôli umiestneniu viac naľavo, a na konci odčítanie.

• 1*3/(2+4)?

Najprv urobíme výpočet v zátvorkách, potom násobenie a delenie.

• 1+2*(3-1*5)=?

Najprv urobíme operácie v zátvorkách: násobenie, potom odčítanie. Nasleduje násobenie mimo zátvorky a sčítanie na konci.

Na prvom mieste je násobenie a delenie. Ak sú v príklade zátvorky, potom sa akcia v zátvorkách zvažuje na začiatku. Akékoľvek znamenie môže byť!

Tu je potrebné pamätať na niekoľko základných pravidiel:

1. Ak v príklade nie sú žiadne zátvorky a existujú operácie - iba sčítanie a odčítanie alebo iba násobenie a delenie - v tomto prípade sa všetky akcie vykonávajú v poradí zľava doprava.

Napríklad 5+8-5=8 (robíme všetko v poradí - pripočítame 8 k 5 a potom odčítame 5)

1. Ak príklad obsahuje zmiešané operácie - sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, tak najskôr vykonáme operácie násobenia a delenia a potom až sčítanie alebo odčítanie.

Napríklad 5+8*3=29 (najskôr vynásobte 8 x 3 a potom pridajte 5)

1. Ak príklad obsahuje zátvorky, najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách.

Napríklad 3*(5+8)=39 (najprv 5+8 a potom vynásobte 3)