Súkromný a úplný diferenciál funkcie. Parciálne derivácie a totálny diferenciál

súkromný derivát funkcie z = f(x, y podľa premennej x derivácia tejto funkcie sa volá pri konštantnej hodnote premennej y, označuje sa alebo z „x.

súkromný derivát funkcie z = f(x, y) podľa premennej y nazývaná derivácia vzhľadom na y pri konštantnej hodnote premennej y; označuje sa alebo z "y.

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných vzhľadom na jednu premennú je definovaná ako derivácia tejto funkcie vzhľadom na zodpovedajúcu premennú za predpokladu, že ostatné premenné sa považujú za konštantné.

úplný diferenciál funkcia z = f(x, y) v určitom bode M(X, y) sa nazýva výraz

Kde a sú vypočítané v bode M(x, y) a dx = , dy = y.

Príklad 1

Vypočítajte celkový diferenciál funkcie.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 v bode M (1; 2)

Riešenie:

1) Nájdite parciálne derivácie:

2) Vypočítajte hodnotu parciálnych derivácií v bode M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Otázky na sebaovládanie:

1. Čo sa nazýva primitívum? Uveďte vlastnosti primitívneho derivátu.

2. Čo sa nazýva neurčitý integrál?

3. Vymenujte vlastnosti neurčitého integrálu.

4. Uveďte základné integračné vzorce.

5. Aké metódy integrácie poznáte?

6. Čo je podstatou Newtonovho-Leibnizovho vzorca?

7. Uveďte definíciu určitého integrálu.

8. Čo je podstatou výpočtu určitého integrálu substitučnou metódou?

9. Čo je podstatou metódy výpočtu určitého integrálu po častiach?

10. Aká funkcia sa nazýva funkcia dvoch premenných? Ako je to určené?

11. Aká funkcia sa nazýva funkcia troch premenných?

12. Aká množina sa nazýva definičný obor funkcie?

13. Pomocou akých nerovností možno definovať uzavretú oblasť D na rovine?

14. Ako sa nazýva parciálna derivácia funkcie z \u003d f (x, y) vzhľadom na premennú x? Ako je to určené?

15. Ako sa nazýva parciálna derivácia funkcie z \u003d f (x, y) vzhľadom na premennú y? Ako je to určené?

16. Aký výraz sa nazýva totálny diferenciál funkcie

Téma 1.2 Obyčajné diferenciálne rovnice.

Úlohy vedúce k diferenciálnym rovniciam. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými. Všeobecné a súkromné riešenia. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Lineárne homogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Praktická lekcia č. 7 "Hľadanie všeobecných a partikulárnych riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými" *

Praktická lekcia č. 8 "Lineárne a homogénne diferenciálne rovnice"

Praktická lekcia č.9 "Riešenie diferenciálnych rovníc 2. rádu s konštantnými koeficientmi" *

L4, kapitola 15, s. 243 - 256

Smernice

Praktická práca č.2

"Funkčný diferenciál"

Účel lekcie: Naučte sa riešiť príklady a úlohy na danú tému.

Teoretické otázky (počiatočná úroveň):

1. Použitie derivátov na štúdium funkcií do extrému.

2. Diferenciál funkcie, jeho geometrický a fyzikálny význam.

3. Celkový diferenciál funkcie viacerých premenných.

4. Stav tela ako funkcia mnohých premenných.

5. Približné výpočty.

6. Hľadanie parciálnych derivácií a totálneho diferenciálu.

7. Príklady využitia týchto pojmov vo farmakokinetike, mikrobiológii a pod.

(samoškolenie)

1. odpovedať na otázky k téme vyučovacej hodiny;

2. riešiť príklady.

Príklady

Nájdite diferenciály nasledujúcich funkcií:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Použitie derivátov na štúdium funkcií

Podmienka pre zvýšenie funkcie y = f(x) na segmente [a, b]

Podmienka zníženia funkcie y=f(x) na segmente [a, b]

Podmienka pre maximálnu funkciu y=f(x) pri x= a

f"(a)=0 a f""(a)<0

Ak pre x \u003d a sú deriváty f "(a) \u003d 0 a f "(a) \u003d 0, potom je potrebné preskúmať f "(x) v blízkosti bodu x \u003d a. Funkcia y \u003d f (x) pre x \u003d a má maximum, ak pri prechode cez bod x \u003d a derivácia f "(x) zmení znamienko z "+" na "-", v prípade minima - z "-" na "+" Ak f "(x) nemení znamienko pri prechode bodom x = a, tak v tomto bode funkcia nemá extrém

Funkčný diferenciál.

Rozdiel nezávislej premennej sa rovná jej prírastku:

Funkčný diferenciál y=f(x)

Diferenciál súčtu (rozdielu) dvoch funkcií y=u±v

Diferenciál súčinu dvoch funkcií y=uv

Diferenciál kvocientu dvoch funkcií y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Prírastok funkcie

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

kde Δx: je prírastok argumentu.

Približný výpočet funkčnej hodnoty:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Aplikácia diferenciálu v približných výpočtoch

Diferenciál sa používa na výpočet absolútnych a relatívnych chýb v nepriamych meraniach u = f(x, y, z.). Absolútna chyba výsledku merania

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relatívna chyba výsledku merania

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKČNÝ DIFERENCIÁL.

Funkčný diferenciál ako hlavná časť funkčného prírastku A. Pojem diferenciál funkcie úzko súvisí s pojmom derivácia. Nechajte funkciu f(x) spojité pre dané hodnoty X a má derivát

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odkiaľ sa funkcia zvyšuje Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Kde a(Dx)® 0 pri Dx® 0. Definujme poradie nekonečna f¢(x)Dx Dx.:

Preto nekonečne malé f¢(x)Dx A Dx majú rovnakú rádovú veľkosť, tzn f¢(x)Dx = O.

Definujme poradie nekonečna a(Dх)Dх vzhľadom na nekonečne malé Dx:

Preto nekonečne malé a(Dх)Dх má vyšší rád malosti ako nekonečne malé Dx, teda a(Dx)Dx = o.

Teda nekonečne malý prírastok Df diferencovateľná funkcia môže byť reprezentovaná vo forme dvoch členov: infinitezimál f¢(x)Dx rovnakého rádu malosti s Dx a nekonečne malé a(Dх)Dх vyšší rád malosti v porovnaní s infinitezimálom Dx. To znamená, že v rovnosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx pri Dx® 0 druhý člen má tendenciu k nule "rýchlejšie" ako prvý, t.j. a(Dx)Dx = o.

Prvý termín f¢(x)Dx, lineárne vzhľadom na Dx, volal funkčný diferenciál f(x) v bode X a označujú D Y alebo df(čítaj „de game“ alebo „de ef“). takže,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analytický význam diferenciálu spočíva v tom, že diferenciál funkcie je hlavnou časťou prírastku funkcie Df, lineárne vzhľadom na prírastok argumentu Dx. Diferenciál funkcie sa líši od prírastku funkcie o nekonečne malý s vyšším rádom menšej ako Dx. naozaj, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx alebo Df = df + a(Dx)Dx . Argumentový diferenciál dx rovná jeho prírastku Dx: dx=Dx.

Príklad. Vypočítajte hodnotu diferenciálu funkcie f(x) = x 3 + 2x, Kedy X sa pohybuje od 1 do 1,1.

Riešenie. Nájdite všeobecný výraz pre diferenciál tejto funkcie:

Nahrádzanie hodnôt dx=Dx=1,1–1= 0,1 A x=1 do posledného vzorca dostaneme požadovanú hodnotu diferenciálu: df½ x = 1; = 0,5.

ČIASTOČNÉ DERIVÁTY A DIFERENCIÁLY.

Parciálne derivácie prvého rádu. Parciálna derivácia prvého rádu funkcie z = f(x,y ) argumentom X v uvažovanom bode (x; y) nazývaný limit

ak existuje.

Parciálna derivácia funkcie z = f(x, y) argumentom X označené jedným z nasledujúcich symbolov:

Podobne parciálna derivácia vzhľadom na pri označené a definované vzorcom:

Keďže parciálna derivácia je obvyklou deriváciou funkcie jedného argumentu, nie je ťažké ju vypočítať. Na to je potrebné použiť všetky doteraz uvažované pravidlá diferenciácie, pričom v každom prípade treba brať do úvahy, ktorý z argumentov sa berie ako „konštantné číslo“ a ktorý slúži ako „diferenciačná premenná“.

Komentujte. Ak chcete nájsť parciálnu deriváciu, napríklad vzhľadom na argument x – df/dx, stačí nájsť obyčajnú deriváciu funkcie f(x,y), za predpokladu, že druhý je funkciou jedného argumentu X, A pri- trvalý; nájsť df/dy- naopak.

Príklad. Nájdite hodnoty parciálnych derivácií funkcie f(x,y) = 2x2 + y2 v bode P(l;2).

Riešenie. Počítanie f(x,y) funkcia jedného argumentu X a pomocou pravidiel diferenciácie zistíme

Na mieste P(1;2) derivátová hodnota

Ak vezmeme do úvahy f(x; y) ako funkciu jedného argumentu y, nájdeme

Na mieste P(1;2) derivátová hodnota

ÚLOHA PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU ŽIAKA:

Nájdite diferenciály nasledujúcich funkcií:

Vyriešte nasledujúce úlohy:

1. O koľko sa zmenší plocha štvorca so stranou x = 10 cm, ak sa strana zmenší o 0,01 cm?

2. Rovnica pohybu telesa je daná: y=t 3 /2+2t 2, kde s je vyjadrené v metroch, t je v sekundách. Nájdite dráhu s prejdenú telesom za t=1,92 s od začiatku pohybu.

LITERATÚRA

1. Lobotskaja N.L. Základy vyššej matematiky - M .: "Vyššia škola", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika v biológii a medicíne. Za. z angličtiny. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbierka úloh z lekárskej a biologickej fyziky - M .: "Vysoká škola", 1987. C16-20.

Pojem funkcie dvoch premenných

Hodnota z volal funkcia dvoch nezávislých premenných x A r ak každá dvojica prípustných hodnôt týchto veličín podľa určitého zákona zodpovedá jednej presne určenej hodnote veličiny z. Nezávislé premenné X A r volal argumenty funkcie.

Takáto funkčná závislosť sa analyticky označuje

Z = f (x, y),(1)

Hodnoty argumentov x a y, ktoré zodpovedajú skutočným hodnotám funkcie z, zvážiť prípustné a volá sa množina všetkých prípustných párov hodnôt x a y doména definície funkcie dvoch premenných.

Pre funkciu viacerých premenných, na rozdiel od funkcie jednej premennej, pojmy jej čiastkové prírastky pre každý z argumentov a konceptu plný prírastok.

Čiastočný prírastok Δ x z funkcie z=f (x,y) argumentom x je prírastok, ktorý táto funkcia dostane, ak sa jej argument x zvýši Δx s tým istým r:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Čiastočný prírastok Δ y z funkcie z= f (x, y) vzhľadom na argument y je prírastok, ktorý táto funkcia dostane, ak jej argument y dostane prírastok Δy s nezmeneným x:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y), (3)

Úplný prírastok Δz funkcie z= f (x, y) argumentmi X A r sa nazýva prírastok, ktorý funkcia dostane, ak sa zvýšia oba jej argumenty:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y), (4)

Pre dostatočne malé prírastky Δx A Δy argumenty funkcie

existuje približná rovnosť:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

a je to čím presnejšie, tým menej Δx A Δy.

Parciálne derivácie funkcií dvoch premenných

Čiastočná derivácia funkcie z=f (x, y) vzhľadom na argument x v bode (x, y) sa nazýva hranica pomeru čiastočného prírastku ∆xz túto funkciu na príslušný prírastok Δx argument x pri usilovaní Δx na 0 a za predpokladu, že tento limit existuje:

, (6)

Derivácia funkcie je definovaná podobne z=f (x, y) argumentom y:

Okrem naznačeného zápisu sa parciálne derivácie funkcií označujú aj , z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y, f΄ y (x, y).

Hlavný význam parciálnej derivácie je nasledujúci: parciálna derivácia funkcie viacerých premenných vzhľadom na ktorýkoľvek z jej argumentov charakterizuje rýchlosť zmeny tejto funkcie pri zmene tohto argumentu.

Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie viacerých premenných vzhľadom na ľubovoľný argument sa všetky ostatné argumenty tejto funkcie považujú za konštantné.

Príklad 1. Nájdite čiastočné deriváty funkcií

f(x,y)= x2 + y3

Riešenie. Pri hľadaní parciálnej derivácie tejto funkcie vzhľadom na argument x sa argument y považuje za konštantnú hodnotu:

;

Pri hľadaní parciálnej derivácie vzhľadom na argument y sa argument x považuje za konštantnú hodnotu:

Parciálne a totálne diferenciály funkcie viacerých premenných

Čiastočný diferenciál funkcie viacerých premenných vzhľadom na ktoré-buď z jeho argumentov je súčin parciálnej derivácie tejto funkcie vzhľadom na daný argument a diferenciál tohto argumentu:

dxz=,(7)

dyz= (8)

Tu d x z A d y z-parciálne diferenciály funkcie z= f (x, y) argumentmi X A r. V čom

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

úplný diferenciál Funkcia niekoľkých premenných sa nazýva súčet jej parciálnych diferenciálov:

dz= d x z + d y z, (10)

Príklad 2 Nájdite parciálny a úplný diferenciál funkcie f(x,y)= x2 + y3.

Keďže parciálne derivácie tejto funkcie sa nachádzajú v príklade 1, dostaneme

dxz= 2xdx; dyz= 3y2dy;

dz= 2xdx + 3r 2dy

Parciálny diferenciál funkcie niekoľkých premenných vzhľadom na každý z jej argumentov je hlavnou časťou zodpovedajúceho čiastočného prírastku funkcie.

V dôsledku toho možno napísať:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Analytický význam celkového diferenciálu je, že celkový diferenciál funkcie niekoľkých premenných je hlavnou časťou celkového prírastku tejto funkcie..

Existuje teda približná rovnosť

∆zdz, (12)

Použitie vzorca (12) je založené na použití celkového diferenciálu v približných výpočtoch.

Predstavte si prírastok Δz ako

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

a celkový diferenciál vo forme

Potom dostaneme:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Účel študentov v lekcii:

Študent musí vedieť:

1. Definícia funkcie dvoch premenných.

2. Pojem čiastočného a celkového prírastku funkcie dvoch premenných.

3. Určenie parciálnej derivácie funkcie viacerých premenných.

4. Fyzikálny význam parciálnej derivácie funkcie viacerých premenných vzhľadom na ktorýkoľvek z jej argumentov.

5. Určenie parciálneho diferenciálu funkcie viacerých premenných.

6. Určenie celkového diferenciálu funkcie viacerých premenných.

7. Analytický význam celkového diferenciálu.

Študent musí byť schopný:

1. Nájdite súkromné a celkové prírastky funkcie dvoch premenných.

2. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie viacerých premenných.

3. Nájdite parciálne a totálne diferenciály funkcie viacerých premenných.

4. Aplikujte celkový diferenciál funkcie niekoľkých premenných v približných výpočtoch.

Teoretická časť:

1. Pojem funkcie viacerých premenných.

2. Funkcia dvoch premenných. Čiastočný a celkový prírastok funkcie dvoch premenných.

3. Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných.

4. Parciálne diferenciály funkcie viacerých premenných.

5. Celkový diferenciál funkcie viacerých premenných.

6. Aplikácia celkového diferenciálu funkcie viacerých premenných v približných výpočtoch.

Praktická časť:

1.Nájdite parciálne derivácie funkcií:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z = 2 tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definujte parciálnu deriváciu funkcie vzhľadom na daný argument.

5. Ako sa nazýva parciálny a úplný diferenciál funkcie dvoch premenných? Ako spolu súvisia?

6. Zoznam otázok na kontrolu konečnej úrovne vedomostí:

1. Rovná sa vo všeobecnom prípade ľubovoľnej funkcie viacerých premenných jej celkový prírastok súčtu všetkých čiastkových prírastkov?

2. Aký je hlavný význam parciálnej derivácie funkcie viacerých premenných vzhľadom na niektorý z jej argumentov?

3. Aký je analytický význam celkového diferenciálu?

7. Časová os lekcie:

1. Organizačná chvíľa – 5 minút.

2. Rozbor témy - 20 min.

3. Riešenie príkladov a úloh - 40 min.

4. Aktuálna kontrola vedomostí -30 min.

5. Zhrnutie hodiny - 5 min.

8. Zoznam náučnej literatúry na vyučovaciu hodinu:

1. Morozov Yu.V. Základy vyššej matematiky a štatistiky. M., "Medicína", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. a kol Základy vyššej matematiky a matematickej štatistiky. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Linearizácia funkcií. Dotyková rovina a normála povrchu.

Deriváty a diferenciály vyšších rádov.

1. Čiastočné deriváty FNP *)

Zvážte funkciu A = f(P), RÎDÌR n alebo, čo je to isté,

A = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Opravujeme hodnoty premenných X 2 , ..., x n a premenná X 1 zvýšime D X 1. Potom funkcia A dostane prírastok určený rovnosťou

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Tento prírastok sa nazýva súkromný prírastok funkcie A podľa premennej X 1 .

Definícia 7.1. Parciálna derivácia funkcie A = f(X 1 , X 2 , ..., x n) podľa premennej X 1 je hranica pomeru čiastočného prírastku funkcie k prírastku argumentu D X 1 v D X 1 ® 0 (ak tento limit existuje).

Čiastočná derivácia vzhľadom na X 1 znakov

Takže podľa definície

Parciálne deriváty vzhľadom na zostávajúce premenné sú definované podobne. X 2 , ..., x n. Z definície je zrejmé, že parciálna derivácia funkcie vzhľadom na premennú x i je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej x i keď sa ostatné premenné považujú za konštanty. Na nájdenie derivácie funkcie viacerých premenných je preto možné použiť všetky predtým študované pravidlá a vzorce diferenciácie.

Napríklad pre funkciu u = X 3 + 3xy – z 2 máme

Ak je teda explicitne daná funkcia viacerých premenných, potom sa otázky existencie a hľadania jej parciálnych derivácií redukujú na zodpovedajúce otázky týkajúce sa funkcie jednej premennej – tej, podľa ktorej je potrebné deriváciu určiť.

Uvažujme implicitne definovanú funkciu. Nech platí rovnica F( X, r) = 0 definuje implicitnú funkciu jednej premennej X. Fér

Veta 7.1.

Nechaj F( X 0 , r 0) = 0 a funkcie F( X, r), F¢ X(X, r), F¢ pri(X, r) sú súvislé v určitom susedstve bodu ( X 0 , pri 0) a F¢ pri(X 0 , r 0) ¹ 0. Potom funkcia pri, dané implicitne rovnicou F( X, r) = 0, má v bode ( X 0 , r 0) derivácia, ktorá sa rovná

Ak sú podmienky vety splnené v ktoromkoľvek bode oblasti DÌ R 2 , potom v každom bode tejto oblasti .

Napríklad pre funkciu X 3 –2pri 4 + Wow+ 1 = 0 nájsť

Teraz rovnica F( X, r, z) = 0 definuje implicitnú funkciu dvoch premenných. Poďme nájsť a . Keďže výpočet derivátu vzhľadom na X vyrábané pri pevnom (konštantnom) pri, potom za týchto podmienok rovnosť F( X, r= konštanta, z) = 0 definuje z ako funkcia jednej premennej X a podľa vety 7.1 dostaneme

Podobne .

Teda pre funkciu dvoch premenných daných implicitne rovnicou , parciálne deriváty sa nachádzajú podľa vzorcov: ,

Pre zjednodušenie zápisu a prezentácie materiálu sa obmedzíme na prípad funkcií dvoch premenných. Všetko, čo nasleduje, platí aj pre funkcie ľubovoľného počtu premenných.

Definícia. súkromný derivát funkcie z = f(x, y) nezávislou premennou X nazývaný derivát

vypočítané pri konštante pri.

Parciálna derivácia vzhľadom na premennú je definovaná podobne pri.

Pre parciálne derivácie platia zaužívané pravidlá a diferenciačné vzorce.

Definícia. Súčin parciálnej derivácie a prírastku argumentu X(y) sa nazýva súkromný diferenciál podľa premennej X(pri) funkcie dvoch premenných z = f(x, y) (symboly: ):

Ak je pod diferenciálom nezávislej premennej dx(D Y) pochopiť prírastok X(pri), To

Pre funkciu z = f(x, y) zistiť geometrický význam jeho frekvenčných derivácií a .

Zvážte bod, bod P 0 (X 0 ,r 0 , z 0) na povrchu z = f(X,pri) a krivka L, ktorý sa získa, keď je povrch rezaný rovinou y = y 0 Túto krivku možno vidieť ako graf funkcie jednej premennej z = f(x, y) v lietadle y = y 0 Ak kreslíte v bode R 0 (X 0 , r 0 , z 0) dotyčnica ku krivke L, potom podľa geometrického významu derivácie funkcie jednej premennej , Kde a – uhol tvorený dotyčnicou s kladným smerom osi Oh.