Calculul înălțimii. Găsiți cea mai mare înălțime a triunghiului

La rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, atât de natură pur matematică, cât și aplicată (în special în construcții), este adesea necesară determinarea valorii înălțimii unei anumite figuri geometrice. Cum se calculează această valoare (înălțime) într-un triunghi?

Dacă combinăm 3 puncte în perechi care nu sunt situate pe o singură linie dreaptă, atunci figura rezultată va fi un triunghi. Înălțimea este partea unei linii drepte de la orice vârf al unei figuri care, atunci când se intersectează cu latura opusă, formează un unghi de 90°.

Aflați înălțimea unui triunghi scalen

Să determinăm valoarea înălțimii unui triunghi în cazul în care figura are unghiuri și laturi arbitrare.

Formula lui Heron

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, unde

p – jumătate din perimetrul figurii, h(a) – un segment pe latura a, desenat în unghi drept față de acesta,

p=(a+b+c)/2 – calculul semiperimetrului.

Dacă există o zonă a figurii, puteți utiliza relația h(a)=2S/a pentru a determina înălțimea acesteia.

Funcții trigonometrice

Pentru a determina lungimea unui segment care formează un unghi drept atunci când se intersectează cu latura a, puteți folosi următoarele relații: dacă sunt cunoscute latura b și unghiul γ sau latura c și unghiul β, atunci h(a)=b*sinγ sau h(a)=c *sinβ.
Unde:
γ – unghiul dintre latura b și a,
β este unghiul dintre latura c și a.

Relația cu raza

Dacă triunghiul original este înscris într-un cerc, puteți utiliza raza unui astfel de cerc pentru a determina înălțimea. Centrul său este situat în punctul în care se intersectează toate cele 3 înălțimi (de la fiecare vârf) - ortocentrul, iar distanța de la acesta până la vârf (oricare) este raza.

Atunci h(a)=bc/2R, unde:
b, c – alte 2 laturi ale triunghiului,
R este raza cercului care circumscrie triunghiul.

Găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

În acest tip de figură geometrică, 2 laturi, atunci când se intersectează, formează un unghi drept - 90°. Prin urmare, dacă doriți să determinați valoarea înălțimii în ea, atunci trebuie să calculați fie dimensiunea unuia dintre picioare, fie dimensiunea segmentului care formează 90° cu ipotenuza. La desemnarea:
a, b – picioare,
c – ipotenuza,
h(c) – perpendicular pe ipotenuză.
Puteți face calculele necesare folosind următoarele relații:

• Teorema lui Pitagora:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, deoarece S=ab/2, apoi h(c)=ab/c.

• Funcții trigonometrice:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Aflați înălțimea unui triunghi isoscel

Această figură geometrică se distinge prin prezența a două laturi de dimensiuni egale și a treia - baza. Pentru a determina înălțimea trasă pe a treia latură, distinctă, teorema lui Pitagora vine în ajutor. Cu notație
a - partea,
c – baza,
h(c) este un segment la c la un unghi de 90°, atunci h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Cum să găsiți cea mai mare sau cea mai mică înălțime a unui triunghi? Cu cât este mai mică înălțimea triunghiului, cu atât este mai mare înălțimea atrasă de el. Adică, cea mai mare dintre altitudinile unui triunghi este cea trasă de latura sa cea mai scurtă. - cel trasat de cea mai mare latură a triunghiului.

Pentru a afla cea mai mare înălțime a unui triunghi , putem împărți aria triunghiului la lungimea laturii pe care este trasă această înălțime (adică la lungimea celei mai mici laturi a triunghiului).

În consecință, d Pentru a afla cea mai mică înălțime a unui triunghi Puteți împărți aria unui triunghi la lungimea laturii sale celei mai lungi.

Sarcina 1.

Aflați cea mai mică înălțime a unui triunghi ale cărui laturi sunt de 7 cm, 8 cm și 9 cm.

Dat:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Aflați: cea mai mică înălțime a triunghiului.

Soluţie:

Cea mai mică altitudine a unui triunghi este cea trasă de latura sa cea mai lungă. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim înălțimea AF trasată pe latura BC.

Pentru comoditatea notării, introducem notația

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Înălțimea unui triunghi este egală cu câtul de două ori aria triunghiului împărțit la latura pe care este trasă această înălțime. poate fi găsit folosind formula lui Heron. De aceea

Calculam:

Răspuns:

Sarcina 2.

Aflați cea mai lungă latură a unui triunghi cu laturile de 1 cm, 25 cm și 30 cm.

Dat:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Găsi:

cea mai mare altitudine a triunghiului ABC.

Soluţie:

Cea mai mare înălțime a unui triunghi este trasă de latura sa cea mai scurtă.

Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți înălțimea CD trasată pe latura AB.

Pentru comoditate, să denotăm

Altitudinea unui triunghi este perpendiculara coborâtă de la orice vârf al triunghiului spre latura opusă, sau până la prelungirea acestuia (latura spre care coboară perpendiculara se numește în acest caz baza triunghiului).

Într-un triunghi obtuz, două altitudini cad pe prelungirea laturilor și se află în afara triunghiului. Al treilea este în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi ascuțit, toate cele trei altitudini se află în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele servesc drept altitudini.

Cum să găsiți înălțimea de la bază și zonă

Să ne amintim formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Aria unui triunghi se calculează folosind formula: A = 1/2 bh.

• A este aria triunghiului
• b este latura triunghiului pe care este coborâtă înălțimea.
• h - înălțimea triunghiului

Privește triunghiul și gândește-te ce cantități știi deja. Dacă vi se oferă o zonă, etichetați-o cu „A” sau „S”. Ar trebui să vi se dea și semnificația părții, etichetați-o cu „b”. Daca nu ti se da zona si nu ti se da laterala, foloseste o alta metoda.

Rețineți că baza unui triunghi poate fi orice parte a triunghiului la care este coborâtă înălțimea (indiferent de modul în care este poziționat triunghiul). Pentru a înțelege mai bine acest lucru, imaginați-vă că puteți roti acest triunghi. Rotiți-l astfel încât partea pe care o cunoașteți să fie orientată în jos.

De exemplu, aria unui triunghi este 20, iar una dintre laturile sale este 4. În acest caz, „‘A = 20″‘, ‘‘b = 4′”.

Înlocuiți valorile date în formula pentru a calcula suprafața (A = 1/2bh) și găsiți înălțimea. Mai întâi, înmulțiți latura (b) cu 1/2 și apoi împărțiți aria (A) la valoarea rezultată. Astfel vei afla inaltimea triunghiului.

În exemplul nostru: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Amintiți-vă proprietățile unui triunghi echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate laturile și toate unghiurile sunt egale (fiecare unghi are 60˚). Dacă desenați înălțimea într-un astfel de triunghi, veți obține două triunghiuri dreptunghiulare egale.
De exemplu, luați în considerare un triunghi echilateral cu latura 8.

Amintiți-vă de teorema lui Pitagora. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic cu laturile „a” și „b” ipotenuza „c” este egală cu: a2+b2=c2. Această teoremă poate fi folosită pentru a afla înălțimea unui triunghi echilateral!

Împărțiți triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghiulare (pentru a face acest lucru, desenați înălțimea). Apoi etichetați laturile unuia dintre triunghiuri dreptunghiulare. Latura laterală a unui triunghi echilateral este ipotenuza „c” a unui triunghi dreptunghic. Piciorul „a” este egal cu 1/2 din latura triunghiului echilateral, iar piciorul „b” este înălțimea dorită a triunghiului echilateral.

Deci, în exemplul nostru de triunghi echilateral cu o latură cunoscută de 8: c = 8 și a = 4.

Introduceți aceste valori în teorema lui Pitagora și calculați b2. În primul rând, pătrați „c” și „a” (înmulțiți fiecare valoare de la sine). Apoi scade a2 din c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Luați rădăcina pătrată a lui b2 pentru a afla înălțimea triunghiului. Pentru a face acest lucru, utilizați un calculator. Valoarea rezultată va fi înălțimea triunghiului tău echilateral!

b = √48 = 6,93

Cum să găsiți înălțimea folosind unghiuri și laturi

Gândiți-vă ce semnificații cunoașteți. Puteți găsi înălțimea unui triunghi dacă cunoașteți valorile laturilor și unghiurilor. De exemplu, dacă unghiul dintre bază și latură este cunoscut. Sau dacă sunt cunoscute valorile tuturor celor trei părți. Deci, să notăm laturile triunghiului: „a”, „b”, „c”, unghiurile triunghiului: „A”, „B”, „C”, iar zona - litera „S”.

Dacă cunoști toate cele trei laturi, vei avea nevoie de aria triunghiului și de formula lui Heron.

Dacă cunoașteți cele două laturi și unghiul dintre ele, puteți utiliza următoarea formulă pentru a găsi aria: S=1/2ab(sinC).

Dacă vi se dau valorile tuturor celor trei părți, utilizați formula lui Heron. Folosind această formulă, va trebui să efectuați mai mulți pași. Mai întâi trebuie să găsiți variabila „s” (notăm jumătate din perimetrul triunghiului cu această literă). Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile cunoscute în această formulă: s = (a+b+c)/2.

Pentru un triunghi cu laturile a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultatul este: s=12/2, unde s=6.

Apoi, ca un al doilea pas, găsim zona (a doua parte a formulei lui Heron). Aria = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). În loc de cuvântul „zonă”, introduceți formula echivalentă pentru a găsi zona: 1/2bh (sau 1/2ah, sau 1/2ch).

Acum găsiți o expresie echivalentă pentru înălțime (h). Pentru triunghiul nostru va fi valabilă următoarea ecuație: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Unde 3/2h=√(6(2(3(1))). Se dovedește că 3/2h = √(36). Folosind un calculator, calculați rădăcina pătrată. În exemplul nostru: 3/2h = 6. Se dovedește că înălțimea (h) este egală cu 4, latura b este baza.

Dacă, în funcție de condițiile problemei, se cunosc două laturi și un unghi, puteți utiliza o formulă diferită. Înlocuiți aria din formulă cu expresia echivalentă: 1/2bh. Astfel, veți obține următoarea formulă: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Poate fi simplificată la următoarea formă: h = a(sin C) pentru a elimina o variabilă necunoscută.

Acum nu mai rămâne decât să rezolvăm ecuația rezultată. De exemplu, fie „a” = 3, „C” = 40 de grade. Atunci ecuația va arăta astfel: „h” = 3 (sin 40). Folosind un calculator și un tabel de sinusuri, calculați valoarea lui „h”. În exemplul nostru, h = 1,928.

Calcularea înălțimii unui triunghi depinde de figura în sine (isoscel, echilateral, scalen, dreptunghiular). În geometria practică, formulele complexe, de regulă, nu se găsesc. Este suficient să cunoaștem principiul general al calculelor, astfel încât să poată fi aplicabil universal tuturor triunghiurilor. Astăzi vă vom prezenta principiile de bază ale calculului înălțimii unei figuri, formule de calcul bazate pe proprietățile înălțimii triunghiurilor.

Ce este înălțimea?

Înălțimea are mai multe proprietăți distinctive

1. Punctul în care toate înălțimile se conectează se numește ortocentru. Dacă triunghiul este ascuțit, atunci ortocentrul este în interiorul figurii, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci ortocentrul, de regulă, este în exterior.
2. Într-un triunghi în care un unghi este de 90°, ortocentrul și vârful coincid.
3. În funcție de tipul de triunghi, există mai multe formule pentru a afla înălțimea triunghiului.

Calcul tradițional

1. Dacă p este jumătate din perimetru, atunci a, b, c sunt desemnarea laturilor figurii necesare, h este înălțimea, atunci prima și cea mai simplă formulă va arăta astfel: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. În manualele școlare poți găsi adesea probleme în care se cunoaște valoarea uneia dintre laturile unui triunghi și dimensiunea unghiului dintre această latură și bază. Atunci formula de calcul al înălțimii va arăta astfel: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Când aria triunghiului este dată - S, precum și lungimea bazei - a, atunci calculele vor fi cât mai simple posibil. Înălțimea se găsește folosind formula: h = 2S/a.
4. Când este dată raza cercului descris în jurul figurii, mai întâi calculăm lungimile celor două laturi ale sale, apoi continuăm să calculăm înălțimea dată a triunghiului. Pentru a face acest lucru, folosim formula: h = b ∙ c/2R, unde b și c sunt cele două laturi ale triunghiului care nu sunt baza, iar R este raza.

Toate laturile acestei figuri sunt echivalente, lungimile lor sunt egale, prin urmare unghiurile de la bază vor fi, de asemenea, egale. De aici rezultă că înălțimile pe care le desenăm pe baze vor fi și ele egale, sunt și mediane și bisectoare în același timp. În termeni simpli, altitudinea într-un triunghi isoscel împarte baza în două. Triunghiul cu unghi drept, care se obține după trasarea înălțimii, va fi considerat folosind teorema lui Pitagora. Să notăm latura ca a și baza ca b, apoi înălțimea h = ½ √4 a2 − b2.

Cum se află înălțimea unui triunghi echilateral?

Formula pentru un triunghi echilateral (o cifră în care toate laturile sunt egale ca mărime) poate fi găsită pe baza calculelor anterioare. Trebuie doar să măsurați lungimea uneia dintre laturile triunghiului și să o desemnați ca a. Atunci înălțimea este derivată prin formula: h = √3/2 a.

Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic?

După cum știți, unghiul într-un triunghi dreptunghic este de 90°. Înălțimea coborâtă cu o parte este și a doua latură. Altitudinile unui triunghi cu unghi drept vor sta pe ele. Pentru a obține date despre înălțime, trebuie să transformați ușor formula pitagoreică existentă, desemnând picioarele - a și b și, de asemenea, măsurând lungimea ipotenuzei - c.

Să aflăm lungimea piciorului (latura pe care va fi perpendiculară înălțimea): a = √ (c2 − b2). Lungimea celui de-al doilea segment se găsește folosind exact aceeași formulă: b =√ (c2 − b2). După care puteți începe să calculați înălțimea unui triunghi cu unghi drept, după ce ați calculat mai întâi aria figurii - s. Valoarea înălțimii este h = 2s/a.

Calcule cu triunghi scalen

Când un triunghi scalen are unghiuri ascuțite, înălțimea coborâtă până la bază este vizibilă. Dacă triunghiul are un unghi obtuz, atunci înălțimea poate fi în afara figurii și trebuie să o continuați mental pentru a obține punctul de legătură al înălțimii și baza triunghiului. Cel mai simplu mod de a măsura înălțimea este să o calculezi printr-una dintre laturi și mărimea unghiurilor. Formula este următoarea: h = b sin y + c sin ß.

Triunghiuri.

Concepte de bază.

Triunghi este o figură formată din trei segmente și trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, iar punctele sunt culmi.

Suma unghiurilor triunghiul este de 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului- aceasta este o perpendiculară trasată de la vârf spre partea opusă.

Într-un triunghi ascuțit, înălțimea este conținută în triunghi (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt altitudinile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, altitudinea se extinde în afara triunghiului (Fig. 3).

Proprietățile altitudinii unui triunghi:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi- acesta este un segment care împarte colțul vârfului în jumătate și leagă vârful de un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietățile bisectoarei:

Mediana unui triunghi.

Mediana unui triunghi- acesta este un segment care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a triunghiului- acesta este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia

Unghiul exterior al unui triunghi.

Colț exterior a unui triunghi este egală cu suma a două unghiuri interne neadiacente (Fig. 11).

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (Fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză.

Celelalte două părți sunt numite picioare.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasată din unghiul drept formează trei triunghiuri similare: ABC, ACH și HCB (Fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar al treilea - bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și altitudinea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile unui triunghi echilateral:

Proprietăți remarcabile ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți unice care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele care implică aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm ​​din nou, adăugându-le și alte câteva caracteristici minunate:

Semne de egalitate a triunghiurilor.

Primul semn de egalitate: dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn de egalitate: dacă o latură și unghiurile ei adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile ei adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al treilea semn de egalitate: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Inegalitatea triunghiulară.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = o 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale și altitudinea trasată de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre oricare două dintre laturile sale și sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB · A.C. · păcat O
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 O).

Un triunghi înscris într-un cerc.

Se spune că un triunghi este înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile sale (Fig. 17). o).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascuțit x opus picior la ipotenuză.
Se notează astfel: păcatx.

Cosinus unghi ascuțit x al unui triunghi dreptunghic este raportul adiacent picior la ipotenuză.
Notat astfel: cos x.

Tangentă unghi ascuțit x- acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Se desemnează astfel: tgx.

Cotangentă unghi ascuțit x- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Se desemnează astfel: ctgx.

Reguli:

Picior opus colțului x, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin x:

b = c păcat x

Picior adiacent colțului x, este egal cu produsul ipotenuzei și cos x:

a = c cos x

Picior opus colțului x, este egal cu produsul celui de-al doilea segment cu tg x:

b = a tg x

Picior adiacent colțului x, este egal cu produsul celui de-al doilea segment prin ctg x:

a = b· ctg x.

Pentru orice unghi ascuțit x:

păcat (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = păcat x