Sub forma unei fracții obișnuite, o fracție zecimală. Convertiți numere mixte în zecimale

În acest articol, vom analiza cum conversia fracțiilor comune în zecimale, și luați în considerare, de asemenea, procesul invers - conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite. Aici vom exprima regulile pentru inversarea fracțiilor și vom da soluții detaliate exemple tipice.

Navigare în pagină.

Conversia fracțiilor comune în zecimale

Să notăm succesiunea în care ne vom ocupa conversia fracțiilor comune în zecimale.

În primul rând, ne vom uita la modul de reprezentare a fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, 1000, ... ca fracții zecimale. Acest lucru se datorează faptului că zecimale sunt în esență formă compactă scrierea fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, ....

După aceea, vom merge mai departe și vom arăta cum orice fracție obișnuită (nu numai cu numitorii 10, 100, ...) poate fi scrisă ca fracție zecimală. Cu această conversie a fracțiilor ordinare se obțin atât fracții zecimale finite, cât și fracții zecimale periodice infinite.

Acum despre totul în ordine.

Conversia fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale

Unele fracții obișnuite au nevoie de „pregătire preliminară” înainte de a fi convertite în zecimale. Acest lucru se aplică fracțiilor obișnuite, numărul de cifre al căror numărător este mai mic decât numărul de zerouri din numitor. De exemplu, fracția comună 2/100 trebuie mai întâi pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală, dar fracția 9/10 nu trebuie pregătită.

„Pregătirea preliminară” a fracțiilor ordinare corecte pentru conversia în fracții zecimale constă în adăugarea atât de multe zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, o fracție după adăugarea zerourilor va arăta ca .

După ce ați pregătit fracția obișnuită corectă, puteți începe să o convertiți într-o fracție zecimală.

Să dăm regula pentru transformarea unei fracții comune propriu-zise cu un numitor de 10, sau 100, sau 1.000, ... într-o fracție zecimală. Acesta constă din trei etape:

noteaza 0;
pune un punct zecimal după el;
notează numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate, dacă le-am adăugat).

Luați în considerare aplicarea acestei reguli în rezolvarea exemplelor.

Exemplu.

Transformați fracția proprie 37/100 în zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul 100, care are două zerouri în intrare. Numărătorul conține numărul 37, există două cifre în înregistrarea sa, prin urmare, această fracție nu trebuie să fie pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală.

Acum scriem 0, punem virgulă zecimală și scriem numărul 37 de la numărător, în timp ce obținem fracția zecimală 0,37.

Răspuns:

0,37 .

Pentru a consolida abilitățile de a traduce fracțiile ordinare obișnuite cu numărătorii 10, 100, ... în fracții zecimale, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția proprie 107/10.000.000 ca zecimală.

Soluţie.

Numărul de cifre din numărător este 3, iar numărul de zerouri din numitor este 7, așa că această fracție obișnuită trebuie pregătită pentru conversia în zecimală. Trebuie să adăugăm 7-3=4 zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. Primim .

Rămâne să se formeze fracția zecimală dorită. Pentru a face acest lucru, în primul rând, notăm 0, în al doilea rând, punem o virgulă, în al treilea rând, notăm numărul de la numărător împreună cu zerourile 0000107 , ca urmare avem o fracție zecimală 0,0000107 .

Răspuns:

0,0000107 .

Fracțiile comune improprii nu necesită pregătire atunci când se convertesc în fracții zecimale. Ar trebui respectate următoarele reguli pentru conversia fracțiilor comune improprii cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale:

notează numărul de la numărător;
separăm cu virgulă zecimală atâtea cifre în dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Să analizăm aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Transformă fracția comună improprie 56 888 038 009/100 000 în zecimală.

Soluţie.

În primul rând, notăm numărul de la numărătorul 56888038009, iar în al doilea rând, separăm 5 cifre din dreapta cu un punct zecimal, deoarece există 5 zerouri în numitorul fracției inițiale. Ca rezultat, avem o fracție zecimală 568 880,38009.

Răspuns:

568 880,38009 .

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, al cărei numitor al părții fracționale este numărul 10, sau 100, sau 1.000, ..., puteți converti numărul mixt într-o fracție ordinară improprie, după care fracția rezultată poate fi convertit într-o fracție zecimală. Dar puteți folosi și următoarele regula pentru conversia numerelor mixte cu un numitor al părții fracționale 10, sau 100, sau 1.000, ... în fracții zecimale:

dacă este necesar, efectuați pregătire preliminară» a părții fracționale a numărului mixt original prin adunare suma necesară zerouri în stânga în numărător;
notează partea întreagă a numărului mixt original;
pune virgulă zecimală;
scriem numarul de la numarator impreuna cu zerourile adaugate.

Să luăm în considerare un exemplu, în soluția căruia le îndeplinim pe toate pașii necesari pentru a reprezenta un număr mixt ca zecimală.

Exemplu.

Convertiți numărul mixt în zecimal.

Soluţie.

Există 4 zerouri în numitorul părții fracționale și numărul 17 în numărător, format din 2 cifre, prin urmare, trebuie să adăugăm două zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul de caractere de acolo să devină egal cu numărul de zerouri la numitor. Procedând astfel, numărătorul va fi 0017 .

Acum notăm partea întreagă a numărului inițial, adică numărul 23, punem un punct zecimal, după care scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate, adică 0017, în timp ce obținem zecimala dorită. fracția 23,0017.

Să scriem pe scurt întreaga soluție: .

Fără îndoială, a fost posibil să se reprezinte mai întâi numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să-l convertească într-o fracție zecimală. Cu această abordare, soluția arată astfel:

Răspuns:

23,0017 .

Conversia fracțiilor ordinare în fracții zecimale periodice finite și infinite

Nu doar fracțiile obișnuite cu numitorii 10, 100, ... pot fi convertite într-o fracție zecimală, ci și fracțiile obișnuite cu alți numitori. Acum ne vom da seama cum se face acest lucru.

În unele cazuri, fracția obișnuită inițială este ușor redusă la unul dintre numitorii 10, sau 100, sau 1000, ... (vezi reducerea unei fracții obișnuite la un nou numitor), după care nu este dificil să se prezinte fracția rezultată ca fracție zecimală. De exemplu, este evident că fracția 2/5 poate fi redusă la o fracție cu numitorul 10, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2, ceea ce va da o fracție 4/10, care, conform regulile discutate în paragraful anterior, pot fi ușor convertite într-o fracție zecimală 0, 4 .

În alte cazuri, trebuie să utilizați un mod diferit de a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, pe care o vom lua în considerare acum.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, numărătorul fracției este împărțit la numitor, numărătorul este mai întâi înlocuit cu o fracție zecimală egală cu orice număr de zerouri după virgulă zecimală (am vorbit despre asta în secțiunea egal și fracții zecimale inegale). În acest caz, împărțirea se efectuează în același mod ca și împărțirea printr-o coloană de numere naturale, iar un punct zecimal este plasat în coeficient atunci când se termină împărțirea părții întregi a dividendului. Toate acestea vor deveni clare din soluțiile exemplelor date mai jos.

Exemplu.

Transformați fracția comună 621/4 în zecimală.

Soluţie.

Reprezentăm numărul din numărătorul 621 ca o fracție zecimală adăugând un punct zecimal și câteva zerouri după acesta. Pentru început, vom adăuga 2 cifre 0, mai târziu, dacă este necesar, putem adăuga oricând mai multe zerouri. Deci, avem 621.00 .

Acum să împărțim numărul 621.000 la 4 la o coloană. Primii trei pași nu diferă de împărțirea la o coloană de numere naturale, după care ajungem la următoarea imagine:

Deci am ajuns la punctul zecimal al dividendului, iar restul este diferit de zero. În acest caz, punem un punct zecimal în coeficient și continuăm împărțirea cu o coloană, ignorând virgulele:

Această împărțire este finalizată și, ca rezultat, am obținut fracția zecimală 155,25, care corespunde fracției ordinare inițiale.

Răspuns:

155,25 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția comună 21/800 în zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti această fracție comună într-o zecimală, să împărțim fracția zecimală 21.000 ... la 800 la o coloană. După primul pas, va trebui să punem o virgulă zecimală în coeficient și apoi să continuăm împărțirea:

În cele din urmă, am primit restul 0, pe aceasta se completează conversia fracției ordinare 21/400 în fracția zecimală și am ajuns la fracția zecimală 0,02625.

Răspuns:

0,02625 .

Se poate întâmpla ca atunci când împărțim numărătorul la numitorul unei fracții obișnuite, să nu obținem niciodată un rest de 0. În aceste cazuri, împărțirea poate fi continuată atât timp cât se dorește. Totuși, începând de la un anumit pas, resturile încep să se repete periodic, în timp ce cifrele din coeficient se repetă și ele. Aceasta înseamnă că fracția comună inițială se traduce într-o zecimală periodică infinită. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția comună 19/44 ca zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, facem împărțirea pe o coloană:

Este deja clar că la împărțire, resturile 8 și 36 au început să se repete, în timp ce în cât se repetă numerele 1 și 8. Astfel, fracția ordinară inițială 19/44 este tradusă într-o fracție zecimală periodică 0,43181818…=0,43(18) .

Răspuns:

0,43(18) .

În încheierea acestui paragraf, ne vom da seama ce fracții obișnuite pot fi convertite în fracții zecimale finale și care pot fi convertite doar în fracții periodice.

Să avem în fața noastră o fracție obișnuită ireductibilă (dacă fracția este reductibilă, atunci efectuăm mai întâi reducerea fracției) și trebuie să aflăm în ce fracție zecimală poate fi convertită - finită sau periodică.

Este clar că dacă o fracție obișnuită poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ..., atunci fracția rezultată poate fi ușor convertită într-o fracție zecimală finală conform regulilor discutate în paragraful anterior. Dar la numitorii 10, 100, 1.000 etc. nu sunt date toate fracțiile obișnuite. Doar fracțiile pot fi reduse la astfel de numitori, ai căror numitori sunt cel puțin unul dintre numerele 10, 100, ... Și ce numere pot fi divizori ai lui 10, 100, ...? Numerele 10, 100, … ne vor permite să răspundem la această întrebare și sunt următoarele: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Rezultă că divizorii lui 10, 100, 1.000 etc. pot exista numai numere ale căror expansiuni în factori primi conțin doar numerele 2 și (sau) 5 .

Acum putem face o concluzie generală despre conversia fracțiilor obișnuite în fracții zecimale:

dacă numai numerele 2 și (sau) 5 sunt prezente în descompunerea numitorului în factori primi, atunci această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;
dacă, pe lângă doi și cinci, mai sunt și altele în extinderea numitorului numere prime, atunci această fracție este translată într-o fracție periodică zecimală infinită.

Exemplu.

Fără a converti fracțiile obișnuite în zecimale, spuneți-mi care dintre fracțiile 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 poate fi convertită într-o fracție zecimală finală și care poate fi convertită doar într-una periodică.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 47/20 are forma 20=2 2 5 . Există doar doi și cinci în această expansiune, astfel încât această fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ... (în acest exemplu, la numitorul 100), prin urmare, poate fi convertită la o zecimală finală. fracțiune.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 7/12 are forma 12=2 2 3 . Deoarece conține un factor simplu 3 diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică.

Fracțiune 21/56 - contractibil, după reducere ia forma 3/8. Descompunerea numitorului în factori primi conține trei factori egali cu 2, prin urmare, fracția obișnuită 3/8 și, prin urmare, fracția egală cu aceasta 21/56, poate fi transpusă într-o fracție zecimală finală.

În cele din urmă, expansiunea numitorului fracției 31/17 este ea însăși 17, prin urmare, această fracție nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finită, dar poate fi convertită într-una periodică infinită.

Răspuns:

47/20 și 21/56 pot fi convertite într-o zecimală finală, în timp ce 7/12 și 31/17 pot fi convertite doar într-o zecimală periodică.

Fracțiile comune nu se convertesc în zecimale infinite care nu se repetă

Informațiile din paragraful anterior ridică întrebarea: „Se poate obține o fracție neperiodică infinită la împărțirea numărătorului unei fracții la numitor”?

Răspuns: nu. La traducerea unei fracții obișnuite, se poate obține fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Să explicăm de ce este așa.

Din teorema de divizibilitate cu rest este clar că restul este întotdeauna mai mic decât divizorul, adică dacă împărțim un număr întreg la un număr întreg q, atunci doar unul dintre numerele 0, 1, 2, ..., q −1 poate fi restul. Rezultă că, după ce se completează împărțirea părții întregi a numărătorului unei fracții ordinare la numitorul q, după cel mult q pași, va apărea una dintre următoarele două situații:

fie obținem restul 0 , aceasta va încheia împărțirea și vom obține fracția zecimală finală;
sau vom obține un rest care a apărut deja înainte, după care resturile vor începe să se repete ca în exemplul anterior (deoarece la împărțirea numerelor egale la q se obțin resturi egale, ceea ce reiese din teorema deja menționată de divizibilitate), deci se va obţine o fracţie zecimală periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni, prin urmare, atunci când convertiți o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, nu poate fi obținută o fracție zecimală neperiodică infinită.

De asemenea, din raționamentul dat în acest paragraf rezultă că lungimea perioadei unei fracții zecimale este întotdeauna mai mică decât valoarea numitorului fracției ordinare corespunzătoare.

Convertiți zecimale în fracții comune

Acum să ne dăm seama cum să convertim o fracție zecimală într-una obișnuită. Să începem prin a converti zecimalele finale în fracții comune. După aceea, luați în considerare metoda de inversare a fracțiilor zecimale periodice infinite. În concluzie, să spunem despre imposibilitatea transformării fracțiilor zecimale neperiodice infinite în fracții obișnuite.

Conversia zecimalelor finale în fracții comune

Obținerea unei fracții obișnuite, care este scrisă ca o fracție zecimală finală, este destul de simplă. Regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-o fracție obișnuită constă din trei etape:

în primul rând, scrieți fracția zecimală dată în numărător, după ce ați aruncat anterior punctul zecimal și toate zerourile din stânga, dacă există;
în al doilea rând, scrieți unul la numitor și adăugați-i atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția zecimală originală;
în al treilea rând, dacă este necesar, reduceți fracția rezultată.

Să luăm în considerare exemple.

Exemplu.

Convertiți zecimala 3,025 într-o fracție comună.

Soluţie.

Dacă eliminăm punctul zecimal din fracția zecimală inițială, atunci obținem numărul 3025. Nu are zerouri în stânga pe care le-am arunca. Deci, în numărătorul fracției necesare scriem 3025.

Scriem numărul 1 la numitor și adăugăm 3 zerouri în dreapta acestuia, deoarece există 3 cifre în fracția zecimală inițială după virgulă.

Deci avem o fracție obișnuită 3 025/1 000. Această fracție poate fi redusă cu 25, obținem .

Răspuns:

Exemplu.

Convertiți zecimalul 0,0017 în fracție comună.

Soluţie.

Fără virgulă zecimală, fracția zecimală inițială arată ca 00017, eliminând zerourile din stânga, obținem numărul 17, care este numărătorul fracției ordinare dorite.

La numitor scriem o unitate cu patru zerouri, deoarece în fracția zecimală inițială sunt 4 cifre după virgulă.

Ca urmare, avem o fracție obișnuită 17/10.000. Această fracție este ireductibilă, iar conversia unei fracții zecimale în una obișnuită este finalizată.

Răspuns:

Când partea întreagă a fracției zecimale finale originale este diferită de zero, atunci poate fi convertită imediat într-un număr mixt, ocolind fracția obișnuită. Să dăm regula pentru conversia unei zecimale finale într-un număr mixt:

numărul înainte de virgulă zecimală trebuie scris ca parte întreagă a numărului mixt dorit;
în numărătorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul obținut din partea fracțională a fracției zecimale originale după ce ați aruncat toate zerourile din stânga în ea;
în numitorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul 1, la care, în dreapta, adăugați atâtea zerouri câte cifre sunt în intrarea fracției zecimale originale după virgulă;
dacă este necesar, reduceți partea fracțională a numărului mixt rezultat.

Luați în considerare un exemplu de conversie a unei fracții zecimale într-un număr mixt.

Exemplu.

Exprimați zecimalul 152,06005 ca număr mixt

Vom dedica acest material unui subiect atât de important ca fracțiile zecimale. În primul rând, să definim definițiile de bază, să dăm exemple și să ne oprim asupra regulilor de notație zecimală, precum și asupra cifrelor fracțiilor zecimale. În continuare, evidențiem principalele tipuri: fracții finite și infinite, periodice și neperiodice. În partea finală, vom arăta cum sunt situate punctele corespunzătoare numerelor fracționale pe axa de coordonate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce este notația zecimală pentru numerele fracționale

Așa-numita notație zecimală pentru numerele fracționale poate fi folosită atât pentru numerele naturale, cât și pentru numerele fracționale. Arată ca un set de două sau mai multe numere cu o virgulă între ele.

Punctul zecimal este folosit pentru a separa partea întreagă de partea fracțională. De regulă, ultima cifră a unei zecimale nu este niciodată zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal este imediat după primul zero.

Care sunt câteva exemple de numere fracționale în notație zecimală? Poate fi 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.

În unele manuale, puteți găsi utilizarea unui punct în loc de virgulă (5. 67, 6789. 1011 etc.) Această opțiune este considerată echivalentă, dar este mai tipică pentru sursele în limba engleză.

Definiţia decimals

Pe baza conceptului de notație zecimal de mai sus, putem formula următoarea definiție a fracțiilor zecimale:

Definiția 1

Decimale sunt numere fracționale în notație zecimală.

De ce trebuie să scriem fracții în această formă? Ne oferă câteva avantaje față de cele obișnuite, de exemplu, o notație mai compactă, mai ales în cazurile în care numitorul este 1000, 100, 10 etc. sau un număr mixt. De exemplu, în loc de 6 10 putem specifica 0 , 6 , în loc de 25 10000 - 0 , 0023 , în loc de 512 3 100 - 512 , 03 .

Cum să prezinți corect zecimal fracțiile obișnuite cu zeci, sute, mii la numitor, vor fi descrise într-un material separat.

Cum să citești corect zecimale

Există câteva reguli pentru citirea înregistrărilor zecimale. Deci, acele fracții zecimale care corespund echivalentelor lor ordinare corecte se citesc aproape la fel, dar cu adăugarea cuvintelor „zero zecimi” la început. Deci, intrarea 0 , 14 , care corespunde cu 14 100 , este citită ca „zero virgulă paisprezece sutimi”.

Dacă o fracție zecimală poate fi asociată cu un număr mixt, atunci se citește în același mod ca acest număr. Deci, dacă avem o fracție 56, 002, care corespunde cu 56 2 1000, citim o astfel de intrare ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Valoarea unei cifre într-o notație zecimală depinde de locul în care se află (la fel ca în cazul numerelor naturale). Deci, în fracția zecimală 0, 7, șapte este zecimi, în 0, 0007 este zece miimi, iar în fracția 70.000, 345 înseamnă șapte zeci de mii de unități întregi. Astfel, în fracțiile zecimale, există și conceptul de cifră numerică.

Numele cifrelor situate înaintea virgulei sunt similare cu cele care există în numere naturale. Numele celor care se află după sunt prezentate clar în tabel:

Să luăm un exemplu.

Exemplul 1

Avem zecimala 43.098. Are un patru pe locul zecilor, un trei pe locul unităților, zero pe locul zece, 9 pe locul sute și 8 pe locul mie.

Se obișnuiește să se distingă cifrele fracțiilor zecimale după vechime. Dacă trecem prin numere de la stânga la dreapta, atunci vom trece de la cifrele mari la cele mai mici. Se dovedește că sutele sunt mai vechi decât zeci, iar milionimile sunt mai tinere decât sutimile. Dacă luăm acea fracție zecimală finală, pe care am citat-o ca exemplu mai sus, atunci în ea cea mai mare, sau cea mai mare, va fi cifra sutelor, iar cea mai mică, sau cea mai mică, va fi cifra de 10 miimi.

Orice fracție zecimală poate fi descompusă în cifre separate, adică reprezentată ca o sumă. Această operație se realizează în același mod ca și pentru numerele naturale.

Exemplul 2

Să încercăm să extindem fracția 56, 0455 în cifre.

Vom fi în stare să:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Dacă ne amintim proprietățile adunării, putem reprezenta această fracție sub alte forme, de exemplu, ca suma 56 + 0, 0455 sau 56, 0055 + 0, 4 etc.

Ce sunt zecimalele finale

Toate fracțiile despre care am vorbit mai sus sunt zecimale finale. Aceasta înseamnă că numărul de cifre după virgulă zecimală este finit. Să obținem definiția:

Definiția 1

zecimalele finale sunt un tip de zecimală care are un număr finit de cifre după virgulă.

Exemple de astfel de fracții pot fi 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 etc.

Oricare dintre aceste fracții poate fi convertită fie într-un număr mixt (dacă valoarea părții lor fracționale este diferită de zero), fie într-o fracție obișnuită (dacă partea întreagă este zero). Am dedicat un material separat modului în care se face acest lucru. Să subliniem doar câteva exemple aici: de exemplu, putem aduce fracția zecimală finală 5 , 63 la forma 5 63 100 , iar 0 , 2 corespunde cu 2 10 (sau orice altă fracție egală cu aceasta, de exemplu, 4 20 sau 1 5.)

Dar procesul invers, adică. scrierea unei fracții obișnuite în formă zecimală poate să nu fie întotdeauna efectuată. Deci, 5 13 nu poate fi înlocuit cu o fracție egală cu un numitor de 100, 10 etc., ceea ce înseamnă că fracția zecimală finală nu va funcționa din ea.

Principalele tipuri de fracții zecimale infinite: fracții periodice și neperiodice

Am subliniat mai sus că fracțiile finite sunt numite astfel deoarece au un număr finit de cifre după virgulă. Cu toate acestea, poate fi infinit, caz în care fracțiile în sine vor fi numite și infinite.

Definiția 2

Decimale infinite sunt cele care au un număr infinit de cifre după virgulă.

Evident, astfel de numere pur și simplu nu pot fi scrise complet, așa că indicăm doar o parte din ele și apoi punem puncte suspensive. Acest semn indică o continuare infinită a succesiunii de zecimale. Exemple de zecimale infinite ar fi 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... etc.

În „coada” unei astfel de fracțiuni, pot exista nu numai secvențe de numere aparent aleatorii, ci și o repetare constantă a aceluiași caracter sau grup de caractere. Fracțiile cu alternanță după virgulă zecimală se numesc periodice.

Definiția 3

Fracțiile zecimale periodice sunt astfel de fracții zecimale infinite în care o cifră sau un grup de mai multe cifre se repetă după virgulă. Partea care se repetă se numește perioada fracției.

De exemplu, pentru fracția 3, 444444 ... . perioada va fi numărul 4, iar pentru 76, 134134134134 ... - grupa 134.

Care este numărul minim de caractere permis într-o fracție periodică? Pentru fracțiile periodice, va fi suficient să scrieți întreaga perioadă o dată în paranteze. Deci, fracția este 3, 444444 ... . va fi corect să scrieți ca 3, (4) și 76, 134134134134 ... - ca 76, (134) .

În general, intrările cu mai multe puncte între paranteze vor avea exact aceeași semnificație: de exemplu, fracția periodică 0,677777 este aceeași cu 0,6 (7) și 0,6 (77) etc. Sunt permise și intrări precum 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) și altele.

Pentru a evita erorile, introducem uniformitatea notației. Să fim de acord să scriem o singură perioadă (cea mai scurtă secvență de cifre posibilă), care este cea mai apropiată de punctul zecimal și să o închidem în paranteze.

Adică, pentru fracția de mai sus, vom considera intrarea 0, 6 (7) drept principală și, de exemplu, în cazul fracției 8, 9134343434, vom scrie 8, 91 (34) .

Dacă numitorul unei fracții obișnuite conține factori primi care nu sunt egali cu 5 și 2, atunci când este convertit în notație zecimală, se vor obține fracții infinite din aceștia.

În principiu, putem scrie orice fracție finită ca una periodică. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugăm un număr infinit de zerouri la dreapta. Cum arată pe înregistrare? Să presupunem că avem o fracție finală 45, 32. În formă periodică, va arăta ca 45 , 32 (0) . Această acțiune este posibilă deoarece adăugarea zerourilor la dreapta oricărei fracții zecimale ne oferă ca rezultat o fracție egală cu aceasta.

Separat, ar trebui să ne oprim asupra fracțiilor periodice cu o perioadă de 9, de exemplu, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ele sunt o notație alternativă pentru fracții similare cu o perioadă de 0, așa că sunt adesea înlocuite atunci când se scriu cu fracții cu o perioadă zero. În același timp, se adaugă unul la valoarea cifrei următoare, iar (0) este indicat în paranteze. Egalitatea numerelor rezultate este ușor de verificat prezentându-le ca fracții obișnuite.

De exemplu, fracția 8, 31 (9) poate fi înlocuită cu fracția corespunzătoare 8, 32 (0). Sau 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Fracțiile periodice zecimale infinite sunt numere raționale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită și invers.

Există, de asemenea, fracții în care nu există o secvență care se repetă la infinit după virgulă. În acest caz, ele se numesc fracții neperiodice.

Definiția 4

Fracțiile zecimale neperiodice includ acele fracții zecimale infinite care nu conțin punct după virgulă, adică. grup repetat de numere.

Uneori, fracțiile neperiodice arată foarte asemănătoare cu cele periodice. De exemplu, 9 , 03003000300003 ... la prima vedere pare să aibă un punct, totuși analiză detaliată zecimale confirmă că aceasta este încă o fracție neperiodică. Trebuie să fii foarte atent cu astfel de numere.

Fracțiile neperiodice sunt numere irationale. Ele nu sunt convertite în fracții obișnuite.

Operații de bază cu zecimale

Cu fracții zecimale pot fi efectuate următoarele operații: comparare, scădere, adunare, împărțire și înmulțire. Să analizăm fiecare dintre ele separat.

Compararea zecimalelor poate fi redusă la compararea fracțiilor obișnuite care corespund zecimalelor originale. Dar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reduse la această formă, iar conversia fracțiilor zecimale în cele obișnuite este adesea o sarcină laborioasă. Cum să efectuăm rapid o acțiune de comparație dacă trebuie să o facem în cursul rezolvării problemei? Este convenabil să comparăm fracțiile zecimale după cifre în același mod în care comparăm numerele naturale. Vom dedica un articol separat acestei metode.

Pentru a adăuga o fracție zecimală la alta, este convenabil să folosiți metoda de adunare a coloanei, ca în cazul numerelor naturale. Pentru a adăuga fracții zecimale periodice, trebuie mai întâi să le înlocuiți cu unele obișnuite și să numărați conform schema standard. Dacă, conform condițiilor problemei, trebuie să adăugăm fracții neperiodice infinite, atunci trebuie mai întâi să le rotunjim la o anumită cifră, apoi să le adunăm. Cu cât cifra la care rotunjim este mai mică, cu atât va fi mai mare acuratețea calculului. Pentru scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor infinite este necesară și rotunjirea preliminară.

Găsirea diferenței fracțiilor zecimale este opusul adunării. De fapt, cu ajutorul scăderii, putem găsi un număr a cărui sumă cu fracția scăzută ne va da pe cea redusă. Vom vorbi despre asta mai detaliat într-un articol separat.

Înmulțirea fracțiilor zecimale se face în același mod ca și pentru numerele naturale. Metoda de calcul prin coloană este, de asemenea, potrivită pentru aceasta. Reducem din nou această acțiune cu fracții periodice la înmulțirea fracțiilor ordinare după regulile deja studiate. Fracțiile infinite, după cum ne amintim, trebuie să fie rotunjite înainte de numărare.

Procesul de împărțire a zecimalelor este inversul procesului de înmulțire. Când rezolvăm probleme, folosim și numărătoarea coloanelor.

Puteți seta o corespondență exactă între zecimala finală și un punct de pe axa de coordonate. Să ne dăm seama cum să marchem un punct pe axă care va corespunde exact cu fracția zecimală necesară.

Am studiat deja cum să construim puncte corespunzătoare fracțiilor obișnuite, iar fracțiile zecimale pot fi reduse la această formă. De exemplu, o fracție obișnuită 14 10 este aceeași cu 1 , 4 , astfel încât punctul corespunzător acesteia va fi îndepărtat de la origine în direcția pozitivă exact la aceeași distanță:

Puteți face fără a înlocui fracția zecimală cu una obișnuită și luați ca bază metoda de extindere a cifrelor. Deci, dacă trebuie să marchem un punct a cărui coordonată va fi egală cu 15 , 4008 , atunci vom reprezenta mai întâi acest număr ca o sumă 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pentru început, lăsăm deoparte 15 segmente întregi de unitate în direcția pozitivă de la origine, apoi 4 zecimi dintr-un segment și apoi 8 zecimii dintr-un segment. Ca rezultat, vom obține un punct de coordonate, care corespunde fracției 15, 4008.

Pentru o fracție zecimală infinită, este mai bine să utilizați această metodă specială, deoarece vă permite să vă apropiați de punctul dorit cât de aproape doriți. În unele cazuri, este posibil să construiți o corespondență exactă a unei fracții infinite pe axa de coordonate: de exemplu, 2 = 1, 41421. . . , iar această fracție poate fi asociată cu un punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de 0 prin lungimea diagonalei pătratului, a cărui latură va fi egală cu un segment unitar.

Dacă nu găsim un punct pe axă, ci o fracție zecimală corespunzătoare acestuia, atunci această acțiune se numește măsurarea zecimală a segmentului. Să vedem cum să o facem corect.

Să presupunem că trebuie să ajungem de la zero la un punct dat pe axa de coordonate (sau să ne apropiem cât mai mult posibil în cazul unei fracții infinite). Pentru a face acest lucru, lăsăm treptat deoparte segmente de unitate de la origine până ajungem la punctul dorit. După segmente întregi, dacă este necesar, măsurăm zecimi, sutimi și părți mai mici, astfel încât corespondența să fie cât mai precisă. Ca rezultat, am obținut o fracție zecimală care corespunde unui punct dat de pe axa de coordonate.

Mai sus am dat o poză cu un punct M. Privește-l din nou: pentru a ajunge în acest punct, trebuie să măsurați un segment de unitate de la zero și patru zecimi din acesta, deoarece acest punct corespunde fracțiunii zecimale 1, 4.

Dacă nu putem atinge un punct în procesul de măsurare zecimală, atunci înseamnă că îi corespunde o fracție zecimală infinită.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

La fel de:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

unde ± este semnul fracției: fie + sau -,

, - virgulă zecimală, care servește ca separator între părțile întregi și fracționale ale numărului,

dk- cifre zecimale.

În același timp, ordinea cifrelor înainte de virgulă (în stânga acesteia) are un sfârșit (cum ar fi min 1-per cifră), iar după virgulă (în dreapta) poate fi finită (opțional, este posibil să nu existe cifre după virgulă deloc) și infinit.

Valoare zecimală ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … este un numar real:

care este egală cu suma unui număr finit sau infinit de termeni.

Reprezentarea numerelor reale folosind fracții zecimale este o generalizare a notării numerelor întregi în sistemul numeric zecimal. Reprezentarea zecimală a unui număr întreg nu are cifre după virgulă zecimală și, prin urmare, această reprezentare arată astfel:

± d m … d 1 d 0 ,

Și aceasta coincide cu înregistrarea numărului nostru în sistemul numeric zecimal.

Zecimal - acesta este rezultatul împărțirii lui 1 în 10, 100, 1000 și așa mai departe. Aceste fracții sunt destul de convenabile pentru calcule, deoarece se bazează pe același sistem pozițional pe care se construiesc numărarea și notarea numerelor întregi. Din acest motiv, notația și regulile pentru fracțiile zecimale sunt aproape aceleași ca pentru numerele întregi.

Când scrieți fracții zecimale, nu trebuie să marcați numitorul, acesta este determinat de locul ocupat de cifra corespunzătoare. Mai întâi, scrieți partea întreagă a numărului, apoi puneți un punct zecimal în dreapta. Prima cifră după virgulă indică numărul de zecimi, a doua - numărul de sutimi, a treia - numărul de miimi și așa mai departe. Numerele de după virgulă sunt zecimale.

De exemplu:

Unul dintre avantajele fracțiilor zecimale este că pot fi convertite foarte ușor în fracții obișnuite: numărul după virgulă zecimală (al nostru este 5047) este numărător; numitor egală n gradul 10, unde n- numărul de zecimale (avem asta n=4):

Când nu există o parte întreagă în fracția zecimală, atunci punem zero în fața punctului zecimal:

Proprietățile fracțiilor zecimale.

1. Decimalul nu se schimbă atunci când se adaugă zerouri la dreapta:

13.6 =13.6000.

2. Decimala nu se schimbă atunci când zerourile care se află la sfârșitul zecimalei sunt eliminate:

0.00123000 = 0.00123.

Atenţie! Zerourile care NU sunt la sfârșitul unei zecimale nu trebuie eliminate!

3. Fracția zecimală crește cu 10, 100, 1000 și așa mai departe oricând mutam punctul zecimal în pozițiile 1-godeu, 2, 2 și așa mai departe la dreapta, respectiv:

3,675 → 367,5 (fracția a crescut de o sută de ori).

4. Fracția zecimală devine mai mică de zece, o sută, o mie și așa mai departe când mutăm punctul zecimal în pozițiile 1-bine, 2, 3 și așa mai departe la stânga, respectiv:

1536,78 → 1,53678 (fracția a devenit de o mie de ori mai mică).

Tipuri de zecimale.

Decimalele sunt împărțite la final, fără sfârşitȘi zecimale periodice.

Sfârșit zecimală - aceasta este o fracție care conține un număr finit de cifre după virgulă zecimală (sau nu există deloc), adică arata asa:

Un număr real poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită numai dacă acest număr este rațional și când este scris ca o fracție ireductibilă p/q numitor q nu are divizori primi alții decât 2 și 5.

Decimală infinită.

Conține un grup de cifre care se repetă la infinit perioadă. Perioada este scrisă între paranteze. De exemplu, 0,12345123451234512345... = 0.(12345).

Decimală periodică- aceasta este o astfel de fracție zecimală infinită în care succesiunea de cifre după virgulă, începând de la un anumit loc, este un grup de cifre care se repetă periodic. Cu alte cuvinte, fracție periodică este o zecimală care arată astfel:

O astfel de fracție este de obicei scrisă pe scurt astfel:

Grup de numere b 1 … b l, care se repetă, este perioada de fracție, numărul de cifre din acest grup este durata perioadei.

Când într-o fracție periodică perioada vine imediat după virgulă, atunci fracția este periodic pur. Când există numere între virgulă și prima perioadă, atunci fracția este periodic mixt, și un grup de cifre după virgulă zecimală până la semnul primei perioade - preperioada de fracție.

De exemplu, fracția 1,(23) = 1,2323... este periodică pură, iar fracția 0,1(23)=0,12323... este periodică mixtă.

Principala proprietate a fracțiilor periodice, datorită căruia se deosebesc de întregul set de fracții zecimale, constă în faptul că fracțiile periodice și numai ele reprezintă numere raționale. Mai precis, au loc următoarele:

Orice fracție zecimală periodică infinită reprezintă Numar rational. În schimb, atunci când un număr rațional este descompus într-o fracție zecimală infinită, atunci această fracție va fi periodică.

Deja inauntru școală primară elevii au de-a face cu fracțiile. Și apoi apar în fiecare subiect. Este imposibil să uiți acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte sunt simple, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viata de zi cu ziîmpinge în mod constant oamenii să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata constă din mai multe felii. Luați în considerare situația în care țigla sa este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Va fi bine împărțit în trei. Dar cei cinci nu vor putea da un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unuia. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Cel de jos (dreapta) este numitorul.

De fapt, bara fracțională se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Care sunt fracțiile?

În matematică, există doar două tipuri de ele: fracții ordinare și zecimale. Elevii se familiarizează cu primii din clasele elementare, numindu-i pur și simplu „fracții”. Al doilea învață în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o bară. De exemplu, 4/7. Decimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de întreg prin virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să fie clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată și în sens invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca o fracție obișnuită.

Ce subspecii au aceste tipuri de fracții?

Mai bine începe de la ordine cronologica pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul.

Reductibil / ireductibil. Poate fi fie corect, fie greșit. Un alt lucru este important, dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci ar trebui să împartă ambele părți ale fracției, adică să o reducă.

Amestecat. Un număr întreg este atribuit părții sale fracționale obișnuite corecte (incorecte). Și stă mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite una în cealaltă. Adică are trei caracteristici fracționale simultan.

Decimalele au doar două subspecii:

finală, adică una în care partea fracționată este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă zecimal în obișnuit?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere bazată pe regulă - după cum aud, așa că scriu. Adică trebuie să-l citiți corect și să îl scrieți, dar fără virgulă, dar cu o linie fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, amintiți-vă că este întotdeauna unul și câteva zerouri. Acestea din urmă trebuie să fie scrise la fel de multe câte cifrele din partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă întreaga lor parte lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Rămâne să notăm doar părțile fracționale. Pentru primul număr, numitorul va fi 10, pentru al doilea - 100. Adică exemplele indicate vor avea numere drept răspunsuri: 9/10, 5/100. Mai mult, acesta din urmă se dovedește a fi posibil să fie redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris 1/20.

Cum se face o fracție obișnuită dintr-o zecimală dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. Ambele exemple citesc partea întreagă și scriu valoarea acesteia. În primul caz, acesta este 5, în al doilea, 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Cu ele este necesar să se efectueze aceeași operațiune. Primul număr are 23/100, al doilea are 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul este fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o zecimală infinită într-o fracție comună?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu poate fi efectuată. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită în finală sau periodică.

Singurul lucru care poate fi făcut cu o astfel de fracție este rotunjirea acesteia. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: conversia în zecimală - nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt traduse în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită sub forma unui ordinar?

În aceste numere, una sau mai multe cifre apar întotdeauna după virgulă zecimală, care se repetă. Se numesc perioade. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale, deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracțională începe cu orice numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită sub forma unei fracții obișnuite va fi diferită pentru aceste două tipuri de numere. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finale, acestea trebuie convertite: scrieți perioada la numărător, iar numărul 9 va fi numitorul, repetându-se de câte ori există cifre în perioadă.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să treceți imediat la partea fracțională. Scrieți 5 la numărător, iar la numitor 9. Adică răspunsul va fi fracția 5/9.

O regulă despre cum să scrieți o fracție zecimală comună care este o fracție mixtă.

Uită-te la durata perioadei. Atât de mult 9 va avea un numitor.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența a două numere. Toate cifrele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Scădere - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului este de o cifră. Deci zero va fi unul. Există, de asemenea, o singură cifră în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul de la 58, trebuie să scădeți 5. Rezultă 53. De exemplu, va trebui să scrieți 53/90 ca răspuns.

Cum se convertesc fracțiile comune în zecimale?

cu cel mai mult varianta simpla se dovedește că numărul la numitorul căruia este numărul 10, 100 și așa mai departe. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Numai că este necesar să înmulțim nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă va fi utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri: o fracție zecimală finală sau o fracție zecimală periodică.

Operații cu fracții comune

Adunare si scadere

Elevii îi cunosc mai devreme decât alții. Și la început fracțiile au aceiași numitori, apoi diferiți. Reguli generale poate fi redus la un astfel de plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii definiți pentru ei.

Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflați dacă avem un număr mixt sau o fracție adecvată.

În primul caz, partea întreagă trebuie să ia unul. Adăugați un numitor la numărătorul unei fracții. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea - este necesar să se aplice regula scăderii de la un număr mai mic la unul mai mare. Adică, scădeți modulul minuendului din modulul subtraendului și puneți semnul „-” ca răspuns.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci ar trebui să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru implementarea lor, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru face mai ușor să luați măsuri. Dar ei trebuie să respecte regulile.

La înmulțirea fracțiilor obișnuite, este necesar să se ia în considerare numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă obțineți o fracție reductibilă, atunci ar trebui să fie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți diviziunea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu o inversă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând cu pasul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.

Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți transforma întotdeauna o zecimală într-o fracție comună. Și acționați conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Atribuiți numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracții astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Se presupune că fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru înmulțire, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, fără să acordați atenție virgulelor.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând din partea dreaptă a răspunsului câte cifre sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să convertiți divizorul: faceți din acesta un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți zecimală cu numar natural.

Puneți o virgulă în răspuns în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.

Ce se întâmplă dacă într-un exemplu există ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. Există două soluții posibile la aceste probleme. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel mai bun.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă, la împărțire sau conversie, se obțin fracții finale. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

A doua modalitate: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică este convenabilă dacă există 1-2 cifre în partea de după virgulă zecimală. Dacă există mai multe, poate apărea o fracție obișnuită foarte mare, iar intrările zecimale vă vor permite să calculați sarcina mai rapid și mai ușor. Prin urmare, este întotdeauna necesar să evaluăm cu seriozitate sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

Fracții scrise sub forma 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 se numește zecimală. De fapt, fracțiile zecimale sunt o reprezentare simplificată a fracțiilor obișnuite. Această notație este convenabilă de utilizat pentru toate fracțiile ai căror numitori sunt 10, 100, 1000 și așa mai departe.

Luați în considerare exemple (0,5 este citit ca zero virgulă cinci);

(0,15 se citește ca zero virgulă cincisprezece sutimi);

(5.3 se citește ca, cinci punctul trei).

Rețineți că în notația unei fracții zecimale, o virgulă separă partea întreagă a numărului de cea fracțională, partea întreagă a fracției corecte este 0. Notarea părții fracționale a fracției zecimale conține atâtea cifre câte sunt zerouri în numitorul fracției ordinare corespunzătoare.

Luați în considerare un exemplu, , , .

În unele cazuri, poate fi necesar să se considere un număr natural ca o fracție zecimală, în care partea fracțională este egală cu zero. Se obișnuiește să noteze că, 5 = 5,0; 245 = 245,0 și așa mai departe. Rețineți că în notația zecimală a unui număr natural, unitatea cifrei celei mai puțin semnificative este de 10 ori mai mică decât unitatea cifrei celei mai semnificative adiacente. Fracțiile zecimale au aceeași proprietate. Prin urmare, imediat după virgulă vine locul al zecelea, apoi al sutelea, apoi al miilea și așa mai departe. Mai jos sunt numele cifrelor numărului 31.85431, primele două coloane sunt partea întreagă, coloanele rămase sunt partea fracțională.

Această fracție se citește ca fiind treizeci și unu virgulă optzeci și cinci de mii patru sute treizeci și una sute-mii.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Prima modalitate este de a converti zecimale în comune și de a le adăuga.

După cum se poate vedea din exemplu, această metodă este foarte incomod și este mai bine să folosiți a doua metodă, care este mai corectă, fără a converti fracțiile zecimale în fracții obișnuite. Pentru a adăuga două zecimale:

egalizați numărul de cifre după punctul zecimal în termeni;
scrieți termenii unul sub celălalt, astfel încât fiecare cifră a celui de-al doilea termen să fie sub cifra corespunzătoare primului termen;
adună numerele rezultate în același mod ca și adunarea numerelor naturale;
puneți o virgulă sub virgule în termenii din suma rezultată.

Luați în considerare exemple:

egalizați în reducerea și scăderea numărului de cifre după virgulă zecimală;
scrieți subtraendul sub minuend astfel încât fiecare bit al subtraendului să fie sub bitul corespunzător al minuendului;
scăderea în același mod în care se scad numerele naturale;
pune o virgulă sub virgule în minuend și subtrahend în diferența rezultată.

Luați în considerare exemple:

În exemplele discutate mai sus, se poate observa că adunarea și scăderea fracțiilor zecimale s-a realizat bit cu bit, adică în același mod în care am efectuat operații similare cu numere naturale. Acesta este principalul avantaj al notației zecimale pentru fracții.

Înmulțirea zecimală

Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, este necesar să mutați virgula la dreapta în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 și așa mai departe, numerele. Prin urmare, dacă virgula este mutată la dreapta cu 1, 2, 3 și așa mai departe numere, atunci fracția va crește cu 10, 100, 1000 și, respectiv, ori mai departe. Pentru a înmulți două zecimale:

înmulțiți-le ca numere naturale, ignorând virgulele;
în produsul rezultat, separați atâtea cifre cu virgulă în dreapta câte sunt după virgule în ambii factori împreună.

Există cazuri în care produsul conține mai puține cifre decât este necesar pentru a fi separate prin virgulă, numărul necesar de zerouri este adăugat la stânga înaintea acestui produs, iar apoi virgula este mutată la stânga cu numărul necesar de cifre.

Luați în considerare exemple: 2 * 4 = 8, apoi 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, apoi 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Există cazuri când unul dintre factori este egal cu 0,1; 0,01; 0.001 și așa mai departe, este mai convenabil să folosiți următoarea regulă.

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 și așa mai departe, este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție zecimală, respectiv, cu 1, 2, 3 și așa mai departe.

Luați în considerare exemple: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Proprietățile de înmulțire ale numerelor naturale sunt valabile și pentru fracțiile zecimale.

ab=ba- proprietatea comutativă a înmulțirii;
(ab)c = a(bc)- proprietatea asociativă a înmulțirii;
a (b + c) = ab + ac este proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare.

Împărțire zecimală

Se știe că dacă împărțim un număr natural A la un număr natural bînseamnă a găsi un astfel de număr natural c, care, atunci când este înmulțit cu b dă număr A. Această regulă rămâne valabilă dacă cel puțin unul dintre numere a, b, c este o zecimală.

Luați în considerare un exemplu, doriți să împărțiți 43,52 la 17 colțuri, ignorând virgula. În acest caz, virgula în privat ar trebui să fie plasată imediat înainte de prima cifră după ce se folosește punctul zecimal din dividend.

Există cazuri când dividendul este mai mic decât divizorul, atunci partea întreagă a coeficientului este egală cu zero. Luați în considerare un exemplu:

Să ne uităm la un alt exemplu interesant.

Procesul de împărțire este oprit deoarece numerele dividendului s-au încheiat, iar restul nu a primit zero. Se știe că o fracție zecimală nu se va schimba dacă i se atribuie un număr de zerouri în partea dreaptă. Apoi devine clar că numerele dividendului nu se pot termina.

Pentru a împărți o fracție zecimală la 10, 100, 1000 și așa mai departe, este necesar să mutați punctul zecimal la stânga în această fracție cu 1, 2, 3 și așa mai departe. Luați în considerare un exemplu: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Dacă dividendul și divizorul cresc simultan de 10, 100, 1000 și așa mai departe, atunci coeficientul nu se va modifica.

Să luăm în considerare un exemplu: 39,44: 1,6 = 24,65 să mărim dividendul și divizorul de 10 ori 394,4: 16 = 24,65 Este corect să remarcăm că este mai ușor să împărțim o fracție zecimală la un număr natural în al doilea exemplu.

Pentru a împărți o zecimală cu o zecimală, trebuie să:

mutați virgulele în dividend și în divizor la dreapta cu atâtea cifre câte sunt conținute după virgulă în divizor;
împărțiți la un număr natural.

Luați în considerare un exemplu: 23.6: 0.02 rețineți că există două zecimale în divizor, prin urmare înmulțim ambele numere cu 100 și obținem 2360: 2 = 1180 împărțim rezultatul la 100 și obținem răspunsul 11.80 sau 23.6: 0, 02 = 11,8.

Comparație zecimală

Există două moduri de a compara zecimale. Metoda unu, trebuie să comparați două fracții zecimale 4,321 și 4,32, să egalizați numărul de zecimale și să începeți să comparați bit cu bit, zecimi cu zecimi, sutimi cu sutimi și așa mai departe, ca rezultat, obținem 4,321\u003e 4,320.

A doua modalitate de a compara fracțiile zecimale se face folosind înmulțirea, înmulțiți exemplul de mai sus cu 1000 și comparați 4321\u003e 4320. Care metodă este mai convenabilă, fiecare alege singur.