Trigonometria este simplă și clară. Trigonometrie Explicarea funcțiilor trigonometrice

Când efectuați conversii trigonometrice, urmați aceste sfaturi:

1. Nu încercați să veniți imediat cu o soluție pentru exemplu de la început până la sfârșit.
2. Nu încercați să convertiți întregul exemplu deodată. Faceți pași mici înainte.
3. Amintiți-vă că, pe lângă formulele trigonometrice din trigonometrie, puteți utiliza în continuare toate transformările algebrice corecte (paranteze, abrevierea fracțiilor, formulele de înmulțire abreviate și așa mai departe).
4. Credeți că totul va fi bine.

Formule trigonometrice de bază

Cele mai multe formule din trigonometrie sunt adesea folosite atât de la dreapta la stânga, cât și de la stânga la dreapta, așa că trebuie să înveți aceste formule atât de bine încât să poți aplica cu ușurință o formulă în ambele direcții. Să scriem mai întâi definițiile funcțiilor trigonometrice. Să fie un triunghi dreptunghic:

Apoi, definiția sinusului:

Definiția cosinusului:

Definiția tangentei:

Definiția cotangentei:

Identitatea trigonometrică de bază:

Cele mai simple corolare din identitatea trigonometrică de bază:

Formule cu unghi dublu. Sinusul unghiului dublu:

Cosinusul unghiului dublu:

Tangenta unghiului dublu:

Cotangenta unghiului dublu:

Formule trigonometrice suplimentare

Formule trigonometrice de adunare. Sinusul sumei:

Sinusul diferenței:

Cosinusul sumei:

Cosinusul diferenței:

Tangenta sumei:

Tangenta diferentei:

Cotangenta cantitatii:

Cotangente a diferenței:

Formule trigonometrice pentru conversia unei sume într-un produs. Suma sinusurilor:

Diferența sinusurilor:

Suma cosinusurilor:

Diferența de cosinus:

Suma tangentelor:

Diferența de tangentă:

Suma cotangentelor:

Diferența cotangentă:

Formule trigonometrice pentru transformarea unui produs într-o sumă. Produsul sinusurilor:

Produsul sinusului și cosinusului:

Produsul cosinusului:

Formule de reducere a gradului.

Formule cu jumătate de unghi.

Formule de reducere trigonometrică

Funcția cosinus se numește co-functie funcţii sinus şi invers. În mod similar, funcțiile tangentă și cotangentă sunt cofuncții. Formulele de reducere pot fi formulate după următoarea regulă:

• Dacă în formula de reducere se scade (se adaugă) un unghi de la 90 de grade sau 270 de grade, atunci funcția redusă se schimbă într-o cofuncție;
• Dacă în formula de reducere unghiul este scăzut (adăugat) din 180 de grade sau 360 de grade, atunci denumirea funcției reduse este reținută;
• În acest caz, semnul pe care funcția redusă (adică originală) îl are în cadranul corespunzător este plasat în fața funcției reduse, dacă considerăm că unghiul scăzut (adăugat) este acut.

Formule de reducere sunt date sub formă de tabel:

De cerc trigonometric ușor de determinat valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice:

Ecuații trigonometrice

Pentru a rezolva o anumită ecuație trigonometrică, aceasta trebuie redusă la una dintre cele mai simple ecuații trigonometrice, care va fi discutată mai jos. Pentru a face acest lucru:

• Puteți folosi formulele trigonometrice prezentate mai sus. În același timp, nu trebuie să încercați să transformați întregul exemplu deodată, dar trebuie să mergeți mai departe cu pași mici.
• Nu trebuie să uităm de posibilitatea transformării unor expresii folosind metode algebrice, i.e. de exemplu, scoateți ceva din paranteze sau, dimpotrivă, deschideți parantezele, reduceți o fracție, aplicați o formulă de înmulțire prescurtată, aduceți fracțiile la un numitor comun și așa mai departe.
• Când rezolvați ecuații trigonometrice, puteți utiliza metoda de grupare. Trebuie amintit că, pentru ca produsul mai multor factori să fie egal cu zero, este suficient ca oricare dintre ei să fie egal cu zero și restul existau.
• Aplicarea metoda de înlocuire a variabilei, ca de obicei, ecuația după introducerea înlocuirii ar trebui să devină mai simplă și să nu conțină variabila inițială. De asemenea, trebuie să vă amintiți să efectuați o înlocuire inversă.
• Amintiți-vă că ecuațiile omogene apar adesea în trigonometrie.
• Când deschideți module sau rezolvați ecuații iraționale cu funcții trigonometrice, trebuie să vă amintiți și să țineți cont de toate subtilitățile rezolvării ecuațiilor corespunzătoare cu funcții obișnuite.
• Amintiți-vă despre ODZ (în ecuațiile trigonometrice, restricțiile privind ODZ se reduc în principal la faptul că nu puteți împărți la zero, dar nu uitați de alte restricții, în special despre pozitivitatea expresiilor în puteri raționale și sub rădăcinile puterilor pare). De asemenea, amintiți-vă că valorile sinusului și cosinusului pot fi doar în intervalul de la minus unu la plus unu, inclusiv.

Principalul lucru este că, dacă nu știți ce să faceți, faceți măcar ceva, iar principalul lucru este să utilizați corect formulele trigonometrice. Dacă ceea ce obțineți devine din ce în ce mai bun, atunci continuați soluția, iar dacă se înrăutățește, atunci întoarceți-vă la început și încercați să aplicați alte formule, faceți asta până când găsiți soluția corectă.

Formule pentru soluții ale celor mai simple ecuații trigonometrice. Pentru sine există două forme echivalente de scriere a soluției:

Pentru alte funcții trigonometrice, notația este lipsită de ambiguitate. Pentru cosinus:

Pentru tangentă:

Pentru cotangentă:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice în unele cazuri speciale:

Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.

Ați găsit o greșeală?

Dacă credeți că ați găsit o eroare în materialele de instruire, vă rugăm să scrieți despre aceasta pe e-mail. De asemenea, puteți raporta o eroare pe rețeaua de socializare (). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), denumirea sau numărul subiectului sau testului, numărul problemei sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este eroarea suspectată. Scrisoarea dvs. nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie vi se va explica de ce nu este o eroare.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În această lecție vom învăța definițiile funcțiile trigonometrice și proprietățile lor de bază, învață cum să lucrezi cu cerc trigonometric, hai să aflăm despre ce este vorba perioada functieiși amintiți-vă de diverse modalități de măsurare a unghiurilor. În plus, vom înțelege utilizarea formule de reducere.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini B7.

Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică

Experiment

Lecția 7.Introducere în trigonometrie.

Teorie

Rezumatul lecției

Astăzi începem o secțiune care are pentru mulți numele înfricoșător „Trigonometrie”. Să lămurim imediat că acesta nu este un subiect separat, asemănător ca nume cu geometria, așa cum cred unii oameni. Deși tradus din greacă, cuvântul „trigonometrie” înseamnă „măsurarea triunghiurilor” și este direct legat de geometrie. În plus, calculele trigonometrice sunt utilizate pe scară largă în fizică și tehnologie. Dar vom începe cu o considerație a modului în care funcțiile trigonometrice de bază sunt introduse în geometrie folosind un triunghi dreptunghic.

Tocmai am folosit termenul „funcție trigonometrică” - asta înseamnă că vom introduce o întreagă clasă de anumite legi de corespondență între o variabilă și alta.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic, în care, pentru comoditate, sunt utilizate denumiri standard pentru laturi și unghiuri, pe care le puteți vedea în figură:

Luați în considerare, de exemplu, unghiulși introduceți următoarele acțiuni pentru acesta:

Să numim raportul laturii opuse față de sinusul ipotenuzei, adică.

Să numim raportul catetei adiacente la cosinusul ipotenuzei, adică. ;

Raportul dintre latura opusă și latura adiacentă se va numi tangentă, adică. ;

Raportul dintre latura adiacentă și latura opusă va fi numit cotangent, adică. .

Toate aceste acțiuni cu un unghi sunt numite funcții trigonometrice. Unghiul în sine este de obicei numit argumentul funcției trigonometriceși poate fi notat, de exemplu, cu X, așa cum este de obicei obișnuit în algebră.

Este important să înțelegeți imediat că funcțiile trigonometrice depind în mod specific de unghiul dintr-un triunghi dreptunghic și nu de laturile acestuia. Acest lucru este ușor de demonstrat dacă luăm în considerare un triunghi asemănător cu acesta, în care lungimile laturilor vor fi diferite, dar toate unghiurile și rapoartele laturilor nu se vor schimba, adică. Funcțiile trigonometrice ale unghiurilor vor rămâne, de asemenea, neschimbate.

După această definiție a funcțiilor trigonometrice, poate apărea întrebarea: „Există, de exemplu,? La urma urmei, colțulnu poate fi într-un triunghi dreptunghic» . În mod ciudat, răspunsul la această întrebare este afirmativ, iar valoarea acestei expresii este egală cu , iar acest lucru este și mai surprinzător, deoarece toate funcțiile trigonometrice sunt raportul dintre laturile unui triunghi dreptunghic și lungimile triunghiului. laturile sunt numere pozitive.

Dar nu există niciun paradox în asta. Faptul este că, de exemplu, în fizică, atunci când se descrie unele procese, este necesar să se utilizeze funcții trigonometrice ale unghiurilor nu numai mari, ci și mari și uniforme. Pentru a face acest lucru, este necesar să se introducă o regulă mai generală pentru calcularea funcțiilor trigonometrice folosind așa-numita „cerc trigonometric unitar”.

Este un cerc cu raza unitară, desenat astfel încât centrul său să fie la originea planului cartezian.

Pentru a descrie unghiurile din acest cerc, trebuie să fiți de acord de unde să le puneți. Se acceptă să se ia direcția pozitivă a axei absciselor ca rază de referință a unghiului, adică. axa x. Direcția de depunere a unghiurilor este considerată a fi în sens invers acelor de ceasornic. Pe baza acestor acorduri, să lăsăm mai întâi deoparte unghiul ascuțit. Pentru astfel de unghiuri ascuțite știm deja cum să calculăm valorile funcțiilor trigonometrice într-un triunghi dreptunghic. Se pare că, folosind cercul reprezentat, puteți calcula și funcții trigonometrice, doar mai convenabil.

Valorile sinusului și cosinusului unui unghi ascuțit sunt coordonatele punctului de intersecție a laturii acestui unghi cu cercul unitar:

Acesta poate fi scris astfel:

:

Pe baza faptului că coordonatele de-a lungul axei x arată valoarea cosinusului, iar coordonatele de-a lungul axei y arată valoarea sinusului unghiului, este convenabil să redenumiți numele axelor dintr-un sistem de coordonate cu un cerc unitar, așa cum vedeți în figură:

Axa absciselor este redenumită în axa cosinus, iar axa ordonatelor în axa sinusului.

Regula specificată pentru determinarea sinusului și cosinusului este generalizată atât la unghiuri obtuze, cât și la unghiuri situate în intervalul de la până la. În acest caz, sinusurile și cosinusurile pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Diverse semnele valorilor acestor funcții trigonometriceîn funcție de sfertul în care se încadrează unghiul în cauză, se obișnuiește să-l descrie astfel:

După cum puteți vedea, semnele funcțiilor trigonometrice sunt determinate de direcțiile pozitive și negative ale axelor corespunzătoare.

În plus, merită să acordați atenție faptului că, deoarece cea mai mare coordonată a unui punct de pe cercul unitar atât de-a lungul axei absciselor, cât și de-a lungul axei ordonatelor este egală cu unu, iar cea mai mică este minus unu, atunci valorile sinus și cosinus limitat la aceste numere:

Aceste înregistrări sunt de obicei scrise în această formă:

Pentru a introduce funcțiile de tangentă și cotangentă pe un cerc trigonometric, este necesar să se deseneze elemente suplimentare: tangenta la cerc în punctul A - valoarea tangentei unghiului este determinată din aceasta, iar tangenta la la punctul B - valoarea cotangentei unghiului se determină din acesta.

Cu toate acestea, nu vom aprofunda în definiția tangentelor și cotangentelor pe un cerc trigonometric, deoarece ele pot fi calculate cu ușurință cunoscând valorile sinusului și cosinusului unui unghi dat, ceea ce știm deja să facem. Dacă ești interesat să înveți cum să calculezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric, revizuiește programa cursului de algebră de clasa a 10-a.

Indicăm doar imaginea de pe cerc semne de tangente și cotangente in functie de unghi:

Rețineți că, similar intervalelor de valori sinus și cosinus, puteți specifica intervale de valori tangente și cotangente. Pe baza definiției lor pe cercul trigonometric, semnificațiile acestor funcții nu sunt limitate:

Ce altceva se mai poate scrie așa:

Pe lângă unghiurile din intervalul de la până la, cercul trigonometric vă permite să lucrați cu unghiuri mai mari și chiar cu unghiuri negative. Astfel de valori unghiulare, deși par lipsite de sens pentru geometrie, sunt folosite pentru a descrie unele procese fizice. De exemplu, cum răspunzi la întrebare: „În ce unghi se va întoarce acul ceasului într-o zi?”În acest timp va finaliza două revoluții complete, iar într-o singură revoluție va trece, adică. într-o zi se va transforma în . După cum puteți vedea, astfel de valori au o semnificație foarte practică. Semnele de unghi sunt folosite pentru a indica direcția de rotație - una dintre direcții este convenită să fie măsurată prin unghiuri pozitive, iar cealaltă prin unghiuri negative. Cum poate fi luat în considerare acest lucru în cercul trigonometric?

Pe un cerc cu astfel de unghiuri funcționează după cum urmează:

1) Unghiurile care sunt mai mari decât , sunt trasate în sens invers acelor de ceasornic, trecând prin origine de câte ori este necesar. De exemplu, pentru a construi un unghi trebuie să parcurgeți două revoluții complete și alta. Toate funcțiile trigonometrice sunt calculate pentru poziția finală. Este ușor de observat că valorile tuturor funcțiilor trigonometrice pentru și pentru vor fi aceleași.

2) Unghiurile negative sunt așezate exact după același principiu ca și cele pozitive, doar în sensul acelor de ceasornic.

Doar prin metoda de construire a unghiurilor mari, putem concluziona că valorile sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor care diferă sunt aceleași. Dacă analizăm valorile tangentelor și cotangentelor, acestea vor fi aceleași pentru unghiurile care diferă cu .

Astfel de numere minime diferite de zero, atunci când sunt adăugate la un argument, nu schimbă valoarea funcției, sunt apelate perioadă această funcție.

Astfel, perioadăsinus și cosinus sunt egale, și tangentă și cotangentă. Aceasta înseamnă că, indiferent cât de mult ați adăuga sau scăde aceste perioade din unghiurile luate în considerare, valorile funcțiilor trigonometrice nu se vor schimba.

De exemplu, , și etc.

Vom reveni mai târziu la o explicație și aplicare mai detaliată a acestei proprietăți a funcțiilor trigonometrice.

Există anumite relații între funcțiile trigonometrice ale aceluiași argument care sunt foarte des folosite și sunt numite identități trigonometrice de bază.

Arata asa:

1) , așa-numita „unitate trigonometrică”

3)

4)

5)

Rețineți că, de exemplu, notația înseamnă că întreaga funcție trigonometrică este la pătrat. Aceste. poate fi reprezentat sub această formă: . Este important de înțeles că aceasta nu este egală cu o intrare precum , în acest caz doar argumentul este pătrat, și nu întreaga funcție și, în plus, expresiile de acest tip sunt extrem de rare.

Există două corolare foarte utile din prima identitate care pot fi utile în rezolvarea multor tipuri de probleme. După transformări simple, puteți exprima sinusul prin cosinusul aceluiași unghi și invers:

Apar două semne de expresie posibile deoarece luarea rădăcinii pătrate aritmetice dă numai valori nenegative, iar sinusul și cosinusul, așa cum am văzut deja, pot avea valori negative. În plus, este cel mai convenabil să determinați semnele acestor funcții folosind un cerc trigonometric, în funcție de ce unghiuri sunt prezente în ele.

Acum să ne amintim că unghiurile pot fi măsurate în două moduri: în grade și în radiani. Să indicăm definițiile unui grad și un radian.

Un grad- este unghiul format din două raze care subtind un arc egal cu un cerc.

Un radian- acesta este unghiul format din două raze subîntinse de un arc egal în lungime cu razele.

Aceste. sunt pur și simplu două moduri diferite de a măsura unghiurile care sunt absolut egale. În descrierea proceselor fizice care sunt caracterizate prin funcții trigonometrice, este obișnuit să folosim măsura radianilor unghiurilor, așa că va trebui să ne obișnuim și cu aceasta.

Se obișnuiește să se măsoare unghiurile în radiani în fracțiuni de pi, de exemplu, sau. În acest caz, valoarea lui pi, care este egală cu 3,14, poate fi înlocuită, dar acest lucru se face rar.

Pentru a converti măsura gradului de unghiuri în radiani profitați de faptul că unghiul este , din care se obține ușor o formulă generală de translație:

De exemplu, să convertim în radiani: .

Există și opusul formulaconversie din radiani în grade:

De exemplu, să convertim în grade: .

Vom folosi măsura în radian a unghiului destul de des în acest subiect.

Acum este momentul să ne amintim ce valori specifice pot fi date de funcțiile trigonometrice ale diferitelor unghiuri. Pentru unele unghiuri care sunt multipli de , există tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Pentru comoditate, unghiurile sunt date în grade și măsuri în radiani.

Aceste unghiuri sunt adesea întâlnite în multe probleme și este recomandabil să poți naviga cu încredere în acest tabel. Valorile tangente și cotangente ale unor unghiuri nu au sens, ceea ce este indicat în tabel sub formă de liniuțe. Gândiți-vă singur de ce este așa sau citiți despre asta mai detaliat în insertul pentru lecție.

Ultimul lucru cu care trebuie să ne cunoaștem în prima noastră lecție de trigonometrie este transformarea funcţiilor trigonometrice folosind aşa-numitele formule de reducere.

Se pare că există un anumit tip de expresie pentru funcțiile trigonometrice care este destul de comună și simplificată convenabil. De exemplu, acestea sunt expresii: etc.

Aceste. Vom vorbi despre funcții al căror argument este un unghi arbitrar, schimbat într-un întreg sau jumătate. Astfel de funcții sunt simplificate la un argument care este egal cu un unghi arbitrar de adunare sau scădere de părți. De exemplu, , A . După cum puteți vedea, rezultatul poate fi o funcție opusă, iar funcția își poate schimba semnul.

Prin urmare, regulile de transformare a unor astfel de funcții pot fi împărțite în două etape. Mai întâi, trebuie să determinați ce funcție veți obține după transformare:

1) Dacă un argument arbitrar este schimbat într-un număr întreg, atunci funcția nu se schimbă. Acest lucru este valabil pentru funcțiile de tip , unde orice număr întreg;

Pe vremuri, la școală exista un curs separat pentru studiul trigonometriei. Certificatul includea note la trei discipline matematice: algebră, geometrie și trigonometrie.

Apoi, ca parte a reformei învățământului școlar, trigonometria a încetat să mai existe ca materie separată. Într-o școală modernă, prima cunoaștere cu trigonometria are loc la cursul de geometrie de clasa a VIII-a. Un studiu mai aprofundat al subiectului continuă la cursul de algebră de clasa a X-a.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt mai întâi date în geometrie prin relația laturilor unui triunghi dreptunghic.

Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei.

Cosinus Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangentă Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangentă Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Aceste definiții se aplică numai unghiurilor ascuțite (de la 0° la 90°).

De exemplu,

în triunghiul ABC, unde ∠C=90°, BC este catetul opus unghiului A, AC este catetul adiacent unghiului A, AB este ipotenuza.

Cursul de algebră de clasa a X-a introduce definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru orice unghi (inclusiv negativ).

Se consideră un cerc de rază R cu centrul la origine - punctul O(0;0). Să notăm punctul de intersecție al cercului cu direcția pozitivă a axei absciselor ca P 0 .

În geometrie, un unghi este considerat ca o parte a unui plan mărginit de două raze. Cu această definiție, unghiul variază de la 0° la 180°.

În trigonometrie, unghiul este considerat ca rezultat al rotației razei OP 0 în jurul punctului de plecare O.

În același timp, au convenit să ia în considerare rotirea fasciculului în sens invers acelor de ceasornic ca o direcție pozitivă de traversare și în sensul acelor de ceasornic ca fiind negativă (acest acord este asociat cu adevărata mișcare a Soarelui în jurul Pământului).

De exemplu, când raza OP 0 este rotită în jurul punctului O cu un unghi α în sens invers acelor de ceasornic, punctul P 0 va merge în punctul P α,

când rotiți cu unghiul α în sensul acelor de ceasornic - până la punctul F.

Cu această definiție, unghiul poate lua orice valoare.

Dacă continuăm să rotim fasciculul OP 0 în sens invers acelor de ceasornic, la întoarcerea printr-un unghi α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, unde n este un număr întreg (n∈ Ζ), să ajungem din nou la punctul P α:

Unghiurile se măsoară în grade și radiani.

1° este un unghi egal cu 1/180 din gradul de măsurare a unghiului dezvoltat.

1 radian este unghiul central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului:

∠AOB=1 rad.

Simbolurile radianilor nu sunt scrise de obicei. Desemnarea gradului nu poate fi omisă din evidență.

De exemplu,

Punctul P α , obţinut din punctul P 0 prin rotirea razei OP 0 în jurul punctului O prin unghi α în sens invers acelor de ceasornic, are coordonatele P α (x; y).

Să lăsăm o perpendiculară P α A din punctul P α la axa absciselor.

În triunghiul dreptunghic OP α A:

P α A - catenă opusă unghiului α,

OA - picior adiacent unghiului α,

OP α este ipotenuza.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Prin definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei într-un triunghi dreptunghic avem:

Astfel, în cazul unui cerc cu un centru la originea razei arbitrare sinus unghiul α este raportul dintre ordonata punctului P α și lungimea razei.

Cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa punctului P α și lungimea razei.

Tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata unui punct P α și abscisa acestuia.

Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa punctului P α și ordonata sa.

Valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind doar de valoarea lui α și nu depind de lungimea razei R (asta decurge din similitudinea cercurilor).

Prin urmare, este convenabil să alegeți R=1.

Un cerc cu centrul la origine și raza R=1 se numește cerc unitar.

Definiții

1) Sinusul unghiul α se numește ordonata punctului P α (x;y) a cercului unitar:

2) Cosinus unghiul α se numește abscisa punctului P α (x;y) al cercului unitar:

3) Tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata unui punct P α (x;y) și abscisa acestuia, adică raportul dintre sinα și cosα (unde cosα≠0):

4) Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa unui punct P α (x;y) și ordonata sa, adică raportul dintre cosα și sinα (unde sinα≠0):

Definițiile introduse astfel ne permit să luăm în considerare nu numai funcțiile trigonometrice ale unghiurilor, ci și funcțiile trigonometrice ale argumentelor numerice (dacă considerăm sinα, cosα, tanα și ctgα drept funcții trigonometrice corespunzătoare ale unui unghi în α radiani, adică, sinusul numărului α este sinusul unghiului în α radiani, cosinusul numărului α este cosinusul unghiului în α radiani etc.).

Proprietățile funcțiilor trigonometrice sunt studiate ca subiect separat în cursul de algebră din clasele a 10-a sau a 11-a. Funcțiile trigonometrice sunt utilizate pe scară largă în fizică.

Sinus, cosinus, tangentă - atunci când pronunțați aceste cuvinte în prezența elevilor de liceu, puteți fi sigur că două treimi dintre ei își vor pierde interesul pentru conversația ulterioară. Motivul constă în faptul că elementele de bază ale trigonometriei la școală sunt predate complet izolat de realitate și, prin urmare, elevii nu văd rostul studierii formulelor și teoremelor.

De fapt, la o examinare mai atentă, această zonă de cunoaștere se dovedește a fi foarte interesantă, precum și aplicată - trigonometria este folosită în astronomie, construcții, fizică, muzică și multe alte domenii.

Să ne familiarizăm cu conceptele de bază și să numim mai multe motive pentru a studia această ramură a științei matematice.

Poveste

Nu se știe în ce moment a început omenirea să creeze viitoarea trigonometrie de la zero. Cu toate acestea, este documentat că deja în al doilea mileniu î.Hr., egiptenii erau familiarizați cu elementele de bază ale acestei științe: arheologii au găsit un papirus cu o sarcină în care era necesar să se găsească unghiul de înclinare al piramidei pe două laturi cunoscute.

Oamenii de știință din Babilonul Antic au obținut succese mai serioase. De-a lungul secolelor, studiind astronomia, au stăpânit o serie de teoreme, au introdus metode speciale de măsurare a unghiurilor, pe care, de altfel, le folosim astăzi: grade, minute și secunde au fost împrumutate de știința europeană în cultura greco-romană, în care aceste unităţi proveneau de la babilonieni.

Se presupune că celebra teoremă a lui Pitagora, legată de elementele de bază ale trigonometriei, era cunoscută babilonienilor în urmă cu aproape patru mii de ani.

Nume

Literal, termenul „trigonometrie” poate fi tradus ca „măsurarea triunghiurilor”. Obiectul principal de studiu în cadrul acestei secțiuni a științei timp de multe secole a fost triunghiul dreptunghic, sau mai precis, relația dintre mărimile unghiurilor și lungimile laturilor sale (astăzi, studiul trigonometriei de la zero începe cu această secțiune) . Există adesea situații în viață când este practic imposibil să se măsoare toți parametrii necesari ai unui obiect (sau distanța până la obiect), iar atunci devine necesară obținerea datelor lipsă prin calcule.

De exemplu, în trecut, oamenii nu puteau măsura distanța față de obiectele spațiale, dar încercările de a calcula aceste distanțe au avut loc cu mult înainte de apariția erei noastre. Trigonometria a jucat, de asemenea, un rol crucial în navigație: cu anumite cunoștințe, căpitanul putea întotdeauna să navigheze lângă stele noaptea și să ajusteze cursul.

Concepte de bază

Stăpânirea trigonometriei de la zero necesită înțelegerea și amintirea mai multor termeni de bază.

Sinusul unui anumit unghi este raportul dintre latura opusă și ipotenuză. Să clarificăm că piciorul opus este partea care se află opusă unghiului pe care îl luăm în considerare. Astfel, dacă un unghi este de 30 de grade, sinusul acestui unghi va fi întotdeauna, pentru orice dimensiune a triunghiului, egal cu ½. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangenta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă (sau, ceea ce este același, raportul dintre sinus și cosinus). Cotangenta este unitatea împărțită la tangentă.

Merită menționat celebrul număr Pi (3,14...), care are jumătate din lungimea unui cerc cu raza de o unitate.

Greșeli populare

Oamenii care învață trigonometria de la zero fac o serie de greșeli - mai ales din cauza neatenției.

În primul rând, atunci când rezolvați probleme de geometrie, trebuie să vă amintiți că utilizarea sinusurilor și cosinusurilor este posibilă numai într-un triunghi dreptunghic. Se întâmplă ca un elev să ia „automat” cea mai lungă latură a unui triunghi ca ipotenuză și să obțină rezultate de calcul incorecte.

În al doilea rând, la început este ușor să confundați valorile sinusului și cosinusului pentru unghiul selectat: amintiți-vă că sinusul de 30 de grade este numeric egal cu cosinusul lui 60 și invers. Dacă înlocuiți un număr incorect, toate calculele ulterioare vor fi incorecte.

În al treilea rând, până când problema este complet rezolvată, nu ar trebui să rotunjiți nicio valoare, să extrageți rădăcini sau să scrieți o fracție comună ca zecimală. Adesea, elevii se străduiesc să obțină un număr „frumos” într-o problemă de trigonometrie și să extragă imediat rădăcina lui trei, deși după exact o acțiune această rădăcină poate fi redusă.

Etimologia cuvântului „sinus”

Istoria cuvântului „sinus” este cu adevărat neobișnuită. Faptul este că traducerea literală a acestui cuvânt din latină înseamnă „gol”. Acest lucru se datorează faptului că înțelegerea corectă a cuvântului s-a pierdut în timpul traducerii dintr-o limbă în alta.

Numele funcțiilor trigonometrice de bază provin din India, unde conceptul de sinus a fost notat cu cuvântul „șir” în sanscrită - adevărul este că segmentul, împreună cu arcul de cerc pe care se sprijinea, arăta ca un arc. . În perioada de glorie a civilizației arabe, realizările indiene în domeniul trigonometriei au fost împrumutate, iar termenul a trecut în arabă ca transcriere. S-a întâmplat că această limbă avea deja un cuvânt similar care denotă o depresie, iar dacă arabii au înțeles diferența fonetică dintre cuvântul nativ și cel împrumutat, atunci europenii, traducând tratate științifice în latină, au tradus în mod greșit literal cuvântul arab, care nu avea nimic. de a face cu conceptul de sinus . Îl folosim și astăzi.

Tabele de valori

Există tabele care conțin valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri și tangente ale tuturor unghiurilor posibile. Mai jos vă prezentăm date pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60 și 90 de grade, care trebuie învățate ca o secțiune obligatorie de trigonometrie pentru „manichini”, din fericire, sunt destul de ușor de reținut.

Dacă se întâmplă ca valoarea numerică a sinusului sau a cosinusului unui unghi „s-a ieșit din cap”, există o modalitate de a o deriva singur.

Reprezentare geometrică

Să desenăm un cerc și să desenăm abscisa și axele ordonatelor prin centrul acestuia. Axa absciselor este orizontală, axa ordonatelor este verticală. Ele sunt de obicei semnate ca „X” și, respectiv, „Y”. Acum vom trasa o linie dreaptă din centrul cercului, astfel încât unghiul de care avem nevoie să fie obținut între acesta și axa X. În cele din urmă, din punctul în care linia dreaptă intersectează cercul, aruncăm o perpendiculară pe axa X Lungimea segmentului rezultat va fi egală cu valoarea numerică a sinusului unghiului nostru.

Această metodă este foarte relevantă dacă ați uitat valoarea necesară, de exemplu, în timpul unui examen, și nu aveți la îndemână un manual de trigonometrie. Nu veți obține un număr exact în acest fel, dar veți vedea cu siguranță diferența dintre ½ și 1,73/2 (sinus și cosinus al unui unghi de 30 de grade).

Aplicație

Unii dintre primii experți care au folosit trigonometria au fost marinari care nu aveau alt punct de referință în marea liberă, cu excepția cerului de deasupra capetelor lor. Astăzi, căpitanii de nave (avioane și alte moduri de transport) nu caută calea cea mai scurtă folosind stele, ci recurg în mod activ la navigarea prin GPS, ceea ce ar fi imposibil fără utilizarea trigonometriei.

În aproape fiecare secțiune a fizicii, veți găsi calcule folosind sinusuri și cosinus: fie că este vorba despre aplicarea forței în mecanică, calcule ale traseului obiectelor în cinematică, vibrații, propagarea undelor, refracția luminii - pur și simplu nu puteți face fără trigonometria de bază. în formule.

O altă profesie care este de neconceput fără trigonometrie este topograful. Folosind un teodolit și un nivel sau un dispozitiv mai complex - un turometru, acești oameni măsoară diferența de înălțime între diferite puncte de pe suprafața pământului.

Repetabilitate

Trigonometria se ocupă nu numai de unghiurile și laturile unui triunghi, deși aici și-a început existența. În toate domeniile în care ciclicitatea este prezentă (biologie, medicină, fizică, muzică etc.) veți întâlni un grafic al cărui nume vă este probabil familiar - aceasta este o undă sinusoidală.

Un astfel de grafic este un cerc desfășurat de-a lungul axei timpului și arată ca o undă. Dacă ai lucrat vreodată cu un osciloscop la ora de fizică, știi despre ce vorbim. Atât egalizatorul muzical, cât și monitorul de ritm cardiac folosesc formule de trigonometrie în munca lor.

În concluzie

Când se gândesc la cum să învețe trigonometria, majoritatea elevilor de gimnaziu și liceu încep să o considere o știință dificilă și nepractică, deoarece se familiarizează doar cu informații plictisitoare dintr-un manual.

În ceea ce privește impracticabilitatea, am văzut deja că, într-o măsură sau alta, capacitatea de a manipula sinusurile și tangentele este necesară în aproape orice domeniu de activitate. Cât despre complexitate... Gândiți-vă: dacă oamenii au folosit aceste cunoștințe în urmă cu mai bine de două mii de ani, când un adult avea mai puține cunoștințe decât liceul de astăzi, este realist pentru dvs. personal să studiați acest domeniu al științei la un nivel de bază? Câteva ore de practică atentă la rezolvarea problemelor - și îți vei atinge obiectivul studiind cursul de bază, așa-numita trigonometrie pentru manechine.