Teoreme ale sinusurilor și cosinusurilor pentru un triunghi dreptunghic. Teorema cosinusurilor, sinusurilor: formulare, consecințe și exemple
Trigonometria este utilizată pe scară largă nu numai în secțiunea de algebră - începutul analizei, ci și în geometrie. În acest sens, este rezonabil să presupunem existența teoremelor și a demonstrațiilor lor legate de funcțiile trigonometrice. Într-adevăr, teoremele cosinusului și sinusului derivă relații foarte interesante și, cel mai important, utile între laturile și unghiurile triunghiurilor.
Folosind această formulă, puteți obține oricare dintre laturile triunghiului:
Dovada afirmației este derivată pe baza teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egală cu suma pătrate de picioare.
Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. De la vârful C coborâm înălțimea h până la baza figurii, în acest caz lungimea sa nu este absolut importantă. Acum, dacă luăm în considerare un triunghi arbitrar ACB, atunci putem exprima coordonatele punctului C prin funcții trigonometrice cos si sin.
Amintiți-vă definiția cosinusului și scrieți raportul laturilor triunghiului ACD: cos α = AD/AC | înmulțiți ambele părți ale egalității cu AC; AD = AC * cos α.
Să luăm lungimea AC ca b și să obținem expresia pentru prima coordonată a punctului C:
x = b * cosα. În mod similar, găsim valoarea ordonatei C: y = b * sin α. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora și exprimăm alternativ h pentru triunghiul ACD și DCB:
Evident, ambele expresii (1) și (2) sunt egale între ele. Echivalăm părțile din dreapta și dăm altele similare:
În practică, această formulă vă permite să găsiți lungimea laturii necunoscute a unui triunghi la unghiuri date. Teorema cosinusului are trei consecințe: pentru un unghi drept, acut și obtuz al unui triunghi.
Să înlocuim valoarea lui cos α cu variabila obișnuită x, apoi pentru unghiul ascuțit al triunghiului ABC obținem:
Dacă unghiul se dovedește a fi corect, atunci 2bx va dispărea din expresie, deoarece cos 90 ° \u003d 0. Grafic, a doua consecință poate fi reprezentată după cum urmează:
În cazul unui unghi obtuz, semnul „-” din fața argumentului dublu din formulă se va schimba în „+”:
După cum puteți vedea din explicație, nu este nimic complicat în raporturi. Teorema cosinusului nu este altceva decât un aranjament al teoremei lui Pitagora în mărimi trigonometrice.
Aplicarea practică a teoremei
Exercitiul 1. Dat un triunghi ABC cu latura BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm și cos α = ½. Aflați lungimea laturii AB.
Pentru a calcula corect, trebuie să determinați unghiul α. Pentru a face acest lucru, consultați tabelul de valori pentru funcțiile trigonometrice, conform căruia cosinusul arcului este 1/2 pentru un unghi de 60 °. Pe baza acestui lucru, folosim formula primului corolar al teoremei:
Sarcina 2. Pentru triunghiul ABC se cunosc toate laturile: AB =4√2,BC=5,AC=7. Este necesar să găsiți toate unghiurile figurii.
În acest caz, nu puteți face fără un desen al condițiilor problemei.
Deoarece valorile unghiurilor rămân necunoscute, ar trebui să se folosească formula completa pentru un unghi ascuțit.
Prin analogie, nu este dificil să formulați și să calculați valorile altor unghiuri:
În concluzie, cele trei unghiuri ale triunghiului ar trebui să fie de 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, prin urmare, se găsește soluția.
Teorema sinusului
Teorema spune că toate părțile triunghi arbitrar proporțional cu sinusurile unghiurilor opuse. Raporturile sunt scrise sub forma unei egalități triple:
Dovada clasică a afirmației se realizează pe exemplul unei figuri înscrise într-un cerc.
Pentru a verifica veridicitatea afirmației folosind exemplul triunghiului ABC din figură, este necesar să confirmăm faptul că 2R = BC / sin A. Apoi demonstrați că și celelalte laturi corespund sinusurilor unghiurilor opuse, cum ar fi 2R sau D al unui cerc.
Pentru a face acest lucru, desenăm diametrul cercului din vârful B. Din proprietățile unghiurilor înscrise într-un cerc, ∠GCB este o linie dreaptă, iar ∠CGB este fie egal cu ∠CAB, fie (π - ∠CAB). În cazul unui sinus, această din urmă împrejurare nu este semnificativă, deoarece sin (π -α) \u003d sin α. Pe baza concluziilor de mai sus, se poate afirma că:
sin ∠CGB = BC/ BG sau sin A = BC/2R,
Dacă luăm în considerare alte unghiuri ale figurii, obținem formula extinsă a teoremei sinusului:
Sarcinile tipice pentru exersarea cunoștințelor teoremei sinusului se reduc la găsirea unei laturi sau unghi necunoscute a unui triunghi.
După cum se poate observa din exemple, rezolvarea unor astfel de probleme nu provoacă dificultăți și constă în efectuarea de calcule matematice.
Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.
Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.
Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.
Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opusul (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):
Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?
Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc și funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangentă și cotangentă pentru unghiurile „bune” de la până.
Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.
Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Deoarece , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să aflăm după teorema lui Pitagora.
Problema rezolvata.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Am luat în considerare problemele pentru rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare - adică pentru găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN UTILIZAȚI opțiuniîn matematică, există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în următorul articol.
Nu toți școlarii și cu atât mai mult adulții știu că teorema cosinusului este direct legată de teorema lui Pitagora. Mai exact, cel din urmă este un caz special al celui dintâi. Acest moment, precum și două moduri de demonstrare a teoremei cosinusului, vor ajuta să devină mai mult persoană informată. În plus, exersarea în exprimarea cantităților din expresiile inițiale se dezvoltă bine gandire logica. Formula lungă a teoremei studiate vă va face cu siguranță să munciți din greu și să vă îmbunătățiți.
Începerea unei conversații: introducerea notației
Această teoremă este formulată și demonstrată pentru un triunghi arbitrar. Prin urmare, poate fi folosit întotdeauna, în orice situație, dacă sunt date două laturi, și în unele cazuri trei și un unghi, și nu neapărat între ele. Indiferent de tipul de triunghi, teorema va funcționa întotdeauna.
Și acum despre desemnarea cantităților în toate expresiile. Este mai bine să fiți de acord dintr-o dată, pentru a nu explica de mai multe ori mai târziu. Pentru aceasta, a fost întocmit următorul tabel.
Formulare și notare matematică
Deci, teorema cosinusului este formulată după cum urmează:
Pătratul unei laturi a oricărui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale sale minus de două ori produsul acelorași laturi și cosinusul unghiului dintre ele.
Desigur, este lung, dar dacă îi înțelegeți esența, atunci va fi ușor de reținut. Vă puteți imagina chiar desenând un triunghi. Este întotdeauna mai ușor de reținut vizual.
Formula acestei teoreme va arăta astfel:
Un pic lung, dar totul este logic. Dacă te uiți puțin mai atent, poți vedea că literele se repetă, ceea ce înseamnă că nu este greu să-l amintești.
Dovada comună a teoremei
Deoarece este valabil pentru toate triunghiurile, oricare dintre tipuri poate fi ales pentru raționament. Să fie o figură cu toate colțuri ascuțite. Să considerăm un triunghi unghiular ascuțit arbitrar al cărui unghi C este mai mare decât unghiul B. Dintr-un vârf cu acesta unghi înalt trebuie să coborâți perpendiculara pe partea opusă. Înălțimea desenată împarte triunghiul în două dreptunghiuri. Acest lucru este necesar pentru dovada.
Latura va fi împărțită în două segmente: x, y. Ele trebuie exprimate în termeni de cantități cunoscute. Partea care va fi într-un triunghi cu o ipotenuză egală cu b va fi exprimată prin notația:
x \u003d b * cos A.
Celălalt va fi egal cu această diferență:
y \u003d c - în * cos A.
Acum trebuie să scriem teorema lui Pitagora pentru cele două triunghiuri dreptunghiulare rezultate din construcție, luând înălțimea ca valoare necunoscută. Aceste formule vor arăta astfel:
n 2 \u003d în 2 - (în * cos A) 2,
n 2 \u003d a 2 - (c - în * cos A) 2.
În aceste egalități, există expresii identice în stânga. Aceasta înseamnă că și părțile lor din dreapta vor fi egale. Este ușor să-l notezi. Acum trebuie să deschideți parantezele:
în 2 - în 2 * (cos A) 2 \u003d a 2 - c 2 + 2 c * în * cos A - în 2 * (cos A) 2.
Dacă aici efectuăm transferul și reducerea unor termeni similari, atunci obținem formula inițială, care se scrie după formulare, adică teorema cosinusului. Dovada este completă.
Demonstrarea teoremei în termeni de vectori
Este mult mai scurt decât precedentul. Și dacă cunoașteți proprietățile vectorilor, atunci teorema cosinusului pentru un triunghi va fi demonstrată simplu.
Dacă laturile a, b, c sunt notate cu vectorii BC, AC și respectiv AB, atunci egalitatea este adevărată:
BC = AC - AB.
Acum trebuie să faci niște lucruri. Prima dintre acestea este punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Atunci egalitatea trebuie rescrisă în formă scalară, având în vedere că produsul vectorilor este egal cu cosinusul unghiului dintre ei și valorile lor scalare:
BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Rămâne doar să revenim la notația veche și din nou obținem teorema cosinusului:
a 2 \u003d în 2 + c 2 - 2 * în * c * cos A.
Formule pentru alte laturi și toate unghiurile
Pentru a găsi latura, trebuie să luați rădăcina pătrată a teoremei cosinusului. Formula pentru pătratele uneia dintre celelalte laturi ar arăta astfel:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Pentru a scrie o expresie pentru pătratul unei laturi V, trebuie să înlocuiți în egalitatea anterioară Cu pe V, și invers și puneți unghiul B sub cosinus.
Din formula principală a teoremei, putem exprima valoarea cosinusului unghiului A:
cos A \u003d (în 2 + c 2 - a 2) / (2 în * c).
Formulele pentru alte unghiuri sunt derivate în mod similar. Acest bun antrenament, așa că puteți încerca să le scrieți singur.
Desigur, nu este nevoie să memorezi aceste formule. Este suficient să înțelegeți teorema și să puteți deriva aceste expresii din notația sa principală.
Formula originală a teoremei face posibilă găsirea unei laturi dacă unghiul nu se află între două cunoscute. De exemplu, trebuie să găsiți V când sunt date valorile: a, c, a. sau necunoscut Cu, dar există valori a, b, a.
În această situație, trebuie să transferați toți termenii formulei în partea stanga. Obțineți această egalitate:
c 2 - 2 * în * c * cos A + în 2 - a 2 \u003d 0.
Să-l rescriem într-o formă puțin diferită:
c 2 - (2 * în * cos A) * c + (în 2 - a 2) \u003d 0.
Poate fi ușor de văzut ecuație pătratică. Are o cantitate necunoscută Cu, iar toate celelalte sunt date. Prin urmare, este suficient să o rezolvi folosind discriminantul. Deci partea necunoscută va fi găsită.
În mod similar, se obține formula pentru a doua parte:
în 2 - (2 * c * cos A) * în + (c 2 - a 2) \u003d 0.
Din alte expresii, astfel de formule sunt, de asemenea, ușor de obținut independent.
Cum să aflați tipul de unghi fără a calcula cosinusul?
Dacă te uiți cu atenție la formula pentru cosinusul unui unghi, derivată mai devreme, vei observa următoarele:
- numitorul unei fracții este întotdeauna un număr pozitiv, deoarece conține produsul laturilor care nu pot fi negative;
- valoarea unghiului va depinde de semnul numărătorului.
Unghiul A va fi:
- acută într-o situație în care numărătorul este mai mare decât zero;
- prost dacă această expresie este negativă;
- direct când este egal cu zero.
Apropo, ultima situație transformă teorema cosinusului în teorema lui Pitagora. Pentru că pentru un unghi de 90º cosinusul său este zero, iar ultimul termen dispare.
Prima sarcină
Condiție
Un unghi obtuz al unui triunghi arbitrar este egal cu 120º. Despre laturile de care este delimitat se știe că una dintre ele este cu 8 cm mai mare decât cealaltă.Se știe lungimea celei de-a treia laturi, aceasta este de 28 cm.Se cere să se afle perimetrul triunghiului.
Soluţie
Mai întâi trebuie să desemnați una dintre părți cu litera „x”. În acest caz, celălalt va fi egal cu (x + 8). Deoarece există expresii pentru toate cele trei laturi, puteți folosi formula dată de teorema cosinusului:
28 2 \u003d (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
În tabelele pentru cosinus, trebuie să găsiți valoarea corespunzătoare la 120 de grade. Acesta va fi numărul 0,5 cu semnul minus. Acum ar trebui să deschidă parantezele, respectând toate regulile și să aducă termeni similari:
784 \u003d x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 \u003d 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Această ecuație pătratică se rezolvă prin găsirea discriminantului, care va fi egal cu:
D \u003d 24 2 - 4 * 3 * (- 720) \u003d 9216.
Deoarece valoarea sa este mai mare decât zero, ecuația are două răspunsuri-rădăcini.
x 1 \u003d ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) \u003d 12;
x 2 \u003d ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) \u003d -20.
Ultima rădăcină nu poate fi răspunsul la problemă, deoarece partea trebuie să fie pozitivă.
Fiecare dintre noi a stat multe ore la rezolvarea uneia sau alteia probleme de geometrie. Desigur, apare întrebarea, de ce trebuie să înveți deloc matematica? Întrebarea este relevantă în special pentru geometrie, cunoașterea căreia, dacă este utilă, este foarte rară. Dar matematica are un scop pentru cei care nu vor deveni muncitori, face ca o persoană să lucreze și să se dezvolte.
Scopul inițial al matematicii nu a fost de a oferi elevilor cunoștințe despre subiect. Profesorii și-au stabilit scopul de a-i învăța pe copii să gândească, să raționeze, să analizeze și să argumenteze. Este exact ceea ce găsim în geometrie cu numeroasele sale axiome și teoreme, corolare și dovezi.
Teorema cosinusului
Utilizare
Pe lângă lecțiile de matematică și fizică, această teoremă este utilizată pe scară largă în arhitectură și construcții, pentru a calcula laturile și unghiurile necesare. Este folosit pentru a determina dimensiunile cerute clădirilor și cantitatea de materiale care va fi necesară pentru construcția acesteia. Desigur, majoritatea proceselor care anterior necesitau participarea umană directă și cunoștințe sunt automatizate astăzi. Există un număr mare de programe care vă permit să simulați astfel de proiecte pe un computer. Programarea lor se realizează, de asemenea, luând în considerare toate legile, proprietățile și formulele matematice.
