Tabelul integralelor funcțiilor elementare de bază. Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice
Definiția 1
Antiderivata $F(x)$ pentru funcția $y=f(x)$ pe segmentul $$ este o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al acestui segment și următoarea egalitate este valabilă pentru derivata sa:
Definiția 2
Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.
Din tabelul derivatelor și Definiția 2 obținem tabelul integralelor de bază.
Exemplul 1
Verificați validitatea formulei 7 din tabelul de integrale:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Să diferențiem partea dreaptă: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Exemplul 2
Verificați validitatea formulei 8 din tabelul de integrale:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.
Exemplul 3
Verificați validitatea formulei 11" din tabelul de integrale:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.
Exemplul 4
Verificați validitatea formulei 12 din tabelul de integrale:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]
Să diferențiem partea dreaptă: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.
Exemplul 5
Verificați validitatea formulei 13" din tabelul de integrale:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Să diferențiem partea dreaptă: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.
Exemplul 6
Verificați validitatea formulei 14 din tabelul de integrale:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]
Să diferențiem partea dreaptă: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.
Exemplul 7
Găsiți integrala:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Să folosim teorema sumei integrale:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Să folosim teorema despre plasarea unui factor constant în afara semnului integral:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Conform tabelului de integrale:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Când calculăm prima integrală, folosim regula 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Prin urmare,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Să enumerăm integralele funcțiilor elementare, care sunt uneori numite tabulare:
Oricare dintre formulele de mai sus poate fi dovedită luând derivata din partea dreaptă (rezultatul va fi integrandul).
Metode de integrare
Să ne uităm la câteva metode de integrare de bază. Acestea includ:
1. Metoda de descompunere(integrare directă).
Această metodă se bazează pe utilizarea directă a integralelor tabulare, precum și pe utilizarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - descompunerea integrat în termeni).
Exemplul 1. De exemplu, pentru a găsi(dx/x 4) puteți utiliza direct integrala tabelului pentrux n dx. De fapt,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.
Exemplul 2. Pentru a-l găsi, folosim aceeași integrală:
Exemplul 3. Pentru a-l găsi trebuie să luați
Exemplul 4. Pentru a găsi, reprezentăm funcția integrand sub forma 
și folosiți integrala tabelului pentru funcția exponențială:
Să considerăm utilizarea bracketing-ului un factor constant.
Exemplul 5.
Să găsim, de exemplu 
. Având în vedere asta, obținem
Exemplul 6. O vom găsi. Din moment ce 
, să folosim integrala tabelului 
Primim
În următoarele două exemple, puteți utiliza, de asemenea, paranteze și integrale de tabel:
Exemplul 7.
(folosim și 
);
Exemplul 8.
(folosim 
Şi 
).
Să ne uităm la exemple mai complexe care folosesc integrala sumă.
Exemplul 9. De exemplu, să găsim 
. Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula cubului sumei , iar apoi împărțim polinomul rezultat la numitor, termen cu termen.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
De remarcat că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu unele separate la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea constantelor din integrarea termenilor individuali în procesul de rezolvare atâta timp cât expresia conține cel puțin o integrală nedefinită (vom scrie o constantă la sfârșitul soluției).
Exemplul 10. Vom găsi 
. Pentru a rezolva această problemă, să factorizăm numărătorul (după aceasta putem reduce numitorul).
Exemplul 11. O vom găsi. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.
Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.
Exemplul 12. Vom găsi 
. În integrand selectăm întreaga parte a fracției 
. Apoi
Exemplul 13. Vom găsi
2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)
Metoda se bazează pe următoarea formulă: f(x)dx=f((t))`(t)dt, unde x =(t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.
Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din partea stângă și dreaptă a formulei.
Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivată din partea dreaptă:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Deoarece aceste derivate sunt egale, prin corolar teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă printr-o anumită constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă din notația finală. Dovedit.
O schimbare cu succes a variabilei vă permite să simplificați integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reduceți la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniare și neliniare.
a) Metoda substituției liniare Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 1.
. Fie t= 1 – 2x, atunci
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau despre introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.
Exemplul 2. De exemplu, să găsimcos(3x + 2)dx. Prin proprietățile diferențialei dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atuncicos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t=kx+b(k0) a fost folosită pentru a găsi integralele.
În cazul general, următoarea teoremă este valabilă.
Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată a funcției f(x). Atuncif(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, unde k și b sunt niște constante,k0.
Dovada.
Prin definiția integralei f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Să luăm factorul constant k din semnul integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Acum putem împărți părțile stânga și dreaptă ale egalității în două și obținem afirmația de demonstrat până la desemnarea termenului constant.
Această teoremă afirmă că dacă în definiția integralei f(x)dx= F(x) + C în loc de argumentul x înlocuim expresia (kx+b), aceasta va duce la apariția unei factorul 1/k în fața antiderivatei.
Folosind teorema dovedită, rezolvăm următoarele exemple.
Exemplul 3.
Vom găsi 
. Aici kx+b= 3 –x, adică k= -1,b= 3. Atunci
Exemplul 4.
O vom găsi. Herekx+b= 4x+ 3, adică k= 4,b= 3. Atunci
Exemplul 5.
Vom găsi 
. Aici kx+b= -2x+ 7, adică k= -2,b= 7. Atunci
.
Exemplul 6. Vom găsi 
. Aici kx+b= 2x+ 0, adică k= 2,b= 0.
.
Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă folosind o metodă diferită, am primit răspunsul 
. Să comparăm rezultatele: Astfel, aceste expresii diferă între ele printr-un termen constant 
, adică Răspunsurile primite nu se contrazic.
Exemplul 7. Vom găsi 
. Să selectăm un pătrat perfect la numitor.
În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de expansiune la un pas ulterior.
Exemplul 8. De exemplu, să găsim 
. Înlocuiți t=x+ 2, apoi dt=d(x+ 2) =dx. Apoi
,
unde C = C 1 – 6 (la înlocuirea expresiei (x+ 2) în loc de primii doi termeni, obținem ½x 2 -2x– 6).
Exemplul 9. Vom găsi 
. Fie t= 2x+ 1, apoi dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Să înlocuim expresia (2x+ 1) cu t, deschidem parantezele și dăm altele similare.
Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul de termeni constanți ar putea fi omis în timpul procesului de transformare.
b) Metoda substituției neliniare Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 1.
. Lett= -x 2. Apoi, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în acest caz este mai ușor să faci lucrurile diferit. Să găsim dt=d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. Să o exprimăm din egalitatea rezultatăxdx= - ½dt. Apoi
Profitând de faptul că integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. se poate obtine un tabel de integrale de baza inversand formulele corespunzatoare de calcul diferential (tabelul diferentialelor) si folosind proprietatile integralei nedefinite. De exemplu, pentru că
d(păcat u) = cos u*du, atunci derivarea unui număr de formule din tabel va fi dată în considerarea metodelor de bază de integrare.
Se numesc integralele din tabelul de mai jos tabular. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru găsirea antiderivate ale funcțiilor elementare, ca în calculul diferențial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea tehnicilor care aduc o integrală dată (căută) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelului și să le puteți recunoaște.
Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a variabilei independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).
Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.
Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/ u definit şi continuu pentru toate valorile u, diferit de zero.
Dacă u> 0. atunci ln | u| = jurnal u, Atunci d ln | u| = d ln u = du/u. De aceea 
Tabelul integralelor de bază 
La școală, mulți oameni nu reușesc să rezolve integralele sau au dificultăți cu ele. Acest articol vă va ajuta să vă dați seama, deoarece veți găsi totul în el. tabele integrale.
Integral este unul dintre principalele calcule și concepte în analiza matematică. Apariția sa a rezultat din două scopuri:
Primul gol- restabiliți o funcție folosind derivata ei.
Al doilea gol- calculul ariei situate la distanta de la grafic la functia f(x) pe dreapta unde, a este mai mare sau egal cu x mai mare sau egal cu b si axa x.
Aceste obiective ne conduc la integrale definite și nedefinite. Legătura dintre aceste integrale constă în căutarea proprietăților și calcul. Dar totul curge și totul se schimbă în timp, s-au găsit soluții noi, au fost identificate completări, conducând astfel integrale definite și nedefinite la alte forme de integrare.
Ce s-a întâmplat integrală nedefinită intrebi tu. Aceasta este o funcție antiderivată F(x) a unei variabile x în intervalul a mai mare decât x mai mare decât b. se numește orice funcție F(x), într-un interval dat pentru orice denumire x, derivata este egală cu F(x). Este clar că F(x) este antiderivată pentru f(x) în intervalul a este mai mare decât x este mai mare decât b. Aceasta înseamnă că F1(x) = F(x) + C. C - este orice constantă și antiderivată pentru f(x) într-un interval dat. Această afirmație este inversabilă pentru funcția f(x) - 2 antiderivatele diferă doar în constantă. Pe baza teoremei calculului integral, rezultă că fiecare continuă în intervalul a
Integrală definită se înțelege ca limită în sume integrale, sau în situația unei funcții date f(x) definită pe o dreaptă (a,b) având pe ea o antiderivată F, adică diferența expresiilor sale la capetele unei linii date. F(b) - F(a).
Pentru a ilustra studiul acestui subiect, vă sugerez să vizionați videoclipul. Spune în detaliu și arată cum să găsiți integralele.
Fiecare tabel de integrale în sine este foarte util, deoarece ajută la rezolvarea unui anumit tip de integrală.
Toate tipurile posibile de papetărie și multe altele. Puteți achiziționa prin intermediul magazinului online v-kant.ru. Sau doar urmați linkul Papetarie Samara (http://v-kant.ru) calitatea și prețurile vă vor surprinde plăcut.
