Linia mediană a trapezului este egală cu jumătatea bazei. Trapez

Conceptul liniei mediane a trapezului

În primul rând, să ne amintim ce fel de figură se numește trapez.

Definiția 1

Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

În acest caz, laturile paralele se numesc bazele trapezului, iar laturile neparalele se numesc laturile laterale ale trapezului.

Definiția 2

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului.

Teorema liniei mediane a trapezului

Acum introducem teorema despre linia mediană a unui trapez și o demonstrăm folosind metoda vectorială.

Teorema 1

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.

Dovada.

Să ni se dea un trapez $ABCD$ cu bazele $AD\ și\ BC$. Și lasă $MN$ -- linia mediană acest trapez (fig. 1).

Figura 1. Linia mediană a trapezului

Să demonstrăm că $MN||AD\ și\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Luați în considerare vectorul $\overrightarrow(MN)$. Apoi folosim regula poligonului pentru a adăuga vectori. Pe de o parte, înțelegem asta

Pe cealaltă parte

Să adunăm ultimele două egalități și să obținem

Deoarece $M$ și $N$ sunt punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, vom avea

Primim:

Prin urmare

Din aceeași egalitate (deoarece $\overrightarrow(BC)$ și $\overrightarrow(AD)$ sunt codirecționale și, prin urmare, coliniare) obținem acel $MN||AD$.

Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme privind conceptul de linie mediană a unui trapez

Exemplul 1

Laturile laterale ale trapezului sunt $15\ cm$ și, respectiv, $17\ cm$. Perimetrul trapezului este $52\cm$. Aflați lungimea liniei mediane a trapezului.

Soluţie.

Să notăm linia mediană a trapezului cu $n$.

Suma laturilor este egală cu

Prin urmare, deoarece perimetrul este $52\ cm$, suma bazelor este egală cu

Deci, prin teorema 1, obținem

Răspuns:$10\cm$.

Exemplul 2

Capetele diametrului cercului sunt de $9$ cm și, respectiv, $5$ cm distanță de tangenta acestuia. Aflați diametrul acestui cerc.

Soluţie.

Să ni se dă un cerc cu centrul în punctul $O$ și diametrul $AB$. Să desenăm o tangentă $l$ și să construim distanțele $AD=9\ cm$ și $BC=5\ cm$. Să desenăm raza $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Deoarece $AD$ și $BC$ sunt distanțele până la tangentă, atunci $AD\bot l$ și $BC\bot l$ și deoarece $OH$ este raza, atunci $OH\bot l$, prin urmare, $OH |\left|AD\right||BC$. Din toate acestea rezultă că $ABCD$ este un trapez, iar $OH$ este linia lui mediană. Prin teorema 1, obținem

În acest articol vom încerca să reflectăm proprietățile unui trapez cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre semne generaleși proprietățile unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și despre un cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile discutate vă va ajuta să o rezolvați în cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele între ele (acestea sunt bazele). Și cele două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi coborâtă - perpendicular pe baze. Linia centrală și diagonalele sunt desenate. De asemenea, este posibil să desenați o bisectoare din orice unghi al trapezului.

Despre proprietăți diverse, asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor, vom vorbi acum.

Proprietățile diagonalelor trapezoidale

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul HT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: ХТ = (a – b)/2.
În fața noastră este același ACME trapez. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să ne uităm la triunghiurile AOE și MOK, formate din segmente ale diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de asemănare k al triunghiurilor se exprimă prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
Raportul ariilor triunghiurilor AOE și MOK este descris de coeficientul k 2 .
Același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiurile pe care le-au format segmentele diagonalelor împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO au dimensiuni egale - ariile lor sunt aceleași.
O altă proprietate a unui trapez implică construcția diagonalelor. Deci, dacă continuați laturile AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta la un anumit punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin mijlocul bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
Dacă extindem acum linia XT, atunci aceasta va lega împreună punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și mijlocul bazelor X și T.
Prin punctul de intersecție al diagonalelor vom trasa un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică KM, X pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OX = KM/AE.
Acum, prin punctul de intersecție al diagonalelor, vom trasa un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea segmentului folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea Bisectoarei Trapezului

Selectați orice colț al trapezului și trageți o bisectoare. Să luăm, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat singur construcția, puteți verifica cu ușurință dacă bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiurilor trapezoidale

Oricare dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor din pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0.
Să conectăm punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX poate fi calculată cu ușurință pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX = (AE – KM)/2.
Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unui unghi trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (echilateral).

Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce vorbim. Priviți cu atenție baza AE - vârful bazei opuse M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia de mijloc a trapezului isoscel sunt egale.
Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
Numai în jurul unui trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 - condiție prealabilă pentru aceasta.
Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă trapez, acesta este isoscel.
Din caracteristicile unui trapez isoscel rezultă proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
Din nou, trageți segmentul TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
De data aceasta, coborâți înălțimea de la vârful opus al trapezului pe baza mai mare (să-i spunem a). Veți obține două segmente. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a + b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, unde centrul cercului este în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să nu fii leneș, să iei un creion în mâini și să desenezi despre ce vorbești. vom vorbi de mai jos. Astfel vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, diagonala se poate extinde din partea superioară a trapezului în unghi drept spre lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
Diagonala și laterala se pot întâlni și sub unghi ascuțit– atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mai mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latură.
Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½MOE.
Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza unui cerc circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Puteți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R = AE/2*sinAME. Formula poate fi scrisă într-un mod similar pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
Metoda a doua: găsiți raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți potrivi un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Citiți mai multe despre el mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
Pentru trapezul ACME, descris despre un cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
Din această proprietate a bazelor unui trapez, rezultă afirmația inversă: un cerc poate fi înscris într-un trapez a cărui sumă a bazelor este egală cu suma laturilor sale.
Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
Și încă o proprietate. Pentru a evita confuzia, desenează și tu acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, descris în jurul unui cerc. Conține diagonale care se intersectează în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și laturile laterale sunt dreptunghiulare.
Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile laterale ale trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului coincide cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile sale perpendiculară pe bază.
Înălțimea și partea laterală a trapezului adiacent unghi drept, sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor unui trapez deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovada unor proprietăți ale trapezului

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

Probabil ați ghicit deja că aici vom avea nevoie din nou de trapezul AKME - desenați un trapez isoscel. Desenați o linie dreaptă MT de la vârful M, paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde este AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că ACME trapez este isoscel:

Mai întâi, să desenăm o linie dreaptă MX – MX || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază – MX || KE și KM || EX).

∆AMX este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

Se dovedește că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM = KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE = MXE. Putem concluziona că AK = ME și de aici rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de revizuire

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura laterală KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu baza mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Aceasta înseamnă că în total dau 180 0. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezoidale).

Să luăm acum în considerare ∆ANC dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără dovezi suplimentare). Din aceasta vom găsi înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este catelul care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KH = ½AB = 4 cm.

Găsim aria trapezului folosind formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile date cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți un rezumat detaliat al tuturor proprietăți generale trapeze. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau în baza unor anchete publice sau solicitări de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez egală cu jumătate diferențe de bază
Triunghiurile formate din bazele unui trapez și segmentele diagonalelor până la punctul lor de intersecție sunt similare
Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile laterale ale trapezului - egale ca mărime (au aceeași zonă)
Dacă extindeți laturile trapezului spre baza mai mică, atunci acestea se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor
Un segment care leagă bazele unui trapez și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la jumătate cu acest punct, iar lungimea sa este egală cu 2ab/(a + b), unde a și b sunt bazele trapez

Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Să conectăm punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.

Acest segment paralel cu bazele trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătate din diferența bazelor sale.

LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2

Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez

Triunghiuri care sunt formate din bazele unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt unghiuri interne situate transversal cu drepte paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și o dreaptă secantă AC, prin urmare sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (în cruce internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din asta?

Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile a două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile laterale ale trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate din laturile laterale si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt egale, adică triunghiurile sunt egale ca mărime.

Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin mijlocul bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins într-un triunghi. În acest caz:

Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez

Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele unui trapez, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive de la partea bazei la punctul de intersecție a diagonalelor (KO/ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Această proprietate rezultă din similitudinea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

Distanța specificată (KM) bisectată de punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
Lungimea secțiunii care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele este egal cu KM = 2ab/(a + b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- baze trapezoidale

CD- laturile trapezului

d1 d2- diagonalele unui trapez

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor trapezoidale poate fi demonstrată ca o teoremă separată

2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat prin semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din partea stângă și dreaptă a expresiei.

3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) au sens similar și exprimă o relație similară.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă se cunosc baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin înălțime

Nota. Această lecție oferă soluții la problemele de geometrie despre trapeze. Dacă nu ați găsit o soluție la o problemă de geometrie de tipul care vă interesează, puneți o întrebare pe forum.

Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.

Soluţie.
Soluția acestei probleme este ideologic absolut identică cu problemele anterioare.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.

Deoarece triunghiurile sunt similare, atunci toate dimensiuni geometrice raportează între ele ca geometric dimensiunile segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de condițiile problemei. Adică

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/î.Hr
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Răspuns: 16 cm

Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului.

Soluție.
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi la baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu notația din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am scăzut două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de altitudinile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului cu h. Apoi, după teorema lui Pitagora

H2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Şi
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Să luăm în considerare că a = 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Să substituim valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație obținută folosind teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Deci KD = 12
Unde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Găsiți aria trapezului prin înălțimea sa și jumătate din suma bazelor
, unde a b - baza trapezului, h - înălțimea trapezului
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Răspuns: aria trapezului este de 80 cm2.