Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. In articol" " V-am promis să analizați a doua modalitate de a rezolva problemele prezentate pentru găsirea derivatei, cu un grafic de funcție dat și o tangentă la acest grafic. Vom explora această metodă în , nu ratați! De ce Următorul?

Faptul este că formula ecuației unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, s-ar putea pur și simplu să arate această formulă și să te sfătuiască să o înveți. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Este necesar! Dacă îl uiți, restabiliți-l rapidnu va fi dificil. Totul este detaliat mai jos. Deci, avem două puncte A pe planul de coordonate(x 1; y 1) și B (x 2; y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate:

Iată formula directă:

*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.

** Dacă această formulă este pur și simplu „memorizată”, atunci există Mare șansăîncurcă-te cu indici X. În plus, indicii pot fi notați în diferite moduri, de exemplu:

De aceea este important să înțelegem sensul.

Acum derivarea acestei formule. Totul este foarte simplu!

Triunghiurile ABE și ACF sunt similare în colt ascutit(primul semn de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:

Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente în termeni de diferență în coordonatele punctelor:

Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să păstrați corespondența):

Rezultatul este aceeași ecuație a unei linii drepte. Asta este tot!

Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), înțelegând această formulă, veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.

Formula poate fi dedusă folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. În opinia mea, concluzia descrisă mai sus este mai de înțeles)).

Vizualizați rezultatul prin coordonatele vectoriale >>>

Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin două puncte date A (x 1; y 1) și B (x 2; y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( X; y). De asemenea, notăm doi vectori:

Se știe că pentru vectorii care se află pe drepte paralele (sau pe o singură linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:

- scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:

Luați în considerare un exemplu:

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).

Nici măcar nu puteți construi linia în sine. Aplicam formula:

Este important să prindeți corespondența la întocmirea raportului. Nu poți greși dacă scrii:

Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8

Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că o verificați - înlocuiți coordonatele datelor în ea în starea punctelor. Ar trebui să obțineți egalități corecte.

Asta e tot. Sper că materialul v-a fost de folos.

Cu stimă, Alexandru.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Lasă linia dreaptă să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), atunci coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa y. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a; 0) și axa Oy în punctul M 2 (0; b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuaţia unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică segmentele pe care linia dreaptă le decupează pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).

Luați un punct arbitrar M(x; y) pe linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n = (A; B) perpendicular pe dreapta se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membru liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei drepte(vezi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
sunt coordonatele punctului prin care trece linia și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor unui plan echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat pe un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date. Și , care se numesc focare, este o valoare constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox și a cărei origine este la mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semiaxei majore; b este lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

Linia care trece prin punctul K(x 0; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
Linia care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) si paralela cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentata prin ecuatie

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Exemplul #2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Găsiți punctele de intersecție ale dreptei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Înlocuiți în formula pentru suprafață: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplul #3. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul (-2; 5) și dreapta paralelă 5x-7y-4=0 .
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5/7 x – 4/7 (aici a = 5/7). Ecuația dreptei dorite este y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul #4. Rezolvând exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul numărul 5. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul (-2;5) și a unei drepte paralele 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa y).

Ecuația unei drepte care trece prin t.u A(ha; wah)și având o pantă k, este scris sub forma

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte T. A (x 1; y 1) etc. B (x 2; y 2), are forma

Dacă punctele AȘi ÎN definiți o linie dreaptă paralel cu axa Ox (y 1 \u003d y 2) sau axa y (x 1 = x 2), atunci ecuația unei astfel de drepte se scrie respectiv sub forma:

y = y 1 sau x = x 1(7)

Ecuația normală a unei linii drepte

Fie dată o dreaptă C care trece printr-un punct dat Mo(Xo; V0) și perpendiculară pe vectorul (A; B). Orice vector perpendicular pe o dreaptă dată se numește ei vector normal. Să alegem un punct arbitrar M pe linie (X y). Apoi, și de aici produsul lor scalar. Această egalitate poate fi scrisă în coordonate

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Ecuația (8) se numește ecuația normală a unei linii drepte .

Ecuații parametrice și canonice ale unei drepte

Lasă linia l dat de punctul de plecare M 0 (x 0; y 0)și vector de direcție ( a 1; a 2),. Lasă t. M(x; y)- orice punct de pe o linie l Atunci vectorul este coliniar cu vectorul. Prin urmare, = . Scriind această ecuație în coordonate, obținem ecuația parametrică a dreptei

Să excludem parametrul t din ecuația (9). Acest lucru este posibil deoarece vectorul și, prin urmare, cel puțin una dintre coordonatele sale este diferită de zero.

Fie și , atunci , și, prin urmare,

Ecuația (10) se numește ecuația canonică a dreptei cu vector ghid

\u003d (a 1; a 2). Dacă a 1 =0și , atunci ecuațiile (9) iau forma

Aceste ecuații definesc o linie dreaptă paralelă cu axa, OU si trecand prin punct

M0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Dacă , , atunci ecuațiile (9) iau forma

Aceste ecuații definesc o linie dreaptă paralelă cu axa O X si trecand prin punct

M0 (x 0; y 0). Ecuația canonică a unei astfel de drepte are forma

y=y 0(12)

Unghiul dintre linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a doi

direct

Să fie date două drepte date prin ecuații generale:

Și

Apoi unghiul φ între ele este determinată de formula:

(13)

Stare paralelă 2 linii drepte: (14)

Stare perpendiculară 2 linii drepte: (15)

Stare paralelăîn acest caz are forma: (17)

Stare perpendiculară drept: (18)

Dacă două drepte sunt date prin ecuații canonice:

Și

atunci unghiul φ dintre aceste drepte este determinat de formula:

(19)

Stare paralelă drept: (20)

Stare perpendiculară direct: (21)

Distanța de la punct la linie

Distanţă d din punct de vedere M (x 1; y 1) spre drept Ax+By+C=0 calculate prin formula

(22)

Exemplu de implementare munca practica

Exemplul 1 Construiți o linie 3 X- 2la+6=0.

Soluție: Pentru a construi o dreaptă, este suficient să cunoașteți oricare dintre punctele sale, de exemplu, punctele de intersecție cu axele de coordonate. Punctul A al intersecției dreptei cu axa Ox poate fi obținut dacă luăm y \u003d 0 în ecuația dreptei. Atunci avem 3 X+6=0, adică X=-2. Prin urmare, A(–2;0).

Apoi ÎN intersecția unei linii cu o axă OU are o abscisă X=0; de unde ordonata punctului ÎN se găsește din ecuația -2 y+ 6=0, adică y=3. Prin urmare, ÎN(0;3).

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte care taie pe semiplanul negativ OU un segment egal cu 2 unități, și se formează cu axa Oh unghi φ =30˚.

Rezolvare: linia traversează axa OU la punct ÎN(0;–2) și are o pantă k=tg φ= = . Presupunând în ecuația (2) k= și b= –2, obținem ecuația dorită

Sau .

Exemplul 3 A(–1; 2) și

ÎN(0;–3). (la mărturie: panta dreptei se găsește prin formula (3))

Soluţie: .De aici avem . Înlocuind coordonatele în această ecuație televizor, primim: , adică ordonata initiala b= -3 . Apoi obținem ecuația.

Exemplul 4 Ecuația generală a unei drepte 2 X – 3la– 6 = 0 duc la ecuația în segmente.

Rezolvare: scriem această ecuație sub forma 2 X– 3la=6 și împarte ambele părți la termenul liber: . Aceasta este ecuația acestei linii drepte în segmente.

Exemplul 5 Prin punct A(1;2) trageți o linie dreaptă tăind segmente egale pe semiaxele pozitive ale coordonatelor.

Rezolvare: Fie ecuația dreptei dorite să aibă forma Prin condiție A=b. Prin urmare, ecuația devine X+ la= A. Deoarece punctul A (1; 2) aparține acestei drepte, atunci coordonatele sale satisfac ecuația X + la= A; acestea. 1 + 2 = A, Unde A= 3. Deci, ecuația dorită se scrie după cum urmează: x + y = 3, sau x + y - 3 = 0.

Exemplul 6 Pentru dreptate scrieți ecuația în segmente. Calculați aria triunghiului format de această dreaptă și axele de coordonate.

Soluție: Să transformăm această ecuație după cum urmează: , sau .

Ca rezultat, obținem ecuația , care este ecuația dreptei date în segmente. Triunghiul format din linia dată și axele de coordonate este triunghi dreptunghic cu catete egale cu 4 și 3, deci aria sa este egală cu S= (unități pătrate)

Exemplul 7 Scrieți o ecuație a unei drepte care trece printr-un punct (–2; 5) și o generatrică cu o axă Oh unghi 45º.

Rezolvare: Panta dreptei dorite k= tg 45º = 1. Prin urmare, folosind ecuația (5), obținem y - 5 = X- (-2), sau x - y + 7 = 0.

Exemplul 8 Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte A(–3; 5) și ÎN( 7; –2).

Rezolvare: Să folosim ecuația (6):

, sau , de unde 7 X + 10la – 29 = 0.

Exemplul 9 Verificați dacă există puncte A(5; 2), ÎN(3; 1) și CU(–1; –1) pe o singură linie dreaptă.

Rezolvare: Compuneți ecuația unei drepte care trece prin puncte AȘi CU:

, sau

Înlocuind în această ecuație coordonatele punctului ÎN (xB= 3 și y B = 1), obținem (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), adică. obținem egalitatea corectă. Astfel, coordonatele punctului ÎN satisface ecuația dreptei ( AC), adică .

Exemplul 10: Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin t. A (2; -3).

Perpendiculară =(-1;5)

Rezolvare: Folosind formula (8), găsim ecuația acestei drepte -1(x-2)+5(y+3)=0,

sau in sfarsit, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Exemplul 11: Puncte acordate M 1(2;-1) și M 2(4; 5). Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 1 perpendicular pe vector Rezolvare: Vectorul normal al dreptei dorite are coordonatele (2; 6), prin urmare, conform formulei (8), se obtine ecuatia 2(x-2)+6(y+1)=0 sau x+3y +1=0.

Exemplul 12: Și .

Rezolvare: ; .

Exemplul 13:

Rezolvare: a) ;

Exemplul 14: Calculați unghiul dintre linii

Soluţie:

Exemplul 15: Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie:

Exemplul 16: găsiți unghiul dintre drepte și .

Soluție: .

Exemplul 17: aflați poziția relativă a liniilor:

Soluție: a ) - liniile sunt paralele;

b) înseamnă că dreptele sunt perpendiculare.

Exemplul 18: Calculați distanța de la punctul M(6; 8) la linia dreaptă

Soluție: conform formulei (22) obținem: .

Sarcini pentru o lecție practică:

Opțiunea 1

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 2x+3y-6=0 în ecuație în segmente și calculați aria triunghiului tăiată de această dreaptă din unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (-3;4), punctului B (-4;-3), punctului C (8;1). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculaţi panta dreptei care trece prin punctul M 0 (-2; 4) şi paralelă cu vectorul (6; -1);

4. Calculați unghiul dintre linii

4. Calculați unghiul dintre drepte:

a) 2x - 3y + 7 = 0 și 3x - y + 5 = 0; b) și y = 2x – 4;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și;

, dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (18; 8) și t. B (-2; -6).

Opțiunea 3

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 4x-5y+20=0 la ecuație în segmente și calculați aria triunghiului tăiată de această dreaptă din unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (3;-2), punctului B (7;3), punctelor

C(0;8). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculați panta dreptei care trece prin punctul M 0 (-1;-2) și

paralel cu vectorul (3;-5);

4. Calculați unghiul dintre linii

a) 3x + y - 7 = 0 și x - y + 4 = 0; grup;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și y = 5x + 3;

6. Calculați distanța de la mijlocul segmentului AB până la linia dreaptă , dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (4; -3) și t.B (-6; 5).

Opțiunea 4

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 12x-5y+60=0 la ecuație în segmente și calculați lungimea segmentului care este tăiat din această dreaptă prin unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (0;-2), punctului B (3;6), punctului C (1;-4). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculaţi panta dreptei care trece prin punctul M 0 (4;4) şi paralelă cu vectorul (-2;7);

4. Calculați unghiul dintre linii

a) x +4 y + 8 = 0 și 7x - 3y + 5 = 0; grup;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și;

6. Calculați distanța de la mijlocul segmentului AB până la linia dreaptă , dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (-4; 8) și t.B (0; 4).

Întrebări de control

1. Numiți ecuațiile unei drepte într-un plan când se cunosc punctul prin care trece și vectorul ei de direcție;

2. Ce fel de normal este, ecuație generală direct în avion;

3. Numiți ecuația unei drepte care trece prin două puncte, ecuația unei drepte în segmente, ecuația unei drepte cu pantă;

4. Enumerați formulele pentru calcularea unghiului dintre drepte date de ecuațiile pantei. Formulați condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

5. Cum să găsiți distanța de la un punct la o linie?