Ochiuri de noduri. Metoda nodurilor din problema B5 Pentru o plasă de noduri plane triple

Există o formulă minunată care vă permite să calculați zona poligonului pe grila de coordonate aproape fără erori. Nici măcar nu este o formulă, este reală. teorema. La prima vedere, poate părea complicat. Dar este suficient să rezolvi câteva probleme și vei înțelege cât de cool este această caracteristică. Așa că mergeți înainte!

Mai întâi, să introducem o nouă definiție:

Un nod de grilă este orice punct care se află la intersecția liniilor verticale și orizontale ale acelei grile.

Desemnare:

În prima poză nodurile nu sunt deloc marcate. Al doilea arată 4 noduri. În cele din urmă, a treia imagine arată toate cele 16 noduri.

Cum se leagă acest lucru cu sarcina B5? Faptul este că vârfurile poligonului în astfel de probleme Mereu se află la nodurile grilei. În consecință, următoarea teoremă funcționează pentru ei:

Teorema. Luați în considerare un poligon pe o rețea de coordonate, ale cărei vârfuri se află la nodurile acestei rețele. Atunci aria poligonului este:

unde n este numărul de noduri din interiorul unui poligon dat, k este numărul de noduri care se află pe marginea acestuia (noduri de frontieră).

Ca exemplu, luați în considerare un triunghi obișnuit pe o grilă de coordonate și încercați să marcați nodurile interne și de graniță.

Prima imagine arată un triunghi obișnuit. A doua imagine arată nodurile sale interne, al căror număr este n = 10. A treia imagine arată nodurile situate la graniță, sunt k = 6 în total.

Este posibil să fie neclar pentru mulți cititori cum să numere numerele n și k. Începeți cu nodurile interioare. Totul este evident aici: pictați triunghiul cu un creion și vedeți câte noduri sunt acoperite.

Nodurile de delimitare sunt puțin mai complicate. chenar poligon - polilinie închisă, care intersectează grila de coordonate în mai multe puncte. Cel mai simplu mod este să marcați un punct „de pornire” și apoi să ocoliți restul.

Nodurile de delimitare vor fi doar acele puncte de pe polilinie la care se intersectează simultan trei rânduri:

De fapt, este o linie întreruptă;
Linie de grilă orizontală;
Linie verticala.

Să vedem cum funcționează toate acestea în probleme reale.

Sarcină. Găsiți aria triunghiului dacă dimensiunea celulei este de 1 x 1 cm:

Mai întâi, să marchem nodurile care se află în interiorul triunghiului, precum și pe marginea acestuia:

Se dovedește că există un singur nod intern: n = 1. Există până la șase noduri de limită: trei coincid cu vârfuri de triunghi, și încă trei zac pe laterale. Total k = 6.

Acum calculăm aria folosind formula:

Asta e tot! Problema este rezolvată.

Sarcină. Găsiți aria unui patrulater reprezentat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm. Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Din nou, marcați nodurile interne și de graniță. Există doar n = 2 noduri interne K = 7 noduri limită, dintre care 4 sunt vârfurile unui patrulater, și încă 3 zac pe laterale.

Rămâne să înlocuiți numerele n și k în formula zonei:

Atenție la ultimul exemplu. Această sarcină a fost de fapt propusă în timpul lucrărilor de diagnosticare în 2012. Dacă lucrați conform schemei standard, va trebui să faceți o mulțime de construcții suplimentare. Și cu metoda nodurilor totul se rezolvă aproape verbal.

Notă importantă privind zonele

Dar formula nu este totul. Să rescriem puțin formula, adăugând termenii din partea dreaptă la un numitor comun. Primim:

Numerele n și k sunt numărul de noduri, ele sunt întotdeauna numere întregi. Aceasta înseamnă că întregul numărător este, de asemenea, un număr întreg. O împărțim la 2, ceea ce duce la un fapt important:

Zona este întotdeauna exprimată număr întreg sau fracție. Mai mult, la sfârșitul fracției există întotdeauna „cinci zecimi”: 10,5; 17.5 etc.

Astfel, aria din problema B5 este întotdeauna exprimată ca un întreg sau o fracțiune de forma ***,5. Dacă răspunsul este diferit, înseamnă că a fost o greșeală undeva. Amintiți-vă acest lucru când susțineți adevăratul examen de stat unificat la matematică!

Ușoare, ajurate, cu un model clar al nodului de plasă sunt numai atunci când sunt realizate din fir uniform și neted (fără scame): aceasta este fir de pescuit snur, fire de in, lână puternic răsucită. Prin reducerea sau creșterea distanței dintre noduri, ochiurile se împletesc în jurul obiectelor tridimensionale, repetându-și cu acuratețe forma. Dar cel mai adesea, textura monotonă, discretă a rețelei este folosită ca fundal pentru modelul principal.

Există anumite reguli pentru țesutul plaselor:

cu cât spațiile dintre firele atârnate pe bază sunt mai mari, cu atât plasa este mai deschisă;
numărul de fire atârnate pe urzeală trebuie să fie un multiplu al numărului de fire dintr-un nod;
firele înnodate și de lucru ale nodurilor țesute într-un model de șah sunt schimbate după fiecare rând, astfel încât să fie utilizate în mod egal;
numărul de rânduri se numără de la marginea laterală a grilei (de sus în jos) la nodurile extreme, ținând cont de faptul că nodurile rândurilor impare sunt situate chiar la margine, iar cele ale celor pare sunt mutate mai adânc;
numărul de fire suspendate depinde de motivul modelului (un motiv este un anumit număr de noduri repetate ritmic în model).

O plasă de noduri simple (Fig. 164, a).

Capetele firelor suspendate pentru țeserea plasei trebuie să fie de 2 ori mai lungi decât înălțimea produsului finit. Se poate lucra de la dreapta la stânga și de la stânga la dreapta.

Fixați 4 fire de 1 m lungime de bază la o distanță de 2-3 cm una de alta, pliându-le în jumătate (se obțin 8 fire).

Rândul 1 - trecând înapoi cu 1 cm de la bază, legați câte un nod simplu stânga pe fiecare pereche de fire (Fig. 164, b) și fixați-le la jumătate - obțineți 4 noduri (Fig. 164, c).

Al 2-lea rând - lăsați deoparte firul din stânga și pe următoarele 2 (1 fir fiecare din nodurile primului rând) legați un nod simplu stâng, coborând din primul rând cu 2-3 cm Apoi pe fiecare 2 fire următoare noduri, așezându-le la același nivel cu primul nod. Ultimul fir din dreapta este lăsat liber. S-au format 3 noduri, care sunt eșalonate în raport cu nodurile din primul rând.

Fixați, de asemenea, aceste noduri pe pernă.

Al 3-lea rand - se pune la lucru 1 fir exterior liber si 2-3 cm mai jos de al 2-lea rand, se leaga cate un nod simplu pe fiecare pereche de fire. S-au format 4 noduri (ca în primul rând).

Al 4-lea rând - țese ca al 2-lea, încercând să menținem distanțe egale între rânduri.

Figura 164, 165 și 166:

Pentru a preveni alunecarea plasei pe pernă, nu uitați să fixați nodurile cu ace - acest lucru va ajuta la evitarea înclinării rândurilor. Asigurați-vă că firele libere de la marginile ochiului au aceeași dimensiune în toate rândurile.

Ochiul poate fi țesut în cerc dacă legați capetele urzelii împreună. În acest caz, nu există fire libere, deoarece toate firele sunt implicate în țeserea fiecărui rând.

O plasă de noduri simple împletite (Fig. 165, a).

În acest model, 2 noduri simple sunt legate pe fiecare 2 fire, împletindu-le între ele: mai întâi, nodul simplu drept este legat (nu strâns) pe firul din stânga, apoi firul din dreapta este tras în bucla unui nod liber. (Fig. 165, b) și se leagă nodul simplu stâng, în timp ce se strânge simultan pe cel din dreapta. Ambele noduri ar trebui să se împletească simetric (Fig. 165, c) - o astfel de împletire se numește „nod de dragoste”.

O plasă de noduri de cravată (Fig. 166).

Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2. Lungimea acestora trebuie să fie de 2 ori înălțimea ochiului.

Plase de noduri armene.

Calculul pentru un set de fire este același ca în grila anterioară, dacă nodurile sunt legate pe 2 fire (Fig. 167, a). O altă versiune a modelului (Fig. 167, b): nodurile în rânduri impare se fac pe 3 fire, în rânduri pare - pe 2. Numărul de capete ale firelor de agățat din acest model trebuie împărțit la 3. Lungimea lor nu este la fel (Fig. 168): firele scurte au o înălțime egală a ochiurilor, cele lungi ar trebui să fie de 2 ori mai mari.

Schema 167-168:

Ochiuri de noduri bucle.

Ele pot fi ajurate sau mai dense în funcție de numărul de noduri din fiecare legătură: cu cât sunt mai puține noduri, cu atât plasa este mai densă.

Grilă de noduri drepte unice

(dens - Fig. 169). Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2, lungimea acestora ar trebui să fie de 2 ori înălțimea ochiului.

Schema 169-172:

Pentru o plasă de noduri triple unilaterale

(toate 3 drepte) - fig. 170, numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 4. Lungimea firelor impare trebuie să fie egală cu înălțimea ochiurilor, cele pare - de 2,5 ori mai lungă.

Plasă ajurata dintr-o combinație de noduri de buclă dreapta și stânga

(Fig. 171) sunt realizate din fire care sunt de 2,5 ori mai lungi decât înălțimea sa, numărul lor ar trebui să fie divizibil cu 2.

Plasă ajurata cu celule pătrate

(Fig. 172) sunt țesute din lanțuri de „șerpi”, fiecare dintre ele constând din 4-6 noduri bucle. „Șerpii” sunt legați în perechi cu un nod plat dublu. Numărul de capete ale firelor de agățare pentru plasă este un multiplu de 4, lungimea acestora ar trebui să fie de 3 ori înălțimea ochiului.

Ochiuri de noduri furtunoase.

Nodurile din ele sunt legate atât cu un fir simplu (Fig. 173, a), cât și cu un fir dublu (Fig. 173, b). Lungimea firelor agățate în aceste două ochiuri ar trebui să fie de 3 ori mai mare decât înălțimea ochiului. Numărul de capete pentru prima plasă ar trebui să fie divizibil cu 2, pentru a doua - cu 4.

Schema 173-176:

O tiv de plasă făcută din noduri (Fig. 174).

Este țesut prin alternarea nodurilor „fântătoare” din dreapta și din stânga: în rândurile impare, se leagă un nod stâng pe fiecare 2 fire, în rânduri pare, nodurile din dreapta se leagă pe aceleași înnodate, folosind fire de lucru din nodul opus celuilalt. rândul anterior. În acest caz, nodurile nu sunt aranjate într-un model de șah, ci în rânduri verticale, unul sub celălalt. Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2 plus 1 pentru simetrie, firele înnodate trebuie să fie egale cu lungimea ochiului, firele de lucru ar trebui să fie de 2,5 ori mai lungi.

Plase de noduri rep.

Sunt țesute folosind noduri repetate diagonale și verticale.

La țeserea unei plase cu celule mari (Fig. 175, a), se fac rânduri impare pe fiecare 2 fire, legându-le cu noduri diagonale de la stânga la dreapta (firul drept din mâna stângă este firul înnodat, firul stâng în mâna dreaptă este firul de lucru). În rândurile pare, funcțiile firelor se schimbă: firele înnodate ale rândului anterior devin cele de lucru. Nodurile se execută de la dreapta la stânga.

Dacă nodurile de plasă sunt plasate aproape unul de celălalt, atunci suprafața țesăturii se dovedește a fi fin bobbled (Fig. 175, b). Acest tip de plasă se numește tweed și bouclé. Numărul de capete ale firelor suspendate trebuie împărțit la 2, lungimea lor trebuie să fie de 4 ori mai mare decât înălțimea ochiului.

Țeserea unei plase cu celule triunghiulare din noduri repetate verticale

(Fig. 176) este similar cu țeserea unui căpăstru orizontal din noduri repetate verticale (vezi Fig. 38, c).

Capetele firelor suspendate trebuie să aibă aceeași lungime cu ochiul, numărul lor trebuie împărțit la 2. Înainte de lucru, toate firele sunt împărțite în 2 - acesta este înnodat, iar în primul rând, cu un fir suplimentar ca lucru. fir, câte un rep vertical este legat de fiecare pereche de fire nod (de la dreapta la stânga). În rândul următor, firele înnodate sunt redistribuite într-un model de șah și împletite în jurul fiecărei perechi de cele înnodate de la stânga la dreapta. Firul de lucru pentru țesut poate fi tăiat după cum este necesar.

Ochiuri de noduri plate.

Sunt foarte populare în țesut. Unele dintre ele seamănă cu dantelă, altele, foarte dense, vin cu împletire complicată de fire.

O plasă densă de noduri simple plate este țesută prin legarea nodurilor unul lângă celălalt. Plasa poate fi făcută mai rară și mai în relief (Fig. 177) dacă fiecare verigă este țesută din mai multe noduri (ar trebui să fie suficiente pentru ca warblerul să se întoarcă pe marginea sa).

Numărul de capete ale firelor suspendate pentru ambele ochiuri este un multiplu de 4. Lungimea capetelor pentru prima plasă ar trebui să fie de 3 ori, iar pentru a doua plasă de 5 ori înălțimea acesteia.

Schema 177-180:

O rețea de noduri duble plate - „tabletă de șah” (Fig. 178)

Are o textură mai clară dacă barele transversale ale tuturor nodurilor sunt situate pe o parte. Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 4. Lungimea acestora trebuie să fie de 4 ori mai mare decât înălțimea ochiului.

Structura nodului plat dublu vă permite să țeseți o plasă fără a atârna fire de urzeală. În schimb, se folosesc ace: firele sunt pliate în jumătate, fixate cu o buclă în sus de pernă și se leagă noduri duble plate pe fiecare 4 dintre ele (Fig. 179).

Această tehnică este folosită atunci când se împletesc haine, șaluri, de ex. când este nevoie de o margine elastică.

Pentru țeserea unei ochiuri de noduri duble plate pereche pe 6 fire

(Fig. 180) capetele firelor suspendate trebuie să fie de 3 ori mai lungi decât înălțimea ochiului, iar numărul lor trebuie împărțit la 6. Mai întâi, legați un nod plat dublu pe cele 4 fire din mijloc (2, 3, 4). și al 5-lea) și trageți pe cele de lucru pe firele laterale (al 2-lea și al 5-lea), apoi legați al 2-lea nod pe aceleași fire înnodate (al treilea și al 4-lea) cu fire libere (al 1-lea și al 6-lea). Începând și terminând următorul rând, primele și ultimele 3 fire sunt trase în lateral, firele din mijloc sunt redistribuite în șase.

Folosind același principiu, o plasă este țesută din noduri duble plate conectate în grupuri de 3 (Fig. 181). Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 8, lungimea lor trebuie să fie de 2-3 ori înălțimea ochiului.

Plasă de șenile ajurate (Fig. 182) se realizează pe același număr de fire ca și precedenta, dar firele se redistribuie după ce se leagă 2 grupe de 3 noduri pe aceleași înnodate cu un spațiu de 0,5 cm între grupuri.

Schema 181-184:

Într-o plasă de noduri duble plate - "polyanka"

(Fig. 183) - nodurile nu sunt plasate într-un model de șah, ci unul sub celălalt. Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 4, lungimea acestora trebuie să fie de 3 ori înălțimea ochiului.

tiv-plasă

(Fig. 184) se realizează prin încrucișarea firelor de lucru în fiecare rând. Lungimea firelor de lucru este de 4-6 ori mai mare decât a firelor de nod, lungimea firelor de nod este egală cu înălțimea ochiului. Numărul de capete ale firelor atârnate pe urzeală ar trebui să fie divizibil cu 4. Asigurați-vă că țesutura firelor de lucru este aceeași peste tot: dreapta peste stânga.

Pentru o plasă cu celule mari de noduri duble plate

(Fig. 185) numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 6 plus 4 fire pentru simetria modelului, lungimea firelor înnodate (2, 3, 5 și 6) trebuie să fie egală cu înălțimea de plasa, firele de lucru (1 si 4) in 2 ori mai lungi.

Schema 185-188

Pentru o plasă de noduri triple plate

(Fig. 186) numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 4, lungimea acestora trebuie să fie de 4 ori mai mare decât înălțimea ochiului.

Pentru o plasă de noduri complexe plate

(Fig. 187) numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 6, lungimea acestora trebuie să fie de 4 ori mai mare decât înălțimea ochiului.

Pentru o plasă cu lunetă

(Fig. 188) numărul de capete ale firelor suspendate trebuie împărțit la 4, lungimea acestora trebuie să fie de 3,5-4 ori înălțimea ochiului. „Musca” este țesută din 4 fire (al 1-a și al 4-lea sunt fire de lucru, al 2-lea și al 3-lea sunt înnodate): mai întâi legați un nod plat stânga, apoi legați un nod simplu drept cu 2 noduri (Fig. 189, a). ) și sub ele - un nod plat dublu cu o bară transversală stângă (Fig. 189, b). Dacă „muștele” sunt făcute pe fire groase, atunci în loc de un nod plat dublu, se leagă un nod plat drept unic (Fig. 189, c).

Schema 189-191

O plasă de noduri chinezești (Fig. 190).

Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2, lungimea lor ar trebui să fie de 3 ori înălțimea ochiului (pentru tehnica de a lega un nod, vezi Fig. 139, a, b). Dacă atârnați fire, alternându-le după culoare, atunci rândurile impare ale plasei vor fi făcute din noduri bicolore, iar rândurile pare vor fi monocromatice (Fig. 191).

O plasă de noduri Josephine (Fig. 192).

Este mai bine să-l faci din mănunchiuri de fire sau fire simple, dar groase. Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2, lungimea acestora ar trebui să fie de 4 ori înălțimea ochiului.

Schema 192-193:

Plasă din împletituri (Fig. 193).

Este destul de complex în execuție, deoarece la țesut este dificil să se mențină distanțe egale între împletituri. Numărul de capete ale firelor suspendate este un multiplu de 2, lungimea acestora trebuie să fie de 4-5 ori înălțimea ochiului.

Fragmente geometrice de ochiuri.

Ritmul nodurilor grilei este ușor de rearanjat în forme geometrice: hexagoane (Fig. 194, a), triunghiuri (Fig. 194, b), romburi (Fig. 194, c).

Tehnica de a le țese este foarte simplă. De exemplu, dacă țeseți un triunghi, atunci la începutul și la sfârșitul fiecărui rând nou nu tricotați 2 fire exterioare, iar apoi va fi cu 1 nod mai puțin în rând decât în cel anterior. Se țes astfel până când rămâne doar 1 nod. Pentru a țese un triunghi, indicați distribuția nodurilor în rânduri folosind numere, de exemplu 3, 2, 1. Dacă faceți un romb, atunci începeți cu 1 nod: legați 1 nod plat dublu pe cele 4 fire din mijloc, distribuiți 2 fire. sub ea și, adăugând încă 2 libere de la margini, legați 2 noduri duble plate sub primul nod într-un model de șah. În rândurile următoare se mai adaugă

2 fire pe stânga și dreapta, iar ca rezultat materialul se extinde după fiecare rând cu 1 nod. După ce ați terminat jumătatea superioară a diamantului, țeseți jumătatea inferioară. Numărul de noduri în rânduri: 1.2, 3.2, 1.

Un exemplu de altă distribuție a nodurilor în rândurile 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - conform acestei relatări, diamantele sunt țesute din armeană (Fig. 195, a), rep diagonală (Fig. 195, b) și noduri Pioneer (Fig. 195, c) și din lanțuri plate (Fig. 195, d).

Schema 194 - 195

Nodurile grilei sunt dispuse armonios pe orizontală

(Fig. 196, a) și linii verticale (Fig. 196, b) în zig-zag. Este mai convenabil să țeseți unul orizontal cu colțuri separate și apoi să le conectați cu un nod folosind firele fragmentelor adiacente. Colțurile sunt țesute astfel: mai întâi legați nodul central de sus, apoi împărțiți firele de sub el în mod egal (de exemplu, 2 fiecare) și direcționați 2 la stânga, 2 la dreapta. Sub primul nod din stânga se leagă un nou nod, folosind 2 fire stângi de la primul nod și 2 libere în stânga. Nodul din dreapta este legat în același mod. Apoi, mai țeseți 1 nod pe dreapta și pe stânga, folosind 2 fire libere și 2 fire din nodul anterior. Așa se țese în diagonală la dimensiunea dorită a unghiului cu vârful în vârf. Prin legarea a 2 colțuri cu vârfuri îndreptate în direcții opuse se obține un romb, al cărui mijloc este umplut cu fire libere (Fig. 197, a). Un hexagon este țesut folosind același principiu (Fig. 197, b).

Schema 196-199

O linie diagonală mai densă de noduri

(Fig. 198) se obtine daca pentru fiecare nod nou folosesti 3 fire din nodul anterior (1 nod, 2 de lucru) si 1 liber.

O tehnică de conectare a unei plase cu fragmente de alte modele.

O țesătură de plasă monotonă este folosită pentru a crea noi modele. Pe grile, diverse fragmente țesute apar mai proeminente, convexe și expresive. Cum se împletesc combinațiile de lanțuri, noduri și alte elemente într-o plasă? Familiarizați-vă cu aceste tehnici folosind exemplul unei rețele de „tabletă de șah” în mijloc cu un nod dublu plat obișnuit (Fig. 199, a).

Mai întâi, desenați o schiță a noului model și determinați dimensiunea și locația nodului. De regulă, este înscris într-un romb de fire de lucru libere (Fig. 199, b). Plasa este țesută până la vârful rombului, apoi nu se leagă noduri acolo unde este destinat rombului: mai întâi 1 nod (vârful rombului), în rândul următor încă 2 în model de șah, apoi 3 noduri și așa mai departe până când se obţine lăţimea dorită a rombului. După aceasta, se leagă un nod comun. Cu cât rămân mai multe fire pentru nod, cu atât este mai spectaculos (la legare, nu-l înclinați: centrul nodului trebuie să coincidă cu centrul diamantului). Îndreptați firele sub nod și țeseți jumătatea inferioară a diamantului, incluzând treptat cele 2 fire cele mai exterioare din nodul comun.