C 14 este rădăcina pătrată aritmetică. Formule de rădăcină

Faptul 1.
\(\bullet\) Să luăm un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\) , la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă existenţă rădăcină pătratăși ar trebui să fie amintite!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Cu ce ​​este egal cu \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, atunci \(-5\) nu este potrivit, prin urmare, \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii lui \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie radicală.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiei \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide va fi util să înveți tabelul cu pătrate numere naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce operații poți face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Sumă sau diferență rădăcini pătrate NU EGAL cu rădăcina pătrată a sumei sau a diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\ sqrt(49)\ ) și apoi pliați-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu se transformă în continuare și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi transformat în oricum, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Din păcate, această expresie nu poate fi simplificată în continuare\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numere mari
prin factorizarea acestora.
Să ne uităm la un exemplu. Să găsim \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\), adică \(441=9\ cdot 49\) . Astfel am obtinut:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ \(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (notație scurtă pentru expresia \(5\cdot \sqrt2\)). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci
De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este așa? Să explicăm folosind exemplul 1). După cum înțelegeți deja, nu putem transforma cumva numărul \(\sqrt2\). Să ne imaginăm că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\)). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .
Faptul 4.
\(\bullet\) Adesea spun „nu poți extrage rădăcina” când nu poți scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) când găsești valoarea unui număr . De exemplu, puteți lua rădăcina numărului \(16\) deoarece \(16=4^2\) , prin urmare \(\sqrt(16)=4\) . Dar este imposibil să extragi rădăcina numărului \(3\), adică să găsești \(\sqrt3\), deoarece nu există un număr care la pătrat să dea \(3\) . Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele\(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\)), \(e\) (acest număr se numește număr Euler, este aproximativ egal cu \(2,7). \)) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toată lumea este rațională și totul numere iraționale formează o mulțime numită un set de numere reale. Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) de pe linie reală. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) . Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Ei spun că pentru numerele negative modulul „mâncă” minusul, în timp ce numerele pozitive, precum și numărul \(0\), sunt lăsate neschimbate de modul. DAR Această regulă se aplică numai numerelor. Dacă sub semnul modulului există o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută), de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, zero sau negativ, atunci scăpați a modulului nu putem. În acest caz, această expresie rămâne aceeași: \(|x|\) .\(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Foarte des se face următoarea greșeală: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt unul și același. Acest lucru este adevărat numai dacă \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acesta este fals. Este suficient să luăm în considerare acest exemplu. Să luăm în loc de \(a\) numărul \(-1\) . Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (la urma urmei, este imposibil de folosit semnul rădăcină pune numere negative!). Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , pentru că \(-\sqrt2
Adică, atunci când luăm rădăcina unui număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că dacă modulul nu este furnizat, se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25\ ) ; dar ne amintim că, prin definiția unei rădăcini, acest lucru nu se poate întâmpla: atunci când extragem o rădăcină, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Pentru rădăcinile pătrate este adevărat: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . Mai întâi, să transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între ce numere întregi se află \(\sqrt(50)\)?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Să comparăm \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((la pătratul ambelor părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost incorectă și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acesteia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Puteți pătra ambele părți ale unei ecuații/inegalități NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Trebuie amintit că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele!
\(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă poate fi extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” se află, apoi – între care „ zeci”, apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează acest lucru cu un exemplu.
Acum să stabilim între ce „zeci” se află numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\)). Tot din tabelul pătratelor știm că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră, la pătrat, dau \(4\) la sfârșit? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Să găsim \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru a rezolva în mod adecvat Examenul de stat unificat la matematică, trebuie mai întâi să studiezi material teoretic, care să te introducă în numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul de stat unificat la matematică să fie prezentată într-un mod ușor și ușor de înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este de fapt o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Și găsirea formulelor de bază pentru examenul de stat unificat la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria în matematică nu numai pentru cei care susțin examenul de stat unificat?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studierea materialelor teoretice la matematică este utilă pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii din jurul lor. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă inteligența. Prin studierea materialelor de referință pentru examenul de stat unificat la matematică, precum și prin rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile în mod competent și clar. El dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza și trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare - există și scădere. Există înmulțire - există și împărțire. Există pătrare... Așa că există și luând rădăcina pătrată! Asta este. Această acțiune ( rădăcină pătrată) la matematică este indicată de această pictogramă:

Icoana în sine este numită un cuvânt frumos " radical".

Cum se extrage rădăcina? E mai bine să te uiți exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Aceste:

Dar care este rădăcina pătrată a lui zero? Nicio întrebare! Ce număr la pătrat face zero? Da, dă zero! Mijloace:

Am înţeles, ce este radacina patrata? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; 1; 4; 9; 5.

Hotărât? Într-adevăr, cât de ușor este asta?!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să se simtă tristă... Nu crede în simplitatea și lejeritatea rădăcinilor sale. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că persoana a ignorat câteva puncte importante atunci când a studiat rădăcinile. Atunci aceste mofturi se răzbune crunt pe teste și examene...

Punctul unu. Trebuie să recunoști rădăcinile din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Corect! De unde ai știut că era șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Corect! Vă rugăm să rețineți că extrage rădăcina din 49 trebuia sa facem operatiunea inversa - careul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar fi putut rata...

Aceasta este dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrat Puteți folosi orice număr fără probleme. Înmulțiți un număr cu el însuși cu o coloană - asta-i tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor Nu există o astfel de tehnologie simplă și sigură. Trebuie să ne ridica răspundeți și verificați dacă este corect, punându-l la pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs amintește-ți pătratele numerelor populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6, nu adunați de patru de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul 24 apare imediat Deși, nu toată lumea îl înțelege, da...

Pentru a lucra liber și cu succes cu rădăcinile, este suficient să cunoașteți pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult AcoloŞi spate. Aceste. ar trebui să puteți recita cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acesta va fi de mare ajutor în rezolvarea exemplelor. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Acest lucru vă va ajuta foarte mult să vă amintiți tabelul cu pătrate.

Și fără calculatoare! Numai în scopuri de testare. Altfel, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Aşa, ce este rădăcina pătrată si cum extrage rădăcinile- Cred că e clar. Acum haideți să aflăm DIN CE le putem extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape oricare dintre ele. Este mai ușor de înțeles de la ce este este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să alegem un număr care pătratul ne va da -4. Selectăm.

Ce, nu se potrivește? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Deși știu aceste numere. Dar nu vă spun). Du-te la facultate și vei afla singur.

Aceeași poveste se va întâmpla cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care există un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. Este la fel de interzis ca împărțirea la zero. Amintiți-vă cu fermitate acest fapt! Sau cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar dintre toate celelalte, este posibil. De exemplu, este foarte posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Selectarea fracțiilor și pătrarea lor... Nu vă faceți griji. Când înțelegem proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple vor fi reduse la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine, fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Totul este la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne dă doi. Doar acest număr este complet neuniform... Iată-l:

Ceea ce este interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere sunt numite iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați un exemplu, ajungeți cu ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lasam asa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce înseamnă pictogramele

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului netezi, trebuie să faci asta. Răspunsul la sarcină este sub formă, de exemplu

Un răspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în lucrul cu rădăcini este cauzată de acest punct. El este cel care dă încredere în propriile abilități... Să ne ocupăm de acest punct cum trebuie!

Mai întâi, să luăm din nou rădăcina pătrată a patru dintre ele. V-am deranjat deja cu această rădăcină?) Nu contează, acum va fi interesant!

Ce număr înseamnă 4 pătrat? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Corect. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

greseala grosolana. Ca aceasta.

Deci care e problema?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlii de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate sunt pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din mijloc O- Asta nenegativ număr al cărui pătrat este O. Rezultatele negative la extragerea unei rădăcini pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, totul este rădăcină pătrată - aritmetică. Deși acest lucru nu este menționat în mod deosebit.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te deranjezi cu rezultate negative... Aceasta nu este încă o confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (absolut corect, de altfel) este doar o versiune prescurtată două raspunsuri:

Oprește-te, oprește-te! Chiar mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr Întotdeauna nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Am separat-o doar cu paranteze semne din rădăcină. Acum puteți vedea clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație trebuie să scriem Toate X care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) cu atât un plus, cât și un minus se încadrează în ecuația noastră.

Ca aceasta. Dacă tu luați doar rădăcina pătrată din orice, tu Întotdeauna primesti unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru că este - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă rezolvați o ecuație pătratică, cum ar fi:

Că Întotdeauna se dovedește două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că aceasta este soluția ecuației.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată Ai punctele clare. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt punctele și capcanele... scuze, pietre!)

Toate acestea sunt în următoarele lecții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Matematica a apărut atunci când omul a devenit conștient de sine și a început să se poziționeze ca unitate autonomă a lumii. Dorința de a măsura, compara, număra ceea ce te înconjoară este ceea ce stă la baza uneia dintre științele fundamentale ale zilelor noastre. La început, acestea au fost particule de matematică elementară, care au făcut posibilă conectarea numerelor cu expresiile lor fizice, ulterior concluziile au început să fie prezentate doar teoretic (datorită abstracției lor), dar după un timp, așa cum a spus un om de știință, „ matematica a atins plafonul complexității când au dispărut toate numerele.” Conceptul de „rădăcină pătrată” a apărut într-un moment în care putea fi susținut cu ușurință de date empirice, trecând dincolo de planul calculelor.

Unde a început totul

Prima mențiune a rădăcinii, care este în prezent desemnată ca √, a fost înregistrată în lucrările matematicienilor babilonieni, care au pus bazele aritmeticii moderne. Desigur, semănau puțin cu forma actuală - oamenii de știință din acei ani au folosit pentru prima dată tablete voluminoase. Dar în mileniul II î.Hr. e. Ei au derivat o formulă de calcul aproximativă care a arătat cum se extrage rădăcina pătrată. Fotografia de mai jos arată o piatră pe care oamenii de știință babilonien au sculptat procesul de deducere a √2 și s-a dovedit a fi atât de corectă, încât discrepanța în răspuns a fost găsită doar în a zecea zecimală.

În plus, rădăcina era folosită dacă era necesar să se găsească o latură a unui triunghi, cu condiția ca celelalte două să fie cunoscute. Ei bine, atunci când rezolvați ecuații pătratice, nu există nicio scăpare de a extrage rădăcina.

Alături de lucrările babiloniene, obiectul articolului a fost studiat și în lucrarea chineză „Matematica în nouă cărți”, iar grecii antici au ajuns la concluzia că orice număr din care nu poate fi extrasă rădăcina fără un rest dă un rezultat irațional. .

Originea acestui termen este asociată cu reprezentarea arabă a numărului: oamenii de știință antici credeau că pătratul unui număr arbitrar crește dintr-o rădăcină, ca o plantă. În latină, acest cuvânt sună ca radix (puteți urmări un model - tot ceea ce are un sens „rădăcină” este consoană, fie că este vorba de ridiche sau radiculită).

Oamenii de știință din generațiile următoare au preluat această idee, desemnând-o drept Rx. De exemplu, în secolul al XV-lea, pentru a indica că a fost luată rădăcina pătrată a unui număr arbitrar a, au scris R 2 a. „Căpușa”, familiară ochilor moderni, a apărut abia în secolul al XVII-lea datorită lui Rene Descartes.

Zilele noastre

În termeni matematici, rădăcina pătrată a unui număr y este numărul z al cărui pătrat este egal cu y. Cu alte cuvinte, z 2 =y este echivalent cu √y=z. Cu toate acestea, această definiție este relevantă numai pentru rădăcina aritmetică, deoarece implică o valoare nenegativă a expresiei. Cu alte cuvinte, √y=z, unde z este mai mare sau egal cu 0.

În general, ceea ce se aplică la determinarea unei rădăcini algebrice, valoarea expresiei poate fi fie pozitivă, fie negativă. Astfel, datorită faptului că z 2 =y și (-z) 2 =y, avem: √y=±z sau √y=|z|.

Datorită faptului că dragostea pentru matematică a crescut doar odată cu dezvoltarea științei, există diverse manifestări de afecțiune pentru aceasta, care nu sunt exprimate în calcule seci. De exemplu, alături de fenomene atât de interesante precum Ziua Pi, sunt sărbătorite și sărbătorile rădăcinii pătrate. Ele sunt sărbătorite de nouă ori la fiecare sută de ani și sunt determinate după următorul principiu: numerele care desemnează ziua și luna în ordine trebuie să fie rădăcina pătrată a anului. Deci, data viitoare când vom sărbători această sărbătoare este 4 aprilie 2016.

Proprietățile rădăcinii pătrate pe câmpul R

Aproape toate expresiile matematice au o bază geometrică, iar √y, care este definită ca latura unui pătrat cu aria y, nu a scăpat de această soartă.

Cum să găsești rădăcina unui număr?

Există mai mulți algoritmi de calcul. Cel mai simplu, dar în același timp destul de greoi, este calculul aritmetic obișnuit, care este după cum urmează:

1) din numărul a cărui rădăcină avem nevoie, numerele impare se scad pe rând - până când restul de la ieșire este mai mic decât cel scăzut sau chiar egal cu zero. Numărul de mișcări va deveni în cele din urmă numărul dorit. De exemplu, calculând rădăcina pătrată a lui 25:

Următorul număr impar este 11, restul este: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pentru astfel de cazuri există o extindere a seriei Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , unde n ia valori de la 0 la

+∞ și |y|≤1.

Reprezentarea grafică a funcției z=√y

Se consideră funcția elementară z=√y pe câmpul numerelor reale R, unde y este mai mare sau egal cu zero. Programul său arată astfel:

Curba crește de la origine și în mod necesar intersectează punctul (1; 1).

Proprietățile funcției z=√y pe câmpul numerelor reale R

1. Domeniul de definire al funcției luate în considerare este intervalul de la zero la plus infinit (zero este inclus).

2. Gama de valori ale funcției luate în considerare este intervalul de la zero la plus infinit (zero este din nou inclus).

3. Funcția își ia valoarea minimă (0) numai în punctul (0; 0). Nu există o valoare maximă.

4. Funcția z=√y nu este nici pară, nici impară.

5. Funcția z=√y nu este periodică.

6. Există un singur punct de intersecție a graficului funcției z=√y cu axele de coordonate: (0; 0).

7. Punctul de intersecție al graficului funcției z=√y este și zero al acestei funcții.

8. Funcția z=√y este în continuă creștere.

9. Funcția z=√y ia doar valori pozitive, prin urmare, graficul său ocupă primul unghi de coordonate.

Opțiuni pentru afișarea funcției z=√y

În matematică, pentru a facilita calculul expresiilor complexe, se folosește uneori forma de putere a scrierii rădăcinii pătrate: √y=y 1/2. Această opțiune este convenabilă, de exemplu, pentru ridicarea unei funcții la o putere: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Această metodă este, de asemenea, o reprezentare bună pentru diferențierea cu integrare, deoarece datorită ei rădăcina pătrată este reprezentată ca o funcție de putere obișnuită.

Și în programare, înlocuirea simbolului √ este combinația de litere sqrt.

Este de remarcat faptul că în această zonă rădăcina pătrată este la mare căutare, deoarece face parte din majoritatea formulelor geometrice necesare calculelor. Algoritmul de numărare în sine este destul de complex și se bazează pe recursivitate (o funcție care se numește singură).

Rădăcină pătrată în câmpul complex C

În general, subiectul acestui articol a stimulat descoperirea domeniului numerelor complexe C, deoarece matematicienii erau bântuiți de problema obținerii unei rădăcini uniforme a unui număr negativ. Așa a apărut unitatea imaginară i, care se caracterizează printr-o proprietate foarte interesantă: pătratul său este -1. Datorită acestui fapt, ecuațiile pătratice au fost rezolvate chiar și cu un discriminant negativ. În C, aceleași proprietăți sunt relevante pentru rădăcina pătrată ca și în R, singurul lucru este că restricțiile privind expresia radicalului sunt eliminate.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la examenul de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acţiune rădăcină pătrată inversă acțiunii de pătrare.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luați rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obțineți același număr.

Din numere mici care sunt pătrate exacte ale numerelor naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rădăcinile pătrate pot fi extrase oral. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcini pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400 le poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm să privim această metodă cu un exemplu.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 = 400 și 30 2 = 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2.
Aceasta înseamnă că, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 = 6400 și 90 2 = 8100, atunci 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este egal fie cu 83, fie cu 87.

Să verificăm: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vă este dificil de rezolvat folosind metoda de selecție, puteți factoriza expresia radicală.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizez numărul 893025, amintiți-vă, ați făcut asta în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factorizarea necesită cunoașterea semnelor de divizibilitate și abilități de factorizare.

Și, în sfârșit, există regulă pentru extragerea rădăcinilor pătrate. Să ne familiarizăm cu această regulă cu exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin 2 cifre (marginea din stânga poate conține o cifră). O scriem astfel: 27’98’41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), luăm rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat perfect conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) se adaugă la diferență (scăzută).
În stânga numărului rezultat 298, scrieți cifra dublă a rădăcinii (10), împărțiți la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), testați câtul (102 ∙ 2 = 204). nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298 și la diferența (94) se adaugă latura următoare (41).
În stânga numărului rezultat 9441, scrieți produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙2 = 104), împărțiți numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9) la acest produs, testați câtul (1049 ∙9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și notează-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

Extrageți în mod similar rădăcinile fracțiilor zecimale. Numai numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Nu uitați că, dacă o fracție zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu poate fi luată din ea.

Deci acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom proceda secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de acolo vom trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii a n-a. În același timp, vom introduce definiții, notații, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr și, în special, a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Să începem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiţie

Rădăcina pătrată a lui a este un număr al cărui pătrat este egal cu a.

A conduce exemple de rădăcini pătrate, luăm mai multe numere, de exemplu, 5, −0.3, 0.3, 0 și le pătratăm, obținem numerele 25, 0.09, 0.09 și respectiv 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3.0,3=0,09 şi 02 =0,0=0). Apoi, după definiția dată mai sus, numărul 5 este rădăcina pătrată a numărului 25, numerele −0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate ale lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat că nu pentru niciun număr a există un al cărui pătrat este egal cu a. Și anume, pentru orice număr negativ a nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. De fapt, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b. Astfel, nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ în mulțimea numerelor reale. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Răspunsul este da. Acest fapt poate fi justificat prin metoda constructivă folosită pentru a afla valoarea rădăcinii pătrate.

Apoi apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate ale numărului a este două, iar rădăcinile sunt . Să justificăm asta.

Să începem cu cazul a=0 . Mai întâi, să arătăm că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Am spus mai sus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie rădăcina pătrată a lui a numărul b. Să presupunem că există un număr c, care este și rădăcina pătrată a lui a. Atunci, prin definiția unei rădăcini pătrate, sunt adevărate egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , atunci (b−c)·(b+c)=0 . Egalitatea rezultată este valabilă proprietăţile operaţiilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel, numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, este introdus Definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiţie

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a.

Notația pentru rădăcina pătrată aritmetică a lui a este . Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radical. Prin urmare, uneori puteți auzi atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește număr radical, iar expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație numărul 151 este un număr radical, iar în notație expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcina pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă”. Cuvântul „aritmetică” este folosit doar atunci când doresc să sublinieze că vorbim în mod specific despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția unei rădăcini pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atasa semnificatie notatiei pana nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate sunt dovedite proprietățile rădăcinii pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

În concluzia acestui punct, observăm că rădăcinile pătrate ale numărului a sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x.

Rădăcina cubă a unui număr

Definiția cube root al numărului a este dat în mod similar definiției rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiţie

Rădăcina cubă a lui a este un număr al cărui cub este egal cu a.

Să dăm exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7, 0, −2/3 și cubează-le: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Apoi, pe baza definiției unei rădăcini cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a unui număr, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna, nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcinile pătrate.

Mai mult, există doar o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că, dacă a este pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici un număr negativ, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a, atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a. Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b există o altă rădăcină cubă a numărului a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0, dar b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b·c+c 2 =0. Din prima egalitate avem b=c, iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2, b·c și c 2. Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Când a=0, rădăcina cubă a numărului a este doar numărul zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b, care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil doar când b=0.

Pentru negativ a, pot fi date argumente similare cu cazul pentru pozitiv a. În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și una unică.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiţie

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicele de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este număr radical, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubă aritmetică este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze notații în care numerele negative se găsesc sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că rădăcina cubă a numărului a este o soluție de forma x 3 =a.

a n-a rădăcină, rădăcină aritmetică de gradul n

Să generalizăm conceptul de rădăcină a unui număr - introducem definiția rădăcinii a n-a pentru n.

Definiţie

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina de gradul întâi a numărului a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu exponent natural am luat a 1 =a.

Mai sus ne-am uitat la cazuri speciale ale rădăcinii a n-a pentru n=2 și n=3 - rădăcină pătrată și rădăcină cubă. Adică, o rădăcină pătrată este o rădăcină de gradul doi, iar o rădăcină cubă este o rădăcină de gradul trei. Pentru a studia rădăcinile de gradul al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcini de grade pare (adică pentru n = 4, 6, 8 , ...), al doilea grup - rădăcini grade impare (adică cu n=5, 7, 9, ...). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile puterilor pare sunt similare cu rădăcinile pătrate, iar rădăcinile puterilor impare sunt similare cu rădăcinile cubice. Să ne ocupăm de ele unul câte unul.

Să începem cu rădăcinile ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par al numărului a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par ale numărului a și sunt numere opuse.

Să argumentăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină pare (o notăm ca 2·m, unde m este un număr natural) a numărului a. Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de gradul 2·m din numărul a. Atunci b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Dar știm forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0, sau b+c=0, sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Iar ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece pe partea stângă există o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar al numărului a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea unei rădăcini de grad impar 2·m+1 a numărului a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice a lui a. Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) se foloseşte o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, cu m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c din cele mai înalte paranteze imbricate este pozitivă ca sumă a numerelor pozitive. Acum, trecând secvențial la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de cuibărit, suntem convinși că acestea sunt și pozitive ca sumă a numerelor pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 este posibilă numai când b−c=0, adică când numărul b este egal cu numărul c.

Este timpul să înțelegem notația rădăcinilor a n-a. În acest scop este dat definiția rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea.

Definiţie

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a este un număr nenegativ a cărui putere a n-a este egală cu a.