Rezolvarea problemelor legate de aruncarea zarurilor. Probabilitatea zarurilor

Sarcini pentru probabilitatea zarurilor nu mai puțin populare decât problemele de aruncare a monedelor. Condiția unei astfel de probleme sună de obicei astfel: atunci când aruncați unul sau mai multe zaruri (2 sau 3), care este probabilitatea ca suma punctelor să fie 10 sau numărul de puncte să fie 4 sau produsul numărul de puncte, sau divizibil cu 2 produsul dintre numărul de puncte și etc.

Aplicarea formulei clasice de probabilitate este principala metodă de rezolvare a problemelor de acest tip.

Un moar, probabilitate.

Este destul de simplu să te ocupi de unul zaruri. este determinată de formula: P=m/n, unde m este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment și n este numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experimentului cu aruncarea unui zar sau a unui zar.

Problema 1. Un zar este aruncat o dată. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?

Deoarece zarul este un cub (sau se mai numește și zar obișnuit, cubul va cădea pe toate fețele cu aceeași probabilitate, deoarece este echilibrat), zarul are 6 fețe (numărul de puncte de la 1 la 6, care sunt de obicei indicate prin puncte), ceea ce înseamnă că în sarcină numărul total de rezultate: n=6. Evenimentul este favorizat doar de rezultatele în care o față cu punctele pare 2,4 și 6 cade, pentru un cub de astfel de fețe: m=3. Acum putem determina probabilitatea dorită a unui zar: P=3/6=1/2=0,5.

Sarcina 2. Un zar este aruncat o dată. Care este probabilitatea de a obține cel puțin 5 puncte?

O astfel de problemă este rezolvată prin analogie cu exemplul indicat mai sus. La aruncarea unui zar, numărul total de rezultate la fel de posibile este: n=6 și satisface condiția problemei (au căzut cel puțin 5 puncte, adică au căzut 5 sau 6 puncte) doar 2 rezultate, ceea ce înseamnă m =2. În continuare, găsim probabilitatea dorită: P=2/6=1/3=0,333.

Două zaruri, probabilitate.

Când rezolvați probleme cu aruncarea a 2 zaruri, este foarte convenabil să utilizați un tabel special de scor. Pe ea, numărul de puncte care au căzut pe primul zar este reprezentat orizontal, iar numărul de puncte care au căzut pe al doilea zar este reprezentat vertical. Piesa de prelucrat arată astfel:

Dar apare întrebarea, ce va fi în celulele goale ale tabelului? Depinde de sarcina de rezolvat. Dacă într-o sarcină vorbim despre suma punctelor, atunci suma este înregistrată acolo, iar dacă despre diferență, atunci se înregistrează diferența și așa mai departe.

Problema 3. Se aruncă 2 zaruri în același timp. Care este probabilitatea de a obține o sumă mai mică de 5 puncte?

Mai întâi trebuie să vă dați seama care va fi numărul total de rezultate ale experimentului. Totul era evident atunci când aruncați un zar 6 fețe ale zarului - 6 rezultate ale experimentului. Dar când există deja două zaruri, atunci rezultatele posibile pot fi reprezentate ca perechi ordonate de numere de forma (x, y), unde x arată câte puncte au căzut pe primul zar (de la 1 la 6) și y - câte puncte au căzut pe al doilea zar (de la 1 la 6). În total vor exista astfel de perechi numerice: n=6*6=36 (36 de celule le corespund în tabelul de rezultate).

Acum puteți completa tabelul, pentru aceasta, în fiecare celulă se introduce numărul sumei punctelor care au căzut pe primul și pe al doilea zar. Tabelul completat arată astfel:

Datorită tabelului, vom determina numărul de rezultate care favorizează evenimentul „scade în total mai puțin de 5 puncte”. Să numărăm numărul de celule, valoarea sumei în care va fi mai mică decât numărul 5 (acestea sunt 2, 3 și 4). Pentru comoditate, pictăm peste astfel de celule, acestea vor fi m = 6:

Având în vedere datele din tabel, probabilitatea zarurilor este egal cu: P=6/36=1/6.

Problema 4. S-au aruncat două zaruri. Determinați probabilitatea ca produsul numărului de puncte să fie divizibil cu 3.

Pentru a rezolva problema, vom face un tabel cu produsele punctelor care au căzut pe primul și pe al doilea zar. În ea, selectăm imediat numere care sunt multipli de 3:

Notăm numărul total de rezultate ale experimentului n=36 (raționamentul este același ca în problema anterioară) și numărul de rezultate favorabile (numărul de celule care sunt umbrite în tabel) m=20. Probabilitatea unui eveniment este: P=20/36=5/9.

Problema 5. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca diferența dintre numărul de puncte de pe primul și al doilea zar să fie între 2 și 5?

A determina probabilitatea zarurilor Să notăm tabelul diferențelor de scor și să selectăm acele celule din acesta, valoarea diferenței în care va fi între 2 și 5:

Numărul de rezultate favorabile (numărul de celule umbrite în tabel) este egal cu m=10, numărul total de rezultate elementare la fel de posibile va fi n=36. Determină probabilitatea unui eveniment: P=10/36=5/18.

În cazul unui eveniment simplu și atunci când aruncați 2 zaruri, trebuie să construiți o masă, apoi să selectați celulele necesare în acesta și să împărțiți numărul lor la 36, aceasta va fi considerată o probabilitate.

Sarcinile 1.4 - 1.6

Problema 1.4 stare

Indicați eroarea în „soluția” problemei: se aruncă două zaruri; găsiți probabilitatea ca suma punctelor aruncate să fie 3 (eveniment A). "Soluţie". Sunt posibile două rezultate ale testului: suma punctelor renunțate este 3, suma punctelor renunțate nu este egală cu 3. Evenimentul A este favorizat de un singur rezultat, numărul total de rezultate este două. Prin urmare, probabilitatea necesară este egală cu P(A) = 1/2.

Rezolvarea problemei 1.4

Eșecul acestei „soluții” este că rezultatele în cauză nu sunt la fel de probabile. Soluție corectă: numărul total de rezultate la fel de probabile este egal (fiecare număr de puncte aruncate pe un zar poate fi combinat cu toate numărul de puncte aruncate pe un alt zar). Dintre aceste rezultate, doar două rezultate favorizează evenimentul: (1; 2) și (2; 1). Deci probabilitatea dorită

Răspuns:

Problema 1.5 stare

Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: a) suma punctelor aruncate este egală cu șapte; b) suma punctelor pierdute este egală cu opt, iar diferența este de patru; c) suma punctelor scăpate este egală cu opt, dacă se știe că diferența lor este egală cu patru; d) suma punctelor pierdute este cinci, iar produsul este patru.

Rezolvarea problemei 1.5

a) Șase variante pe primul zar, șase pe al doilea. Total opțiuni: (conform regulii produsului). Opțiuni pentru o sumă egală cu 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - șase opțiuni în total. Mijloace,

b) doar două opțiuni adecvate: (6.2) și (2.6). Mijloace,

c) Există doar două opțiuni potrivite: (2.6), (6.2). Doar daca Opțiuni 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Mijloace, .

d) Pentru o sumă egală cu 5, sunt potrivite următoarele opțiuni: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produsul este 4 pentru doar două opțiuni. Apoi

Raspuns: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Problema 1.6 stare

Un cub, din care toate părțile sunt vopsite, este tăiat în o mie de cuburi de aceeași dimensiune, care sunt apoi amestecate bine. Aflați probabilitatea ca, pentru noroc, cubul extras să aibă fețe colorate: a) una; b) doi; la ora trei.

Rezolvarea problemei 1.6

În total, s-au format 1000 de cuburi. Cuburi cu trei fețe colorate: 8 (acestea sunt zaruri de colț). Cu două fețe pictate: 96 (pentru că sunt 12 muchii de cub cu câte 8 cuburi pe fiecare muchie). Zaruri cu muchia pictata: 384 (deoarece sunt 6 fete si sunt 64 de zaruri pe fiecare fata). Rămâne să împărțim fiecare număr găsit la 1000.

Răspuns: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Răspunde la stânga Oaspete

Cu un zar, situația este obscen de simplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că probabilitatea se găsește prin formula P=m/n
P
=
m
n
, unde n
n
- numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experimentului cu aruncarea unui zar sau a unui zar și m
m
- numărul de rezultate care favorizează evenimentul.

Exemplul 1. Un zar este aruncat o dată. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?

Deoarece zarul este un cub (se spune și un zar obișnuit, adică un zar este echilibrat, astfel încât să cadă pe toate fețele cu aceeași probabilitate), fețele zarului sunt 6 (cu un număr de puncte de la 1). până la 6, de obicei notat cu puncte), apoi și numărul total de rezultate în sarcină n=6
n
=
6
. Doar astfel de rezultate sunt favorabile pentru eveniment când o față cu 2, 4 sau 6 puncte (doar unele par) cade, astfel de fețe sunt m = 3
m
=
3
. Atunci probabilitatea dorită este P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Exemplul 2. Se aruncă un zar. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin 5 puncte.

Argumentăm în același mod ca în exemplul precedent. Numărul total rezultate la fel de posibile la aruncarea unui zar n=6
n
=
6
, iar condiția „cel puțin 5 puncte au căzut”, adică „fie 5, fie 6 puncte au căzut” este îndeplinită de 2 rezultate, m=2
m
=
2
. Probabilitatea necesară este P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nici nu văd rostul să dau mai multe exemple, să trecem la două zaruri, unde totul este mai interesant și mai dificil.

Două zaruri

Când vine vorba de probleme cu aruncarea a 2 zaruri, este foarte convenabil să folosești tabelul de scor. Să trasăm numărul de puncte de pe primul zar pe orizontală, iar numărul de puncte de pe al doilea zar pe verticală. Să obținem un astfel de gol (de obicei o fac în Excel, puteți descărca fișierul de mai jos):

tabel de punctaj pentru aruncarea a 2 zaruri
Și cum rămâne cu celulele din tabel, întrebi? Și depinde ce problemă vom rezolva. Va exista o sarcină despre suma punctelor - vom nota suma acolo, despre diferență - vom nota diferența și așa mai departe. Începem?

Exemplul 3. Se aruncă 2 zaruri în același timp. Aflați probabilitatea ca rezultatul total să fie mai mic de 5.

Mai întâi, să ne ocupăm de numărul total de rezultate ale experimentului. când am aruncat un zar, totul era evident, 6 fețe - 6 rezultate. Există deja două oase aici, astfel încât rezultatele pot fi reprezentate ca perechi ordonate de numere de forma (x, y)
X
,
y
, unde x
X
- câte puncte au căzut pe primul zar (de la 1 la 6), y
y
- câte puncte au căzut pe al doilea zar (de la 1 la 6). Evident, vor exista n=6⋅6=36 astfel de perechi de numere
n
=
6
⋅
6
=
36
(și corespund doar la 36 de celule din tabelul de rezultate).

Acum este timpul să completați tabelul. În fiecare celulă vom introduce suma punctelor aruncate pe primul și pe al doilea zar și vom obține următoarea imagine:

tabel de punctaj pentru aruncarea a 2 zaruri
Acum, acest tabel ne va ajuta să găsim numărul de rezultate care favorizează rezultatele evenimentului „în total mai puțin de 5”. Pentru a face acest lucru, numărăm numărul de celule în care valoarea sumei este mai mică de 5 (adică 2, 3 sau 4). Pentru claritate, vom picta peste aceste celule, acestea vor fi m = 6
m
=
6
:

tabelul sumelor de puncte mai mici de 5 la aruncarea a 2 zaruri
Atunci probabilitatea este: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Exemplul 4. Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca produsul numărului de puncte să fie divizibil cu 3.

Facem un tabel cu produsele punctelor care au căzut pe primul și pe al doilea zar. Selectați imediat în el acele numere care sunt multipli de 3:

tabel de punctaj pentru aruncarea a 2 zaruri
Rămâne doar să notăm că numărul total de rezultate n=36
n
=
36
(vezi exemplul anterior, raționamentul este același) și numărul de rezultate favorabile (numărul de celule completate din tabelul de mai sus) m=20
m
=
20
. Atunci probabilitatea evenimentului va fi egală cu P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

După cum puteți vedea, acest tip de sarcină, cu o pregătire adecvată (pentru a mai rezolva câteva sarcini), poate fi rezolvată rapid și ușor. Pentru o schimbare, haideți să mai facem o sarcină cu un alt tabel (toate tabelele pot fi descărcate în partea de jos a paginii).

Exemplul 5. Un zar este aruncat de două ori. Găsiți probabilitatea ca diferența dintre numărul de puncte de pe primul și al doilea zar să fie de la 2 la 5.

Să notăm tabelul diferențelor de scor, să selectăm celulele din acesta, în care valoarea diferenței va fi între 2 și 5:

tabelul diferențelor de scor pentru aruncarea a 2 zaruri
Astfel încât numărul total de rezultate elementare la fel de posibile n=36
n
=
36
, iar numărul de rezultate favorabile (numărul de celule completate din tabelul de mai sus) este m=10
m
=
10
. Atunci probabilitatea evenimentului va fi egală cu P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Deci, în cazul în care este vorba de aruncarea a 2 zaruri și a unui eveniment simplu, trebuie să construiți o masă, să selectați celulele necesare în ea și să împărțiți numărul lor la 36, aceasta va fi probabilitatea. Pe lângă sarcinile privind suma, produsul și diferența numărului de puncte, există și sarcini privind modulul diferenței, cel mai mic și cel mai mare număr de puncte care au căzut (puteți găsi tabele potrivite în fișierul Excel) .

O altă problemă populară în teoria probabilității (împreună cu problema aruncării monedelor) este problema aruncării zarurilor.

De obicei, sarcina sună așa: se aruncă unul sau mai multe zaruri (de obicei 2, rar 3). Trebuie să găsiți probabilitatea ca numărul de puncte să fie 4, sau suma punctelor să fie 10, sau produsul numărului de puncte să fie divizibil cu 2, sau numărul de puncte să difere cu 3 și așa mai departe.

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de probleme este utilizarea formulei clasice de probabilitate, pe care o vom analiza în exemplele de mai jos.

După ce te-ai familiarizat cu metodele de rezolvare, poți descărca una super-utilă pentru aruncarea a 2 zaruri (cu tabele și exemple).

Un zar

Cu un zar, situația este obscen de simplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că probabilitatea se găsește prin formula $P=m/n$, unde $n$ este numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experimentului cu aruncarea unui zar sau a unui zar, iar $m$ este numărul dintre acele rezultate care favorizează evenimentul.

Exemplul 1 Zarurile se aruncă o dată. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?

Deoarece zarul este un cub (se mai spun ei zaruri corecte, adică zarul este echilibrat, deci cade pe toate fețele cu aceeași probabilitate), zarul are 6 fețe (cu un număr de puncte de la 1 la 6, de obicei notate cu puncte), apoi numărul total de rezultate în problema este $n=6$. Evenimentul este favorizat doar de astfel de rezultate atunci când o față cu 2, 4 sau 6 puncte (doar unele par) cade, astfel de fețe sunt $m=3$. Atunci probabilitatea dorită este egală cu $P=3/6=1/2=0,5$.

Exemplul 2 Se aruncă un zar. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin 5 puncte.

Argumentăm în același mod ca în exemplul precedent. Numărul total de rezultate la fel de posibile la aruncarea unui zar este $n=6$, iar condiția „cel puțin 5 puncte aruncate”, adică „fie 5, fie 6 puncte aruncate” este îndeplinită de 2 rezultate, $m=2 $. Probabilitatea necesară este egală cu $P=2/6=1/3=0,333$.

Nici nu văd rostul să dau mai multe exemple, să trecem la două zaruri, unde totul este mai interesant și mai dificil.

Două zaruri

Când vine vorba de probleme cu aruncarea a 2 zaruri, este foarte convenabil de utilizat tabelul de scor. Să trasăm numărul de puncte de pe primul zar pe orizontală, iar numărul de puncte de pe al doilea zar pe verticală. Să obținem un astfel de gol (de obicei, o fac în Excel, puteți descărca fișierul):

Și cum rămâne cu celulele din tabel, întrebi? Și depinde ce problemă vom rezolva. Va exista o sarcină despre suma punctelor - vom nota suma acolo, despre diferență - vom nota diferența și așa mai departe. Începem?

Exemplul 3 Aruncă 2 zaruri în același timp. Aflați probabilitatea ca rezultatul total să fie mai mic de 5.

Mai întâi, să ne ocupăm de numărul total de rezultate ale experimentului. când am aruncat un zar, totul era evident, 6 fețe - 6 rezultate. Există deja două zaruri aici, astfel încât rezultatele pot fi reprezentate ca perechi ordonate de numere de forma $(x,y)$, unde $x$ - câte puncte au căzut pe primul zar (de la 1 la 6), $ y$ - câte puncte au căzut pe al doilea zar (de la 1 la 6). Evident, vor exista $n=6\cdot 6=36$ de astfel de perechi de numere (și exact 36 de celule din tabelul de rezultate le corespund).

Acum este timpul să completați tabelul. În fiecare celulă vom introduce suma punctelor aruncate pe primul și pe al doilea zar și vom obține următoarea imagine:

Acum, acest tabel ne va ajuta să găsim numărul de rezultate care favorizează rezultatele evenimentului „în total mai puțin de 5”. Pentru a face acest lucru, numărăm numărul de celule în care valoarea sumei este mai mică de 5 (adică 2, 3 sau 4). Pentru claritate, să pictăm peste aceste celule, acestea vor fi $m=6$:

Atunci probabilitatea este: $P=6/36=1/6$.

Exemplul 4 Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca produsul numărului de puncte să fie divizibil cu 3.

Facem un tabel cu produsele punctelor care au căzut pe primul și pe al doilea zar. Selectați imediat în el acele numere care sunt multipli de 3:

Rămâne doar să notăm că numărul total de rezultate este $n=36$ (vezi exemplul anterior, raționamentul este același), iar numărul de rezultate favorabile (numărul de celule completate din tabelul de mai sus) este $ m=20$. Atunci probabilitatea evenimentului va fi egală cu $P=20/36=5/9$.

Exemplul 5 Un zar este aruncat de două ori. Găsiți probabilitatea ca diferența dintre numărul de puncte de pe primul și al doilea zar să fie de la 2 la 5.

Să notăm tabelul diferențelor de scor, să selectăm celulele din acesta, în care valoarea diferenței va fi între 2 și 5:

Deci, numărul total de rezultate elementare la fel de posibile este $n=36$, iar numărul de rezultate favorabile (numărul de celule completate din tabelul de mai sus) este $m=10$. Atunci probabilitatea evenimentului va fi egală cu $P=10/36=5/18$.

Deci, în cazul în care este vorba de aruncarea a 2 zaruri și a unui eveniment simplu, trebuie să construiți o masă, să selectați celulele necesare în ea și să împărțiți numărul lor la 36, aceasta va fi probabilitatea. Pe lângă sarcinile pentru suma, produsul și diferența în numărul de puncte, există și sarcini pentru modulul diferenței, cel mai mic și cel mai mare număr de puncte care au căzut (puteți găsi tabele potrivite în).

Alte sarcini despre oase și cuburi

Desigur, problema nu se limitează la cele două clase de probleme de aruncare a zarurilor discutate mai sus (sunt pur și simplu cele mai frecvent întâlnite în cărțile și manualele cu probleme), există și altele. Pentru o schimbare și înțelegere a metodei soluției aproximative, să analizăm încă trei exemple tipice: pentru aruncarea a 3 zaruri, pentru probabilitatea condiționată și pentru formula lui Bernoulli.

Exemplul 6 Aruncă 3 zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul aruncat să fie 15.

În cazul celor 3 zaruri, mesele se întocmesc mai rar, deoarece vor avea nevoie de până la 6 piese (și nu una, ca mai sus), se descurcă cu o simplă enumerare a combinațiilor necesare.

Aflați numărul total de rezultate ale experimentului. Rezultatele pot fi reprezentate ca triple ordonate de numere de forma $(x,y,z)$, unde $x$ - câte puncte au căzut pe primul zar (de la 1 la 6), $y$ - câte puncte au căzut pe al doilea zar (de la 1 la 6), $z$ - câte puncte au căzut pe al treilea zar (de la 1 la 6). Evident, vor exista $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ de astfel de triple de numere.

Acum vom selecta astfel de rezultate care oferă un total de 15 puncte.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Am obținut rezultate $m=3+6+1=10$. Probabilitatea necesară este $P=10/216=0,046$.

Exemplul 7 Arunca 2 zaruri. Găsiți probabilitatea ca nu mai mult de 4 puncte să cadă pe primul zar, cu condiția ca suma punctelor să fie pară.

Cel mai simplu mod de a rezolva această problemă este să folosiți din nou tabelul (totul va fi clar), ca înainte. Scriem tabelul de sume de puncte și selectăm numai celule cu valori pare:

Obținem că, conform condiției experimentale, nu există 36, ci $n=18$ rezultate (când suma punctelor este pară).

Acum din aceste celule să le selectăm doar pe cele care corespund evenimentului „nu au căzut mai mult de 4 puncte pe primul zar” - adică, de fapt, celulele din primele 4 rânduri ale tabelului (evidențiate cu portocaliu), acestea vor fi $m= 12$.

Probabilitatea dorită $P=12/18=2/3.$

Aceeași sarcină poate decide altfel folosind formula probabilității condiționate. Să intrăm în evenimente:
A = Suma punctelor este pară
B = Nu mai mult de 4 puncte aruncate pe primul zar
AB = Suma numărului de puncte este pară și nu au căzut mai mult de 4 puncte pe primul zar
Atunci formula pentru probabilitatea dorită este: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Găsiți probabilitățile. Numărul total de rezultate este $n=36$, pentru evenimentul A numărul de rezultate favorabile (vezi tabelele de mai sus) este $m(A)=18$, iar pentru evenimentul AB - $m(AB)=12$ . Se obține: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Potriviți.

Exemplul 8 Zarurile se aruncă de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca un număr par să apară exact de 3 ori.

Când zarurile aruncat de mai multe ori, iar evenimentul nu este despre sumă, produs etc. caracteristici integrale, dar numai despre numărul de precipitații de un anumit tip, puteți utiliza pentru a calcula probabilitatea