Rezolvarea inegalităților prin exemple discriminante. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice complete

Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea unui discriminant
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat ca exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\) răspunsul este afișat în următoarea formă:

Acest program poate fi util pentru elevii din clasele superioare ale școlilor secundare în pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră.

Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.

Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă. De exemplu, puteți intra zecimale

astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.

Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ. /
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: &
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și:
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) La introducerea unei expresii poti folosi paranteze . În acest caz, la rezolvare ecuație pătratică
Expresia introdusă este mai întâi simplificată.

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
arata ca
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiţie.
Ecuație cuadratică se numește ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient, iar numărul c este termenul liber.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a\neq 0\), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul lui x 2 este egal cu 1 ecuația pătratică dată. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă într-o ecuație pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Astfel, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), mutați termenul său liber în partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0\), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 cu \(b \neq 0 \) extindeți-o partea stângă de factori și obțineți ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right.

Aceasta înseamnă că o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne gândim acum cum să rezolvăm ecuațiile pătratice în care ambii coeficienți ai necunoscutelor și termenul liber sunt nenuli.

Să rezolvăm ecuația pătratică în vedere generalăși ca rezultat obținem formula pentru rădăcini. Această formulă poate fi apoi utilizată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Să rezolvăm ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți la a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Să transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Expresia radicală se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - discriminator). Este desemnat prin litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantă, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident că:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, o ecuație pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind aceasta formula, este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci folosiți formula rădăcinii dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini;

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat din semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Aceste. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Problemele cu ecuații cuadratice sunt studiate atât în ​​programa școlară, cât și în universități. Ele înseamnă ecuații de forma a*x^2 + b*x + c = 0, unde x- variabilă, a, b, c – constante; o<>0 . Sarcina este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa absciselor (x). Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că se află în planul superior cu ramurile în sus sau în partea de jos cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică de la el capătă valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților puterilor variabilelor se pot trage concluzii interesante despre amplasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, dacă este negativ, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng dacă ia valoare negativă- apoi pe dreapta.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b^2 pe ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula pentru discriminantul și rădăcinile unei ecuații pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicale Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care poate fi obținută cu ușurință din formula de mai sus pentru D = 0. discriminant negativ nu există ecuații reale ale rădăcinilor. Cu toate acestea, soluțiile ecuației pătratice se găsesc în plan complex, iar valoarea lor este calculată folosind formula

teorema lui Vieta

Să luăm în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și să construim o ecuație pătratică pe baza lor teorema lui Vieta în sine decurge cu ușurință din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Reprezentarea formulată a celor de mai sus va arăta ca Dacă într-o ecuație clasică constanta a este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație cu ea și apoi să aplicați teorema lui Vieta.

Schema de factorizare a ecuației pătratice

Să fie stabilită sarcina: factorizați o ecuație pătratică. Pentru a face acest lucru, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). Apoi, înlocuim rădăcinile găsite în formula de expansiune pentru ecuația pătratică. Aceasta va rezolva problema.

Probleme cu ecuații cuadratice

Sarcina 1. Aflați rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți-i în formula discriminantă

Rădăcina de valoare dată este egal cu 14, este ușor de găsit cu un calculator, sau de reținut cu utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi adesea întâlnite în astfel de probleme.
Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. Rezolvați ecuația

2x 2 +x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


De formule cunoscute găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice

Sarcina 3. Rezolvați ecuația

9x 2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinarea discriminantului

Avem un caz în care rădăcinile coincid. Găsiți valorile rădăcinilor folosind formula

Sarcina 4. Rezolvați ecuația

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este recomandabil să aplicați teorema lui Vieta. Prin condiția sa obținem două ecuații

Din a doua condiție constatăm că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții (-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt egale

Problema 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul lui este de 18 cm și aria lui este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x ca latura mai mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria dreptunghiului este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18-x)=77;
sau
x 2 -18x+77=0.
Să găsim discriminantul ecuației

Calcularea rădăcinilor ecuației

Dacă x=11, Că 18's=7, opusul este de asemenea adevărat (dacă x=7, atunci 21's=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Soluție: Să calculăm rădăcinile ecuației, pentru a face acest lucru găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcină și calculăm

Aplicam formula pentru descompunerea unei ecuatii patratice prin radacini

Deschizând paranteze obținem o identitate.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. La ce valori ale parametrilor A, ecuația (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3 vedem că nu are soluție. În continuare, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

Să o simplificăm și să o echivalăm cu zero

Am obținut o ecuație pătratică în raport cu parametrul a, a cărei soluție poate fi obținută cu ușurință folosind teorema lui Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla căutare stabilim că numerele 3,4 vor fi rădăcinile ecuației. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a=4 ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. La ce valori ale parametrilor A, ecuaţie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Să luăm mai întâi în considerare punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o singură rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0.
Să calculăm discriminantul

și găsiți valoarea lui a la care este pozitivă

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să determinăm intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3;1/3) funcția este negativă. Nu uitați ideea a=0, care ar trebui exclus deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condițiile problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă dați seama singur sarcinile și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Studiați bine formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice sunt adesea necesare în calcule în diverse probleme și științe.

Dintre întregul curriculum de algebră școlară, una dintre cele mai extinse subiecte este tema ecuațiilor pătratice. În acest caz, o ecuație pătratică este înțeleasă ca o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0 (se citește: a înmulțit cu x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero, unde a nu este egal cu zero). În acest caz, locul principal este ocupat de formulele pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice de tipul specificat, care este înțeleasă ca o expresie care permite determinarea prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice, precum și a acestora. număr (dacă există).

Formula (ecuația) discriminantului unei ecuații pătratice

Formula general acceptată pentru discriminantul unei ecuații pătratice este următoarea: D = b 2 – 4ac. Prin calcularea discriminantului folosind formula specificată, puteți nu numai să determinați prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice, ci și să alegeți o metodă pentru găsirea acestor rădăcini, dintre care există mai multe în funcție de tipul de ecuație pătratică.

Ce înseamnă dacă discriminantul este zero \ Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice dacă discriminantul este zero

Discriminantul, după cum rezultă din formulă, este notat Literă latină D. În cazul în care discriminantul este egal cu zero, trebuie concluzionat că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, are o singură rădăcină, care se calculează folosind o formulă simplificată . Această formulă se aplică numai atunci când discriminantul este zero și arată astfel: x = –b/2a, unde x este rădăcina ecuației pătratice, b și a sunt variabilele corespunzătoare ale ecuației pătratice. Pentru a găsi rădăcina unei ecuații pătratice, trebuie să împărțiți valoarea negativă a variabilei b la de două ori valoarea variabilei a. Expresia rezultată va fi soluția unei ecuații pătratice.

Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind un discriminant

Dacă la calcularea discriminantului folosind formula de mai sus, se obține o valoare pozitivă (D este mai mare decât zero), atunci ecuația pătratică are două rădăcini, care se calculează folosind următoarele formule: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Cel mai adesea, discriminantul nu este calculat separat, dar expresia radicală sub forma unei formule discriminante este pur și simplu substituită în valoarea D din care este extrasă rădăcina. Dacă variabila b are o valoare pară, atunci pentru a calcula rădăcinile unei ecuații pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, puteți utiliza și următoarele formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, unde k = b/2.

În unele cazuri, pentru a rezolva practic ecuații pătratice, puteți folosi Teorema lui Vieta, care afirmă că pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice de forma x 2 + px + q = 0 valoarea x 1 + x 2 = –p va fi adevărată, iar pentru produsul rădăcinilor ecuației specificate – expresia x 1 x x 2 = q.

Poate discriminantul să fie mai mic decât zero?

La calcularea valorii discriminante, puteți întâlni o situație care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise - când discriminantul are o valoare negativă (adică, mai putin de zero). În acest caz, se acceptă în general că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, nu are rădăcini reale, prin urmare, soluția ei se va limita la calcularea discriminantului, iar formulele de mai sus pentru că rădăcinile unei ecuații pătratice nu se vor aplica în acest caz vor exista. În același timp, în răspunsul la ecuația pătratică este scris că „ecuația nu are rădăcini reale”.

Video explicativ:

Discriminantul, ca și ecuațiile pătratice, începe să fie studiat într-un curs de algebră în clasa a VIII-a. Puteți rezolva o ecuație pătratică printr-un discriminant și folosind teorema lui Vieta. Metoda de studiu a ecuațiilor pătratice, precum și a formulelor discriminante, este predată mai degrabă fără succes școlarilor, ca multe lucruri în educația reală. Prin urmare, anii de școală trec, educația din clasele 9-11 înlocuiește " studii superioare"și toată lumea se uită din nou - „Cum se rezolvă o ecuație pătratică?”, „Cum se găsesc rădăcinile ecuației?”, „Cum se găsesc discriminantul?” Şi...

Formula discriminantă

Discriminantul D al ecuației pătratice a*x^2+bx+c=0 este egal cu D=b^2–4*a*c.
Rădăcinile (soluțiile) unei ecuații pătratice depind de semnul discriminantului (D):
D>0 – ecuația are 2 rădăcini reale diferite;
D=0 - ecuația are 1 rădăcină (2 rădăcini care se potrivesc):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula de calcul a discriminantului este destul de simplă, așa că multe site-uri oferă un calculator discriminant online. Nu ne-am dat seama încă de acest tip de scripturi, așa că dacă cineva știe cum să implementeze acest lucru, vă rugăm să ne scrieți pe e-mail Această adresă de e-mail este protejată de spamboți. Trebuie să aveți JavaScript activat pentru a-l vizualiza. .

Formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice:

Găsim rădăcinile ecuației folosind formula
Dacă coeficientul unei variabile pătrate este pereche, atunci este recomandabil să se calculeze nu discriminantul, ci a patra parte a acestuia.
În astfel de cazuri, rădăcinile ecuației sunt găsite folosind formula

Al doilea mod de a găsi rădăcini este Teorema lui Vieta.

Teorema este formulată nu numai pentru ecuații pătratice, ci și pentru polinoame. Puteți citi acest lucru pe Wikipedia sau alte resurse electronice. Cu toate acestea, pentru a simplifica, să luăm în considerare partea care se referă la ecuațiile pătratice de mai sus, adică ecuațiile de forma (a=1)
Esența formulelor lui Vieta este că suma rădăcinilor ecuației este egală cu coeficientul variabilei, luată cu semnul opus. Produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber. Teorema lui Vieta poate fi scrisă în formule.
Derivarea formulei lui Vieta este destul de simplă. Să scriem ecuația pătratică prin factori simpli
După cum puteți vedea, totul ingenios este simplu în același timp. Este eficient să folosiți formula lui Vieta atunci când diferența de modul al rădăcinilor sau diferența de module ale rădăcinilor este 1, 2. De exemplu, următoarele ecuații, conform teoremei lui Vieta, au rădăcini




Până la ecuația 4, analiza ar trebui să arate așa. Produsul rădăcinilor ecuației este 6, prin urmare rădăcinile pot fi valorile (1, 6) și (2, 3) sau perechi cu semnul opus. Suma rădăcinilor este 7 (coeficientul variabilei cu semnul opus). De aici concluzionăm că soluțiile ecuației pătratice sunt x=2; x=3.
Este mai ușor să selectezi rădăcinile ecuației dintre divizorii termenului liber, ajustându-le semnul pentru a îndeplini formulele Vieta. La început, acest lucru pare dificil de făcut, dar cu exersarea unui număr de ecuații pătratice, această tehnică se va dovedi a fi mai eficientă decât calcularea discriminantului și găsirea rădăcinilor ecuației pătratice în mod clasic.
După cum puteți vedea, teoria școlară de studiere a discriminanților și a metodelor de găsire a soluțiilor ecuației este lipsită de sens practic - „De ce au nevoie școlarii de o ecuație pătratică?”, „Care este semnificația fizică a discriminantului?”

Să încercăm să ne dăm seama Ce descrie discriminantul?

La cursul de algebră se studiază funcții, scheme pentru studierea funcțiilor și construirea unui grafic de funcții. Dintre toate funcțiile, parabola ocupă un loc important, a cărei ecuație poate fi scrisă sub forma
Deci sensul fizic al ecuației pătratice este zerourile parabolei, adică punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa absciselor Ox
Vă rog să vă amintiți proprietățile parabolelor care sunt descrise mai jos. Va veni timpul să susțineți examene, teste sau examene de admitere și veți fi recunoscători pentru materialul de referință. Semnul variabilei pătrate corespunde dacă ramurile parabolei de pe grafic vor urca (a>0),

sau o parabolă cu ramurile în jos (a<0) .

Vârful parabolei se află la jumătatea distanței dintre rădăcini

Sensul fizic al discriminantului:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero (D>0), parabola are două puncte de intersecție cu axa Ox.
Dacă discriminantul este zero (D=0), atunci parabola de la vârf atinge axa x.
Și ultimul caz, când discriminantul este mai mic decât zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuații patratice incomplete

Ecuații cuadratice. Discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cum arată? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat". Aceasta înseamnă că în ecuație Neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus față de aceasta, ecuația poate (sau nu!) conține doar X (la prima putere) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe X la o putere mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar O– orice altceva decât zero. De exemplu:

Aici O =1; b = 3; c = -4

Aici O =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici O =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

În aceste ecuații pătratice din stânga există set complet membrii. X pătrat cu un coeficient O, x la prima putere cu coeficient bŞi membru liber s.

Astfel de ecuații pătratice se numesc deplin.

Și dacă b= 0, ce obținem? Avem X va fi pierdut la prima putere. Acest lucru se întâmplă atunci când este înmulțit cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bŞi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Se numesc astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo, de ce O nu poate fi egal cu zero? Și tu înlocuiești în schimb O zero.) X pătratul nostru va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Si solutia este cu totul alta...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare, simple. În prima etapă, este necesar să aducem ecuația dată la o formă standard, adică la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, O, bŞi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Aceste. coeficienții dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

O =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să vă confundați?), ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, face asta!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici o = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Încearcă. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect?

În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va descurca de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa: L-ai recunoscut?) Da! Acest.

ecuații pătratice incomplete

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete. a, b și c.

Ele pot fi rezolvate și folosind o formulă generală. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; c O ? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta este. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio formulă. Să luăm în considerare prima ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.

Deci ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu merge? Asta este...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea formulei generale. Permiteți-mi să notez, apropo, care X va fi primul și care va fi al doilea - absolut indiferent. Este convenabil să scrieți în ordine, x 1- ce este mai mic şi x 2- ceea ce este mai mare.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Discriminant. Formula discriminantă.

Cuvânt magic discriminant ! Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cea mai generală formulă de rezolvare orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. De obicei, discriminantul este notat cu litera D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de remarcabil la această expresie? De ce merita un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu o numesc în mod specific nimic... Litere și litere.

Iată chestia. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci vei avea o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu poate fi luată. Oh bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer să fiu, atunci când rezolvăm pur și simplu ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este cu adevărat necesar. Înlocuim valorile coeficienților în formulă și numărăm. Totul se întâmplă acolo de la sine, două rădăcini, una și niciuna. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sensul și formula discriminantului nu pot trece. Mai ales în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru examenul de stat și examenul de stat unificat!)

Aşa, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau ați învățat, ceea ce nu este rău.) Știți să determinați corect a, b și c. Știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Înțelegi că cuvântul cheie aici este atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine.

Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1. Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă speriați, vă explic totul! Control dura ecuaţie. Aceste. cel pe care l-am folosit pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1 , verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău

. Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea. b Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie opus familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi din ce în ce mai puține erori.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu un numitor comun, așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Apropo, am promis că voi simplifica exemplul malefic cu o grămadă de minusuri. Vă rog! Iată-l.

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta este! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Corect.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum putem decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se potrivește totul? Mare! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei au funcționat, dar restul nu? Atunci problema nu este cu ecuațiile pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci Secțiunea 555 vă poate ajuta. Toate aceste exemple sunt defalcate acolo. Afisat principal erori de solutie. Desigur, vorbim și despre utilizarea transformărilor identice în rezolvarea diverselor ecuații. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.