Calculul erorii relative și absolute. Erori de măsurare absolute și relative

Eroarea absolută de calcul se găsește prin formula:

Semnul modulo arată că nu ne interesează care valoare este mai mare și care este mai mică. Important, cat de departe rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă într-o direcție sau alta.

Eroarea relativă de calcul se găsește prin formula:
, sau, la fel:

Eroarea relativă apare cu ce procent rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă. Există o versiune a formulei fără înmulțire cu 100%, dar în practică aproape întotdeauna văd versiunea de mai sus cu procente.

După un scurt context, revenim la problema noastră, în care am calculat valoarea aproximativă a funcției folosind un diferential.

Calcula valoare exacta Funcții cu calculatorul:
, strict vorbind, valoarea este încă aproximativă, dar o vom considera exactă. Asemenea sarcini apar.

Calculați eroarea absolută:

Să calculăm eroarea relativă:
, se obțin miimi de procent, deci diferența a oferit doar o mare aproximare.

Răspuns: , eroare de calcul absolută , eroare de calcul relativă

Următorul exemplu pentru solutie independenta:

Exemplul 4

la punctul . Calculați o valoare mai precisă a funcției la un punct dat, evaluați erorile de calcul absolute și relative.

Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției.

Mulți au observat că în toate exemplele luate în considerare apar rădăcini. Acest lucru nu este întâmplător; în majoritatea cazurilor, în problema luată în considerare, sunt într-adevăr propuse funcții cu rădăcini.

Dar pentru cititorii suferinzi, am dezgropat un mic exemplu cu arcsinus:

Exemplul 5

Calculați aproximativ folosind diferența valoarea funcției la punct

Acest exemplu scurt, dar informativ, este și pentru o decizie independentă. Și m-am odihnit puțin pentru a lua în considerare o sarcină specială cu vigoare reînnoită:

Exemplul 6

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la două zecimale.

Soluţie: Ce este nou în sarcină? După condiție, este necesară rotunjirea rezultatului la două zecimale. Dar nu este asta, sarcina școlară rotunjirea, cred, nu este dificilă pentru tine. Problema este că la noi este dată tangenta cu argumentul care se exprimă în grade. Ce să faci când ți se cere să rezolvi o funcție trigonometrică cu grade? De exemplu , etc.

Algoritmul de soluție este păstrat fundamental, adică este necesar, ca în exemplele anterioare, să se aplice formula

Notați funcția evidentă

Valoarea trebuie reprezentată ca . Un ajutor serios va tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice . Apropo, dacă nu l-ați tipărit, vă recomand să faceți acest lucru, deoarece va trebui să vă uitați acolo pe tot parcursul cursului de studii superioare la matematică.

Analizând tabelul, observăm o valoare „bună” a tangentei, care este aproape de 47 de grade:

Prin urmare:

După o analiză preliminară grade trebuie convertite în radiani. Da, și numai așa!

ÎN acest exemplu direct din tabelul trigonometric, puteți afla că. Formula de conversie a gradelor în radiani este: (formulele pot fi găsite în același tabel).

Altă șablon:

Prin urmare: (în calcule folosim valoarea ). Rezultatul, așa cum este cerut de condiție, este rotunjit la două zecimale.

Răspuns:

Exemplul 7

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la trei zecimale.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, nimic complicat, traducem gradele în radiani și respectăm algoritmul obișnuit de soluție.

Calcule aproximative utilizând diferenţialul total al unei funcţii a două variabile

Totul va fi foarte, foarte asemănător, așa că dacă ați ajuns pe această pagină cu această sarcină specială, atunci vă recomand să vă uitați la cel puțin câteva exemple din paragraful anterior.

Pentru a studia un paragraf, trebuie să poți găsi derivate parțiale de ordinul doi , unde fără ele. În lecția de mai sus, am notat funcția a două variabile cu litera . În ceea ce privește sarcina luată în considerare, este mai convenabil să folosiți notația echivalentă .

Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, condiția problemei poate fi formulată în moduri diferite și voi încerca să iau în considerare toate formulările întâlnite.

Exemplul 8

Soluţie: Indiferent cum este scrisă condiția, în soluția în sine, pentru a desemna funcția, repet, este mai bine să nu folosiți litera „Z”, ci .

Și iată formula de lucru:

În fața noastră se află de fapt sora mai mare a formulei din paragraful precedent. Variabila tocmai a devenit mai mare. Ce pot să spun eu însumi algoritmul de soluție va fi fundamental același!

Prin condiție, este necesar să se găsească valoarea aproximativă a funcției în punctul .

Să reprezentăm numărul 3,04 ca . Omul de turtă dulce cere să fie mâncat:
,

Să reprezentăm numărul 3,95 ca . A venit rândul în a doua jumătate a lui Kolobok:
,

Și nu te uita la tot felul de trucuri cu vulpe, există un Gingerbread Man - trebuie să-l mănânci.

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Diferenţialul unei funcţii într-un punct se găseşte prin formula:

Din formula rezultă că trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și calculați valorile lor la punctul .

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi la punctul:

Diferenţial total la punct:

Astfel, conform formulei, valoarea aproximativă a funcției în punctul:

Să calculăm valoarea exactă a funcției în punctul:

Această valoare este absolut corectă.

Erorile sunt calculate folosind formule standard, care au fost deja discutate în acest articol.

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns: , eroare absolută: , eroare relativă:

Exemplul 9

Calculați valoarea aproximativă a unei funcții la un punct folosind o diferenţială completă, evaluaţi eroarea absolută şi relativă.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cine se ocupă mai detaliat de acest exemplu va acorda atenție faptului că erorile de calcul s-au dovedit a fi foarte, foarte vizibile. Acest lucru s-a întâmplat din următorul motiv: în problema propusă, incrementele argumentelor sunt suficient de mari: .

Modelul general este a - cu cât aceste creșteri în valoare absolută sunt mai mari, cu atât precizia calculelor este mai mică. Deci, de exemplu, pentru un punct similar, incrementele vor fi mici: , iar precizia calculelor aproximative va fi foarte mare.

Această caracteristică este valabilă și pentru cazul unei funcții a unei variabile (prima parte a lecției).

Exemplul 10

Soluţie: Să calculăm această expresie aproximativ folosind diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferența față de exemplele 8-9 este că mai întâi trebuie să compunem o funcție din două variabile: . Cum este compusă funcția, cred, este intuitiv intuitiv pentru toată lumea.

Valoarea 4,9973 este apropiată de „cinci”, prin urmare: , .
Valoarea lui 0,9919 este apropiată de „unu”, prin urmare, presupunem: , .

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Găsim diferența într-un punct prin formula:

Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul .

Derivatele de aici nu sunt cele mai simple și ar trebui să fii atent:

;

.

Diferenţial total la punct:

Astfel, valoarea aproximativă a acestei expresii:

Să calculăm o valoare mai precisă folosind un microcalculator: 2,998899527

Să găsim eroarea relativă de calcul:

Răspuns: ,

Doar o ilustrare a celor de mai sus, în problema luată în considerare, incrementele argumentelor sunt foarte mici, iar eroarea s-a dovedit a fi fantastic de puțină.

Exemplul 11

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea acestei expresii. Calculați aceeași expresie folosind un microcalculator. Estimați în procente eroarea relativă a calculelor.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

După cum am menționat deja, cel mai privat oaspete din acest tip sarcinile sunt un fel de rădăcini. Dar din când în când există și alte funcții. Și un ultim exemplu simplu pentru relaxare:

Exemplul 12

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea funcției dacă

Soluția este mai aproape de partea de jos a paginii. Din nou, atenție la formularea sarcinilor lecției, în diverse exempleîn practică, formulările pot fi diferite, dar acest lucru nu schimbă fundamental esența și algoritmul soluției.

Sincer să fiu, m-am cam obosit, pentru că materialul era plictisitor. Nu a fost pedagogic să spun la începutul articolului, dar acum este deja posibil =) Într-adevăr, problemele matematicii computaționale nu sunt de obicei foarte dificile, nu foarte interesante, cel mai important lucru, poate, este să nu faci un greșeală în calculele obișnuite.

Fie ca cheile calculatorului dumneavoastră să nu fie șterse!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:

Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 4:

Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Prin urmare:

Să calculăm o valoare mai precisă a funcției folosind un microcalculator:

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns: , eroare de calcul absolută , eroare de calcul relativă

Exemplul 5:

Soluţie: Folosim formula:

În acest caz: , ,

Prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 7:

Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

După cum am menționat mai devreme, atunci când comparăm precizia de măsurare a unei valori aproximative, folosim eroarea absolută.

Conceptul de eroare absolută

Eroarea absolută a unei valori aproximative este modulul diferenței dintre valoarea exactă și valoarea aproximativă.
Eroarea absolută poate fi folosită pentru a compara acuratețea aproximărilor acelorași cantități, iar dacă vom compara acuratețea aproximărilor diferitelor cantități, atunci eroarea absolută nu este suficientă.

De exemplu: Lungimea unei foi de hârtie A4 este de (29,7 ± 0,1) cm, iar distanța de la Sankt Petersburg la Moscova este de (650 ± 1) km. Eroarea absolută în primul caz nu depășește un milimetru, iar în al doilea - un kilometru. Întrebarea este de a compara acuratețea acestor măsurători.

Dacă credeți că lungimea foii se măsoară mai precis deoarece eroarea absolută nu depășește 1 mm. Atunci te înșeli. Aceste valori nu pot fi comparate direct. Hai să facem niște raționamente.

La măsurarea lungimii unei foi, eroarea absolută nu depășește 0,1 cm cu 29,7 cm, adică ca procent, este 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% din valoarea măsurată.

Când măsurăm distanța de la Sankt Petersburg la Moscova, eroarea absolută nu depășește 1 km la 650 km, care este 1/650 * 100% = 0,15% din valoarea măsurată ca procent. Vedem că distanța dintre orașe este măsurată mai precis decât lungimea unei foi A4.

Conceptul de eroare relativă

Aici, pentru a evalua calitatea aproximării, este introdus un nou concept de eroare relativă. Eroare relativă este coeficientul de împărțire a erorii absolute la modulul valorilor aproximative ale mărimii măsurate. De obicei, eroarea relativă este exprimată ca procent. În exemplul nostru, avem două erori relative egale cu 0,33% și 0,15%.

După cum probabil ați ghicit, valoarea erorii relative este întotdeauna pozitivă. Aceasta rezultă din faptul că eroarea absolută este întotdeauna pozitivă și o împărțim la modul, iar modulul este întotdeauna pozitiv.

Cu orice măsurători, rotunjirea rezultatelor calculelor, efectuarea unor calcule destul de complexe, apare inevitabil una sau alta abatere. Pentru a evalua o astfel de inexactitate, se obișnuiește să se utilizeze doi indicatori - aceștia sunt erori absolute și relative.

Dacă scădem rezultatul din valoarea exactă a numărului, atunci vom obține abaterea absolută (mai mult, la numărare, din cea mai mică se scade). De exemplu, dacă rotunjiți de la 1370 la 1400, atunci eroarea absolută va fi 1400-1382 = 18. Când este rotunjită la 1380, abaterea absolută va fi 1382-1380 = 2. Formula de eroare absolută este:

Δx = |x* - x|, aici

x* - valoarea adevărată,

x este o valoare aproximativă.

Cu toate acestea, acest indicator în sine nu este în mod clar suficient pentru a caracteriza acuratețea. Judecați singuri, dacă eroarea de greutate este de 0,2 grame, atunci când cântăriți substanțe chimice pentru microsinteză va fi mult, când cântăriți 200 de grame de cârnați este destul de normal și atunci când măsurați greutatea unui vagon de cale ferată, este posibil să nu fie observat. deloc. Prin urmare, adesea împreună cu eroarea absolută, eroarea relativă este indicată sau calculată. Formula pentru acest indicator arată astfel:

Luați în considerare un exemplu. Să fie numărul total de elevi din școală 196. Să rotunjim acest număr la 200.

Abaterea absolută va fi 200 - 196 = 4. Eroarea relativă va fi 4/196 sau rotunjită, 4/196 = 2%.

Astfel, dacă valoarea adevărată a unei anumite cantități este cunoscută, atunci eroarea relativă a valorii aproximative acceptate este raportul dintre abaterea absolută a valorii aproximative și valoarea exactă. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, dezvăluirea adevăratei valori exacte este foarte problematică și uneori chiar imposibilă. Și, prin urmare, este imposibil să se calculeze exact, dar este întotdeauna posibil să se determine un număr, care va fi întotdeauna puțin mai mare decât eroarea maximă absolută sau relativă.

De exemplu, un vânzător cântărește un pepene galben pe o cântar. În acest caz, greutatea cea mai mică este de 50 de grame. Cântarul arăta 2000 de grame. Aceasta este o valoare aproximativă. Greutatea exactă a pepenilor este necunoscută. Cu toate acestea, știm că nu poate fi mai mare de 50 de grame. Atunci greutatea relativă nu depășește 50/2000 = 2,5%.

Valoarea care este inițial mai mare decât eroarea absolută sau, în cel mai rău caz, egală cu aceasta, este de obicei numită eroare absolută limită sau limită de eroare absolută. În exemplul anterior, această cifră este de 50 de grame. Eroarea relativă limită este determinată într-un mod similar, care în exemplul de mai sus a fost de 2,5%.

Valoarea erorii marginale nu este strict specificată. Deci, în loc de 50 de grame, am putea lua orice număr mai mare decât greutatea celei mai mici greutăți, să zicem 100 g sau 150 g. Cu toate acestea, în practică, se alege valoarea minima. Și dacă poate fi determinată cu precizie, atunci va servi simultan ca eroare marginală.

Se întâmplă ca eroarea marginală absolută să nu fie specificată. Atunci trebuie considerat că este egal cu jumătate din unitatea ultimei cifre specificate (dacă este un număr) sau cu unitatea minimă de diviziune (dacă este un instrument). De exemplu, pentru o riglă milimetrică, acest parametru este de 0,5 mm, iar pentru un număr aproximativ de 3,65, abaterea limită absolută este de 0,005.

În implementarea practică a procesului de măsurare, indiferent de acuratețea instrumentelor de măsurare, corectitudinea metodologiei și minuțiozitatea
măsurători, rezultatele măsurătorii diferă de valoarea adevărată a mărimii măsurate, adică erorile de măsurare sunt inevitabile. La evaluarea erorii se ia valoarea reală în locul valorii adevărate; prin urmare, poate fi dată doar o estimare aproximativă a erorii de măsurare. Evaluarea fiabilității rezultatului măsurării, i.e. determinarea erorii de măsurare este una dintre sarcinile principale ale metrologiei.
Eroarea este abaterea rezultatului măsurării de la valoarea reală a mărimii măsurate. Erorile pot fi împărțite condiționat în erori ale instrumentelor de măsurare și erori ale rezultatului măsurării.
Erori la instrumentele de măsură au fost discutate în capitolul 3.
Eroare de măsurare este un număr care indică limitele posibile de incertitudine ale valorii mărimii măsurate.
Mai jos, se va da o clasificare și se vor lua în considerare erorile rezultatului măsurării.
Prin expresie numerică distinge absolută şi erori relative.
În funcție de origine sunt erori instrumentale, metodice, lecturi și setări.
După tiparele de manifestare erorile de măsurare sunt împărțite la sistematic, progresiv, aleatoriu și brut.
Să luăm în considerare erorile de măsurare indicate mai detaliat.

4.1. Erori absolute și relative

Eroare absolută D este diferența dintre X măsurat și X adevărat și valorile mărimii măsurate. Eroarea absolută se exprimă în unități ale valorii măsurate: D = X - Chi.
Deoarece valoarea reală a mărimii măsurate nu poate fi determinată, în practică se utilizează în schimb valoarea reală a mărimii măsurate Xd. Valoarea reală se găsește experimental, prin aplicarea suficientă metode precise si instrumente de masura. Diferă puțin de valoarea adevărată și poate fi folosit în locul ei pentru a rezolva problema. În timpul verificării, citirile instrumentelor de măsurare exemplare sunt de obicei luate ca valoare reală. Astfel, în practică, eroarea absolută se găsește prin formula D » X - Xd. Eroare relativă d este raportul dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea adevărată (reala) a mărimii măsurate (de obicei este exprimată în procente): .

4.2. erori instrumentale și metodologice,
citiri și setări

instrumental erorile (instrument sau hardware) sunt cele care aparțin unui anumit instrument de măsurare, pot fi determinate în timpul testării acestuia și introduse în pașaportul acestuia.
Aceste erori se datorează deficiențelor de proiectare și tehnologice ale instrumentelor de măsură, precum și consecințelor uzurii, îmbătrânirii sau defecțiunii acestora. Erori instrumentale, din cauza erorilor instrumentelor de măsură folosite, au fost luate în considerare în Capitolul 3.
Cu toate acestea, pe lângă erorile instrumentale, în timpul măsurătorilor există și astfel de erori care nu pot fi atribuite acestui dispozitiv, nu pot fi indicate în pașaportul său și sunt numite metodic, acestea. asociat nu cu dispozitivul în sine, ci cu metoda de utilizare a acestuia.
Erori metodologice poate apărea din cauza imperfecțiunii dezvoltării teoriei fenomenelor care stă la baza metodei de măsurare, a inexactității relațiilor utilizate pentru a găsi o estimare a mărimii măsurate, precum și din cauza discrepanței dintre mărimea măsurată și modelul acesteia.
Luați în considerare exemple care ilustrează eroarea metodologică de măsurare.
Obiectul de studiu este o sursă de tensiune alternativă, a cărei valoare a amplitudinii um trebuie măsurat. Pe baza unui studiu preliminar al obiectului de studiu, a fost adoptat ca model un generator de tensiune sinusoidal. Folosind un voltmetru conceput pentru a măsura valorile efective ale tensiunilor alternative și cunoscând relația dintre valorile efective și amplitudinea tensiunii sinusoidale, obținem rezultatul măsurării sub forma um = × UV, Unde UV- citirea voltmetrului. Un studiu mai amănunțit al obiectului ar putea dezvălui că forma tensiunii măsurate diferă de cea sinusoidală și o relație mai corectă între valoarea măsurată și citirea voltmetrului um =k× UV, Unde k¹ . Astfel, imperfecțiunea modelului acceptat al obiectului de studiu duce la o eroare metodologică de măsurare DU= × UV-k× UV.
Această eroare poate fi redusă fie prin calcularea valorii k pe baza unei analize a formei curbei tensiunii măsurate, sau prin înlocuirea instrumentului de măsurare, luând un voltmetru destinat măsurării valorilor de amplitudine ale tensiunilor alternative.
Un motiv foarte frecvent pentru apariția erorilor metodologice este faptul că, atunci când organizăm măsurători, suntem forțați să măsurăm (sau să măsurăm în mod deliberat) nu valoarea care ar trebui măsurată, ci una alta, apropiată, dar nu egală cu aceasta.

Un exemplu de astfel de eroare metodologică este eroarea de măsurare a tensiunii cu un voltmetru cu rezistență finită (Fig. 4.1).
Datorită voltmetrului care manevrează secțiunea circuitului în care se măsoară tensiunea, aceasta se dovedește a fi mai mică decât era înainte de conectarea voltmetrului. Și într-adevăr, tensiunea pe care o va afișa voltmetrul este determinată de expresie U=I×Rv. Având în vedere că curentul din circuit I=E/(Ri +Rv), Acea
< .
Prin urmare, pentru același voltmetru conectat la rândul său la diferite secțiuni ale circuitului studiat, această eroare este diferită: în secțiunile cu rezistență scăzută este neglijabilă, iar în secțiunile cu rezistență ridicată poate fi foarte mare. Această eroare ar putea fi eliminată dacă voltmetrul a fost conectat în mod constant la această secțiune a circuitului pe toată durata de funcționare a dispozitivului (ca pe panoul unei centrale electrice), dar acest lucru este dezavantajos din multe motive.
Există cazuri frecvente când este în general dificil să se indice o metodă de măsurare care exclude eroarea metodologică. Să fie măsurată, de exemplu, temperatura lingourilor fierbinți care vin de la cuptor la laminor. Întrebarea este, unde să plasați senzorul de temperatură (de exemplu, un termocuplu): sub semifabricat, pe lateral sau deasupra semifabricatului? Oriunde îl plasăm, nu vom măsura temperatura internă a corpului gol, adică. vom avea o eroare metodologică semnificativă, deoarece măsurăm nu ceea ce este necesar, ci ceea ce este mai ușor (nu găuriți un canal în fiecare semifabricat pentru a plasa un termocuplu în centrul acestuia).
Deci principala trăsătură distinctivă erori metodologice constă în faptul că nu pot fi indicate în pașaportul instrumentului, ci trebuie evaluate de către experimentator însuși atunci când organizează tehnica de măsurare aleasă, de aceea trebuie să facă distincția clară între măsurabile ele de dimensiunea de măsurat.
Eroare de citire provine din citiri inexacte. Se datorează caracteristicilor subiective ale observatorului (de exemplu, eroarea de interpolare, adică citirea inexactă a fracțiilor de diviziune pe scara instrumentului) și tipului de dispozitiv de citire (de exemplu, eroarea de paralaxă). Nu există erori de numărare la utilizarea instrumentelor de măsurare digitale, ceea ce este unul dintre motivele caracterului promițător al acestora din urmă.
Eroare de instalare este cauzată de abaterea condițiilor de măsurare de la normal, adică condiţiile în care s-au efectuat calibrarea şi verificarea instrumentelor de măsură. Aceasta include, de exemplu, eroarea de la instalarea incorectă a dispozitivului în spațiu sau indicatorul său la zero, de la schimbările de temperatură, tensiunea de alimentare și alte cantități influențe.
Tipurile de erori luate în considerare sunt la fel de potrivite pentru caracterizarea acurateței atât a rezultatelor individuale de măsurare, cât și a instrumentelor de măsurare.

4.3. Erori sistematice, progresive, aleatorii și grosolane

Eroare sistematică de măsurare Dc este componenta erorii de măsurare care rămâne constantă sau se modifică în mod regulat în timpul măsurătorilor repetate de aceeași valoare.
Motivele apariției erorilor sistematice pot fi stabilite de obicei în timpul pregătirii și efectuării măsurătorilor. Aceste motive sunt foarte diverse: imperfecțiunea instrumentelor de măsurare și a metodelor utilizate, instalarea incorectă a instrumentului de măsurare, influența factorilor externi (care influențează cantitățile) asupra parametrilor instrumentelor de măsură și asupra obiectului de măsurat în sine, deficiențele metoda de măsurare (erori metodologice), caracteristici individuale operator (erori subiective), etc. În funcție de natura manifestării, erorile sistematice sunt împărțite în constante și variabile. Constantele includ, de exemplu, erori datorate inexactității în ajustarea valorii măsurii, gradarea incorectă a scalei instrumentului, instalarea incorectă a instrumentului în raport cu direcția câmpurilor magnetice etc. Erorile sistematice variabile se datorează influenței cantităților de influență asupra procesului de măsurare și pot apărea, de exemplu, atunci când se modifică tensiunea sursei de alimentare a dispozitivului, câmpurile magnetice externe, frecvența tensiunii alternative măsurate etc. Trăsătura erorilor sistematice este că dependența lor de mărimile care influențează este supusă unei anumite legi. Această lege poate fi studiată, iar rezultatul măsurării poate fi rafinat prin modificarea, dacă valori numerice aceste erori sunt determinate. O altă modalitate de a reduce influența erorilor sistematice este utilizarea unor astfel de metode de măsurare care să permită excluderea influenței erorilor sistematice fără a determina valorile acestora (de exemplu, metoda de substituție).
Rezultatul măsurării este mai aproape de valoarea reală a mărimii măsurate, cu atât erorile sistematice rămase neexcluse sunt mai mici. Prezența erorilor sistematice excluse determină corectitudinea măsurătorilor, o calitate care reflectă apropierea erorilor sistematice de zero. Rezultatul măsurării va fi la fel de corect, cu cât nu este distorsionat de erori sistematice și, cu cât mai corect, cu atât mai mici aceste erori.
progresivă(sau deriva) se numesc erori imprevizibile care se schimba incet in timp. Aceste erori, de regulă, sunt cauzate de procesele de îmbătrânire ale anumitor părți ale echipamentului (descărcarea surselor de alimentare, îmbătrânirea rezistențelor, condensatoarelor, deformarea pieselor mecanice, contracția benzii de hârtie în instrumentele de autoînregistrare etc.). O caracteristică a erorilor progresive este că ele pot fi corectate prin introducerea unei corecții numai la un moment dat în timp și apoi cresc din nou în mod imprevizibil. Prin urmare, spre deosebire de erorile sistematice, care pot fi corectate printr-o corecție găsită o singură dată pe întreaga durată de viață a dispozitivului, erorile progresive necesită repetarea continuă a corecției și cu cât mai des, cu atât valoarea lor reziduală ar trebui să fie mai mică. O altă caracteristică a erorilor progresive este că schimbarea lor în timp este un proces aleator nestaționar și, prin urmare, în cadrul unei teorii bine dezvoltate a proceselor aleatoare staționare, ele pot fi descrise doar cu rezerve.
Eroare de măsurare aleatorie este componenta erorii de măsurare, care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi. Valoarea și semnul erorilor aleatoare nu pot fi determinate, nu pot fi luate în considerare direct din cauza schimbării lor haotice datorită influenței simultane a diverșilor factori independenți unul de celălalt asupra rezultatului măsurării. Erorile aleatorii se găsesc în mai multe măsurători ale aceleiași mărimi (măsurătorile separate în acest caz se numesc observații) de către aceleași instrumente de măsurare în aceleași condiții de către același observator, i.e. la măsurători la fel de precise (echidisperse). Influența erorilor aleatoare asupra rezultatului măsurării este luată în considerare prin metodele statisticii matematice și teoria probabilităților.
Erori de măsurare brute - erori aleatorii de măsurare care le depășesc semnificativ pe cele așteptate în condițiile de eroare date.
Erorile mari (greșelile) sunt de obicei cauzate de citiri incorecte ale instrumentului, o eroare în înregistrarea observațiilor, prezența unei cantități puternic influențate, o funcționare defectuoasă a instrumentelor de măsurare și alte motive. De regulă, rezultatele măsurătorilor care conțin erori grosolane nu sunt luate în considerare, astfel încât erorile grosolane au un efect redus asupra preciziei măsurării. Găsirea unei rate nu este întotdeauna ușoară, mai ales cu o singură măsurare; este adesea dificil să distingem o eroare grosolană de o eroare aleatorie mare. Dacă erorile majore sunt comune, vom pune la îndoială toate rezultatele măsurătorilor. Prin urmare, erorile grave afectează validitatea măsurătorilor.
În concluzia împărțirii descrise a erorilor mijloacelor și a rezultatelor măsurătorii în componente aleatoare, progresive și sistematice, este necesar să se acorde atenție faptului că o astfel de împărțire este o metodă foarte simplificată de analiză a acestora. Prin urmare, trebuie amintit întotdeauna că, în realitate, aceste componente ale erorii apar împreună și formează un singur proces aleator non-staționar. În acest caz, eroarea rezultatului măsurării poate fi reprezentată ca suma erorilor Dc aleatoare și sistematice: D = Dc +. Erorile de măsurare includ o componentă aleatorie, deci ar trebui să fie considerată o variabilă aleatoare.
Luarea în considerare a naturii manifestării erorilor de măsurare ne arată că singura modalitate corectă de evaluare a erorilor ne este dată de teoria probabilității și statistica matematică.

4.4. Abordare probabilistă a descrierii erorilor

Legile distribuției erorilor aleatoare. Erorile aleatorii sunt detectate în timpul unei serii de măsurători de aceeași valoare. În acest caz, rezultatele măsurătorii, de regulă, nu coincid unele cu altele, deoarece din cauza impactului total al multor factori diferiți care nu pot fi luați în considerare, fiecare măsurătoare nouă dă și o nouă valoare aleatorie a cantității măsurate. La conduită adecvată măsurători, un număr suficient de acestea și excluderea erorilor sistematice și a erorilor, se poate susține că valoarea adevărată a mărimii măsurate nu depășește valorile obținute în timpul acestor măsurători. Rămâne necunoscut până când este determinată valoarea teoretic probabilă a erorii aleatoare.
Fie măsurată valoarea lui A P ori și a observat valorile a1, a2, a3,…,a i,...,un. Eroarea absolută aleatorie a unei singure măsurători este determinată de diferență
Di = ai - A . (4,1)
Grafic, rezultatele măsurătorilor individuale sunt prezentate în Fig. 4.2.
Pentru un număr suficient de mare P aceleași erori, dacă au un număr de valori discrete, se repetă și de aceea se poate stabili frecvența (frecvența) relativă a apariției lor, adică. raportul dintre numărul de date identice primite mi La numărul total măsurătorile luate P. Pe măsură ce măsurătorile continuă, cantitățile A această frecvență nu se va modifica, deci poate fi considerată probabilitatea unei erori în aceste măsurători: p(AI) = mi / n.

Se numește dependența statistică a probabilității de apariție a erorilor aleatoare de valoarea lor legea distribuirii erorilor sau legea distribuției probabilităților. Această lege determină natura apariției diferitelor rezultate ale măsurătorilor individuale. Există două tipuri de descriere a legilor de distribuție: integralăȘi diferenţial.
lege integrală, sau funcția de distribuție a probabilitățiiF( D ) eroare aleatorie Di Vi-a experiență, ei numesc o funcție a cărei valoare pentru fiecare D este probabilitatea unui eveniment R(D), care constă în faptul că eroarea aleatoare Di ia valori mai mici decât o anumită valoare D, adică. funcţie F( D ) = P[ Di < D ]. Această funcție, când D se schimbă de la -¥ la +¥, ia valori de la 0 la 1 și este nedescrescătoare. Ea există pentru toate variabilele aleatoare, atât discrete, cât și continue (Figura 4.3 a).
Dacă F(D) simetric fata de un punct A, probabilitatea corespunzătoare 0,5, atunci distribuția rezultatelor observației va fi simetrică față de valoarea adevărată A.În acest caz, este recomandabil F(D) deplasarea de-a lungul abscisei cu valoarea DA, i.e. excludeți componenta sistematică a erorii (DA =DC)și obțineți funcția de distribuție a componentei aleatoare a erorii D=(Fig. 4.3 b). Funcția de distribuție a probabilității de eroare D diferă de funcția de distribuție a probabilității a componentei aleatoare a erorii doar printr-o deplasare de-a lungul axei absciselor cu valoarea componentei sistematice a erorii DC.
legea diferentiala distribuții de probabilitate pentru o eroare aleatorie cu o funcție de distribuție continuă și diferențiabilă F(D) apelați funcția . Această dependență este densitatea distribuției de probabilitate. Un grafic de densitate de probabilitate poate avea formă diferităîn funcţie de legea repartizării erorilor. Pentru F(D) prezentată în fig. 4.3 b, curba de distribuție f(D) are o formă apropiată de forma unui clopot (Fig. 4.3 c).
Probabilitatea de apariție a erorilor aleatoare este determinată de aria delimitată de curbă f(D) sau partea sa și axa x (Fig. 4.3 c). În funcție de intervalul de eroare considerat .

Sens f(D)dD există un element de probabilitate egal cu aria unui dreptunghi cu bază dD și abscisă D1,D2, numite cuantile. Deoarece F(+¥)= 1, apoi egalitatea ,
acestea. zona de sub curbă f(D) conform regulii de normalizare, este egal cu unu și reflectă probabilitatea tuturor evenimentelor posibile.
În practica măsurătorilor electrice, una dintre cele mai comune legi de distribuție pentru erori aleatorii este legea normală(Gauss).
expresie matematică legea normală are forma
,
Unde f(D)- densitatea de probabilitate a erorii aleatoare D = aeu-A; s - abaterea standard. Abaterea standard poate fi exprimată în termeni de abateri aleatorii ale rezultatelor observaționale Di (vezi formula (4.1)):
.
Natura curbelor descrise de această ecuație pentru două valori ale lui s este prezentată în fig. 4.4. Din aceste curbe se poate observa că cu cât s este mai mic, cu atât apar mai des erori aleatorii mici, adică cu atât măsurătorile sunt mai precise. În practica măsurătorilor, există și alte legi de distribuție care pot fi stabilite pe baza prelucrărilor statistice.

date experimentale. Unele dintre cele mai comune legi de distribuție sunt date în GOST 8.011-84 „Indicatori de precizie a măsurătorilor și forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor”.
Principalele caracteristici ale legilor de distribuție sunt valorea estimataȘi dispersie.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este valoarea sa în jurul căreia sunt grupate rezultatele observațiilor individuale. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete M[X] este definită ca suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatorii prin probabilitatea acestor valori .
Pentru variabile aleatoare continue, se recurge la integrare, pentru care este necesar să se cunoască dependența densității de probabilitate de X, adică f(x), Unde x=D. Apoi .
Această expresie înseamnă că așteptarea matematică este egală cu suma unui număr infinit de produse ale tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare X peste zone infinitezimale f(x)dx, Unde f(x) - ordonate pentru fiecare X, A dx - segmente elementare ale axei x.
Dacă există o distribuție normală a erorilor aleatoare, atunci așteptarea matematică a erorii aleatoare este zero (Fig. 4.4). Dacă luăm în considerare distribuția normală a rezultatelor, atunci așteptarea matematică va corespunde valorii adevărate a mărimii măsurate, pe care o notăm cu A.
Eroarea sistematică în acest caz este abaterea așteptări matematice rezultate observaționale din valoarea adevărată A valoare măsurată: Dc = M[X]-A, iar eroarea aleatorie este diferența dintre rezultatul unei singure observații și așteptarea matematică: .
Dispersia unei serii de observații caracterizează gradul de dispersie (împrăștiere) a rezultatelor observațiilor individuale în jurul așteptării matematice:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Cu cât variația este mai mică, cu atât este mai mică răspândirea rezultatelor individuale, cu atât măsurătorile sunt mai precise. Cu toate acestea, dispersia este exprimată în unități pe pătrat ale mărimii măsurate. Prin urmare, ca o caracteristică a acurateței unei serii de observații, abaterea standard (RMS) este folosită cel mai adesea, egal cu rădăcina la pătratul dispersiei: .
Distribuția normală considerată a variabilelor aleatoare, inclusiv erorile aleatoare, este teoretică, prin urmare distribuția normală descrisă ar trebui considerată „ideală”, adică ca baza teoretica pentru a studia erorile aleatoare și influența lor asupra rezultatului măsurării.
În plus, sunt subliniate modalitățile de aplicare a acestei distribuții în practică cu diferite grade de aproximare. Se ia în considerare și o altă distribuție (distribuția Studentului), care este utilizată pentru un număr mic de observații.
Estimări ale erorilor în rezultatele măsurătorilor directe. Să se țină P măsurători directe ale aceleiași mărimi. În cazul general, în fiecare dintre actele de măsurare, eroarea va fi diferită:
Di =ai-A,
unde Di este eroarea i-a măsurătoare; ai- rezultatul celei de-a i-a măsurători.
Deoarece valoarea adevărată a mărimii măsurate A este necunoscută, eroarea absolută aleatorie nu poate fi calculată direct. În calcule practice, în loc de A folosește-i scorul. De obicei se presupune că adevărata valoare este media aritmetică a unei serii de măsurători:
. (4.2)
Unde Aeu- rezultatele măsurătorilor individuale; P - numărul de măsurători.
Acum, similar expresiei (4.1), putem determina abaterea rezultatului fiecărei măsurători de la valoarea medie :
(4.3)
Unde v i- abaterea rezultatului unei singure măsurări de la valoarea medie. Trebuie amintit că suma abaterilor rezultatului măsurării de la valoarea medie este zero, iar suma pătratelor lor este minimă, adică.
și min.
Aceste proprietăți sunt utilizate la procesarea rezultatelor măsurătorilor pentru a controla corectitudinea calculelor.
Apoi calculați valoarea estimată eroare pătrată medie pentru o serie dată de măsurători

. (4.4)
Conform teoriei probabilităților, pentru un număr suficient de mare de măsurători cu erori aleatoare independente, estimarea S converge în probabilitate către s. Prin urmare,

. (4.5)
Din moment ce media aritmetică este, de asemenea, o variabilă aleatorie, conceptul de abatere standard a mediei aritmetice are sens. Această valoare va fi indicată prin simbolul sav. Se poate arăta că pentru erori independente
. (4.6)
Valoarea sav caracterizează gradul de răspândire . După cum sa menționat mai sus, acționează ca o estimare a valorii adevărate a valorii măsurate, adică este rezultatul final al măsurătorilor efectuate. Prin urmare, sav se mai numește și eroarea pătratică medie a rezultatului măsurării.
În practică, valoarea lui s calculată prin formula (4.5) este utilizată dacă este necesar să se caracterizeze acuratețea metodei de măsurare utilizate: dacă metoda este exactă, atunci împrăștierea rezultatelor măsurătorilor individuale este mică, adică. valoare mică . Valoarea sp , calculat prin (4.6) este utilizat pentru a caracteriza acuratețea rezultatului măsurării unei anumite mărimi, adică. rezultatul obţinut prin prelucrarea matematică a rezultatelor unui număr de măsurători directe individuale.
Când se evaluează rezultatele măsurătorilor, conceptul este uneori folosit maxim sau eroare maxima admisa, a cărui valoare se determină în acțiuni de s sau S . Există în prezent criterii diferite stabilirea erorii maxime, adică a limitelor câmpului de toleranță ± D, în care trebuie să se încadreze erori aleatorii. Definiția erorii maxime D = 3s (sau 3 S). ÎN În ultima vreme bazat teoria informaţiei măsurători, profesorul P. V. Novitsky recomandă utilizarea valorii D = 2s.
Introducem acum concepte importante nivel de încredereȘi interval de încredere. După cum am menționat mai sus, media aritmetică , obţinută în urma unor serii de măsurători, este o estimare a valorii adevărate Ași, de regulă, nu coincide cu acesta, ci diferă prin valoarea erorii. Lăsa Rd există posibilitatea ca difera de A cel mult D, i.e. R(-D< A< + D)=Rd. Probabilitate Rd numit probabilitatea de încredere,și intervalul de valori ale valorii măsurate de la - D la + D- interval de încredere.
Inegalitățile de mai sus înseamnă că cu probabilitate Rd interval de încredere de la - D la + D conține adevăratul sens A. Astfel, pentru a caracteriza eroarea aleatoare destul de complet, este necesar să existe două numere - probabilitatea de încredere și intervalul de încredere corespunzător acesteia. Dacă legea distribuției probabilităților de eroare este cunoscută, atunci un interval de încredere poate fi determinat dintr-o probabilitate de încredere dată. În special, pentru un număr suficient de mare de măsurători este adesea justificată utilizarea legii normale, în timp ce pentru un număr mic de măsurători (P< 20), ale căror rezultate aparțin distribuției normale, trebuie utilizată distribuția Studentului. Această distribuție are o densitate de probabilitate care practic coincide cu cea normală pentru mari P, dar semnificativ diferit de normal la mic P.
În tabel. 4.1 prezintă așa-numitele cuantile ale distribuției lui Student ½ t(n)½ Rd pentru numărul de măsurători P= 2 - 20 și probabilități de încredere R = 0,5 - 0,999.
Subliniem, totuși, că de obicei tabelele de distribuție ale Studentului nu sunt date pentru valori PȘi Rd, si pentru valori m =n-1Și a \u003d 1 - Rd, ce să iei în considerare atunci când le folosești. Pentru a determina intervalul de încredere, este necesar pentru date PȘi Rd găsiți cuantila ½ t(n)½Rd și calculați valorile Un = - sp× ½ t(n)½Rdi Av = + sp× ½ t(n)½Rd, care vor fi limitele inferioare și superioare ale intervalului de încredere.

După găsirea intervalelor de încredere pentru o probabilitate de încredere dată conform metodologiei de mai sus, rezultatul măsurării este înregistrat sub forma ; D=Dn¸ Dv; Rd,
Unde - evaluarea valorii reale a rezultatului măsurătorii în unităţi ale valorii măsurate; D - eroare de măsurare; Dv = + sp× ½ t(n)½Рд și Dн = - sp× ½ t(n)½Rd - limitele superioare și inferioare ale erorii de măsurare; Rd - probabilitatea de încredere.

Tabelul 4.1

Estimarea erorilor în rezultatele măsurătorilor indirecte. Cu măsurători indirecte, valoarea dorită A legate funcțional de una sau mai multe mărimi măsurate direct: X,y,..., t. Luați în considerare cel mai simplu caz de determinare a erorii pentru o variabilă, când A= F(X). Indicând eroarea absolută de măsurare a mărimii X prin ±Dx , obținem A+ D A= F(x± D X).
Expandând partea dreaptă a acestei egalități într-o serie Taylor și neglijând termenii de expansiune care conțin Dx la o putere mai mare decât prima, obținem
A+DA » F(x) ± Dx sau DA » ± Dx.
Eroarea relativă de măsurare a funcției este determinată din expresie
.
Dacă valoarea măsurată A este o funcție a mai multor variabile: A=F(X,y,...,t), apoi eroarea absolută a rezultatului măsurătorilor indirecte
.
Erorile relative parțiale ale măsurării indirecte sunt determinate de formule ; etc. Eroarea relativă a rezultatului măsurării
.
Să ne oprim și asupra caracteristicilor estimării rezultatului unei măsurători indirecte în prezența unei erori aleatorii.
Pentru a estima eroarea aleatorie a rezultatelor măsurătorilor indirecte ale mărimii A vom presupune că erorile sistematice în măsurătorile mărimilor x, y,…, t sunt excluse, iar erorile aleatorii în măsurarea acelorași mărimi nu depind unele de altele.
La măsurători indirecte, valoarea mărimii măsurate se găsește prin formula ,
unde sunt valorile medii sau medii ponderate ale cantităților x, y,…, t .
Pentru a calcula abaterea standard a valorii măsurate A se recomanda folosirea abaterilor standard obtinute in timpul masuratorilor x, y,…, t .
ÎN vedere generala pentru a determina abaterea standard s de măsurare indirectă, se utilizează următoarea formulă:
, (4.7)
Unde Dx ;Dy ;…;Dt- așa-numitele erori parțiale de măsurare indirectă ; ; …; ; ; ; … ; — derivate parțiale A De x, y,…, t ;s x; sy,…,st, …— abaterile standard ale rezultatelor măsurătorilor x, y,…, t .
Să luăm în considerare câteva cazuri speciale de aplicare a ecuației (4.7), când dependența funcțională dintre mărimile măsurate indirect și direct este exprimată prin formula A=k× XA× yb× zg, Unde k- coeficient numeric (adimensional).
În acest caz, formula (4.7) ia următoarea formă:
.
Dacă a =b=g = 1Și A=k× X× y× z, atunci formula erorii relative este simplificată la forma .
Această formulă este aplicabilă, de exemplu, pentru a calcula abaterea standard a unei măsurători de volum de la măsurătorile de înălțime, lățime și adâncime ale unui rezervor cuboid.

4.5. Reguli pentru însumarea erorilor aleatoare și sistematice
Eroarea instrumentelor complexe de măsurare depinde de erorile nodurilor (blocurilor) individuale. Erorile sunt rezumate conform anumitor reguli.
Să fie, de exemplu, dispozitivul de măsurare alcătuit din m blocuri, fiecare dintre ele având erori aleatoare independente. În același timp, valorile absolute ale rădăcinii-medii-pătrate sk sau maxime Mk eroare pentru fiecare bloc.
Însumarea aritmetică sau dă eroarea maximă a dispozitivului, care are o probabilitate neglijabilă și, prin urmare, este rareori utilizată pentru a evalua acuratețea dispozitivului în ansamblu. Conform teoriei erorilor, eroarea rezultată sres și Mrez determinată prin adunare pătratică sau .
Eroarea relativă de măsurare rezultată este determinată în mod similar: . (4.8)
Ecuația (4.8) poate fi utilizată pentru a determina erorile admisibile ale blocurilor individuale de dispozitive în curs de dezvoltare cu o eroare de măsurare totală dată. La proiectarea unui dispozitiv, li se dau de obicei erori egale pentru blocurile individuale incluse în acesta. Dacă există mai multe surse de erori care afectează în mod diferit rezultatul final al măsurării (sau dispozitivul este format din mai multe blocuri cu erori diferite), în formula (4.8) trebuie introduși coeficienți de ponderare. ki :
, (4.9)
unde d1, d2, …, dm sunt erorile relative ale nodurilor individuale (blocuri) Aparat de măsură; k1,k2, … ,km- coeficienți care țin cont de gradul de influență a erorii aleatoare a acestui bloc asupra rezultatului măsurării.
Dacă dispozitivul de măsurare (sau blocurile sale) prezintă și erori sistematice, eroarea totală este determinată de suma lor: Aceeași abordare este valabilă pentru Mai mult componente.
Atunci când se evaluează influența erorilor parțiale, trebuie luat în considerare faptul că acuratețea măsurătorilor depinde în principal de erorile care sunt mari în valoare absolută, iar unele dintre cele mai mici erori pot fi ignorate. Eroarea parțială este estimată pe baza așa-numitelor criteriul erorii neglijabile, care este după cum urmează. Să presupunem că eroarea totală dres este determinată de formula (4.8) luând în considerare toate m erori parțiale, printre care unele erori di au o valoare mică. Dacă eroarea totală d¢res, calculată fără a lua în considerare eroarea di, diferă de dres cu cel mult 5%, adică. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезÎn practica calculelor tehnice, este adesea folosit un criteriu mai puțin strict - în aceste formule se introduce un coeficient de 0,4.

4.6. Forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor

Rezultatul unei măsurători este valoros numai atunci când intervalul său de incertitudine poate fi estimat, adică gradul de fiabilitate. Prin urmare, rezultatul măsurării trebuie să conțină valoarea mărimii măsurate și caracteristicile preciziei acestei valori, care sunt erori sistematice și aleatorii. Indicatorii cantitativi ai erorilor, metodele de exprimare a acestora, precum și formele de prezentare a rezultatelor măsurătorilor sunt reglementate de GOST 8.011-72 „Indicatori de precizie a măsurătorilor și forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor”. Să luăm în considerare principalele forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor.
Eroarea rezultatului unei singure măsurări directe depinde de mulți factori, dar este determinată în primul rând de eroarea instrumentelor de măsurare utilizate. Prin urmare, în prima aproximare, eroarea rezultatului măsurării poate fi luată egală cu
eroare, care la un punct dat din domeniul de măsurare caracterizează instrumentul de măsurare utilizat.
Erorile instrumentelor de măsurare variază în intervalul de măsurători. Prin urmare, în fiecare caz, pentru fiecare măsurătoare, este necesar să se calculeze eroarea rezultatului măsurării folosind formulele (3.19) - (3.21) de normalizare a erorii instrumentului de măsurare corespunzător. Trebuie calculate atât erorile absolute, cât și erorile relative ale rezultatului măsurării, deoarece prima dintre ele este necesară pentru rotunjirea rezultatului și înregistrarea corectă a acestuia, iar a doua pentru o caracteristică comparativă neechivocă a preciziei sale.
Pentru diferite caracteristici ale normalizării erorii SI, aceste calcule sunt efectuate în moduri diferite, așa că vom lua în considerare trei cazuri tipice.
1. Clasa dispozitivului este indicată ca un singur număr q,închis într-un cerc. Apoi eroarea relativă a rezultatului (în procente) g = q,și eroarea sa absolută D x =q× X/ 100.
2. Clasa dispozitivului este indicată printr-un număr p(fără cerc). Apoi eroarea absolută a rezultatului măsurării D x =p× xk / 100 unde Xk- limita de măsurare la care a fost efectuată, iar eroarea relativă de măsurare (în procente) se găsește prin formulă ,
adică în acest caz, la măsurare, cu excepția citirii valorii măsurate X trebuie să fie fixată și limita măsurătorilor Xk,în caz contrar, nu se va putea calcula mai târziu eroarea rezultatului.
3. Clasa dispozitivului este indicată prin două numere în formular CD. În acest caz, este mai convenabil să se calculeze eroarea relativă d rezultă prin formula (3.21) și abia apoi găsiți eroarea absolută ca Dx=d× x/100.
După efectuarea calculelor erorii, se utilizează una dintre formele de prezentare a rezultatului măsurării sub următoarea formă: X;± DȘi d, Unde X- valoare măsurată; D- eroare absolută de măsurare; d-eroare relativa de masurare. De exemplu, se face următoarea intrare: „Măsurarea a fost făcută cu o eroare relativă d= … %. valoare măsurată x = (A± D), Unde A- rezultatul măsurării.
Cu toate acestea, este mai clar să se indice limitele intervalului de incertitudine al valorii măsurate sub forma: x = (A-D)¸(A+D) sau (A-D)< х < (A+D) indicând unitățile de măsură.
O altă formă de prezentare a rezultatului măsurării este stabilită după cum urmează: X; D din Dn inainte de Dv; R, Unde X- rezultatul măsurării în unităţi ale valorii măsurate; D,Dн,Dv- respectiv, eroarea de măsurare cu limitele sale inferioare și superioare în aceleași unități; R- probabilitatea cu care eroarea de măsurare se află în aceste limite.
GOST 8.011-72 permite, de asemenea, alte forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor, care diferă de formele de mai sus prin faptul că indică separat caracteristicile componentelor sistematice și aleatorii ale erorii de măsurare. Totodată, pentru eroarea sistematică sunt indicate caracteristicile probabilistice ale acesteia. În acest caz, principalele caracteristici ale erorii sistematice sunt așteptarea matematică M [ Dxc], abateri standard[ Dxc] și intervalul său de încredere. Alocarea componentelor sistematice și aleatorii ale erorii este recomandabilă dacă rezultatul măsurării va fi utilizat în prelucrarea ulterioară a datelor, de exemplu, la determinarea rezultatului măsurătorilor indirecte și evaluarea acurateței acestuia, la însumarea erorilor etc.

Oricare dintre formele de prezentare a rezultatului măsurării, prevăzute de GOST 8.011-72, trebuie să conțină datele necesare, pe baza cărora poate fi determinat intervalul de încredere pentru eroarea rezultatului măsurării. În cazul general, se poate stabili un interval de încredere dacă se cunosc forma legii distribuției erorilor și principalele caracteristici numerice ale acestei legi.

Principala caracteristică calitativă a oricărui senzor de instrumentare este eroarea de măsurare a parametrului controlat. Eroarea de măsurare a dispozitivului este cantitatea de discrepanță dintre ceea ce a arătat senzorul de instrumente (măsurat) și ceea ce este de fapt. Eroarea de măsurare pentru fiecare tip de senzor este indicată în documentația de însoțire (pașaport, instrucțiuni de utilizare, procedură de verificare), care este furnizată împreună cu acest senzor.

După forma de prezentare, erorile se împart în absolut, relativȘi dat erori.

Eroare absolută- aceasta este diferența dintre valoarea lui Hism măsurată de senzor și valoarea reală Xd a acestei valori.

Valoarea reală Xd a mărimii măsurate este valoarea găsită experimental a mărimii măsurate cât mai aproape de valoarea sa adevărată. În termeni simpli, valoarea reală a Xd este valoarea măsurată de un instrument de referință sau generată de un calibrator sau de un punct de referință de înaltă precizie. Eroarea absolută este exprimată în aceleași unități ca și valoarea măsurată (ex. m3/h, mA, MPa etc.). Deoarece valoarea măsurată poate fi fie mai mare, fie mai mică decât valoarea reală, eroarea de măsurare poate fi fie cu semnul plus (citirile instrumentului sunt prea mari) fie cu semnul minus (instrumentul subestimează).

Eroare relativă este raportul dintre eroarea absolută de măsurare Δ și valoarea reală Xd a mărimii măsurate.

Eroarea relativă este exprimată ca procent sau este o mărime adimensională și poate lua atât valori pozitive, cât și negative.

Eroare redusă este raportul dintre eroarea absolută de măsurare Δ și valoarea de normalizare Xn, care este constantă pe întregul domeniu de măsurare sau pe o parte a acestuia.

Valoarea de normalizare Xn depinde de tipul scalei senzorului de instrumentare:

1. Dacă scara senzorului este unilaterală și limita inferioară de măsurare este zero (de exemplu, scara senzorului este de la 0 la 150 m3/h), atunci Xn este considerat egal cu limita superioară de măsurare (în cazul nostru, Xn = 150 m3/h).
2. Dacă scara senzorului este unilaterală, dar limita inferioară de măsurare nu este egală cu zero (de exemplu, scara senzorului este de la 30 la 150 m3/h), atunci Xn este considerat egal cu diferența dintre măsurarea superioară și inferioară. limite (în cazul nostru, Xn = 150-30 = 120 m3/h ).
3. Dacă scara senzorului este cu două fețe (de exemplu, de la -50 la +150 ˚С), atunci Хn este egal cu lățimea intervalului de măsurare a senzorului (în cazul nostru, Хn = 50+150 = 200 ˚С).

Eroarea dată este exprimată ca procent sau este o valoare adimensională și poate lua atât valori pozitive, cât și negative.

Destul de des, în descrierea unui anumit senzor, nu este indicat numai domeniul de măsurare, de exemplu, de la 0 la 50 mg/m3, ci și domeniul de citire, de exemplu, de la 0 la 100 mg/m3. Eroarea dată în acest caz este normalizată la sfârșitul intervalului de măsurare, adică la 50 mg/m3, iar în intervalul de indicații de la 50 la 100 mg/m3, eroarea de măsurare a senzorului nu este deloc determinată. - de fapt, senzorul poate arăta orice și poate avea orice eroare de măsurare. Domeniul de măsurare al senzorului poate fi împărțit în mai multe sub-domenii de măsurare, pentru fiecare dintre acestea putând fi determinată propria eroare atât ca mărime, cât și sub formă de reprezentare. În același timp, la calibrarea unor astfel de senzori pentru fiecare subgamă, pot fi utilizate propriile lor instrumente de măsurare exemplare, a căror listă este indicată în procedura de verificare pentru acest dispozitiv.

Pentru unele dispozitive din pașapoarte, în loc de eroarea de măsurare, este indicată clasa de precizie. Astfel de instrumente includ manometre mecanice care indică termometre bimetalice, termostate, debitmetre, ampermetre și voltmetre pentru montare pe panou etc. Clasa de precizie este o caracteristică generalizată a instrumentelor de măsurare, determinată de limitele erorilor de bază și suplimentare permise, precum și de o serie de alte proprietăți care afectează precizia măsurătorilor efectuate cu ajutorul lor. În același timp, clasa de precizie nu este o caracteristică directă a preciziei măsurătorilor efectuate de acest dispozitiv, ci indică doar o posibilă componentă instrumentală a erorii de măsurare. Clasa de precizie a dispozitivului este aplicată la scara sau carcasa acestuia în conformitate cu GOST 8.401-80.

La atribuirea unei clase de precizie unui dispozitiv, aceasta este selectată din intervalul 1·10 n ; 1,5 10n; (1,6 10n); 2 10n; 2,5 10n; (3 10n); 4 10n; 5 10n; 6 10n; (unde n = 1, 0, -1, -2 etc.). Valorile claselor de precizie indicate între paranteze nu sunt stabilite pentru instrumentele de măsură nou dezvoltate.

Determinarea erorii de măsurare a senzorilor se realizează, de exemplu, în timpul verificării și calibrării periodice a acestora. Cu ajutorul diverșilor setari și calibratori, anumite valori ale unei anumite mărimi fizice sunt generate cu precizie ridicată, iar citirile senzorului verificat sunt comparate cu citirile unui instrument de măsurare exemplar, la care aceeași valoare a mărimii fizice. este furnizat. Mai mult, eroarea de măsurare a senzorului este controlată atât în ​​timpul cursei înainte (creșterea mărimii fizice măsurate de la minim la maximul scalei), cât și în timpul cursei invers (scăderea valorii măsurate de la maxim la minim de scara). Acest lucru se datorează faptului că, datorită proprietăților elastice ale elementului sensibil al senzorului (membrana senzorului de presiune), intensității diferite a reacțiilor chimice (senzor electrochimic), inerției termice etc. citirile senzorului vor fi diferite în funcție de modul în care se modifică mărimea fizică care acționează asupra senzorului: scade sau crește.

Destul de des, în conformitate cu procedura de verificare, citirea citirilor senzorului în timpul verificării trebuie efectuată nu în funcție de afișajul sau scara acestuia, ci în funcție de valoarea semnalului de ieșire, de exemplu, în funcție de valoarea curentului de ieșire. a curentului de ieșire 4 ... 20 mA.

Pentru un senzor de presiune calibrat cu o scară de măsurare de la 0 la 250 mbar, eroarea relativă principală de măsurare pe întregul interval de măsurare este de 5%. Senzorul are o ieșire de curent de 4…20 mA. Calibratorul a aplicat senzorului o presiune de 125 mbar, în timp ce semnalul său de ieșire este de 12,62 mA. Este necesar să se determine dacă citirile senzorului sunt în limite acceptabile.

În primul rând, este necesar să se calculeze care ar trebui să fie curentul de ieșire al senzorului Iout.t la o presiune Pt = 125 mbar.

Iout.t \u003d Ish.out.min + ((Ish.out.max - Ish.out.min) / (Rsh.max - Rsh.min)) * Pt

unde Iout.t este curentul de ieșire al senzorului la o presiune dată de 125 mbar, mA.

Ish.out.min – curent minim de ieșire al senzorului, mA. Pentru un senzor cu o ieșire de 4…20 mA, Ish.out.min = 4 mA, pentru un senzor cu o ieșire de 0…5 sau 0…20 mA, Ish.out.min = 0.

Ish.out.max - curentul maxim de ieșire al senzorului, mA. Pentru un senzor cu o ieșire de 0…20 sau 4…20 mA, Ish.out.max = 20 mA, pentru un senzor cu o ieșire de 0…5 mA, Ish.out.max = 5 mA.

Psh.max - scara maximă a senzorului de presiune, mbar. Rsh.max = 250 mbar.

Psh.min - scala senzorului de presiune minima, mbar. Rsh.min = 0 mbar.

Pt este presiunea furnizată de la calibrator la senzor, mbar. RT = 125 mbar.

Înlocuind valorile cunoscute, obținem:

Iout.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA

Adică, cu o presiune de 125 mbar aplicată senzorului, curentul său de ieșire ar trebui să fie de 12 mA. Considerăm în ce limite se poate modifica valoarea calculată a curentului de ieșire, având în vedere că eroarea principală de măsurare relativă este de ± 5%.

ΔIout.t \u003d 12 ± (12 * 5%) / 100% \u003d (12 ± 0,6) mA

Adică, cu o presiune de 125 mbar aplicată senzorului, semnalul de ieșire la ieșirea curentă ar trebui să fie în intervalul de la 11,40 la 12,60 mA. În funcție de starea problemei, avem un semnal de ieșire de 12,62 mA, ceea ce înseamnă că senzorul nostru nu s-a încadrat în eroarea de măsurare specificată de producător și necesită ajustare.

Principala eroare relativă de măsurare a senzorului nostru este:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%

Verificarea și calibrarea instrumentelor de instrumente trebuie efectuate în condiții normale de mediu pentru presiunea atmosferică, umiditate și temperatură și la tensiunea nominală de alimentare a senzorului, deoarece temperatura și tensiunea de alimentare mai mari sau mai scăzute pot duce la erori suplimentare de măsurare. Condițiile de verificare sunt specificate în procedura de verificare. Dispozitivele, a căror eroare de măsurare nu s-a încadrat în cadrul stabilit prin procedura de verificare, sunt fie reajustate și ajustate, după care sunt recalibrate, fie, dacă ajustarea nu a adus rezultate, de exemplu, din cauza îmbătrânirea sau deformarea excesivă a senzorului, acestea sunt reparate. Dacă reparația nu este posibilă, dispozitivele sunt respinse și scoase din funcțiune.

Daca, totusi, aparatele au fost reparate, atunci acestea nu mai sunt supuse verificarii periodice, ci primare cu indeplinirea tuturor punctelor prevazute in procedura de verificare pentru acest tip de verificare. În unele cazuri, aparatul este supus în mod special unor reparații minore () deoarece, conform metodei de verificare, este mult mai ușor și mai ieftin să se efectueze verificarea primară decât verificarea periodică, din cauza diferențelor între setul de instrumente de măsurare exemplare care sunt utilizate în verificare periodică și primară.

Pentru a consolida și testa cunoștințele acumulate, recomand să faceți.