Cele mai simple ecuații de examen. Sarcina examenului de stat unificat: rezolvarea de ecuații simple

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie finalizare cu succes Examenul de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toate teorie necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Trucuri complicate soluții, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau în baza unor anchete publice sau solicitări de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Ecuații, partea $C$

O egalitate care conține un număr necunoscut, indicat printr-o literă, se numește ecuație. Expresia din stânga semnului egal se numește partea stângă a ecuației, iar expresia din dreapta se numește partea dreaptă a ecuației.

Schema de rezolvare a ecuatiilor complexe:

Înainte de a rezolva o ecuație, este necesar să scrieți intervalul de valori admisibile (ADV) pentru aceasta.
Rezolvați ecuația.
Selectați din rădăcinile obținute ale ecuației pe cele care satisfac ODZ.

ODZ a diferitelor expresii (prin expresie înțelegem notația alfanumerică):

1. Expresia din numitor nu trebuie să fie egală cu zero.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Expresia radicală nu trebuie să fie negativă.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Expresia radicală în numitor trebuie să fie pozitivă.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Pentru un logaritm: expresia sublogaritmică trebuie să fie pozitivă; baza trebuie să fie pozitivă; Baza nu poate fi egală cu unul.

$log_(f(x))g(x)\tabel\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Ecuații logaritmice

Ecuațiile logaritmice sunt ecuații de forma $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, unde $a$ este un număr pozitiv diferit de $1$ și ecuații care se reduc la această formă.

Pentru a rezolva ecuații logaritmice, trebuie să cunoașteți proprietățile logaritmilor: vom lua în considerare toate proprietățile logaritmilor pentru $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – orice număr real.

1. Pentru orice numere reale$m$ și $n$ au următoarele egalități:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmul produsului egal cu suma logaritmi la aceeași bază din fiecare factor.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritmul unui cot este egal cu diferența dintre logaritmii numărătorului și numitorului folosind aceeași bază

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Când înmulțiți doi logaritmi, puteți schimba bazele acestora

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, dacă $a, b, c$ și $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, unde $a, b, c > 0, a≠1$

6. Formula pentru mutarea la o nouă bază

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. În special, dacă este necesar să schimbați expresia de bază și sublogaritmică

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Există mai multe tipuri principale de ecuații logaritmice:

Cele mai simple ecuații logaritmice: $log_(a)x=b$. Soluția acestui tip de ecuație rezultă din definiția logaritmului, adică. $x=a^b$ și $x > 0$

Să reprezentăm ambele părți ale ecuației ca un logaritm la baza $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Dacă logaritmii cu aceeași bază sunt egali, atunci și expresiile sublogaritmice sunt egale.

Răspuns: $x = 8$

Ecuații de forma: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Deoarece bazele sunt aceleași, atunci echivalăm expresiile sublogaritmice și luăm în considerare ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Deoarece bazele sunt aceleași, atunci echivalăm expresiile sublogaritmice

Să mutăm toți termenii la partea stângă ecuații și prezintă termeni similari

Să verificăm rădăcinile găsite în funcție de condițiile $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Când se substituie în a doua inegalitate, rădăcina $x=4$ nu satisface condiția, prin urmare, este o rădăcină străină

Răspuns: $x=-3$

Metoda de înlocuire variabilă.

În această metodă aveți nevoie de:

Notați ecuațiile ODZ.
Folosind proprietățile logaritmilor, asigurați-vă că ecuațiile produc logaritmi identici.
Înlocuiți $log_(a)f(x)$ cu orice variabilă.
Rezolvați ecuația pentru noua variabilă.
Reveniți la pasul 3, înlocuiți valoarea variabilei și obțineți cea mai simplă ecuație de forma: $log_(a)x=b$
Rezolvați cea mai simplă ecuație.
După ce găsiți rădăcinile ecuației logaritmice, trebuie să le puneți la pasul 1 și să verificați condiția ODZ.

Rezolvați ecuația $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Să scriem ecuația ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"deoarece este sub semnul rădăcinii și al logaritmului";\ √x≠1→x≠1;$

2. Să facem logaritmi la baza $2$, pentru aceasta vom folosi regula pentru a trece la o nouă bază în al doilea termen:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Să obținem fracțional - ecuație rațională relativ la variabila t

Să reducem toți termenii la un numitor comun $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Să rezolvăm rezultatul ecuație pătratică conform teoremei lui Vieta:

6. Să revenim la pasul 3, să facem înlocuirea inversă și să obținem două ecuații logaritmice simple:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Să logaritmăm părțile din dreapta ale ecuațiilor

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Să echivalăm expresiile sublogaritmice

$√x=2$, $√x=4$

Pentru a scăpa de rădăcină, să pătram ambele părți ale ecuației

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Să înlocuim rădăcinile ecuației logaritmice la pasul 1 și să verificăm condiția ODZ.

$\(\tabel\ 4 >0; \4≠1;$

Prima rădăcină satisface ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ A doua rădăcină satisface și ODZ.

Răspuns: $4; 16 USD

Ecuații de forma $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Astfel de ecuații sunt rezolvate prin introducerea unei noi variabile și trecerea la o ecuație pătratică obișnuită. După ce au fost găsite rădăcinile ecuației, acestea trebuie selectate ținând cont de ODZ.

Ecuații raționale fracționale

Dacă o fracție este zero, atunci numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
Dacă cel puțin o parte a unei ecuații raționale conține o fracție, atunci ecuația se numește fracționar-rațional.

Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională, trebuie să:

Găsiți valorile variabilei la care ecuația nu are sens (ODZ)
Aflați numitorul comun al fracțiilor incluse în ecuație;
Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numitorul comun;
Rezolvați întreaga ecuație rezultată;
Excludeți din rădăcinile sale pe cele care nu îndeplinesc condiția ODZ.

Dacă o ecuație implică două fracții și numărătorii sunt expresiile lor egale, atunci numitorii pot fi echivalați între ei, iar ecuația rezultată poate fi rezolvată fără să se acorde atenție numărătorilor. DAR ținând cont de ODZ a întregii ecuații originale.

Ecuații exponențiale

Ecuațiile exponențiale sunt acelea în care necunoscutul este conținut în exponent.

Când rezolvăm ecuații exponențiale, se folosesc proprietățile puterilor, să ne amintim câteva dintre ele:

1. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponenții se adună.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. La împărțirea gradelor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponenții se scad

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. La ridicarea unui grad la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Când ridicați un produs la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere

$(a b)^n=a^n b^n$

5. La ridicarea unei fracții la o putere, numărătorul și numitorul se ridică la această putere

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Când orice bază este ridicată la un exponent zero, rezultatul este egal cu unu

7. O bază în orice exponent negativ poate fi reprezentată ca bază în același exponent pozitiv prin schimbarea poziției bazei în raport cu cursa fracției

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Un radical (rădăcină) poate fi reprezentat ca o putere cu exponent fracționar

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Tipuri de ecuații exponențiale:

1. Ecuații exponențiale simple:

a) Forma $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a >0, a≠1, x$ este necunoscută. Pentru a rezolva astfel de ecuații, folosim proprietatea puterilor: puterile cu aceeași bază ($a >0, a≠1$) sunt egale numai dacă exponenții lor sunt egali.

b) Ecuația de forma $a^(f(x))=b, b>0$

Pentru a rezolva astfel de ecuații, ambele părți trebuie luate logaritmic la baza $a$, se dovedește

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metoda de nivelare a bazei.

3. Metoda de factorizare și înlocuire a variabilelor.

Pentru această metodă in intreaga ecuatie, dupa proprietatea puterilor, este necesara transformarea puterilor intr-o forma $a^(f(x))$.
Faceți o schimbare a variabilei $a^(f(x))=t, t > 0$.
Obținem o ecuație rațională care trebuie rezolvată prin factorizarea expresiei.
Facem substituții inverse ținând cont de faptul că $t >

Rezolvați ecuația $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Folosind proprietatea puterilor, transformăm expresia astfel încât să obținem puterea 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Să schimbăm variabila $2^x=t; t>0$

Obținem o ecuație cubică de formă

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Înmulțiți întreaga ecuație cu $2$ pentru a scăpa de numitori

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Să extindem partea stângă a ecuației folosind metoda grupării

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Să scoatem factorul comun $2$ din prima paranteză și $7t$ din a doua

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

În plus, în prima paranteză vedem diferența de formule a cuburilor

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Să rezolvăm prima ecuație

Să rezolvăm a doua ecuație prin discriminant

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Răspuns: $-1; 0; 1 $

4. Metoda de conversie a ecuației cuadratice

Avem o ecuație de forma $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, unde $A, B$ și $C$ sunt coeficienți.
Facem înlocuirea $a^(f(x))=t, t > 0$.
Rezultatul este o ecuație pătratică de forma $A·t^2+B·t+С=0$. Rezolvăm ecuația rezultată.
Facem substituția inversă ținând cont de faptul că $t > 0$. Primim cel mai simplu ecuație exponențială$a^(f(x))=t$, rezolvați-l și scrieți rezultatul în răspuns.

Metode de factorizare:

Scoaterea factorului comun din paranteze.

Pentru a factoriza un polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun, trebuie să:

Determinați factorul comun.
Împărțiți polinomul dat la acesta.
Notați produsul factorului comun și coeficientul rezultat (incluzând acest coeficient între paranteze).

Factorizați polinomul: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Factorul comun al acestui polinom este $2a$, deoarece toți termenii sunt divizibili cu $2$ și „a”. În continuare, găsim câtul de împărțire a polinomului original la „2a”, obținem:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Acesta este rezultatul final al factorizării.

Folosind formule de înmulțire prescurtate

1. Pătratul sumei se descompune în pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea număr și plus pătratul celui de-al doilea număr.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Pătratul diferenței se descompune în pătratul primului număr minus de două ori produsul primului număr și al doilea și plus pătratul celui de-al doilea număr.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Diferența de pătrate se descompune în produsul dintre diferența numerelor și suma lor.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Cubul sumei este egal cu cubul primului număr plus triplu produsul pătratului primului cu al doilea număr plus triplul produsului primului cu pătratul celui de-al doilea număr plus cubul celui de-al doilea număr.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Cubul diferenței este egal cu cubul primului număr minus produsul triplu al pătratului primului număr cu al doilea număr plus produsul triplu al primului cu pătratul celui de-al doilea număr și minus cubul al doilea număr.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Suma cuburilor este egală cu produsul dintre suma numerelor și pătratul incomplet al diferenței.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Diferența de cuburi este egală cu produsul dintre diferența de numere și pătratul incomplet al sumei.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metoda de grupare

Metoda de grupare este convenabilă de utilizat atunci când este necesară factorizarea unui polinom cu un număr par de termeni. ÎN această metodă este necesar să se colecteze termenii în grupuri și să se scoată factorul comun din fiecare grup. După ce le plasăm între paranteze, mai multe grupuri ar trebui să obțină expresii identice, apoi luăm această paranteză ca factor comun și o înmulțim cu paranteza coeficientului rezultat;

Factorizați polinomul $2a^3-a^2+4a-2$

Pentru a descompune acest polinom, vom folosi metoda grupării termenilor pentru a face acest lucru, vom grupa primii doi și ultimii doi termeni, și este important să plasăm corect semnul în fața celei de-a doua grupări; semnează și, prin urmare, scrieți termenii cu semnele lor între paranteze.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

După ce am scos factorii comuni, am primit o pereche de paranteze identice. Acum scoatem această paranteză ca factor comun.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Produsul acestor paranteze este rezultatul final al factorizării.

Folosind formula trinomului pătratic.

Dacă este disponibil trinom pătratic de forma $ax^2+bx+c$, apoi poate fi extins după formula

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului pătratic