semne de divizibilitate. Divizibilitatea sumei, diferenței, produsului

Teorema 1(semnul divizibilității sumei). Dacă fiecare termen este divizibil cu nat. numărul c, atunci suma numerelor este divizibilă cu c. Dovada: fie a⋮c și b⋮c. Atunci există numere naturale q 1 și q 2 astfel încât a=cq 1 și b=cq 2 . Avem: a + b \u003d cq 1 + cq 2 \u003d c (q 1 + q 2). Deoarece numerele q 1 și q 2 sunt naturale, atunci q 1 + q 2 este, de asemenea, un număr natural. Apoi, din egalitatea a + b \u003d c (q 1 + q 2) rezultă că (a + c) ⋮ c. P: Numerele 96 și 48 sunt divizibile cu 12, deci suma lor 96+48=144 este de asemenea divizibilă cu 12. Reversul acestei teoreme este fals, adică. dacă două numere a și b sunt divizibile cu un număr c, atunci aceasta nu înseamnă că fiecare termen care alcătuiește această sumă este divizibil cu numărul c. Teorema 2(despre divizibilitatea diferenței). Dacă fiecare dintre numerele a și b este divizibil cu un număr natural c și b ≤ a, atunci diferența acestor numere este divizibil cu c. Teorema 3(cu privire la divizibilitatea lucrării). Dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu numărul c, atunci produsul este divizibil și cu acest număr c. Doc. Fie a ⋮ c. Atunci, prin definiția relației de divizibilitate, există un număr natural q astfel încât a= cq. Se consideră numărul a ∙ b = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Deoarece qv este un număr natural, din ultima egalitate rezultă că (av) ⋮ s. Teorema 4(cu privire la divizibilitatea lucrării). Dacă în produsul ab a doi factori primul factor este divizibil cu un număr natural c, iar al doilea factor este divizibil cu un număr natural d, atunci acest produs este divizibil cu cd. Demonstrație. Prin condiția a=cq 1 și b=dq 2 , unde q 1 , q 2 ∈ N. Atunci ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙ q 2), unde q 1 ∙ q 2 ∈ N. Prin urmare, (av) ⋮ (cu d) P: deoarece numărul 30 este divizibil cu 5, iar numărul 14 este divizibil cu 7, atunci produsul dintre 30 și 14 este divizibil cu produsul dintre 5 și 7, adică (30 14) este divizibil cu (5 7) Într-adevăr, 30 14=420, 5 7=35 și 420:35=12, adică 420 35.

21. Semnul divizibilității lui Pascal.Teoremă: numărul natural a, dat în sistemul numeric zecimal, este divizibil cu un număr natural în dacă și numai dacă suma produselor fiecărei cifre a numărului a se împarte la resturile împărțirii în corespunzătoare. unități de biți (1,10,10 2 ,10 3 , …,10 p). Doc-in: fie a = a p a p-1 ... a 2 a 1 a 0 . Fie numerele 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 p dau resturile r 1 , r 2 , r 3 , …, r p-1 , r p la împărțirea la în. Conform teoremei împărțirii cu rest, avem au: 10 = în q 1 + r 1 , 10 2 \u003d q 2 + r 2, 10 3 \u003d q 3 + r 3, ..., 10 p-1 \u003d q q p-1 + r p-1 , 10 p \u003d q q p + r p. dat numărul a la forma: a \u003d a p a p-1 ... a 2 a 1 a 0 \u003d a p 10 p + a p-1 10 p-1 + .. . + a 2 10 2 + a 1 10 1 + a 0 \u003d a p (vq p + r p) + a p-1 (bq p-1 + r p-1) + ... + a 2 (bq 2 + r 2) + a 1 (bq 1 + r 1) + a 0 \u003d (a p q p + a p-1 q p-1 + ... + a 2 q 2 + a 1 q 1) c + (a p r p + a p-1 r p-1 + ... + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0). Vedem că primul termen este divizibil cu în, deoarece conține multe.c. Pentru ca un anumit număr a să fie divizibil cu b, este necesar și suficient ca al doilea termen să fie și divizibil cu b, adică numărul c \u003d a 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + ... + a p -1 r p-1 + a p r p. Acest număr este suma produselor fiecărei cifre a numărului a și a resturilor din împărțirea la în unitățile de biți corespunzătoare. P: să arătăm că numărul 65345 este divizibil cu 7. Să aflăm resturile din împărțirea la unități de 7 biți 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Dacă restul este aproape de numărul 7, atunci îl vom înlocui cu o deficiență, adică numărul de unități care lipsesc pentru divizibilitate cu 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r2 =2; 10 3:7, r3 = -1; 10 4:7, r4 = -3. Atunci c=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Deoarece 0 este divizibil cu 7, atunci și numărul 65345 este divizibil cu 7.

Conceptul de număr rațional. Relații între mulțimi de numere naturale, întregi și raționale.

Un număr rațional este un număr reprezentat printr-o fracție obișnuită, numărătorul m este un număr întreg, iar numitorul n este un număr natural, de exemplu 2/3. Mulțimea numerelor raționale pozitive se notează cu Q + . Să arătăm că toate numerele naturale sunt conținute în această mulțime, adică că N c Q + .Fie ca lungimea segmentului a la unitatea de lungime e să fie exprimată prin numărul natural m. a n-a cotă segmentul e se va potrivi în segmentul a m p ori, adică lungimea segmentului a va fi exprimată ca fracții de forma . Dar multe dintre aceste fracții sunt pozitive. Numar rational. Prin urmare, lungimea segmentului a, pe de o parte, este exprimată prin numărul natural m, iar pe de altă parte, prin numărul rațional pozitiv. Dar trebuie să fie același număr. Prin urmare, este recomandabil să se considere că fracțiile de formă sunt înregistrări ale numărului natural m. De aici rezultă că orice număr natural m poate fi reprezentat ca fracție, deci N c Q +. Toate numerele naturale sunt conținute în mai multe poziții ale numerelor raționale. Numerele care completează pluralul numerelor naturale cu pluralul pozițiilor numerelor raționale se numesc numere fracționale.

Adunarea și scăderea numerelor raționale. Legi de adaos.

sumă numere raționale și se numește număr rațional. Deoarece oricare două fracții pot fi reduse la un numitor comun, atunci suma numerelor raționale și va fi egală cu: + = + = . Suma numerelor raționale există întotdeauna și este unică. Teorema: operația de adunare a numerelor raționale are proprietăți comutative și asociative, adică. 1. ( a, b Q) a + b \u003d b + a (comutativitatea adunării); 2. ( a, b, c Q) (a + c) + c \u003d a + (b + c) (asociativitatea adunării). Legile adunării: comutativă - a + b \u003d b + a pentru orice a, b Q +; asociativ - (a + c) + c \u003d a + (b + c) pentru orice a, c, c Q +. Diferență fracții și se numește fracție astfel încât + = . Conform definiţiei - = + = . Să derivăm regula pentru scăderea fracțiilor, adică să găsim valoarea fracției. Deoarece + = , apoi = . Prin urmare: (py+xq) n= (qy) m sau pyn+xqn=qum, x(qp)= y(qm-pn). Din ultima egalitate vom avea: = . Astfel, am obtinut: - = . În special, - = . Pentru numerele raționale, afirmația este adevărată: diferența numerelor raționale există întotdeauna și este unică. Aceasta înseamnă că indiferent de ce două numere raționale sunt date, diferența lor poate fi întotdeauna găsită, adică scăderea fracții obișnuite operațiune întotdeauna realizabilă.

Relația de ordine pe mulțimea numerelor raționale. Proprietăți ale mulțimii numerelor raționale (infinit, ordine, numărătoare, densitate).

Mq np sau mq np. Pentru numere întregi, acest lucru este valabil și: a în sau a 1 în 1. P: comparați fracțiile și . 19 27=513 și 23 25= 575 și comparați-le. Deoarece 513 575, apoi . Teorema: relația „mai mică decât” prin numere raționale multiple este tranzitivă, asimetrică și antireflexivă, adică. 1) și , apoi - tranzitivitatea; 2) , atunci nu este adevărat că - asimetrie; 3) nu este adevărat că este antireflexivitate. Din teoreme rezultă că relația „mai mică decât” pe mulțimea Q de numere raționale este o relație de ordine liniară strictă, iar mulțimea Q în sine este o mulțime ordonată liniar. Proprietățile numerelor raționale multiple: 1.Mn.Q de numere raționale este numărabil, adică elementele sale pot fi numerotate folosind numere naturale.

N: 1,2, 3, 4, 5, 6.

Din grafic vedem că Q N, ceea ce înseamnă că pl.Q este numărabil.

2.Mn.Q de numere raționale este infinit. Aceasta rezultă din faptul că Q este N, iar mulțimea N este infinită. 3. Nu există cel mai mic număr în numerele raționale pozitive la plural. 4.Mn.Q de numere raționale este dens. Aceasta înseamnă că între oricare două numere raționale diferite a și la plural Q se află un plural infinit de numere raționale. 5. Fiecărui număr rațional îi corespunde un singur punct de pe linia de coordonate, dar nu fiecărui punct îi va corespunde un număr rațional. Corespondența dintre multe numere Q raționale și multe puncte ale dreptei de coordonate nu este bijectivă.

concept număr irațional. Set de numere reale pozitive.

Un număr irațional este un număr care se exprimă ca o fracție neperiodică zecimală infinită. Numerele iraționale se obțin nu numai la extragerea rădăcinilor din unele numere ( ; ), nu numai la măsurarea lungimii segmentelor, ci și la rezolvarea unor probleme practice, de exemplu, la măsurarea unei suprafețe, calcularea raportului dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. (). P: numere 0,0100100010000100…; 45,3232232223222232…; = 3,141592...; = 1,732050...; \u003d 1,414213 ... este irațional, deoarece sunt fracții zecimale neperiodice infinite (este imposibil să distingem o perioadă în ele). Pozițiile multiple ale numerelor iraționale indică I + . Unirea pozițiilor plurale ale numerelor raționale și a pozițiilor plurale ale numerelor iraționale formează pozițiile plurale ale numerelor reale, care este notat cu R + , i.e. R + =Q + I + , și Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Mn. R + se împarte în două clase: 1. clasa fracțiilor zecimale periodice infinite; 2. clasa de fracții zecimale neperiodice infinite. Final zecimale pot fi considerate și ca fracții periodice infinite cu perioada 0. H: 0,4 = 0,40000 ... În plus, orice număr rațional poate fi scris ca o fracție periodică infinită cu perioada 9.

Ordonarea mulțimii numerelor reale pozitive. Proprietăți ale mulțimii numerelor reale pozitive.

Relația „mai mică decât” de la pluralul R + este o relație de ordine liniară strictă, ceea ce înseamnă că este asimetrică (dacă x y, atunci y x), tranzitivă (dacă x y, y z, atunci x z) și conexă (sau x \u003d y, sau x y, sau y x). De aici rezultă că mulțimea R + de numere reale pozitive este o mulțime ordonată. Elementele sale pot fi ordonate folosind relația „mai puțin decât”. Mn. R + este dens în sine, adică între oricare două numere reale există un set infinit de numere reale. H: între numerele 1,2 și 1,3 se află numerele 1,21; 1.211 etc. Mn. R + este continuu, adică dacă mulțimea numerică X este situată în stânga pluralului numeric Y, atunci există cel puțin un număr care separă aceste mulțimi. Multe poziții ale numerelor reale sunt de nenumărat. Dock-in (prin metoda contradicției): vom demonstra că sub nicio ordonare a pl. R + este imposibil să-i enumerați numerele. Să presupunem că elementele R + a reușit să fie numerotat: 1 m 1, a 1 a 2 a 3 ...; 2 m 2, în 1 în 2 în 3 ...; 3 m 3, s 1 s 2 s 3 ...; …., unde m i este partea întreagă a numărului, literele a, b, c,… sunt zecimale după virgulă. Să presupunem că această succesiune de fracții descrie toate numerele reale. Să luăm numărul z=0, abs…, unde a a 1, c c 2, c c 3 etc. Acest nou număr z diferă de primul număr cu zecimi, de al doilea cu sutimi, de al treilea cu miimi și așa mai departe. Diferă de al n-lea număr din succesiune prin a n-a cifră a părții fracționale. Aceasta înseamnă că a apărut un nou număr z, care nu a fost numerotat. Acest lucru contrazice presupunerea că toate numerele reale au fost numerotate. Astfel, s-a dovedit că R + nenumărabil. Mn. R + infinit (demonstrat prin contradicție).

Operații aritmetice pe mulțimea tuturor numerelor reale.

sumă două numere reale x și y se numesc număr real care îndeplinește următoarele condiții: 1) suma numerelor pozitive este un număr pozitiv al cărui modul este egală cu suma module de termeni: |x+y|=|x|+|y|; 2) suma numerelor negative este un număr negativ, al cărui modul este egal cu suma modulelor termenilor: (-x) + (-y) \u003d - (x + y); 3) suma a două numere cu semne diferite există un număr care coincide cu semnul termenului având un modul mai mare, iar modulul sumă este egal cu diferența dintre modulele mai mari și mai mici ale termenilor: dacă x y, atunci x + (-y) \u003d x-y; dacă x este y, atunci x+(-y)=-(y-x). Operația de adunare la plural R este comutativă ( x, y R) x+y=y+x și asociativă ( x, y, z R)(x+y)+z= x+(y+z). Numărul 0 este un element neutru în raport cu adunarea, adică x + 0 = 0 + x = x. Operația de scădere la plural R este definită ca operația inversă de adunare. Deoarece pentru fiecare din R există un număr-in astfel încât în ​​+ (-in) = 0, atunci scăderea este echivalentă cu adunarea cu numărul-in, adică a-in = a+ (-in). muncă două numere reale x și y se numește număr real z, care îndeplinește următoarele condiții: 1) modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere: |x y|=|x|∙| y|; 2) semnul în produsul a două numere este pozitiv dacă semnele factorilor sunt aceleași; 3) semnul în produsul a două numere este negativ dacă semnele factorilor sunt diferite. Operația de înmulțire la plural R este comutativă ( x, y R)x∙y=y∙x; asociativ ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); distributiv ( x,y,z. 1-element neutru în raport cu înmulțirea: x∙1=1∙x=x; 0- element absorbant în raport cu înmulțirea: x∙0=0∙x=0. Împărțirea realului numerele pot fi considerate ca o acțiune , inversul înmulțirii, deoarece x: y=x ∙ , unde y Împărțirea cu 0 în mulțimea R este imposibilă.

Lungimea segmentului și măsurarea acestuia.

Lungimea unui segment este o valoare definită pentru fiecare segment astfel încât: 1) segmentele egale au lungimi egale; 2) dacă un segment este format dintr-un număr finit de segmente, atunci lungimea lui este egală cu suma lungimilor acestor segmente. În matematică se consideră două probleme reciproc inverse legate de lungimea unui segment: măsurarea lungimii unui segment a folosind segmentul e, ales ca segment unitar, și construirea unui segment a în funcție de lungimea lui dată. Proprietăți ale lungimii segmentului 1. Cu unitatea de lungime aleasă, lungimea oricărui segment se exprimă printr-un număr real pozitiv, iar pentru fiecare număr real pozitiv există un segment a cărui lungime se exprimă prin acest număr 2. Dacă două segmente sunt egale, atunci valorile numerice ale lungimii lor sunt, de asemenea, egale și invers: dacă valorile numerice Dacă lungimile a două segmente sunt egale, atunci segmentele în sine sunt egale. a=b (a) = (b). 2. Dacă un segment dat este format dintr-un număr finit de segmente, valoare numerică lungimea sa este egală cu suma valorilor numerice ale lungimilor segmentelor constitutive și invers: dacă valoarea numerică a lungimii unui segment este egală cu suma valorilor numerice ale mai multor segmente, atunci segmentul în sine este egal cu suma acestor segmente. c= a + b (c) = (a) + (b). Să o arătăm. Fie a = e, b= e. a + b \u003d ( + 4. Dacă lungimile segmentelor a și b sunt astfel încât b \u003d xa, unde x este un număr real pozitiv, atunci pentru a găsi valoarea numerică a lungimii segmentului b cu unitatea de măsura e, este suficient să găsiți produsul numărului x și valoarea numerică lungimea segmentului a la unitatea e. b \u003d xa (b) \u003d x (a).Fie b \u003d xa și a \u003d e, apoi în \u003d x e \u003d (x) e. 5. Când unitatea de lungime este schimbată, valoarea lungimii segmentului crește (descrește) de câte ori este numărul de ori noua unitate. mai mică (mai mare) decât cea veche. Să fie date două unități de lungime e și e 1 astfel încât e 1 \u003d ke. Aceasta înseamnă că noua unitate este de k ori mai mare decât cea veche. Atunci, dacă a \u003d e, atunci când trecem la o unitate nouă, vom avea: a \u003d 1 \u003d e 1. Numărul este de k ori mai mic decât numărul. P: 14m \u003d 14 1m \u003d 14 \u003d (14 1400 cm. Rezultatul rezultat numărul 1400 este de 100 de ori mai mare decât numărul 14, t .k.new unitate de lungime - centimetru - de 100 de ori mai puțin decât un metru.

Aria figurii și măsurarea acesteia.

Aria unei figuri este o valoare nenegativă definită pentru fiecare figură astfel încât: 1) figurile egale au suprafețe egale; 2) dacă o figură constă dintr-un număr finit de cifre, atunci aria sa este egală cu suma ariilor acestora. Pentru a măsura aria unei figuri, trebuie să aveți o unitate de suprafață. Unitatea de suprafață este aria unui pătrat cu latura e. Aria unui pătrat cu latura e se notează cu e 2 . N., S \u003d 20 cm 2 cu o suprafață unitară de 1 cm 2. Măsurarea zonei formelor folosind o paletă. O paletă este o grilă de pătrate aplicată material transparent. Măsurarea folosind o paletă este aproximativă și se calculează cu formula: S, unde S 1 este aria sistem intern pătrate, S 2 este aria sistemului de pătrate care acoperă complet figura. Alte modalități de măsurare a ariilor figurilor sunt să utilizați formule pentru a le calcula: 1. Aria unui dreptunghi: S=ab, unde a este lungimea, b este lățimea dreptunghiului. 2. Aria paralelogramului: S=ah, unde a este lungimea laturii paralelogramului, h este înălțimea acestuia. 3. Aria unui triunghi: S= ah, unde a este lungimea laturii triunghiului, h este înălțimea acestuia. 4. Aria rombului: S= d 1 d 2, unde d 1 și d 2 sunt lungimile diagonalelor rombului. 5. Aria trapezului: S = , unde a și b sunt lungimile bazelor trapezului, h este înălțimea acestuia. 6. Aria cercului: S= 2, unde R este lungimea razei cercului. Aria figurilor plate au proprietăţi: a) ariile figurilor egale cu aceeaşi unitate de suprafaţă sunt egale între ele. b) dacă figura F este formată din figurile F 1, F 2, ..., F n, atunci valoarea ariei figurii F este egală cu suma ariilor figurilor F 1, F 2, ... , F p cu aceeași unitate de suprafață. c) la schimbarea unității de măsură a zonei, valoarea numerică a ariei cifrei crește (descrește) de atâtea ori cât de câte ori noua unitate de măsură este mai mică (mai mare) decât cel vechi.P: 12 m 2 = 12 2 = 12 2 = 1200 dm 2. Unitatea de măsură inițială 1m 2 a fost redusă de 100 de ori, iar valoarea zonei a crescut de 100 de ori. Acest lucru se datorează faptului că 1m 2 \u003d 100dm 2 și 1dm 2 \u003d 0,01m 2.

proprietatea de divizibilitate. Divizibilitatea unei sume și a unui produs cu un număr dat. Sarcini de dificultate crescută.
Tipul lecției: lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor
Tehnologii: salvarea sănătății, dezvoltarea abilităților de cercetare, educație pentru dezvoltare, învățarea bazată pe probleme, autodiagnosticarea și autocorecția rezultatelor.
Elemente de conținut: raționament adevărat, o afirmație corectă, un semn al divizibilității unui produs, un semn al divizibilității unei sume.
Activități: dictare matematică, lucru la tablă și în caiete, lucru frontal cu clasa.
Rezultate așteptate (PLE):
Să fie capabil: - să demonstreze și să aplice atunci când se decide că dacă cel puțin unul dintre factori nu este divizibil cu un anumit număr, atunci întregul produs este divizibil cu acest număr;
- demonstrați și aplicați la rezolvarea că dacă fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, atunci suma este divizibilă cu acest număr;
- se angajează în comunicare verbală, participă la un dialog;
- aranjați corect lucrarea, reflectați în scris soluțiile lor, pentru a veni cu o soluție la problemă.

În timpul orelor.
Testează dictarea.
Notează formula multiplilor: a) 17; b) 41.
Scrieți formula numerelor care, împărțite la 17, dau un rest de 3; când se împarte la 41, restul este 3.
Specificați două caracteristici diferite caracterizarea multimii date 6; 12; 18; 24; treizeci; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Găsiți multipli comuni ai numerelor 5 și 4.
Pe ce se bazează formulele?
a) 15n + 13; b) 4n+3; c) 17k + 8?
Comentariul profesorului. Caietele sunt colectate pentru verificare, iar deciziile sunt comentate.

Efectuarea de exerciții privind divizibilitatea sumei și a produsului
(Oral). Este suma divizibilă cu 3:
a) 450 + 160;
b) 150 +225;
c) 28422 + 22050;
Concluzia este formulata:
Dacă fiecare dintre termeni este divizibil cu un anumit număr, atunci suma lor trebuie să fie divizibilă cu același număr.
Dacă fiecare termen, cu excepția unuia, este divizibil cu un număr, iar unul nu este divizibil, atunci suma nu este divizibilă cu acel număr.

2. Este adevărată afirmația: dacă suma este divizibilă cu 3, atunci fiecare termen este și divizibil cu 3?
3. Este produsul împărțit la 3:
a) 6
23
75;
b) 6
23
·14;
c) 37
121
·19?
Se formulează concluzia: Dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul lor este și el divizibil cu acest număr.
3. Folosind proprietățile divizibilității și datele despre divizibilitatea cu numărul k al fiecărui termen, stabiliți dacă suma sau produsul este divizibil cu k.
1 număr
numarul 2
numarul 3
Sumă
Muncă

Soluţie.
1 număr
numarul 2
numarul 3
Sumă
Muncă

d
d
d
d
d

n
d
d
n
d

d
n
d
n
d

d
d
n
n
d

n
n
d
Poate partaja
K° nu poate fi partajat
d

n
d
n
Poate partaja
poate să nu împărtășească
d

d
n
n
Poate partaja
poate să nu împărtășească
d

n
n
n
Poate partaja
poate să nu împărtășească
n

Atelier
Toate exercițiile se rezolvă cu o înregistrare pe tablă.
Fără a face calcule, stabiliți dacă expresiile sunt divizibile cu 4: a) 132 + 360 + 536; b) 540 - 332; c) 2512 127.
Soluţie.
a) întrucât fiecare termen este divizibil cu 4, atunci suma 132 + 360 + 536 este divizibil cu 4;
b) întrucât 540 minimizat este divizibil cu 4, iar 332 scăzut este divizibil cu 4, atunci diferența 540 - 332 este divizibil cu 4;
c) întrucât numărul 2512 este divizibil cu 4, produsul 2512127 este și el divizibil cu 4.
Faceți o formulă pentru numerele pentru care expresia:
a) 25 + x este divizibil cu 25;
b) 78 + x este divizibil cu 78.
3. Pentru ce valori ale variabilei este produsul:
a) 7
a este divizibil cu 7,
b) 17
b este divizibil cu b.
4. Au fost livrate la cafenea 4 cutii de inghetata. Ar putea fi să plătim 224 de ruble pentru asta?

Sarcini creative
Demonstrați că pentru toate valorile naturale ale variabilei, expresia:
a) 56
(a + b) este divizibil cu 14;
b) 144 a + 12b este divizibil cu 12;
c) 100 a - 40a este divizibil cu 30.
2. Indicați vreo cinci divizori ai unui număr egal cu produsul: 32 24 21.
3. Indicați care dintre următoarele afirmații sunt false.
a) Dacă termenii nu sunt divizibili cu un anumit număr, atunci suma nu este divizibilă cu acel număr.
b) Dacă produsul a două numere este divizibil cu un anumit număr, atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu acel număr.
c) Dacă factorii nu sunt divizibili cu un anumit număr, atunci produsul nu este divizibil cu acest număr.
d) Dacă diferența este divizibilă cu un anumit număr, atunci atât minuendul, cât și subtraendul sunt divizibile cu acel număr.
Soluţie.
a) Fals. Exemplu: 7+3 = 10; 7 și 3 nu sunt divizibile cu 5, dar 10 este divizibil cu 5.
b) Fals. Exemplu: 6 (10 = 60; 60 este divizibil cu 15 și nici 6, nici 10 nu sunt divizibil.
c) Fals. Exemplu: 6 (10 = 60; nici 6, nici 10 nu este divizibil cu 15, dar 60 este divizibil cu 15.
d) fals. Exemplu: 23 - 21 \u003d 2. Diferența 2 este divizibilă cu 2, dar 23 și 21 nu sunt divizibile cu 2.

5. Rezumând
Repetarea proprietăților de divizibilitate a produsului, suma și diferența de numere. Stabilirea temelor. Comentând evaluări.

13 PAGINA \* MERGEFORMAT 14115

kђTitlul 115

Fișiere atașate

§ 63. Cuprinsul capitolului.

Am învățat adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor întregi. Adunarea și înmulțirea sunt întotdeauna fezabile, indiferent pe ce numere sunt efectuate,

Situația este diferită cu operațiile inverse, adică cu scăderea și împărțirea. În ceea ce privește scăderea, am spus că este posibilă în cazurile în care scăderea nu este mai mare decât minuend.

Mult mai multă dificultate este asociată cu diviziunea. În primul rând, există o dificultate atunci când dividendul este mai mic decât divizorul (14:20), dar aceasta este o problemă specială de care ne vom ocupa în următoarea parte a cărții noastre. Să trecem la un alt caz. Știți că împărțirea se face uneori fără rest, sau, după cum se spune, „întreg”, iar uneori cu rest. Apar întrebări: care ar trebui să fie aceste numere pentru a putea fi împărțite fără rest unul în altul? Este posibil să se stabilească, prin unele semne ale acestor numere, că împărțirea în acest caz este fezabilă?

§ 64. Multiplu și divizor.

Definiție. Dacă un număr este divizibil fără rest cu altul, atunci primul se numește multiplu al celui de-al doilea, iar al doilea este un divizor al primului.

Aceasta înseamnă că numărul 6 va fi un multiplu al lui 3 (trei), iar numărul 3 însuși va fi un divizor al lui 6 (șase). Numărul 15 este un multiplu al lui 5, iar 5 însuși este un divizor al lui 15.

Un număr poate fi un multiplu al mai multor numere.

De exemplu, numărul 36 este un multiplu al numerelor: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 și 36.

Numerele divizibile cu 2 se numesc numere pare. Numărul zero este, de asemenea, un număr par. Toate celelalte numere sunt numite impare. Prin urmare:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... sunt pare, 1, 3, 5, 7, 9, 11... sunt impare.

§ 65. Divizibilitatea sumei și a diferenței.

1. Luați în considerare următoarele importante proprietatea suma.

Dacă fiecare termen este divizibil fără rest cu un număr, atunci suma este și divizibilă cu acel număr.

EXEMPLU:

14 este divizibil cu 7, 21 este divizibil cu 7, suma lor 14 + 21, adică 35, este de asemenea divizibil cu 7.

Un alt exemplu: 39 este divizibil cu 13, 65 este divizibil cu 13, suma lor 39 + 65 = 104 este de asemenea divizibil cu 13.

Putem lua suma a mai mult de doi termeni, de exemplu trei, iar afirmația declarată va fi adevărată:

25 este divizibil cu 5,

35 este divizibil cu 5,

50 este divizibil cu 5.

Suma 25 + 35 +50 = 110 este, de asemenea, împărțită la 5.

Putem folosi această proprietate a sumei dacă vrem să aflăm dacă un număr este divizibil cu altul. De exemplu, vreau să știu, fără a împărți, dacă 756 este divizibil cu 7. Puteți face acest lucru: reprezentați 756 ca sumă a doi termeni 700 + 56. Acum trebuie să vă gândiți dacă fiecare dintre acești termeni este divizibil cu 7 . Aici este deja ușor să ne dăm seama că 700 este divizibil cu 7 și 56 este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că suma, adică 756, va fi împărțită la 7.

Se pune întrebarea: dacă termenii nu sunt divizibili cu un anumit număr, atunci suma va fi împărțită la acest număr sau nu?

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să luăm în considerare diferitele cazuri posibile aici:

a) Termenii 21 și 22 nu sunt divizibili cu 5; De asemenea, suma lor 43 nu este divizibilă cu 5.

b) Termenii 22 și 23 nu sunt divizibili cu 5; dar suma lor 45 este divizibil cu 5.

Aceasta înseamnă că, dacă termenii individuali nu sunt divizibili cu un număr dat, atunci în unele cazuri suma lor poate fi împărțită la acest număr.

Acum să ne gândim dacă suma a doi termeni este divizibilă cu un număr, dacă unul dintre termeni nu este divizibil cu acest număr, iar celălalt este divizibil.

Fie unul dintre termeni 33, iar celălalt 17, suma lor este 50. Primul termen (33) este divizibil cu 11, iar al doilea 17 nu este divizibil, suma lui 50 nu este, de asemenea, divizibil cu 11.

Să luăm suma a trei termeni: 15, 20 și 23, adică 58. Fiecare dintre primii doi termeni (15 și 20) este divizibil cu 5, dar al treilea termen 23 nu este divizibil cu 5, nici suma 58 nu este divizibil cu 5.

Din aceste exemple, putem concluziona:

Dacă fiecare termen, cu excepția unuia, este divizibil cu un număr, iar acesta nu este divizibil cu acesta, atunci suma tuturor acestor termeni nu este divizibilă cu el.

Folosim această derivare pentru a decide dacă numărul 150 este divizibil cu 14. Să reprezentăm 150 după cum urmează:

Primul termen al acestei sume (140) este divizibil cu 14, dar deoarece al doilea termen, adică 10, nu este divizibil cu 14, atunci 150 nu este divizibil cu 14.

2. Acum luați în considerare ceea ce este important proprietatea diferenței.

Dacă minuend și subtraend sunt divizibile cu un număr întreg, atunci diferența va fi împărțită la acel număr.

45 este divizibil cu 9, 18 este divizibil cu 9, diferența lor este 45-18, adică 27 este, de asemenea, divizibil cu 9.

Alt exemplu:

88 este divizibil cu 11, 33 este divizibil cu 11, diferența lor 88-33 = 55 este de asemenea divizibil cu 11.

Putem folosi uneori această proprietate a diferenței pentru a clarifica întrebările despre divizibilitatea unui număr cu altul. Să fie necesar să se răspundă la întrebarea dacă numărul 693 este divizibil cu 7. Să adăugăm 7 la el, obținem 700. Apoi putem scrie următoarea egalitate: 700 - 7 = 693. În el, 700 redus este divizibil cu 7, 7 scăzut este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că diferența 693 este, de asemenea, divizibil cu 7.

§ 66. Despre semnele de divizibilitate a numerelor.

În multe cazuri, este foarte important să se determine, fără a împărți, dacă un număr este împărțit complet la altul. Să fie necesar, de exemplu, să se răspundă la întrebarea dacă 156 este divizibil cu 4. Astfel de întrebări în viitor, de exemplu, când se studiază fracțiile, vor trebui puse foarte des. Pentru a răspunde la întrebare, puteți, desigur, să împărțiți primul număr la al doilea, dar o astfel de tehnică este neprofitabilă. Prin urmare, în aritmetică, ei încearcă, fără a împărți, să afle dacă un număr este împărțit la altul complet sau nu. Din această cauză, vom studia acum astfel de caracteristici sau proprietăți ale numerelor care fac posibilă judecarea divizibilității unui număr cu altul. Vom deriva acum câteva dintre aceste „semne” de divizibilitate.

§ 67. Semn de divizibilitate cu 2.

Ce numere sunt divizibile cu 2? Care este diferența dintre numerele care sunt divizibile cu 2 și numerele care nu sunt divizibile cu 2? Să luăm două numere: 35 și 32. Primul dintre ele, adică 35, nu este divizibil cu 2, dar 32 este divizibil cu 2. Care este diferența dintre ele? Știm deja din cel precedent că, dacă fiecare dintre două numere este divizibil cu o treime, atunci suma lor este divizibilă cu acel număr. Să reprezentăm aceste numere ca sumă a zecilor și unităților:

35 este format din trei zeci și cinci unități. Fiecare zece este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că 3 zeci, adică 30, vor fi împărțite la 2, dar al doilea termen, adică 5, nu este divizibil cu 2; de aceea numărul întreg 35 nu este divizibil cu 2.

Dacă luăm în considerare numărul 32, vom vedea că este suma dintre 30 și 2, adică astfel de numere, fiecare dintre ele divizibil cu 2. Prin urmare, numărul 32 este divizibil cu 2.

Luați în considerare un alt număr și alegeți Mai mult decât 32, de exemplu 876. Putem reprezenta acest număr astfel:

Primul termen 870 este divizibil cu 2, deoarece este format din 87 zeci, al doilea termen 6 este de asemenea divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că întregul număr 876 va fi împărțit la 2.

Aceste exemple arată că divizibilitatea numerelor cu 2 depinde numai de divizibilitatea celui de-al doilea termen (unități). La urma urmei, numărul 35 nu era divizibil cu 2, deoarece al doilea termen nu era divizibil cu 2. Dacă numărul se termină cu 0, 2, 4, 6, 8, atunci va fi împărțit la 2, altfel nu va fi împărțit.

Pe baza celor de mai sus, testul de divizibilitate cu 2 poate fi exprimat astfel: Divizibile cu 2 sunt acele și numai acele numere care se termină cu o cifră pară.(Zeroul se referă la numerele pare.)

§ 68. Semn de divizibilitate cu 4.

Să stabilim mai întâi acest fapt; 4 este divizibil cu 100 și, prin urmare, orice număr care este suma sutelor (200, 300, ..., 1400, 1500, ..., 2000, ...). Dar orice număr care este suma sutelor se termină cu două zerouri. Deci fiecare număr care se termină cu două zerouri este divizibil cu 4.

Acum să luăm un număr care nu se termină cu zerouri, ci cu alte numere, de exemplu 123456.

O reprezentăm ca suma a doi termeni, după cum urmează:

Primul termen al acestei sume (123.400) va fi împărțit la 4, deoarece se termină în două zerouri. Dacă al doilea termen (56) este divizibil cu 4, atunci și suma (123456) este divizibil cu 4. Al doilea termen 56 este divizibil cu 4. Prin urmare, numărul 123456 este, de asemenea, divizibil cu 4.

Să luăm numărul 1634 și să-l reprezentăm ca suma a doi termeni astfel:

Primul termen al acestei sume, 1.600, este divizibil cu 4, dar al doilea (34) nu este divizibil. Aceasta înseamnă că suma, adică numărul 1634, nu poate fi împărțită la 4.

Astfel, acele numere și numai acele numere sunt divizibile cu 4 care se termină cu două zerouri sau ale căror ultime două cifre exprimă un număr care este divizibil cu 4.

De exemplu, împărțit la 4: 4600, 1264; nu sunt divizibile cu 4: 110, 4562.

§ 69. Semn de divizibilitate cu 5.

În primul rând, observăm că numărul 10 este divizibil cu 5 și, prin urmare, orice număr format din zeci (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2160, 2170, ...).

Pe de altă parte, orice număr format din mai multe cifre poate fi considerat o sumă a zecilor și unităților.

Primul termen, fiind format din numai zeci, va fi întotdeauna împărțit la 5. Prin urmare, divizibilitatea oricărui număr din mai multe cifre cu 5 va depinde numai de divizibilitatea cu 5 a celui de-al doilea termen, adică de unitățile numărului.

Dar printre unități există singular, divizibil cu 5, este însuși numărul 5. Prin urmare, pentru numerele divizibil cu 5, al doilea termen poate fi doar numărul 5.

Dacă luăm, de exemplu, numărul 2347, care nu are 5, ci 7 în loc de unități, atunci acest număr nu va fi împărțit la 5, deoarece în suma 2340 + 7 primul termen este divizibil, iar al doilea termen ( 7) is not este divizibil cu 5.

Din acest motiv, testul de divizibilitate cu 5 poate fi exprimat după cum urmează: Divizibile cu 5 sunt acele și numai acele numere care se termină cu zero sau cu numărul 5.

De exemplu, divizibil cu 5: 1 320; 4065; nu este divizibil cu 5: 21; 432; 6543.

§ 70. Semn de divizibilitate cu 25.

Numărul 100 este divizibil cu 25. Prin urmare, orice număr format din sute trebuie să fie divizibil cu 25 (200, 300, ..., 1400, 1500, ..., 5600, ...). Dar, deoarece un număr format din sute se termină în două zerouri, atunci toate numerele care se termină în două zerouri trebuie să fie divizibile cu 25.

Acum să luăm două numere care se termină nu cu zero, ci cu alte numere: 23456 și 34875.

Fiecare dintre ele poate fi reprezentat sub forma a doi termeni, după cum urmează:

23.400 + 56 și 34.800 + 75.

În primul caz, al doilea termen (56) nu este divizibil cu 25, prin urmare, numărul întreg (suma) nu este divizibil cu 25. În al doilea caz, al doilea termen (75) este divizibil cu 25, deci întregul numărul este divizibil cu 25. Prin urmare, divizibilitatea numărului cu 25 depinde de împărțirea cu 25 a numărului format din ultimele două cifre. Dar într-o sută există doar trei astfel de numere: 25, 50 și 75.

Pe această bază, putem spune că acele și numai acele numere care se termină cu 00 sunt divizibile cu 25; 25; 50 și 75.

§ 71. Teste de divizibilitate cu 9 și 3.

Ce numere sunt divizibile cu 9? În primul rând, toate numerele care sunt scrise cu numărul 9, adică 9, sunt divizibile cu 9; 99; 999; 9 999 etc.

Mai mult, amintiți-vă că numerele reprezentate de o unitate cu zerouri, atunci când sunt împărțite la 9, dau un rest de 1. Într-adevăr: 10: 9 \u003d 1 și 1 în rest; 100: 9 = 11 și 1 în rest; 1000: 9 = 111 și 1 rest; 10.000: 9 = 1.111 și 1 a rămas.

Ținând cont de acest lucru, împărțim numărul 567 la 9. Să-l reprezentăm ca o sumă de unități de biți:

567 = 500 + 60 + 7.

Numărul 500 când este împărțit la 9 lasă un rest de cinci (5) unități, deoarece fiecare sută când este împărțit la 9 lasă un rest de 1.

Numărul 60 când este împărțit la 9 lasă un rest de șase (6), deoarece fiecare zece când este împărțit la 9 lasă un rest de 1.

Numărul șapte (7) nu este divizibil cu 9 și este, de asemenea, un rest.

Astfel, avem următoarele resturi: 5, 6 și 7.

Dacă suma acestor resturi, adică 5 + 6 + 7 = 18, este divizibilă cu 9, atunci și numărul 567 este divizibil cu 9. În acest caz, suma resturilor este divizibilă cu 9.

Dacă luăm un alt număr, de exemplu 476, în care suma resturilor, așa cum este ușor de calculat pe baza celui precedent, va fi:

atunci aici suma resturilor nu este divizibilă cu 9; prin urmare, numărul întreg (476) nu poate fi împărțit la 9.

Dar care este această sumă de reziduuri? Aceasta este suma numerelor corespunzătoare cifrelor numărului dat (de dragul conciziei, ei spun că aceasta este suma cifrelor numărului).

Prin urmare, testul de divizibilitate cu 9 poate fi exprimat după cum urmează: Divizibile cu 9 sunt acele și numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 9.

Orice număr divizibil cu 9 va fi, de asemenea, divizibil cu 3 (dar nu invers). Am putea efectua un raționament similar, în raport cu numărul 3. Atunci semnul divizibilității cu 3 s-ar exprima astfel: Divizibile cu 3 sunt acele și numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 3. De exemplu, 3 sunt divizibile: 51; 231; 8 112; 12 345.

Tema lecției: Divizibilitatea sumei și a produsului.

Tip de lecție: lectie de „descoperire” de noi cunostinte.

Obiectivele lecției:

1. Subiect: Pentru a extinde cunoștințele elevilor despre cele mai simple elemente ale teoriei divizibilității numere naturale; arătați cum să folosiți proprietatea de divizibilitate a sumei și produsului numerelor naturale în calcule.

2. Metasubiect: dezvoltarea abilităților elevului de a conduce un raționament simplu bazat pe dovezi pe parcursul studiului; dezvoltarea abilităților elevilor de a organiza activități de cooperare și comun cu profesorul și colegii, lucrul individual, în grup, argumentarea și apărarea părerii acestora.

3. Personal: Promovați dezvoltarea competenta comunicativaîn comunicarea și cooperarea cu colegii în munca de grup; să promoveze formarea unui interes durabil pentru subiect; dezvoltarea calităților personale: responsabilitate, finalitate.

trucuri si metode:

Tehnici de reflexie;

Tehnici de creare a unei situaţii de succes şi alegere individuală;

Metode de autodiagnosticare;

Metoda de căutare parțială;

Lucrați cu manualul.

Forme de lucru ale elevilor:

Individual

Lucrați în perechi

Frontal.

Rezultate planificate:

Elevii vor învăța proprietățile de divizibilitate ale unei sume și ale unui produs;

Dobândirea deprinderilor de la elevi de a folosi proprietățile de divizibilitate ale sumei și produsului în calcule.

Aplicabil tehnologii educaționale:

Abordare sistem-activitate;

Tehnologia de învățare cu probleme.

În timpul orelor

1. Motivația pentru activități de învățare.

Bună, colegii cadeți.

Băieți, astăzi aș vrea să încep lecția noastră cu puțin amuzant, dar după părerea mea, un fragment foarte instructiv din filmul de animație al copilăriei mele „Vovka în Regatul îndepărtat”.

Vă rugăm să priviți-l cu mare atenție. (Vizualizarea și discutarea unui fragment din desenul animat).

Pe ce a contat Vovka la început? (Acel "Doi din sicriu" va face treaba pentru el)

Ce a rezultat? (Au amestecat totul, iar Vovka încă mai trebuia să facă totul el însuși)

Și de ce a rămas Vovka foame?

Datorită a ceea ce a reușit să facă un jgheab pentru bătrână?

Crezi că Vovka va putea construi o colibă? De ce ești sigur de asta?

Sunt absolut de acord cu tine. Nimeni nu-ți va face munca în locul tău, iar rezultatul va depinde de calitatea acestuia. Dacă vrei, poți învăța totul.

Astăzi avem o lecție de a descoperi noi cunoștințe. Și vă doresc succes în căutarea voastră, cunoștințele pe care le-ați acumulat, deși mici, dar totuși foarte importante, vă vor ajuta cu siguranță în acest sens!

2. Actualizarea cunoștințelor și acțiunea educațională de probă.

A) cont mental (scara)

Pentru a vă ajuta să lucrați pe tot parcursul lecției, să facem o mică încălzire pentru creier.

Aveți cărți pe birou în fișierul de sarcini care arată o scară. (Diapozitivul 1) Gaseste-i. (după opțiuni). Semn. Va trebui să urcați scările cât mai sus posibil în 2 minute, notând rezultatul calculului la fiecare pas.

Timpul a trecut, ai terminat. Schimb carduri.

Verificați rezultatul unul altuia conform eșantionului de pe lamă (Diapozitivul 2)

Dacă sarcina este finalizată complet și fără erori, puneți „cinci”

Întoarceți cărțile.

Ridică mâna, care are „Cinci”. Bine făcut!

Și cine a greșit, gândiți-vă de ce?

Există doar două motive, numiți-le singur. (nepăsare, necunoaștere a filei de înmulțire.)

Acest lucru sugerează încă o dată că trebuie să fii mai atent și, dacă ai probleme cu tabla înmulțirii, repetă din nou acasă.

B) Acum trebuie să ne amintim câteva concepte pe care le vom folosi în lecția noastră. Îmi propun să rezolv un puzzle de cuvinte încrucișate pentru asta. Este în fișierele dvs. Lucrăm în perechi. Îți dau 3 minute.

Cum se numește rezultatul înmulțirii?

Cum se numesc numerele care se adună?

Care este numele numărului cu care este împărțit?

Cum se numesc numerele care se înmulțesc?

Cum se numește rezultatul adunării?

Cum se numește un număr cu mai mult de doi divizori?

Cum se numește un număr care are doi divizori?

Verifica-ti raspunsurile. (Diapozitivul 3)

La ce întrebări nu ați putut răspunde?

Să repetăm ​​definițiile acestor concepte din nou.

Care este definiția verticalității?

Acum deschideți caietele și introduceți marginile „!” față de sarcina căreia ați făcut față cu ușurință și rapiditate acasă și „?”, dacă sarcina a cauzat dificultăți, vom reveni la aceste sarcini în lecția următoare.

Notați numărul și munca la clasă.

Finalizați următoarea sarcină: (Diapozitivul 4)

C) 1. Aflați dacă numărul 4 este un divizor al produsului: (3min)

2. Aflați dacă numărul 3 este un divizor al sumei:

3. Identificarea cauzei dificultății.

Ce poți spune despre lucrări?

Despre sume?

Cum ai aflat?

Poate cineva a folosit un alt mod și a putut să răspundă la întrebare fără a face calculele? (Nu)

4. Construirea unui proiect pentru a ieși din dificultate.

Deci, care este scopul pe care ni l-am propus astăzi în lecție?

(învățați să determinați fără calcule dacă suma sau produsul este divizibil cu un anumit număr) (Diapozitivul 5)

Tema lecției noastre: „Proprietățile de divizibilitate a produsului și a sumei” (Diapozitivul 6)

Trebuie să formulați singur aceste proprietăți și să demonstrați că funcționează în practică.

Fizkultminutka.

Am încercat - să ne odihnim,

Să ne ridicăm și să respirăm adânc.

Mâinile în lateral, înainte

Viraj la stânga, la dreapta.

Trei curbe, stai drept.

Ridicați mâinile în sus și în jos.

Mâinile coborâte încet

Toată lumea a primit zâmbete.

Intră în grupuri de 4 persoane.

Nu uita de regulile grupului.

Răspunde în scris la întrebările de pe cărțile tale și trage o concluzie.

Toată lumea a îndeplinit sarcina?

Ce model ați văzut pentru sumă, ce concluzie puteți trage? (1 și 2 grupuri)

Formulați proprietatea de divizibilitate a sumei.

Ei bine, ce model poate fi urmărit pentru lucrare? (3 si 4 grupuri)

Formulați proprietatea de divizibilitate a unui produs.

5. Implementarea proiectului construit

Și acum să revenim la sarcina de pe slide și să verificăm dacă presupunerile noastre sunt corecte. (Da)

Deci, am formulat proprietățile de divizibilitate ale sumei și produsului. Să verificăm corectitudinea proprietăților formulate de noi. Deschide manualul de la p.102.

Ei bine, ai avut dreptate? (da)

6. Fixare primară.

Trebuie doar să învățăm cum să folosim proprietățile de divizibilitate ale sumei și ale produsului.

Tutorial (pagina 104):

Nr. 350.357-oral

Nr 358 (c, d) - tablă și caiet

Nr. 359.360(а,b) - opțional

Bine, bine făcut.

Și acum vom repeta încă o dată proprietățile de divizibilitate pe care le-ați descoperit înșivă astăzi, spuneți-le unul altuia.

7. Reflectarea activității în lecție.

Lecția noastră se apropie de sfârșit, să rezumam.

Ce obiectiv ți-ai propus? (învățați să determinați fără calcule dacă suma sau produsul este divizibil cu un anumit număr)

Crezi că ți-ai atins obiectivul? (Da)

Acum luați fișele de autoevaluare în dosar, semnați-le și evaluați-vă activitatea din lecție.

8. Tema pentru acasă:

Nr. 356(a), 358(a,b), 360(c,d)

Băieți, astăzi, fără excepție, ați lucrat cu toții foarte fructuos, vă mulțumesc pentru munca voastră.

Vreau să închei lecția cu cuvintele unui proverb popular vietnamez: „Nu poți învăța decât când înveți; Poți ajunge acolo doar când mergi pe jos.” Nu uita de asta.

Cei care au primit note prin numărare orală, aduc jurnalele. Și cine a finalizat sarcina suplimentară, vino la mine cu caiete.

Aparatură: tablă, masă, literatură educațională, calculator, proiector, ecran.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor de bază

Dictarea matematică

3. Asimilarea noilor cunoștințe

Elevii sunt împărțiți în 4 grupe. Fiecare grup studiază una dintre proprietăți, dovada acestei proprietăți.

Luați în considerare unele proprietăți ale divizibilității sumei și a produsului.

1. Dacă în suma numerelor întregi, fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, apoi și suma este divizibilă cu acest număr.

Facem dovada timp de trei termeni. Dacă numerele a, b, Și c sunt împărțite în p, Acea a=pk, b=pm, c=pn, Unde k,mȘi n- numere întregi. Apoi

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

iar din moment ce k+m+n este un număr întreg, atunci a+b+c impartit de p.

În cazul unui număr arbitrar de termeni, metoda de probă rămâne aceeași. Evident, inversul nu este adevărat.

2. Dacă două numere întregi sunt divizibile cu un număr, atunci diferența lor este divizibilă cu acel număr.

Această proprietate decurge de la precedenta, deoarece diferența a-b poate fi întotdeauna reprezentat ca o sumă a+(-b).

3. Dacă în suma numerelor întregi toți termenii cu excepția unuia sunt divizibili cu un anumit număr, atunci suma nu este divizibilă cu acest număr.

Lasă numerele AȘi b sunt împărțite în p, si numarul c nedivizibil cu p. Să demonstrăm că suma a+b+c nu împărtășită p. Presupune contrariul: lasa a+b+c impartit de p. Apoi în diferență (a+b+c)-(a+b) minuend se împarte la p prin presupunere, iar subtrahendul este divizibil cu p după proprietatea 1 și, prin urmare, după proprietatea 2, diferența este divizibilă cu p. Cu toate acestea, această diferență este cși pe p condițional nedivizibil. Am ajuns la o contradicție. Prin urmare, presupunerea noastră este greșită și suma a+b+c impartit de R, Q.E.D.

Rețineți că din moment ce diferența a-b poate fi privit ca suma a+(-b), atunci proprietățile dovedite ale sumei se aplică oricărei sume algebrice de numere.

4. Dacă într-un produs de numere întregi unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este divizibil cu acel număr.

Dacă A impartit de Cu, Acea a=ck, Unde k-întreg. Apoi ab=(ck)b acestea ab=c(kb),și kb este un număr întreg, deoarece produsul numerelor întregi este un număr întreg. Mijloace ab impartit de Cu.

La rezolvarea problemelor de divizibilitate, proprietățile asociate cu aranjarea secvențială a numerelor întregi sunt adesea utile. De exemplu:

Unul dintre n numere întregi consecutive este divizibil cu n;

Unul dintre cele două numere pare consecutive este divizibil cu 4;

Produsul a trei numere întregi consecutive este divizibil cu 6;

Produsul a două numere pare consecutive este divizibil cu 8.

Rezolvarea problemelor folosind proprietățile de divizibilitate a sumei și a produsului.

Demonstrați că suma 333555 + 555333 este divizibilă cu 37.

333 555 + 555 333 \u003d (3 * 111) 555 + (5 * 111) 333 \u003d 111 * (3 555 * 111 554 + 5 333 * 111 332). Deoarece 111 este divizibil cu 37, această expresie este divizibil cu 37.

Să aflăm dacă cel puțin un punct aparține graficului ecuației 15x + 25 y= 114, ale cărei coordonate sunt numere întregi.

Să presupunem că graficul trece prin punctul M (a; b), unde a și b sunt numere întregi. Atunci ecuația corectă este 15a + 25c = 114. În partea stângă a acestei egalități se scrie suma, care este divizibilă cu 5, deoarece fiecare termen 15a și 25c este divizibil cu 5. ATUNCI numărul 114 nu este divizibil cu 5. Contradicția rezultată arată că ipoteza este greșită și nu există un singur punct cu coordonate întregi pe graficul ecuației 15x + 25y = 114.

Aflați dacă întregul a, nu zeroși care nu este un divizor al lui 240, să fie rădăcina ecuației 17x 3 -10x 2 -6x + 240 = 0.

Să presupunem că a este o rădăcină întreagă a ecuației. Apoi egalitatea

17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.

Partea stângă este suma în care fiecare termen, cu excepția unuia, este divizibil cu a și, prin urmare, această sumă nu este divizibil cu a. Partea dreaptă a acestei egalități este divizibilă cu a, deoarece 0 este divizibil cu orice număr, altul decât zero. Contradicția rezultată arată că ipoteza este falsă și numărul a nu poate fi rădăcina acestei ecuații.

Demonstrăm că dacă n este un număr prim mai mare decât 3, atunci diferența n 2 - 1 este divizibil cu 24.

Avem n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Dintre cele trei numere consecutive n-1, n, n + 1, cel puțin unul este divizibil cu 3. Cu toate acestea, numărul n nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că unul dintre numerele n-1 și n + 1 este divizibil. cu 3 și, prin urmare, produsul lor (n -1)(n+1). Este clar din condiția că numărul n este impar. Deci n-1 și n+1 sunt două numere pare consecutive. Unul dintre aceste numere este divizibil cu 2, iar celălalt cu 4, deci produsul lor este divizibil cu 8.

Deci, diferența n 2 -1, unde n este un număr prim și n>3, este divizibil cu 3 și 8. Și deoarece 3 și 8 sunt coprimi, această diferență este divizibilă cu 24.

Decizia nr. 108, 110, 111(a), 116(a), 119, 123.

4. Rezumând

5. Tema pentru acasă