Calcule aproximative cu rădăcina pătrată. Calculul aproximativ al numerelor iraționale
Sarcină. Cameră formă pătrată are o suprafata de 20 mp. m. Găsiți lungimea și lățimea.
Deoarece camera este pătrată, lungimea sa x este egală cu lățimea. În funcție de condițiile problemei, trebuie să avem:
și trebuie să găsim rădăcină aritmetică de la numărul 20.
Este evident că x nu poate fi un număr întreg, deoarece , iar între două numere întregi învecinate 4 și 5 nu există un singur întreg.
Problema noastră are un sens practic foarte clar și poate fi rezolvată aproximativ cu exactitatea necesară.
Să arătăm cum se poate face acest lucru.
Am indicat două numere întregi adiacente 4 și 5, astfel încât 42 este mai mic și 52 este mai mare decât 20.
Numărul 4 se numește rădăcina pătrată aproximativă a lui 20 la 1 minus, numărul 5 se numește rădăcina pătrată aproximativă a lui 20 la 1 plus.
Să luăm în considerare acum zecimale, cuprinsă între 4 și 5 și având un număr întreg de zecimi:
Vom pătra succesiv aceste fracții până când obținem un număr mai mare de 20.
Deci avem:
Numerele 4,4 și 4,5 sunt numite valori aproximative ale rădăcinii pătrate a lui 20 cu o precizie de 0,1 cu o deficiență și un exces (respectiv).
Dacă precizia rezultată nu este suficientă pentru noi, atunci vom face acest lucru: vom scrie fracții zecimale între 4,4 și 4,5 și care conțin un număr întreg de sutimi, apoi vom pătra succesiv aceste fracții până obținem un număr mai mare de 20. .
Numerele 4,47 și 4,48 sunt numite valori aproximative ale rădăcinii pătrate a lui 20 cu o precizie de 0,01 cu o deficiență și cu un exces.
În același mod (dacă este necesar) puteți obține valori aproximative cu o precizie de 0,001; acestea vor fi numerele 4.472 și 4.473, deoarece, prin urmare,
Deci, problema noastră are o soluție exactă la trei cifre semnificative; o astfel de precizie este destul de suficientă în multe măsurători practice. Se poate considera că
Să-l dăm acum definiție generală rădăcină aproximativă.
Valorile aproximative ale rădăcinii pătrate a unui număr dat, exacte la unu, sunt două numere naturale consecutive, dintre care pătratul primului este mai mic, iar pătratul celui de-al doilea este mai mare decât numărul dat.
Primul dintre aceste numere se numește valoarea aproximativă a rădăcinii cu o deficiență, al doilea - valoarea aproximativă a rădăcinii cu un exces.
Valorile aproximative ale rădăcinii sunt scrise după cum urmează:
În loc să spună „rădăcină pătrată aproximativă”, oamenii spun adesea pur și simplu „rădăcină pătrată aproximativă”.
Pentru a găsi o rădăcină aproximativă cu o precizie de 1 cu un dezavantaj, trebuie să găsiți cea mai mare număr natural, al cărui pătrat este mai mic decât numărul radicalului. Acest lucru se poate face fie prin testare, fie folosind tabele de pătrate de numere naturale.
Adăugând 1 la rădăcina aproximativă cu deficiență, obținem o rădăcină aproximativă cu un exces.
Definiţie. Aproape rădăcini pătrate cu o deficiență și cu un exces de număr, cu o precizie de 0,1, se numesc două numere care diferă între ele prin 0,1, dintre care pătratul unuia este mai mic, iar pătratul celuilalt este mai mare decât un număr dat .
La rezolvarea problemelor care implică calcule se obțin rezultate numerice, care adesea nu sunt exacte, deoarece Apar erori la setarea problemei și în timpul calculelor.
Sursele de eroare sunt:
1) erori în datele sursă;
2) erori de rotunjire a rezultatelor intermediare și finale;
3) erori în metoda aproximativă de rezolvare a problemei.
Când efectuați operații pe numere aproximative, trebuie să:
1) cunoscând acuratețea datelor sursă, să poată evalua acuratețea rezultatului;
2) luați datele inițiale cu o asemenea acuratețe încât să asigure exactitatea specificată a rezultatului.
2.1 Erori în cifrele aproximative
Fie numărul x o valoare exactă, iar numărul a o valoare aproximativă a unei cantități.
Definiţie. Diferența dintre numărul x și valoarea sa aproximativă a se numește eroarea numărului aproximativ a: Δ = |x-a |.
Fie x=10,5, a=10, apoi Δ=10,5-10=0,5.
Fie x=9,5, a=10, apoi Δ=9,5-10=-0,5.
Definiţie. Valoarea absolută a diferenței dintre numărul x și valoarea sa aproximativă a se numește eroarea absolută a numărului aproximativ a: Δa = |x-a|
Fie x=10,5, a=10, apoi Δa =|10,5-10|=0,5.
Fie x=9,5, a=10, apoi Δa=|9,5-10|=0,5.
Adesea, numărul exact x este necunoscut. Atunci este imposibil de găsit Δa = |x-a|, așa că folosesc o estimare a erorii absolute - eroarea absolută maximă Δa ≥ Δa =x-a|. În acest caz, numărul x este conținut în limitele:
a - Δ a x a + Δ a sau pe scurt: x = a ± Δ a.
Citiți: x este egal cu a cu Δ a.
Pentru a determina calitatea calculelor efectuate este necesar să se determine în ce proporție este eroarea absolută a valorii măsurate. În acest scop, se utilizează eroarea relativă.
Definiţie. Eroarea relativă δa a numărului aproximativ a este raportul dintre eroarea absolută Δa și valoarea absolută a numărului x:
sau 
.
Evaluarea erorii relative ba este eroarea relativă maximă: 
Exemplu. Sunt date numărul x=0,4287 și valoarea sa aproximativă a=0,4264. Aflați erorile absolute și relative ale numărului a.
Soluţie. Să calculăm eroarea absolută a numărului a:
Δa=|0,4287-0,4264| = 0,0023.
Să calculăm eroarea relativă a numărului a:
sau 5,4%.
Note. 1. La înregistrarea unei erori, se obișnuiește să lăsați 1-2 cifre semnificative. Erorile sunt întotdeauna rotunjite în sus. În acest caz, limitele numărului exact x se extind.
2. Dacă numărul x este necunoscut, atunci numărul a este folosit pentru a găsi eroarea relativă.
3. Eroare relativă adesea exprimat ca procent prin înmulțirea lui cu 100%.
2.2. Cifre semnificative și corecte ale unui număr aproximativ
Pentru a evalua acuratețea unui număr aproximativ a, se obișnuiește să-l scrieți ca fracție zecimală. Precizia unui calcul este determinată nu de numărul de zecimale (cifre după virgulă), ci de numărul de cifre semnificative corecte ale rezultatului.
Definiţie. Cifrele semnificative ale unui număr sunt toate cifrele sale, cu excepția zerourilor scrise înaintea primei cifre, alta decât zero, și a zerourilor de la sfârșitul înregistrării dacă servesc la păstrarea cifrei sau preciziei numărului.
Exemplu. Determinați cifrele semnificative ale lui a.
a = 0,02701 => cifre semnificative: 2,7,0,1.
a = 0,0270 => cifre semnificative: 2,7,0.
a = 2700 => cifre semnificative: 2,7,0,0.
Definiţie. Cifra α i a unui număr aproximativ a se numește adevărată cifră semnificativă în sens larg (în sens strict) dacă eroarea maximă absolută a numărului a nu depășește una (jumătate de unitate) din cifra în care cifra α i se scrie: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i).
Exemplu. Determinați numerele corecte ale numărului aproximativ a = 0,7264, dacă eroarea absolută este Δ a = 0,0023.
Soluţie. Eroarea absolută Δ a = 0,0023 0,005 = 0,5∙10 -2. În consecință, numerele 7 și 2 sunt corecte în sens strict, numerele 6 și 4 sunt incorecte (dubioase). Deoarece Δ a = 0,0023< 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.
Note. 1. În tabelele matematice, toate cifrele semnificative sunt adevărate în sens strict.
2. Se obișnuiește să lăsați doar numere corecte în rezultatul final.
Exemplu. Atunci eroarea absolută maximă a numărului a este determinată de unitatea cifrei celei mai puțin semnificative. De exemplu, fie a = 127,38, atunci Δ a = 0,01 dacă toate numerele sunt corecte în sens strict și Δ a = 0,5∙0,01 = 0,005 dacă toate numerele sunt corecte în sens larg. 
=7,21?
Soluţie. Determinați care egalitate este mai precisă: 13/19 = 0,684 sau 
Să notăm a =0,684, b =7,21. Să găsim erorile absolute ale acestor numere. Pentru a face acest lucru, luați 13/19 și Cu un număr mare 
=7,2111...
zecimale: 13/39=0,68421...,< 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.
Atunci Δ a =|0,68421...-0,684|
Să găsim erorile relative:
sau 0,033%.
sau 0,017%. 
.
A doua egalitate este mai exactă, deoarece
În calculele aproximative, este adesea necesară rotunjirea numerelor, atât aproximative, cât și exacte, adică să renunți la una sau mai multe ultimele cifre. Când rotunjim un număr, îl înlocuim cu un număr aproximativ cu mai puține cifre semnificative, rezultând o eroare de rotunjire. Pentru a menține această eroare la minimum, trebuie să respectați câteva reguli de rotunjire.
Regulă eu. Dacă prima din stânga cifrelor aruncate este mai mare de 5, atunci ultima dintre cifrele reținute este întărită, adică creste cu unu. Întărirea se face și atunci când prima cifră din stânga cifrelor aruncate este 5, urmată de cifre diferite de zero.
Exemplu. Rotunjind numărul 73,473 la cea mai apropiată zecime, obținem 73,5. Ultima dintre cifrele rămase este întărită, deoarece 7 > 5.
Regulă II. Dacă prima dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci ultima dintre cifrele rămase nu este amplificată, adică rămâne neschimbată.
Exemplu. Rotunjind numărul 73,473 la cea mai apropiată sutime, obținem 73,47.
RegulăIII. Dacă prima cifră din stânga aruncată este 5 și nu este urmată de cifre diferite de zero, atunci ultima cifră rămasă este întărită dacă este impară și lăsată neschimbată dacă este par (regula cifrelor pare).
Exemplu. Rotunjind numărul 5,785 la sutimi, obținem 5,78. Nu facem niciun câștig, deoarece ultima cifră stocată, 8, este pară. Rotunjind numărul 5,775 la a doua zecimală, avem 5,78. Ultima cifră stocată, 7, este incrementată cu unu deoarece este impară.
Atunci când regula a III-a se aplică rotunjirii unui singur număr, de fapt nu creștem acuratețea calculului, dar cu mai multe rotunjiri, supranumerele sunt la fel de frecvente ca și numerele inferioare. Are loc compensarea reciprocă a erorilor, rezultatul este mai precis.
Astfel, la aplicarea regulilor de rotunjire discutate mai sus, eroarea absolută de rotunjire nu depășește jumătate de unitate de cifră determinată de ultima cifră semnificativă rămasă.
Dacă numărul exact x este rotunjit la n cifre semnificative, atunci numărul aproximativ rezultat a are o eroare absolută egală cu eroarea de rotunjire. În acest caz, numărul aproximativ a are n cifre semnificative valide în sens restrâns.
Exemplu. Rotunjind numărul x = 26,837 la trei cifre semnificative, obținem a = 26,8, de unde Δ a = |x-a | = | 26,837-26,8 |=0,037< 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.
La rotunjirea numărului aproximativ a, obținem un nou număr aproximativ a 1.
Definiţie. Numărul Δ a1 = Δ a + Δ env se numește eroare de rotunjire.
Eroarea absolută a numărului a 1 este suma erorii absolute a numărului inițial Δ a și eroarea de rotunjire Δ env, adică.
Δ a1 = Δ a + Δ env.
Exemplu. Rotunjiți cifrele îndoielnice ale numărului x=34,124 ± 0,021. Defini eroare absolută rezultat.
Soluţie. Numărul aproximativ a=34,124 are trei cifre corecte în sens restrâns: 3, 4, 1, deoarece Δ a =0,021< 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.
Astfel, toate cifrele semnificative ale unui 2 sunt corecte (în sens restrâns).
Deci, x=34,1 ±0,045.
Cu toate acestea, la rotunjirea unui număr aproximativ a care are n cifre semnificative corecte (în sens restrâns) la n cifre semnificative, se poate dovedi că numărul rotunjit a 1 va avea n cifre semnificative corecte în sens larg.
Exemplu. Numărul aproximativ a = 15,3654 (± 0,0018) are patru cifre semnificative corecte în sens restrâns (1, 5, 3, 6), deoarece Δ a = 0,0018< 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.
Evident 0,005< 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) are patru cifre corecte în sens larg.
Deci, x=15,37 ±0,0064.
Exemplu. Rotunjiți cifrele îndoielnice ale numărului a = 26,7245 (± 0,0026), lăsând semnele corecte în sens restrâns. Determinați eroarea absolută a rezultatului.
Soluţie. Conform condiției Δ a = 0,0026< 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:
Eroarea rezultată este mai mare de 0,005 (0,005< 0,0071), поэтому уменьшим число цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Găsim Δ a2 = =Δ a +Δ env =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.
Deci, x=26,7 ±0,0271 => x=26,7 ±0,03, rotunjind eroarea la două cifre.
Exemplu. Rotunjiți cifrele îndoielnice ale numărului a=22,7314, lăsând semnele corecte în sens restrâns. Determinați eroarea absolută a numărului dacă δ a = 0,2%.
Soluţie. Să scriem δ a sub forma unei fracții zecimale: δa=0,002 și se determină eroarea absolută. Deoarece Δ a = =0,0455< 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Atunci Δ a1 = =Δ a +Δ env =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, deci să reducem numărul de cifre din numărul aproximativ la două: a 2 =23. Găsim Δ a2 = =Δ a +Δ env =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.
Deci, x=23 ±0,3141 => x=23 ±0,32.
2.3. Reguli pentru lucrul cu numere aproximative
Regula 1. Eroarea absolută a unei sume algebrice a mai multor numere aproximative este egală cu suma erorilor absolute ale acestor numere:
Δ а±в =Δ а + Δ в
Regula 2. Eroarea relativă a produsului mai multor numere aproximative este egală cu suma erorilor relative ale acestor numere:
δ aw = δ a + δ b.
Regula 3. Eroarea relativă a numerelor aproximative parțiale este egală cu suma numerelor relative: δ а/в = δ а +δ в.
Regula 4. Eroarea relativă a gradului numărului aproximativ a este egală cu: δa n = nδ a.
Regula 5. Eroarea relativă a rădăcinii numărului aproximativ a este egală cu: 
.
Regula 6. La efectuarea calculelor, dacă nu se efectuează un calcul strict al erorilor, se recomandă utilizarea regulilor de numărare a numerelor. Aceste reguli indică modul în care rezultatele ar trebui să fie rotunjite pentru a asigura acuratețea dorită a rezultatului fără a face calcule cu cifre suplimentare.
Regulile presupun că numerele care sunt manipulate conțin doar cifre corecte și că numărul de manipulări este mic.
I. Când se adună și se scad numere aproximative, rezultatul trebuie să rețină atâtea zecimale câte există în numărul care are cele mai puține zecimale.
II. La înmulțirea și împărțirea, rezultatul ar trebui să rețină atâtea cifre semnificative câte există în numărul cu cele mai puține cifre semnificative.
III. Când ridicați un număr aproximativ la o putere, rezultatul ar trebui să rețină atâtea cifre semnificative câte sunt în baza puterii.
IV. Când extrageți o rădăcină dintr-un număr aproximativ, ar trebui să păstrați câte cifre semnificative există în numărul radical.
V. În rezultatele intermediare, ar trebui să salvați cu 1-2 cifre mai mult decât este recomandat de regulile I-IV. În rezultatul final, „cifrele de rezervă” sunt aruncate, iar numărul este rotunjit.
VI. Dacă unele date sursă au mai multe zecimale (pentru adunare și scădere) sau mai multe cifre semnificative (pentru alte operațiuni) decât altele, atunci acestea ar trebui mai întâi rotunjite, păstrând doar o „cifră sigură”.
VII. Pentru a obține un rezultat cu N cifre corecte, datele sursă trebuie luate cu un astfel de număr de cifre care, conform regulilor anterioare, să furnizeze N+1 cifre în rezultat.
Exemplu. Să găsim s=2,35+11,8 fără a ține cont de erori. Aplicând regula I, obținem s=14,15. Rotunjim rezultatul la numărul 11,8 cu cel mai mic număr de zecimale. Se obține: s =14,2.
Să rezolvăm problema ținând cont de erori. În numărul s=14,15, ar trebui să rămână doar numerele corecte. Pentru a face acest lucru, vom găsi eroarea maximă absolută a sumei s folosind regula 1. Având în vedere că toate cifrele din numerele 2,35 și 11,8 sunt corecte, obținem: Δ 14,15 = Δ 2,35 + Δ 11,8 = 0,01 +0,1=0,11< 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.
Problemele se rezolvă în mod similar atunci când se efectuează alte operații pe numere aproximative.
Tip de lecție: combinată.
Vizualizați conținutul documentului
„Calcule aproximative ale rădăcinii pătrate”.
clasa a 8-a
Data:
Lecția nr. 9.
Subiect: calcule aproximative cu rădăcina pătrată.
Obiective: 1. Învățați elevii să găsească valorile aproximative ale rădăcinilor pătrate.
2. Dezvoltați abilitățile de observare, capacitatea de a analiza, compara și trage concluzii.
Promovează o atitudine pozitivă față de munca academică
Tip de lecție: combinată.
Forme de organizare a lecției: individuală, colectivă
Echipament: planșă de proiect, carduri de dispoziție, microcalculator
Trei căi duc la cunoaștere: calea reflecției
Aceasta este calea cea mai nobilă,
calea imitației este calea cea mai ușoară
iar calea experienței este calea cea mai amară.
Confucius
Progresul lecției.
Moment organizatoric
Etapa de verificare a temelor
Nr. 60 – 1 elev efectuează la tablă, un alt elev verifică pe loc dacă sarcina este îndeplinită corect
Lucrare orală: proiectată pe tablă
a) Aflați valoarea rădăcinii:
b) Are sens expresia:
c) Aflați numărul a cărui rădăcină pătrată aritmetică este 0; 1; 3; 10; 0,6
Etapa de explicare a noului material
Pentru a calcula valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate, trebuie să utilizați un microcalculator. Pentru a face acest lucru, introduceți expresia radicală în calculator și apăsați tasta cu semnul radical. Dar nu aveți întotdeauna un calculator la îndemână, așa că puteți găsi valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate după cum urmează:
Să găsim valoarea.
De atunci. Acum, dintre numerele situate pe segmentul de la 1 la 2, luăm numerele vecine 1.4 și 1.5, obținem: , apoi luăm numerele 1.41 și 1.42, aceste numere satisfac inegalitatea. Dacă continuăm acest proces de pătrare a numerelor învecinate, obținem următorul sistem de inegalități:
Proiectat pe tablă.
Din acest sistem, comparând numerele după virgulă, obținem:
Valorile aproximative ale rădăcinilor pătrate pot fi luate prin exces și deficiență, adică prin deficiență cu o precizie de 0,0001 și prin exces.
Consolidarea materialului studiat.
Nivelul „A”
0,2664 0,2 – prin deficiență
№93 (se folosește un calculator)
5. Pauza valeologica: exercitii pentru ochi.
Nivelul „B”
6. Context istoric privind necesitatea de a găsi valoarea rădăcinilor pătrate
(Studentul interesat este invitat în prealabil să pregătească un mesaj pe această temă folosind Internetul)
Se propune o formulă pentru găsirea valorii aproximative a rădăcinii pătrate a unui număr irațional:
Nivelul „C” nr. 105
7. Reflecție.
Rezumatul lecției.
Tema pentru acasă: nr. 102,
Extragerea manuală a rădăcinilor pătrate
Să luăm ca exemplu numărul 223729 Pentru a extrage rădăcina, trebuie să facem următoarele operații:
O)împărțiți numărul de la dreapta la stânga în cifre de două cifre pe cifră, punând linii în partea de sus - 223729 → 22"37"29". Dacă ar fi un număr cu un număr impar de cifre, cum ar fi 4765983, atunci când îl împărțiți ar trebui adăugat la prima cifră din zero din stânga, adică 4765983→04"76"59"83".
B) Adăugați un radical la număr și scrieți semnul egal:
22"37"29"→=… .
După aceasta, începem să calculăm efectiv rădăcina. Acest lucru se face în pași, iar la fiecare pas este procesată o cifră a numărului inițial, adică. două cifre consecutive de la stânga la dreapta și obțineți o cifră a rezultatului.
Pasul 1— extragerea unei rădăcini pătrate cu un dezavantaj față de prima cifră:
= 4... (cu dezavantaj)
Rezultatul pasului 1 este prima cifră a numărului dorit:
Pasul 2- pătratăm prima cifră primită, o adăugăm sub prima cifră și punem semnul minus astfel:
Și efectuăm calculul așa cum a fost deja scris.
Pasul 3- adăugați două cifre ale următoarei cifre la dreapta rezultatului scăderii și puneți o linie verticală la stânga numărului rezultat astfel:
După aceasta, tratând numerele de după semnul = ca pe un număr obișnuit, înmulțiți-l cu 2 și adăugați un spațiu liber în stânga liniei verticale, în care punem un punct și sub acest punct punem și un punct:
Un punct indică căutarea unui număr. Această cifră va fi a doua din numărul final, adică. va apărea după numărul 4. Se caută după următoarea regulă:
Acesta este cel mai mare numărk astfel încât numărul să fie 8k , adică număr obţinut din 8 prin adăugarea unei cifrek , înmulțit cuk , nu depășește 637.
În acest caz este numărul 7, pentru că 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Deci avem:
Pasul 4- trageți o linie orizontală și scrieți sub ea rezultatul scăderii:
637 – 609 = 28. Atribuim ultima cifră a numărului radical original numărului 28 și obținem numărul 2829. Desenați o linie verticală în stânga acesteia, acum înmulțiți 47 cu 2 și atribuiți numărul rezultat 94 la stânga a liniei verticale, lăsând un spațiu sub forma unui punct de căutare ultima cifră. Numărul 3 se potrivește exact fără rest, deoarece 943∙3=2829, ceea ce înseamnă că aceasta este ultima cifră a numărului dorit, adică. = 473.
943 2829
În principiu, dacă restul s-a dovedit a fi diferit de zero, se putea pune o virgulă după cifrele găsite ale numărului, se poate scrie două zecimale ale numărului ca următoarea cifră sau două zerouri dacă nu există și să continue pentru a extrage din ce în ce mai precis rădăcina pătrată. Iată un exemplu:
= 4,123…
Metode aproximative ale rădăcinii pătrate
(fără a folosi un calculator).
1 metoda.
Babilonienii antici au folosit următoarea metodă pentru a afla valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a numărului lor x. Ei au reprezentat numărul x ca sumă a 2 + b, unde a 2 este pătratul exact al numărului natural a (a 2 ? x) cel mai apropiat de numărul x și au folosit formula 
. (1)
Folosind formula (1), extragem rădăcina pătrată, de exemplu, din numărul 28:
Rezultatul extragerii rădăcinii lui 28 folosind un calculator este 5,2915026. După cum puteți vedea, metoda babiloniană oferă o bună aproximare a valorii exacte a rădăcinii.
Metoda 2.
Isaac Newton a dezvoltat o metodă de extragere a rădăcinilor pătrate care datează de la Heron din Alexandria (circa 100 d.Hr.). Această metodă (cunoscută sub numele de metoda lui Newton) este următoarea.
Lasă O 1 - prima aproximare a unui număr (ca 1 puteți lua valorile rădăcinii pătrate a unui număr natural - un pătrat exact care nu depășește X).
