Poligon regulat. Numărul de laturi ale unui poligon regulat

Dicţionar de termeni medicali

Dicționar explicativ al limbii ruse. D.N. Uşakov

poligon

poligon, m. (mat.). O figură plată delimitată de trei, patru, etc. linii drepte.

Dicționar explicativ al limbii ruse. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

poligon

A, m. în matematică: figură geometrică, delimitat de o polilinie închisă.

Noul dicționar explicativ al limbii ruse, T. F. Efremova.

poligon

m. O figură geometrică delimitată de o linie întreruptă închisă, ale cărei legături formează mai mult de patru colțuri.

Dicţionar enciclopedic, 1998

poligon

POLIGON (pe un plan) este o figură geometrică delimitată de o linie întreruptă închisă, ale cărei legături se numesc laturile poligonului, iar capetele lor sunt numite vârfuri ale poligonului. Pe baza numărului de vârfuri se disting triunghiuri, patrulatere etc. Un poligon se numește convex dacă se află în întregime pe o parte a liniei care poartă oricare dintre laturile sale, iar neconvex în caz contrar. Un poligon se numește regulat dacă toate laturile și unghiurile sale sunt egale.

Poligon

închis linie întreruptă. Mai în detaliu, M. ≈ o dreaptă care se obține dacă luăm n orice puncte A1, A2, ..., An și conectăm fiecare dintre ele cu următorul cu un segment drept, iar ultimul ≈ cu primul (vezi . orez. 1, A). Punctele A1, A2, ..., An se numesc vârfurile modelului, iar segmentele A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 se numesc laturile acestuia. Mai jos, sunt luate în considerare doar materialele plate (adică se presupune că materialul se află în același plan). M. se poate cruce (vezi. orez. 1, b), iar punctele de auto-intersecție pot să nu fie vârfurile sale.

Există și alte puncte de vedere asupra a ceea ce se consideră M. Un poligon poate fi numit o parte conexă a unui plan, a cărui limită este formată dintr-un număr finit de segmente drepte, numite laturile poligonului. În acest sens, o matrice poate fi, de asemenea, o parte multiplă conectată a unui plan (vezi orez. 1, d), adică un astfel de M. poate avea „găuri poligonale”. Sunt de asemenea luate în considerare planuri infinite, adică părți ale planului limitate de un număr finit de segmente drepte și un număr finit de semi-linii.

Prezentarea ulterioară se bazează pe prima definiție a lui M dată mai sus Dacă M nu se intersectează (vezi, de exemplu, orez. 1, a și b), apoi împarte mulțimea tuturor punctelor planului care nu se află pe el în două părți ≈ finit (intern) și infinit (extern) în sensul că, dacă două puncte aparțin uneia dintre aceste părți, atunci ele pot fi legate între ele printr-o linie întreruptă care nu intersectează M., iar dacă diferite părți, atunci este imposibil. În ciuda evidenței complete a acestei circumstanțe, derivarea sa strictă din axiomele geometriei este destul de dificilă (așa-numita teoremă Jordan pentru M). Partea planului internă suprafeței are o anumită zonă. Dacă o matrice se auto-intersectează, atunci taie planul într-un anumit număr de bucăți, dintre care una este infinită (numită externă matricei), iar restul sunt finite, pur și simplu conectate (numite interne), iar granița fiecăruia dintre ele este o anumită matrice care nu se intersectează, laturile căreia există laturi întregi sau părți de laturi, iar vârfurile sunt vârfurile sau punctele de autointersecție ale unui M dat. Dacă atribuim o direcție fiecărei laturi a M, adică indică pe care dintre cele două vârfuri care îl definesc vom considera începutul său și care ≈ sfârșitul său și, mai mult, astfel încât începutul fiecărei laturi să fie sfârșitul celei anterioare, apoi un drum poligonal închis, sau orientat M, se va obține aria regiunii delimitată de un M orientat auto-intersectat, dacă conturul lui M ocolește această zonă în sens invers acelor de ceasornic, adică interiorul lui M rămâne la stânga a persoanei care merge pe această cale, iar negativ ≈ în cazul opus. Fie M. auto-intersectându-se și orientat; dacă dintr-un punct situat în partea exterioară a planului în raport cu acesta, trageți un segment de dreaptă până la un punct aflat în interiorul uneia dintre piesele sale interne, iar M. intersectează acest segment de p ori de la stânga la dreapta și de q ori de la dreapta la stânga, atunci numărul p ≈ q (un număr întreg pozitiv, negativ sau zero) nu depinde de alegerea punctului extern și se numește coeficientul acestei piese. Suma suprafețelor obișnuite ale acestor piese, înmulțită cu coeficienții lor, este considerată „aria” traseului închis luat în considerare (orientat M). „Zona de drum închis” astfel definită joacă un rol important în teoria instrumentelor matematice (planimetru etc.); se obține de obicei acolo sub forma unei integrale ═(în coordonatele polare r, w) sau ═(în coordonate carteziene x, y), unde capătul vectorului rază r sau al ordonatei y parcurge această cale o dată.

Suma unghiurilor interioare ale oricărui model care nu se intersectează cu n laturi este egală cu (n ≈ 2)180╟. M. se numește convex (vezi. orez. 1, a), dacă nicio latură a M., fiind prelungită la infinit, nu taie M. în două părți. O matrice convexă poate fi caracterizată și prin următoarea proprietate: un segment drept care conectează oricare două puncte ale unui plan aflat în interiorul matricei nu intersectează matricea. De exemplu, pe orez. 1, b arată un M. care nu se intersectează singur, care nu este convex, deoarece segmentul PQ care leagă unele dintre punctele sale interne intersectează M.

Cele mai importante triunghiuri: triunghiuri, în special dreptunghiulare, isoscele, echilaterale (regulate); patrulatere, în special trapeze, paralelograme, romburi, dreptunghiuri, pătrate. Un model convex se numește regulat dacă toate laturile sale sunt egale și toate unghiurile interioare sunt egale. În antichitate, ei erau capabili să construiască modele corecte bazate pe latura sau raza unui cerc circumscris folosind o busolă și o riglă numai dacă numărul de laturi ale modelului este egal cu m = 3 ╥ 2n, 4 ​​​​╥ 2n, 5 ╥ 2n, 3 ╥ 5 ╥ 2n, unde n ≈ orice număr pozitiv sau zero. Matematicianul german K. Gauss a arătat în 1801 că este posibil să se construiască un model obișnuit folosind un compas și o riglă atunci când numărul laturilor sale are forma: m = 2n ╥ p1 ╥ p2 ╥ ... ╥ pk, unde p1, p2, ... pk ≈ diferit numere prime de forma ═(s ≈ întreg pozitiv). Până acum, sunt cunoscute doar cinci astfel de p: 3, 5, 17, 257, 65537. Din teoria Galois (vezi teoria Galois) rezultă că niciun alt model obișnuit, cu excepția celor indicate de Gauss, nu poate fi construit folosind o busolă și o riglă. . Astfel, construcția este posibilă pentru m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... și imposibilă pentru m = 7, 9, 11 , 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Tabelul de mai jos arată circumradius, raza cercului înscris și aria unui n-gon regulat (pentru n = 3, 4, 5, 6, 8, 10) a cărui latură este k.

Circumradius

Raza cercului înscris

Pornind de la pentagon, există și structuri regulate neconvexe (auto-intersectate sau în formă de stea), adică acelea în care toate laturile sunt egale și fiecare latură ulterioară este rotită în aceeași direcție și în același unghi cu respect fata de precedenta. Toate vârfurile unui astfel de model se află, de asemenea, pe același cerc. Aceasta este, de exemplu, o stea cu cinci colțuri. Pe orez. 2 Sunt date toate modelele obișnuite (atât convexe, cât și neconvexe), de la triunghi la heptagon.

Lit. vezi sub art. Poliedru.

Wikipedia

Poligon

Poligon este o figură geometrică, definită de obicei ca o polilinie închisă.

Sunt trei diverse opțiuni definiții poligonului:

• O linie întreruptă închisă plată este cazul cel mai general;
• O linie plată întreruptă închisă, fără auto-intersecții, ale cărei două legături adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă;
• Parte a planului delimitată de o polilinie închisă fără autointersecții - poligon plan

În orice caz, se numesc vârfurile liniei întrerupte culmi poligon, iar segmentele sale sunt petreceri poligon.

Poligon (dezambiguizare)

• Poligon în geometrie
• Poligonul de piatră în știința permafrostului

Exemple de utilizare a cuvântului poligon în literatură.

Gilman a fost chiar bucuros să se cufunde în abisul sumbru cu vuietul său obișnuit înăbușit, deși chiar și acolo urmărirea persistentă a două creaturi asemănătoare cu un grup de bule irizate și un mic poligon cu laturile schimbându-se ca într-un caleidoscop, a provocat un sentiment deosebit de acut de amenințare și a fost neobișnuit de iritant.

Abisuri sumbre hohote - un deal verde și stâncos - o terasă sclipitoare cu toate culorile curcubeului - atracție planete necunoscute-- o spirală neagră de eter -- un bărbat de culoare -- o alee murdară și o scară scârțâitoare -- o vrăjitoare bătrână și o creatură mică, cu colți lungi -- un grup de bule și un mic poligon- un bronz ciudat - răni la mână - ceva mic și lipsit de formă în mâinile bătrânei - picioarele acoperite de noroi - basme și temeri de străini superstițioși - ce au însemnat toate acestea până la urmă?

Pot face un cadru de text dreptunghiular poligonîn formă de stea?

Un poliedru a cărui bază este poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun.

A fost necesar, așadar, să se schițeze unde și cum anume să poziționeze rezervele în direcția vestică, iar cea cu formă neregulată a rămas un loc deosebit de supărător. poligon Frontul Kalinin.

În fața ta este una neregulată, care se întinde brusc spre nord. poligon, numită Manciuria.

Dacă cadrul grafic are formă ovală sau poligon

Dacă cadrul de text este oval sau poligon, atunci această opțiune devine indisponibilă.

Trei sau mai multe obiecte cu aceeași masă sunt luate și plasate la vârfurile unui echilateral poligonși accelerează la aceeași viteză unghiulară față de centrul masei lor totale.

Aproape împotriva voinței lui, a înălțat peste abisul crepuscular, urmând un grup de bule irizate și un mic poligon, când a observat că marginile prismelor gigantice situate în lateralul lui formau unghiuri surprinzător de regulate care se repetă.

Neted, virgin, alb, distorsionat ici și colo de mișcări, asemănător cu nenumărate poligoane, tivita cu dungi negre de apă deschisă.

Eh, mi-aș dori să pot vedea cu ochiul lui Argus poligoane coral și fibre țesute în fețe și interiorul fibrelor.

Acestea sunt takyr-uri de lut lustruite de vânt, crăpate în nenumărate poligoane, neted ca un patinoar, dur ca betonul.

Aici se găsește o fântână în formă de falic, care se vedea fie de sub arc, fie de sub portic, cu Neptun stând călare pe un delfin, o poartă cu coloane care amintesc de cele asiriene și din nou un arc. formă nedeterminată, ceva ca un amestec de triunghiuri și poligoane, iar vârful fiecăruia dintre ele a fost încoronat cu o figurină a unui animal - un elan, o maimuță, un leu.

Imaginile pot fi amplasate nu numai în cadre grafice dreptunghiulare, ci și în modificate poligoaneși ovale.

Tipuri de poligoane:

Cadrilatere

Cadrilatere, respectiv, sunt formate din 4 laturi și unghiuri.

Laturile și unghiurile opuse unul altuia se numesc opus.

Diagonalele împart patrulaterele convexe în triunghiuri (vezi imaginea).

Suma unghiurilor unui patrulater convex este 360° (folosind formula: (4-2)*180°).

Paralelograme

Paralelogram este un patrulater convex cu laturile paralele opuse (numărul 1 în figură).

Laturile și unghiurile opuse dintr-un paralelogram sunt întotdeauna egale.

Și diagonalele din punctul de intersecție sunt împărțite în jumătate.

Trapez

Trapez- acesta este, de asemenea, un patrulater, iar în trapeze Doar două laturi sunt paralele, care sunt numite motive. Alte părți sunt laturi.

Trapezul din figură este numerotat cu 2 și 7.

Ca într-un triunghi:

Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul este isoscel;

Dacă unul dintre unghiuri este drept, atunci trapezul este dreptunghiular.

Linia mediană a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.

Romb

Romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.

Pe lângă proprietățile unui paralelogram, romburile au proprietățile lor speciale - Diagonalele unui romb sunt perpendiculare unul pe altul și traversează colțurile unui romb.

În imagine este un romb numărul 5.

dreptunghiuri

Dreptunghi este un paralelogram în care fiecare unghi este drept (vezi figura numărul 8).

Pe lângă proprietățile unui paralelogram, dreptunghiurile au proprietățile lor speciale - diagonalele dreptunghiului sunt egale.

Pătrate

Pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale (nr. 4).

Are proprietățile unui dreptunghi și a unui romb (deoarece toate laturile sunt egale).

Partea planului delimitată de o linie întreruptă închisă se numește poligon.

Segmentele acestei linii întrerupte sunt numite petreceri poligon. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) sunt laturile poligonului ABCDE. Suma tuturor laturilor unui poligon se numește ei perimetru.

Poligonul se numește convex, dacă este situat pe o parte a oricăreia dintre laturile sale, extins la nesfârșit dincolo de ambele vârfuri.

Poligonul MNPKO (Fig. 1) nu va fi convex, deoarece este situat pe mai mult de o parte a dreptei KR.

Vom lua în considerare doar poligoane convexe.

Unghiurile formate de două laturi adiacente ale unui poligon se numesc al acestuia intern colțurile, iar vârfurile lor sunt vârfuri ale poligonului.

Un segment de linie dreaptă care leagă două vârfuri neadiacente ale unui poligon se numește diagonala poligonului.

AC, AD - diagonalele poligonului (Fig. 2).

Unghiurile adiacente unghiurilor interioare ale unui poligon se numesc unghiuri exterioare ale poligonului (Fig. 3).

În funcție de numărul de unghiuri (laturi), poligonul se numește triunghi, patrulater, pentagon etc.

Se spune că două poligoane sunt congruente dacă pot fi reunite prin suprapunere.

Poligoane înscrise și circumscrise

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci poligonul se numește înscrisăîntr-un cerc, iar cercul - descrise lângă poligon (fig).

Dacă toate laturile unui poligon sunt tangente la un cerc, atunci poligonul se numește descrise despre un cerc, iar cercul se numește înscrisăîntr-un poligon (fig.).

Similitudinea poligoanelor

Două poligoane cu același nume se numesc similare dacă unghiurile unuia dintre ele sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt, iar laturile similare ale poligoanelor sunt proporționale.

Poligoane cu același nume sunt cele care au acelasi numar laturi (colţuri).

Laturile poligoanelor similare care leagă nodurile se numesc similare. unghiuri egale(orez).

Deci, de exemplu, pentru ca poligonul ABCDE să fie similar cu poligonul A'B'C'D'E', este necesar ca: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' și, în plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Raportul perimetrelor poligoanelor similare

În primul rând, luați în considerare proprietatea unei serii de rapoarte egale. Să avem, de exemplu, următoarele rapoarte: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Să găsim suma termenilor anteriori ai acestor relații, apoi suma termenilor lor următori și să aflăm raportul sumelor rezultate, obținem:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Obținem același lucru dacă luăm o serie de alte relații, de exemplu: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Să ​​aflăm suma termenilor anteriori de aceste relații și suma celor ulterioare, și apoi găsim raportul acestor sume, obținem:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

În ambele cazuri, suma membrilor anteriori ai unei serii de relații egale se referă la suma membrilor următori ai aceleiași serii, la fel cum membrul anterior al oricăreia dintre aceste relații se raportează la cel ulterioar.

Am derivat această proprietate luând în considerare un număr de exemple numerice. Poate fi derivată strict și într-o formă generală.

Acum luați în considerare raportul dintre perimetrele poligoanelor similare.

Fie poligonul ABCDE similar cu poligonul A’B’C’D’E’ (Fig).

Din asemănarea acestor poligoane rezultă că

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Pe baza proprietății pe care am derivat-o pentru o serie de rapoarte egale, putem scrie:

Suma termenilor anteriori ai relațiilor pe care le-am luat reprezintă perimetrul primului poligon (P), iar suma termenilor următori ai acestor relații reprezintă perimetrul celui de-al doilea poligon (P'), ceea ce înseamnă P / P ' = AB / A'B'.

Prin urmare, Perimetrele poligoanelor similare sunt legate de laturile lor similare.

Raportul suprafețelor poligoanelor similare

Fie ABCDE și A’B’C’D’E’ să fie poligoane similare (Fig).

Se știe că ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' și ΔADE ~ ΔA'D'E'.

In plus,

Deoarece al doilea raport al acestor proporții este egal, ceea ce decurge din similitudinea poligoanelor, atunci

Folosind proprietatea unei serii de rapoarte egale obținem:

unde S și S’ sunt ariile acestor poligoane similare.

Prin urmare, Zonele poligoanelor similare sunt legate ca pătrate ale laturilor similare.

Formula rezultată poate fi convertită în următoarea formă: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Aria unui poligon arbitrar

Să fie necesar să se calculeze aria unui patrulater arbitrar ABC (Fig.).

Să desenăm o diagonală în ea, de exemplu AD. Obținem două triunghiuri ABD și ACD, ale căror zone le putem calcula. Apoi găsim suma ariilor acestor triunghiuri. Suma rezultată va exprima aria acestui patrulater.

Dacă trebuie să calculați aria unui pentagon, atunci facem același lucru: desenăm diagonale dintr-unul dintre vârfuri. Obținem trei triunghiuri, ale căror zone le putem calcula. Aceasta înseamnă că putem găsi aria acestui pentagon. Facem același lucru atunci când calculăm aria oricărui poligon.

Suprafața proiectată a unui poligon

Să ne amintim că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig.).

Teorema. Aria proiecției ortogonale a unui poligon pe un plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.

Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri a căror sumă de suprafețe este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.

Fie proiectat ΔАВС pe plan r. Să luăm în considerare două cazuri:

a) una dintre laturile ΔABC este paralelă cu planul r;

b) niciuna dintre laturile ΔABC nu este paralelă r.

Să luăm în considerare primul caz: lasă [AB] || r.

Să desenăm un plan prin (AB) r 1 || rși proiectați ortogonal ΔАВС pe r 1 și mai departe r(orez.); obținem ΔАВС 1 și ΔА'В'С'.

Prin proprietatea proiecției avem ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' și, prin urmare

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Să desenăm ⊥ și segmentul D 1 C 1 . Atunci ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ este valoarea unghiului dintre planul ΔABC și plan r 1. De aceea

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

și deci S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Să trecem la considerare al doilea caz. Să desenăm un avion r 1 || r prin acel vârf ΔАВС, distanța de la care până la plan r cel mai mic (fie acesta să fie vârful A).

Să proiectăm ΔАВС în avion r 1 și r(orez.); fie proiecțiile sale ΔАВ 1 С 1 și, respectiv, ΔА'В'С'.

Fie (BC) ∩ p 1 = D. Atunci

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Proprietățile poligoanelor

Un poligon este o figură geometrică, definită de obicei ca o linie întreruptă închisă fără auto-intersecții (un poligon simplu (Fig. 1a)), dar uneori sunt permise auto-intersecții (atunci poligonul nu este simplu).

Vârfurile poligonului sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului. Vârfurile unui poligon se numesc adiacente dacă sunt capetele uneia dintre laturile sale. Segmentele care leagă vârfurile neadiacente ale unui poligon se numesc diagonale.

Unghi (sau colț interior) al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf, iar unghiul se calculează din latura poligonului. În special, unghiul poate depăși 180° dacă poligonul este neconvex.

Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acest vârf. În general colț exterior aceasta este diferența dintre 180° și un unghi intern. Din fiecare vârf al triunghiului pentru > 3 există 3 diagonale, deci numărul total Diagonalele triunghiului sunt egale.

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon etc.

Poligon cu n numite vârfuri n- pătrat.

Un poligon plat este o figură care constă dintr-un poligon și o parte finită a zonei limitate de acesta.

Un poligon se numește convex dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții (echivalente):

• 1. se află pe o parte a oricărei drepte care leagă vârfurile învecinate. (adică prelungirile laturilor poligonului nu se intersectează cu celelalte laturi ale acestuia);
• 2. este o intersecție (i.e. parte comună) mai multe semiplane;
• 3. orice segment cu capete în puncte aparținând poligonului îi aparține în întregime.

Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale, de exemplu, un triunghi echilateral, pătrat și pentagon.

Se spune că un poligon convex este circumscris unui cerc dacă toate laturile lui ating un cerc

Un poligon obișnuit este un poligon în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale.

Proprietățile poligoanelor:

1 Fiecare diagonală a unui -gon convex, unde >3, o descompune în două poligoane convexe.

2 Suma tuturor unghiurilor unui triunghi convex este egală.

D-vo: Demonstrăm teorema folosind metoda inducție matematică. La = 3 este evident. Să presupunem că teorema este adevărată pentru un -gon, unde <, și dovediți-o pentru -gon.

Fie un poligon dat. Să desenăm diagonala acestui poligon. Conform teoremei 3, poligonul este descompus într-un triunghi și un triunghi convex (Fig. 5). Prin ipoteza inducţiei. Pe de altă parte, . Adăugând aceste egalități și ținând cont de faptul că (- fascicul unghiular intern ) Şi (- fascicul unghiular intern ), obținem. Când obținem: .

3 În jurul oricărui poligon obișnuit puteți descrie un cerc și numai unul.

D-vo: Fie un poligon regulat și și bisectoare ale unghiurilor și (Fig. 150). Din moment ce, atunci, prin urmare, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке DESPRE. Să demonstrăm asta O = OA 2 = DESPRE =… = OA n . Triunghi DESPRE isoscel, deci DESPRE= DESPRE. Conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, prin urmare, DESPRE = DESPRE. În mod similar, se dovedește că DESPRE = DESPRE etc. Deci ideea DESPRE este echidistant de toate vârfurile poligonului, deci un cerc cu centru DESPRE rază DESPRE este circumscris poligonului.

Să demonstrăm acum că există un singur cerc circumscris. Luați în considerare trei vârfuri ale unui poligon, de exemplu, O 2 , . Deoarece doar un cerc trece prin aceste puncte, atunci în jurul poligonului … Este imposibil să descrii mai mult de un cerc.

• 4 Puteți înscrie un cerc în orice poligon obișnuit și numai unul.
• 5 Un cerc înscris într-un poligon regulat atinge laturile poligonului în punctele mijlocii ale acestora.
• 6 Centrul unui cerc circumscris unui poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.
• 7 Simetrie:

Ei spun că o figură are simetrie (simetrică) dacă există o astfel de mișcare (nu identică) care transpune această figură în sine.

• 7.1. Un triunghi general nu are axe sau centre de simetrie este asimetric. Un triunghi isoscel (dar nu echilateral) are o singură axă de simetrie: bisectoarea perpendiculară pe bază.
• 7.2. Un triunghi echilateral are trei axe de simetrie (bisectoare perpendiculare pe laturi) și simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație de 120°.

7.3 Orice n-gon regulat are n axe de simetrie, toate trecând prin centrul său. De asemenea, are simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație.

Când chiar n Unele axe de simetrie trec prin vârfuri opuse, altele prin punctele medii ale laturilor opuse.

Pentru ciudat n fiecare axă trece prin vârful și mijlocul părții opuse.

Centrul unui poligon regulat cu un număr par de laturi este centrul său de simetrie. Un poligon regulat cu un număr impar de laturi nu are un centru de simetrie.

8 Similaritate:

Cu similaritate și -gon merge în -gon, semiplan în semiplan, deci convex n-unghiul devine convex n-gon.

Teorema: Dacă laturile și unghiurile poligoanelor convexe satisfac egalitățile:

unde este coeficientul podiumului

atunci aceste poligoane sunt asemănătoare.

• 8.1 Raportul dintre perimetrele a două poligoane similare este egal cu coeficientul de asemănare.
• 8.2. Raportul ariilor a două poligoane similare convexe este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.

teorema perimetrului triunghiului poligonului